专题01 截长补短模型证明问题(基础训练)-中考数学重难点专项突破（全国通用）

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解析：如图，在EA上取点F,使EF=BE,连接CF,
∵CE⊥AB
∴CF=CB
∠CFB=∠B
∵∠AFC+∠CFB=180°，∠D+∠B=180°
∴∠D=∠AFC
∵AC平分∠BAD
即∠DAC=∠FAC
在△ACD和△ACF中
∠D=∠AFC
∠DAC=∠FAC
AC=AC
∴ACD≌△ACF（AAS）
∴AD=AF
∴AE=AF+EF=AD+BE
2、如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2，求证：AB=AC+CD
解析：在AB上取一点E,使AE=AC,
连接DE,
∵AE=AC,∠1=∠2，AD=AD
∴△ACD≌△AED
∴CD=DE,∠C=∠3
∵∠C=2∠B
∴∠3=2∠B=∠4+∠B
∴∠4=∠B，∴DE=BE,CD=BE
∵AB=AE+BE
∴AB=AC+CD
3、如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,∠B+∠E=180°，求证：AD平分∠CDE.
解析：
延长CB至点F,使BF=DE,连接BF=DE,连接AF,AC
∵∠1+∠2=180°，∠E+∠1=180°
∴∠2=∠E
∵AB=AE,∠2=∠E,BF=DE
∴△ABF≌△AED
∠F=∠4，AF=AD
∵BC+BF=CD
即FC=CD
又∵AC=AC
∴△ACF≌△ACD
∴∠F=∠3
∵∠F=∠4
∴∠3=∠4
∴AD平分∠CDE.
4、已知四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC如图2，点P,Q分别在线段AD,DC上，满足PQ=AP+CQ,求证：∠PBQ=90°-12∠ADC
解析：
如图2，延长DC，在上面找一点K，使得CK=AP，连接BK,
∵∠ABC+∠ADC=180°
∴∠BAD+∠BCD=180°
∵∠BCD+∠BCK=180°
∴∠BAD=∠BCK
在△BAP和△BKC中
AP=CK
∠BAP=∠BCK
AB=BC
∴△BPA≌△BKC（SAS）
∴∠ABP=∠CBK,BP=BK
∵PQ=AP+CQ
∴PQ=QK
∵在△BPQ和△BKQ中
BP=BK
BQ=BQ
PQ=KQ
∴△BPQ≌△BKQ(SSS)
∴∠PBQ=∠KBQ
∴∠PBQ=12∠ABC
∵∠ABC+∠ADC=180°
∴∠ABC=180°-∠ADC
∴12∠ABC=90°-12∠ADC
∴∠PBQ=90°-12∠ADC
5、如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；
（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．
（3）求证：PA+PB=PC．
【答案】（1）△ABC是等边三角形，证明见解析；（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，理由见解析；（3）证明见解析．
【分析】
（1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，则可得∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；
（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，通过证明△OAP和△OBP均为等边三角形，得到OA=AP=OB=BP即可得证；
（3）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD即可得证结论．
【详解】
（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，
如图1，连接OP．
∵∠AOB=2∠ACB=120°，P是的中点，
∴∠AOP=∠BOP=60°
又∵OA=OP=OB，
∴△OAP和△OBP均为等边三角形，
∴OA=AP=OB=PB，
∴四边形PBOA是菱形；
（3）如图2，在PC上截取PD=AP，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB．
在△APB和△ADC中，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP．
【点睛】
本题考查圆内接多边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理是解题关键．
6、如图所示，AB∥CD,BE,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线，点E在AD上，求证：BC=AB+CD.
解析：
在BC上取点F，使BF=AB
∵BE,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线
∴∠ABE=∠FBE,∠BCE=∠DCE
∵AB∥CD
∴∠A+∠D=180°
在△ABE和△FBE中
AB=FB
∠ABE=∠FBE
BE=BE
∴△ABE≌△FBE（SAS）
∴∠A=∠BFE
∴∠BFE+∠D=180°
∵∠BFE+∠EFC=180°
∴∠EFC=∠D
在△EFC和△EDC中，
∠EFC=∠D
∠BCE=∠DCE
CE=CE
∴△EFC≌△EDC（AAS）
∴CF=CD
∵BC=BF+CF
∴BC=AB+CD
7、四边形ABCD中，BD＞AB,AD=DC,DE⊥BC,BD平分∠ABC
证明：∠BAD+∠BCD=180°
DE=3,BE=6,求四边形ABCD的面积.
【解析】（1）过点D作BA的垂线，得△DMA≌DEC（HL）
∵∠ABC+∠MDE=180°，∠ADC=∠MDE
∴∠ABC+∠ADC=180°
∴∠BAD+∠BCD=180°
（2）S四边形ABCD=2S△BED=18
8、已知：在△ABC中，AB=CD-BD,求证：∠B=2∠C.
【解析】在CD上取一点M使得DM=DB
则CD-BD=CM=AB
∴∠AMD=∠B=2∠C
9、如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，且BD,CE交于点F，点G是线段CD上一点，连接AF，GF，若AF=GF,BD=CD.
求∠CAF的度数
判断线段FG与BC的位置关系，并说明理由.
【解析】
（1）延长AF与BC交于点M，可知AF⊥BC
∵BD=DC，BD⊥DC∴∠FBC=45°
∵AF=FG，FD⊥AG∴∠AFD=GFD=45°
∴AF⊥GF
∴∠CAF=45°
（2）由（1）可证FG∥BC