广西南宁市第十三中学2023届九年级上学期第三次月考数学试卷(含解析)

这是一份广西南宁市第十三中学2023届九年级上学期第三次月考数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共36分）
1. 下列图形是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：A、不是轴对称图形，此项不符题意；
B、不是轴对称图形，此项不符题意；
C、不轴对称图形，此项不符合题意；
D、是轴对称图形，此项符题意；
故选：D．
2. 2020年国庆中秋假日期间，广西共接待游客超32550000人次，按可比口径同比恢复，实现旅游消费接近224亿元，按可比口径同比恢复．数据32550000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：将32550000用科学记数法表示为：．
故选：B．
3. 如图点O为数轴的原点，若点A表示的数是a，点B表示的数是b，那么下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：由图可知：a为负数，b为正数，且，
∴，
故选C．
4. 某高中饭堂为了了解学生对四种早餐套餐的喜爱程度，随机抽取在校200名学生进行最爱最喜爱早餐套餐的调查（每人选一种），绘制了如图的扇形统计图．根据图中的信息，学生最喜欢的套餐种类是（ ）
A. 套餐AB. 套餐BC. 套餐CD. 套餐D
【答案】A
解析】∵，
∴学生最喜欢的套餐种类是套餐A，
故选：A．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
解析：解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
6. 如图，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：如图，∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
7. “漏壶”是古代一种计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．在漏壶漏完水之前，漏壶内水的深度与对应的漏水时间满足的函数关系式（ ）
A. 正比例函数关系B. 一次函数关系
C. 反比例函数关系D. 二次函数关系
【答案】B
解析：解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，设x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，
∴y随x的增大而减小，符合一次函数关系．
故选B．
8. 一个不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，5，从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：解：根据题意画图如下：
共有16种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有10种，
则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是．
故选A．
9. 我国古代数学名作《九章算术》中记载了“圆材埋壁”问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其大意为：如图，现有圆柱状的木材埋在墙壁里，不知道其宽度的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它，当量得深度寸的时候，锯开的宽度尺（1尺寸），问木材的直径的长是（ ）
A. 寸B. 10寸C. 13寸D. 26寸
【答案】D
解析：解：连接，设寸．
∵是直径，，
∴寸，
在中，，
∴，
∴，
∴寸，
故选：D．
10. 学期即将结束，某班家委为班上获得“文明学生”和“劳动积极分子”称号的学生准备A、B两种礼物．A、B两种礼物的总价分别为元和元，且A种礼物比B种礼物多份，A、B两种礼物的单价分别是这一批礼物平均单价的倍和倍，这一批礼物平均单价是（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】A
解析：解：设这一批礼物平均单价是x元，则A礼物的单价是元，B礼物的单价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：这一批礼物平均单价是元．
故选：A．
11. 如图是树枝的一部分，一只蚂蚁M以的速度从树枝的A点处出发沿树枝方向向上爬行，另一只蚂蚁N从O点出发，以的速度沿树枝方向爬行，如果足够长，，且两只蚂蚁同时出发，用表示爬行的时间，当两只蚂蚁与点O恰好构成等腰三角形时，t的值是（ ）
A. B.
C. 或D. 或或
【答案】C
解析：解：当点M在O点下方时，
∵，
∴当时，
∴，
解得，
当点M在点A上方时，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴
解得，
∴或，
故选：C．
12. 如图，已知点．点P是反比例函数图象上一动点，已知点P到点的距离等于点P到直线距离的倍，轴交直线于点M，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：∵ ，，
∴，
∵，
∴，
∵轴交直线于点M，
∴，
∴等于点P到直线距离的倍，
∵点P到点的距离等于点P到直线距离的倍，
∴，
∴的最小值即为的最小值，
当F、P、N三点共线时，最小，
∴其最小值为，故B正确．
故选：B．
二、填空题（共18分．）
13. 计算：|﹣2|=___．
【答案】2
解析：∵﹣2＜0，
∴|﹣2|=2
故答案为：2
14. 若分式的值为0，则的值为______.
