2022-2023学年辽宁省朝阳市凌源市高二（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年辽宁省朝阳市凌源市高二（下）开学数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线l：3x−2y+1=0的一个方向向量的坐标为( )
A. (−3,2)B. (3,2)C. (1,−23)D. (2,3)
2.若x1+i=2−yi(x,y∈R,i为虚数单位)，则x−y=( )
A. 4B. 2C. −4D. −2
3.已知平面向量a=(sinθ,1),b=(csθ,−2)，若a/​/b，则tanθ=( )
A. −12B. −2C. 2D. 12
4.若随机变量X的分布列如表所示，则当P(X0)的最小正周期为π，将函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度，得到y=g(x)图象，则g(x)=( )
A. 2sin(2x+π6)B. 2sin(2x+π3)C. 2sin(x+π6)D. 2sin(x+π3)
6.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，椭圆上一点M到F1的距离为4，N为MF2的中点，则ON(O为坐标原点)的长为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.从1，2，3，4，5，6，7，8中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为奇数”，事件B：“取到的2个数之和为3的倍数”，则P(B|A)等于( )
A. 78B. 38C. 23D. 12
8.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x+1)为奇函数，当x∈[0,1]时，f(x)=k⋅3x+a.若f(0)+f(3)=4，则f(lg32)=( )
A. 2B. 0C. −3D. −6
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.现有男女学生共8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中男生有( )
A. 3人B. 4人C. 5人D. 6人
10.如图是甲、乙二人参加某知识竞赛的成绩得分情况，则下列说法正确的是( )
A. 甲的成绩明显提高B. 乙的成绩无明显提高
C. 甲、乙二人五次测试的平均成绩相同D. 甲的成绩比乙的成绩稳定
11.下列结论正确的是( )
A. 两个不同的平面α，β的法向量分别是u=(2,2,−1),v=(−3,4,2)，则α⊥β
B. 直线l的方向向量a=(0,3,0)，平面α的法向量u=(1,0,2)，则l/​/α
C. 若AB=(2,−1,−4),AC=(4,2,0),AP=(0,−4,−8)，则点P在平面ABC内
D. 若a+b,b+c,c+a是空间的一组基底，则向量a,b,c也是空间一组基底
12.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2，若点P在抛物线上，且点P到l的距离为d，Q在圆x2+(y−3)2=1上，则( )
A. |PQ|+d的最小值为 10−1B. |PQ|+d的最大值为 10+1
C. p=2D. p=1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.(x3−1)(2x− x)6的展开式中的常数项为______.(用数字作答)
14.已知向量a,b满足|a|=1,|b|= 2,|2a−b|= 2，则a与b的夹角为______．
15.设双曲线C：x24−y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为8，则离心率e= ______．
16.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC⊥CD，BC/​/AD，AD=2BC=2CD=2，PA=PB=1，当三棱锥D−PAB的体积最大时，三棱锥D−PAB的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知圆C过平面内三点A(0,4)，M(2,2 5)，N(2,−2 5)．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若点B也在圆C上，且弦AB长为4 3，求直线AB的方程．
18.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bcsB=a−2c2csC−csA．
(1)求ca的值；
(2)若B=2π3,b= 3，求a，c．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC/​/AD，BC⊥CD，AD=3BC=3，PA=PB=CD=2，点F在线段PD上，DF=2FP．
(1)证明：CF/​/平面PAB；
(2)当平面PAB⊥平面ABCD时，求二面角A−PD−B的余弦值．
20.(本小题12分)
