专题03 一线三垂直模型构造全等三角形-中考数学重难点专项突破（全国通用）

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一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转900，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。
【知识总结】
过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。
过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）
常见的两种图形：

图1 图2
1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=3，设∠BCD=α，以D为旋转中心，将腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE.
当α=45°时，求△EAD的面积.
当α=30°时，求△EAD的面积
当0°＜α＜90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系，若有关，写出△EAD的面积S与α的关系式，若无关，请证明结论.
解析：
∵AD∥BC,DG⊥BC
∴∠GDF=90°
又∵∠EDC=90°
∴∠1=∠2
在△CGD和△EFD中
∠DGC=∠DFE
∠1=∠2
CD=DE
∴△DCG≌△DEF
∴EF=CG
∵AD∥BC,AB⊥BC,
AD=2，BC=3
∴BG=AD=2
∴CG=1，EF=1，△EAD的面积与α无关
2、如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE,正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG交于点P，求证：BC=2AP
解析：过点G作GM⊥AP于点M,过点E作EN⊥AP交AP的延长线于点N
∵四边形ACFG是正方形
∴AC=AG,∠CAG=90°
∴∠CAH+∠ACH=90°
∴∠ACH=∠GAM
在△ACH和△GAM中
∠AHC=∠GMA
∠ACH=∠GAM
AC=GA
∴△ACH≌△GAM
∴CH=AM,AH=GM
同理可证△ABH≌△EAN，△EPN≌△GPM∴NP=MP
∴BC=BH+CH=AN+AM=AP+PN+AP-PM=2AP
3、已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是多点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于点E.当直线AE处于如图1的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由.当直线AE处于如图2的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由.
解析：（1）∵BD⊥AE,CE⊥AE
∴∠BDA=∠AEC=90°
∴∠ABD+∠BAD=90°
∵∠BAC=90°
∴∠BAD+∠EAC=90°
∴∠ABD=∠EAC
在△ABD和△CAE中
∠ADB=∠CEA=90°
∠ABD=∠EAC
AB=CA
∴△ABD≌△CAE(AAS)
AD=CE,BD=AE
∵AE=AD+DE
∴BD=DE+CE
（2）在△ABD和△CAE中
∠ADB=∠CEA=90°
AB=CA
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴AD=CE,BD=AE
∵AE=DE-AD
∴BD=DE-CE.
4、如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点F是△ABC的高AD、BE的交点，已知CD=4，AF=2，则线段BC的长为（ ）
解析:
∵AD是△ABC的高
∴∠ADB=90°
∵∠ABC=45°
∴∠BAD=45°
∴∠ABC=∠BAD
∴AD=BD
∵∠CAD+∠AFE=90°，∠CAD+∠C=90°，∠AFE=∠BFD
∴∠AFE=∠C
在△BDF和△ADC中
∠CAD=∠FBD
AD=BD
∠BDF=∠ADC
∴△BDF≌△ADC（ASA）
∴DF=CD=4
∴AD=AF+DF=2+4=6=BD
∴BC=BD+CD=6+4=10
5、如图所示，直线α经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B,D作DE⊥α于点F，若DE=4，BF=3，则EF的长为（ ）
解析：
∵ABCD是正方形
∴AB=AD,∠ABC=∠BAD=90°
∵∠BAF+∠ABF=∠BAF+∠DAE
∴∠ABF=∠DAE
在△AFB和△AED中
∠ABF=∠DAE,∠AFB=∠AED,AB=AD
∴△AFB≌△AED
∴AF=DE=4，BF=AE=3
∴EF=AF+AE=4+3=7
6、如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC,EF=EC,DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（ ）
解析：
∵矩形ABCD中，EF⊥EC,
∴∠DEC+∠DCE=90°，∠DEC+∠AEF=90°
∴∠AEF=∠DCE,
又∵EF=EC
∴△AEF≌△DCE（AAS）
∴AE=CD
∵矩形的周长为16，即2CD+2AD=16，
∴CD+AD=8
∴AD-2+AD=8
AD=5
∴AE=AD-DE=5-2=3.
7、如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E，求证：CE=12BD.
解析：
延长CE、BA相交于点F.
∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°
∴∠EBF=∠ACF.
又∵AB=AC,∠BAC=∠CAF
∴△ABD≌△ACF（ASA）
∴BD=CF
在△BCE和△BFE中
∠EBF=∠CBE
BE=BE
∠CEB=∠FEB
∴△BCE≌△BFE(ASA)
∴CE=EF
∴CE=12CF=12BD