【答案】1
解析：解：∵分式的值为0，
∴x-1=0且x≠0，
∴x=1．
故答案为1．
15. 已知的结果为正整数，则正整数的最小值为___．
【答案】2
解析：解：，
∵n是正整数，也是一个正整数，
∴n的最小值为2．
故答案为：2．
16. 如图，，若，且，则的度数是 _____°．
【答案】75
解析：解：∵
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：．
17. 不等式组的解集是_____．
【答案】
解析：解：，
∵解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
故答案为：．
18. 如图，在矩形中，，，以A为圆心，长为半径画弧交于点E，以C为圆心，长为半径画弧交的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是_____．

【答案】##
解析：解：∵在矩形中，，，，
∴，，
∴图中阴影部分的面积为：
．
故答案为：．
三、解答题（共66分）
19. 计算：．
【答案】
解析：解：
，
，
，
．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
解析：原式=，
=，
=
=，
把代入上式得，
原式=．
21. 如图，为等边三角形，绕点A逆时针旋转得，且．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）60°
【小问1解析】
证明：∵绕点A逆时针旋转得，
∴，，
在和中，
，
∴；
【小问2解析】
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
22. 2020年南宁市开展创建全国文明城市活动，青秀区创城办招募了大量“卫生保洁”和“交通引导”志愿者（一人只参与一个项目），开展一段时间后，创城办决定派数位调查员分别调查这两个项目的开展情况．
（1）调查员小明被分配到调查“交通引导”项目的概率是 ；
（2）为掌握“交通引导”志愿志愿者早上7：20按时到位情况，小明对部分志愿者进行调查并整理，得到如下数据：
分析上表中的数据，估算“交通引导”志愿者早上7：20按时到位的概率为 （精确到0.01）；
②请估计4800名“交通引导”志愿者早上7：20能按时到位的人数．
【答案】（1）
（2）①0.94；②4512人
【小问1解析】
解：调查员小明被分配到调查“交通引导”项目的概率是，
故答案为：；
【小问2解析】
解：①由表中数据知，随着调查总人数的增加，按时到位的频率逐渐稳定于0.94，
所以估计“交通引导”志愿者早上7：20按时到位的概率为0.94，
故答案为：0.94；
②（人），
答：估计4800名“交通引导”志愿者早上7：20能按时到位的有4512人．
23. “改变生活，改变社会”，不一样的手机给人们带来了全新的体验，某营业厅现有A、B两种型号的手机出售，售出1部A型、2部B型手机共获利1000元，售出2部A型、1部B型手机共获利800元．
（1）求A、B两种型号的手机每部利润各是多少元？
（2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共20部，其中B型手机的数量不超过A型手机数量的，请设计一个购买方案，使营业厅销售完这20部手机能获得最大利润，并求出这最大利润．
【答案】（1）A种型号手机每部利润是200元，B种型号手机每部利润是400元
（2）购进A种型号的手机12部，B种型号的手机8部时获得最大利润，最大利润是5600元
【小问1解析】
设A种型号手机每部利润是a元，B种型号手机每部利润是b元，由题意得：
，
解得．
答：A种型号手机每部利润是200元，B种型号手机每部利润是400元；
【小问2解析】
设购进A种型号的手机x部，则购进B种型号的手机(20﹣x)部，获得的利润为w元，
，
∵B型手机的数量不超过A型手机数量的，
∴，
解得，
∵，
∴w随x的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，此时，
．
答：营业厅购进A种型号的手机12部，B种型号的手机8部时获得最大利润，最大利润是5600元．
24. 如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，如图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB=120mm，支撑板长CD=80mm，底座长DE=90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB=40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．
（1）若∠DCB=80°，∠CDE=60°，求点A到直线DE的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的条件下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上．画出图形，并求CD旋转的角度；
（参考数据：sin40°≈0.643，cs40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cs26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，≈1.732．计算结果均精确到0.1）
【答案】（1）点A到直线DE的距离约为120.7mm
（2）画图见解析， CD旋转的角度约为33.4°
【小问1解析】
如图2，过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N．
在Rt△CDN中，
CN=FM=CD•sin∠CDE
=80×=40（mm），
∠DCN=90°﹣60°=30°．
又∵∠DCB=80°，
∴∠BCN=80°﹣30°=50°．
∵AM⊥DE，CN⊥DE，
∴AM∥CN．
∴∠A=∠BCN=50°．
∴∠ACF=90°﹣50°=40°．
在Rt△AFC中，AF=AC•sin40°=80×0．643≈51．44．
∴AM=AF+FM=51．44+40≈120．7（mm）．
答：点A到直线DE的距离约为120．7mm．
【小问2解析】
旋转后，如图3所示．
根据题意可知
∠DCB=80°+10°=90°．
在Rt△BCD中，CD=80，BC=40．
∴tan∠D==0．500．
∴∠D=26．6°．
因此旋转角度为：
60°﹣26．6°=33．4°．
答：CD旋转的角度约为33．4°．
25. 如图，抛物线经过，两点，且对称轴为直线．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若直线与抛物线交于点M，N，交x轴于点B，交y轴于点P，连接，且．
①求的面积；
②在平面内是否存在点一是E，使E，C，N，M四点能构成平行四边形，如果存在，请直接写出点E的坐标．
【答案】（1）
（2）①3；②E点坐标为或或
【小问1解析】
解：设抛物线的解析式为，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
将点，代入，
∴，
解得，
∴；
【小问2解析】
①与y轴的交点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
将B点代入，
∴，
∴，
∴，
联立方程组，
解得或，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②存在点E，使E，C，N，M四点能构成平行四边形，理由如下：
设，
当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴；
当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴E；
当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴E；
综上所述：E点坐标为或或．
26. 如图，已知为的直径，连接，，，过点O作于点E，点F是半径的中点，连接，．
（1）如图1，设的半径为2，若，求线段的长．
（2）如图2，设交于点P，延长交于点D，连接．
①求证：；
②若，求的度数．
【答案】（1）
（2）①见解析；②45°
【小问1解析】
∵，，， F是半径的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问2解析】
①证明：如图2中，过点F作于G，交OB于H，连接EH．
∵，，为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
②解：如图2，∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
解法二：可以过E点作交于点G，连接．
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（SAS），
∴，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
调查总人数
20
50
100
300
500
按时到位人数
18
46
94
283
472
按时到位频率
0.900
0.920
0.940
0.943
0.944