假设某市大约有800万网络购物者，某电子商务公司对该地区n名网络购物者某年度上半年前6个月内的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.5,1.1]内，其频率分布直方图如图所示，若频率分布直方图中的a，b，c，d满足d=c+0.5=b+1=a+1.5，且从左到右6个小矩形依次对应第一至六小组，第五小组的频数为2400．

(1)求样本容量是多少？第六小组的频数是多少？
(2)求a，b，c，d的值；
(3)现用分层抽样方法从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查，
(i)求在各组应该抽取的人数；
(ii)在前2组所抽取的人中，再随机抽取3人，记这3人来自第一组的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．
21.(本小题12分)
双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2点( 5,12)，(2 2,−1)在双曲线C上．
(1)求双曲线C的标准方程：
(2)直线l过点F2且与双曲线C交于A，B两点，且AB的中点的横坐标为−2 5，求直线l的方程．
22.(本小题12分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，点P为E上的一动点，F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，△PF1F2的周长是12，椭圆E上的点到焦点的最短距离是2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点(2,0)的动直线l与椭圆交于P，Q两点，求△F1PQ面积的最大值及此时l的方程．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：直线l：3x−2y+1=0，
则y=32x+12，
故直线l的一个方向向量的坐标为(2,3)．
故选：D．
根据已知条件，结合方向向量的定义，即可求解．
本题主要考查方向向量的求解，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵x1+i=2−yi，
∴x(1−i)(1+i)(1−i)=x−xi2=2−yi，
∴x−xi=4−2yi，
∴x=4，y=2，
∴x−y=2．
故选：B．
首先利用复数的除法运算，再利用复数相等，求x，y的值，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：∵a/​/b，∴−2sinθ=csθ，显然csθ≠0，
∴tanθ=−12．
故选：A．
根据向量共线得−2sinθ=csθ，则tanθ=−12．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由分布列知：P(X≤−2)=0.2+0.1=0.3，P(X≤0)=0.1+0.2+0.2=0.5，
∴当m∈(−2,0]时，P(XS乙2，
甲的成绩基本成上升趋势，甲的成绩在不断提高，故A正确；
而乙的成绩上下波动，而乙的成绩无明显提高，故B正确．
故选：ABC．
根据折线图可得甲乙近期五次测试成绩，然后利用平均数及方差公式即得甲乙的成绩的平均数及方差的值分析各个选项求解．
本题考查折线图、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：因为u⋅v=(2,2,−1)⋅(−3,4,2)=−6+8−2=0，所以α⊥β，故A正确；
因为直线l的方向向量a=(0,3,0)，平面α的法向量u=(1,0,2)，
不能确定直线是否在平面内，故B不正确；
因为AP=(0,−4,−8)=2(2,−1,−4)−(4,2,0)=2AB−AC，
所以AP，AB，AC共面，即点P在平面ABC内，故C正确；
若a+b,b+c,c+a是空间的一组基底，
则对空间任意一个向量d，存在唯一的实数组(x,y,z)，
使得d=x(a+b)+y(b+c)+z(c+a)，
于是d=(x+z)a+(x+y)b+(y+z)c，
所以a,b,c也是空间一组基底，故D正确．
故选：ACD．
根据平面向量的法向量垂直判断A，根据直线与平面的关系判断B，根据空间中共面基本定理判断C，由空间向量基本定理判断D．
本题主要考查面面垂直的条件，线面平行的条件，基底的概念，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
12.【答案】AC
【解析】解：由抛物线的焦点F到准线l的距离为2，可知p=2，
|PQ|+d=|PQ|+|PF|≥|QF|，F(1,0)，
设圆心C(0,3),|CF|= 10，圆C半径为1，
所以|QF|的最小值为 10−1，所以|PQ|+d的最小值是 10−1，无最大值．
故AC正确．
故选：AC．
根据抛物线的几何性质，结合图形，即可判断选项．
本题考查抛物线的性质的应用，属于中档题．
13.【答案】180
【解析】解：多项式整理为：(x3−1)(2x− x)6=x3⋅(2x− x)6−(2x− x)6，
二项式(2x− x)6展开式中的常数项为C64(2x)2⋅(− x)4=C6422(−1)4=60，
(2x− x)6的展开式中x−3的项为C62(2x)4⋅(− x)2=C6424(−1)2⋅x−3=240x−3，
则x−3的系数为240，
所以展开式中的常数项为240−60=180．
故答案为：180．
