专题02 倍长中线模型构造全等三角形-中考数学重难点专项突破（全国通用）

这是一份专题02 倍长中线模型构造全等三角形-中考数学重难点专项突破（全国通用），共7页。

倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【知识总结】
题干中出现三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.
主要思路：倍长中线（线段）造全等
在△ABC中 AD是BC边中线

延长AD到E， 使DE=AD，连接BE

作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE

延长MD到N， 使DN=MD，连接CD
如图，已知在△ABC中，D为AC中点，连接BD.若AB=10cm,BC=6cm,求中线BD的取值范围。
解：如图，延长BD至E,使BD=DE,连接CE,
∵D为AC中点
∴AD=DC,
在△ABD和△CED中，
BD=DE,
∠ADB=∠CDE
AD=CD
∴△ABD≌△CED（SAS）
∴EC=AB=10
在△BCE中，CE-BC＜BE＜CE+BC
10-6＜BE＜10+6
∴4＜2BD＜16
∴2＜BD＜8
2、如图1，已知中，是边上的中线．
求证：．
证明：如图2，延长至，使，
∵是边上的中线∴
在和中
∴∴
在中，
∴．
3、如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF．
【答案】详见解析
【分析】
延长AD到M，使DM=AD，连接BM，根据SAS推出△BDM≌△CDA，根据全等三角形的性质得出BM=AC，∠CAD=∠M，根据BF=AC可得BF=BM，推出∠BFM=∠M，求出∠AFE=∠EAF即可．
【详解】
如图，延长至点，使得，并连结，
∵是三角形的中线，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，即．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形．
4、如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F，求证：BE+CF＞EF.
解析：
延长ED到H,使DE=DH,连接CH,FH,
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC
∵DE、DF分别为∠ADB和∠ADC的平分线
∴∠1=∠4=12∠ADB,∠3=∠5=12∠ADC
又∵∠1=∠2，∴∠4=∠2
∴∠4+∠5=∠2+∠3=90°
∴△EFD≌△HFD（AAS）
∴EF=FH
在△BDE和△CDH中，
DE=DH
∠1=∠2
BD=DC
∴△BDE≌△CDH（SAS）
∴BE=CH
在△CFH中，由三角形三边关系定理得：CF+CH＞FH
∵CH=BE,FH=EH
∴BE+CF＞EF.
5、在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为BC的中点，点E,F分别为AB，AC上的点，且ED⊥FD,以线段BE,EF,FC为边能否构成一个三角形？若能，请判断三角形的形状？
解析：
连接AD，作BG∥FC,与FD延长线交于G，连接EG,
∵BG平行FC，∴∠FCD=∠DBG,∠CFD=∠G
在△DFC和△BDG中，
∠DFC=∠G
∠FCD=∠DBG
BD=CD
∴△DFC≌△BDG(AAS)
∴FC=BG,DG=DF,∠DBG=∠ACB
又∵ED⊥FD,∴EF=EG
∵∠ABC+∠ACB=90°，∴∠ABG=∠ABC+∠DBG=∠ABC+∠ACB=90°
∴△EBG为直角三角形
∴BE.EF,FC为边能构成一个三角形，且为直角三角形.