将问题转化为求(2x− x)6的常数项和x−3项的系数，代入公式，即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
14.【答案】π4
【解析】解：因为|a|=1,|b|= 2,|2a−b|= 2，
所以|2a−b|2=(2a−b)2=4a2+b2−4a⋅b=4|a|2+|b|2−4a⋅b=2，
所以a⋅b=1，
所以cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|= 22，
又因为〈a,b〉∈[0,π]，
所以〈a,b〉=π4．
故答案为：π4．
根据向量数量积公式，求得a⋅b的值，再根据夹角公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
15.【答案】 3
【解析】解：由题意，a=2，设|PF2|=m，|PF1|=n，可得|m−n|=4，
∵△PF1F2的面积为8，∴12mn=8，即mn=16，∵F1P⊥F2P，∴m2+n2=4c2，∴(m−n)2+2mn=4c2，
即4c2=16+32=48，解得c=2 3，
∴离心率e=ca= 3．
故答案为： 3．
根据双曲线的定义及F1P⊥F2P，建立方程求得c，从而可求离心率e．
本题主要考查双曲线的性质，考查计算能力，属于基础题．
16.【答案】4π
【解析】解：当三棱锥D−PAB的体积最大时，平面PAB与底面ABCD垂直，
取AB中点E，连接PE，∵PA=PB，∴PE⊥AB，
则PE⊥平面ABCD，∴PE⊥DE，
延长CB到点F使得CF=AD，则四边形ADCF是矩形，
所以∠ABF=∠CBD=45°，即∠ABD=90°，
所以DE= BD2+BE2= 102，PE= PA2−AE2= 22，
则PD= PE2+DE2= 3，∴AP2+PD2=AD2，∴∠APD=90°，
取AD中点O，则OA=OB=OD=OP，
故三棱锥D−PAB的外接球的球心为AD中点O，半径为1，则外接球的表面积为4π．
故答案为：4π．
当三棱锥D−PAB的体积最大时，平面PAB与底面ABCD垂直．分别推出∠ABD=90°和∠ABD=90°，从而确定三棱锥D−PAB的外接球的球心为AD中点O，即可求解．
本题考查了三棱锥外接球的表面积计算，属于中档题．
17.【答案】解：(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
由题意可得16+4E+F=04+20+2D+2 5E+F=04+20+2D−2 5E+F=0，解得D=−4,E=0,F=−16,
即x2+y2−4x−16=0，故圆C的标准方程为(x−2)2+y2=20．
(2)圆心C(2,0)到直线AB的距离d= 20−12=2 2，
当直线AB斜率不存在时，AB方程为：x=0，此时d=2，不符合题意；
当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为：y=kx+4，
可得d=|2k+4| 1+k2=2 2，解得k=2± 6．
∴直线AB方程为y=(2+ 6)x+4或y=(2− 6)x+4．
【解析】(1)将三点代入圆的一般方程，求解方程组得出圆的一般方程，再将其转化为标准方程即可；
(2)先求出圆心C到直线AB的距离，当直线AB斜率不存在时，验证直线是否满足要求，当直线AB斜率存在时，设出方程，根据距离公式得出斜率，进而得出AB方程．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，圆的方程的求法，是基础题．
18.【答案】解：(1)根据题意由正弦定理可得sinBcsB=sinA−2sinC2csC−csA，
所以sinBcsA−2sinBcsC=2csBsinC−csBsinA，
即sinAcsB+csAsinB=2(sinBcsC+csBsinC)，
则sin(A+B)=2sin(B+C)，
因为△ABC，A+B+C=π，所以sinC=2sinA，
又因为sinA≠0，所以sinCsinA=ca=2．
(2)由(1)知，c=2a，
由余弦定理得csB=a2+c2−b22ac，即−12=a2+4a2−34a2，解得a2=37，
所以a= 217,c=2a=2 217．
【解析】(1)利用正弦定理，边角互化，结合正弦的两角和公式化简求解即可；
(2)利用余弦定理求解即可．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】(1)证明：在线段PA上取一点M，满足AM=2MP，
又因为DF=2FP，所以PMMA=PFFD，故FM//AD，
因为BC/​/AD，所以BC//FM，
因为FM=13AD=1，所以BC=FM，
所以四边形FMBC为平行四边形，所以CF//BM，
又因为CF⊄平面PAB，BM⊂平面PAB，所以CF/​/平面PAB．
(2)解：取AB的中点O，连结PO，依题意得PO⊥AB，
由BC⊥CD，AD=3BC=3，可求得AB=2 2，所以PO= 4−2= 2．
如图，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，

得D(0,0,0),B(1,2,0),P(2,1, 2),A(3,0,0)，
DP=(2,1, 2),DB=(1,2,0)，
设n=(x,y,z)是平面PBD的一个法向量，
则n⋅DP=0,n⋅DB=0,得2x+y+ 2z=0,x+2y=0,令y=1，则x=−2，z=3 2，
所以平面PBD的一个法向量为n=(−2,1,3 2)，
同样可求得平面PAD的一个法向量为m=(0, 2,−1)，
所以cs〈m,n〉=m⋅n|m|⋅|n|=−1 2 3× 4+1+92=− 5757，
所以二面角A−PD−B的余弦值为 5757．
【解析】(1)在线段PA上取一点M，满足AM=2MP，进而可证四边形FMBC为平行四边形，可证CF/​/平面PAB；
(2)建立空间直角坐标系，求得平面APD的一个法向量，平面PDB的一个法向量，利用向量法可求二面角A−PD−B的余弦值．
本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查运算求解能力，属中档题．
20.【答案】解：(1)根据频率分布直方图可知，第五小组的频率为0.8×0.1=0.08，又因为第五小组的频数为2400，
所以样本容量n=24000.08=30000．
因为第六小组的频率为0.2×0.1=0.02，
所以第六小组的频数是30000×0.02=600．
(2)由频率之和为1，得(a+b+c+d+0.8+0.2)×0.1=1，所以a+b+c+d=9．
因为频率分布直方图中的a，b，c，d满足d=c+0.5=b+1=a+1.5，
所以b=a+0.5，c=a+1，d=a+1.5．
所以代入a+b+c+d=9中，得a+a+0.5+a+1+a+1.5=9，
得4a+3=9，解得a=1.5．
所以b=2，c=2.5，d=3．
(3)(i)因为前4组的频率之比为a：b：c：d=1.5：2：2.5：3=3：4：5：6，
且现从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查，
所以在[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9)应该抽取的人数分别是18×33+4+5+6=3,18×43+4+5+6=4,18×53+4+5+6=5,18×63+4+5+6=6．
(ii)由题意，随机变量X的所有可能取值是0，1，2，3．
则P(X=0)=C43C73=435,P(X=1)=C31C42C73=1835,P(X=2)=C32C41C73=1235,P(X=3)=C33C73=135，
故随机变量X的分布列为：
故随机变量X的数学期望为E(X)=0×435+1×1835+2×1235+3×135=97．
【解析】(1)计算第五组的频率，再根据频率的定义可求得样本容量，进一步求得第六小组的频数；
(2)根据频率之和为1，得到a+b+c+d=9，再结合已知条件即可求解；
(3)根据分层抽样的定义即可求得各组应该抽取的人数；根据古典概型概率公式结合组合数可求得分布列，进一步求得数学期望．
本题主要考查频率分布直方图，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意有5a2−14b2=18a2−1b2=1，解得a=2b=1．
故双曲线C的标准方程为：x24−y2=1．
(2)设直线l的方程为y=k(x− 5)，
联立方程x24−y2=1y=k(x− 5)，
消去y整理为：(1−4k2)x2+8 5k2x−(20k2+4)=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
x1+x2=8 5k24k2−1=−4 5，得k=± 66，
故直线l的方程为y=± 66(x− 5).
【解析】(1)利用已知条件列出方程，求出a，b，即可得到双曲线方程．
(2)求出直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理，结合中点坐标转化求解即可．
本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，设而不求方法的应用，是中档题．
22.【答案】解：(1)由题意得2a+2c=12a−c=2，解得：a=4，c=2，∴b2=a2−c2=12，
椭圆的方程是：x216+y212=1．
(2)设l1：x=my+2，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立x216+y212=1,x=my+2,消去x得：(3m2+4)y2+12my−36=0y1+y2=−12m3m2+4,y1⋅y2=−363m2+4,由题意可知：点F2(2,0)，
所以S=12×4×|y1−y2|=2|y1−y2|=2 144m2(3m2+4)2+1443m2+4=48 m2+13m2+4
令t= m2+1，则t≥1，所以S=48t3t2+1=483t+1t，∵t≥1，易知3t+1t在[1,+∞)单调递增，
所以当t=1，Smax=12，此时m=0，所以直线l的方程为：x=2．
【解析】(1)根据题意，列出方程，解之即可求出结果；
(2)过点(2,0)的动直线l的方程为：x=my+2，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，然后将直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理表示出两点纵坐标的关系，然后将焦点三角形面积表示出来，最后根据函数的单调性求出最值即可．
本题主要考查椭圆的性质与椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．X
−3
−2
0
1
2
P
0.2
0.1
0.2
0.1
0.4
X
0
1
2
3
P
435
1835
1235
135