专题04 角平分线模型在三角形中的应用(提升训练)-中考数学重难点专项突破（全国通用）

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解：过点P分别向OA、OB作垂线，
S△PFG=PGPE，S△PMN=MNPH，FG =MN
PH=PE
点P在∠AOB的平分线上.
2、已知：在△ABC中，∠B的平分线和外角∠ACE的平分线相交于D，DG//BC，交AC于F，交AB于G，求证：GF =BGCF.

证明：BD平分∠ABC，∠1 =∠2，
DF//BC，∠2 =∠3，
∠1=∠3，BF=DF.
同理：DE=CE.
EF =DFDF,
EF =BFCE.
3、在四边形ABCD中，∠ABC是钝角，∠ABC+∠ADC =180°，对角线AC平分∠BAD.

（1）求证：BC =CD；
（2）若AB +AD =AC，求∠BCD的度数；
解:(1)如图，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于点M;作CN⊥AD，垂足为N，
AC平分∠DAB，CM＝CN
又∠ABC +∠ADC＝180°，∠MBC +∠ADC＝180°
∠NDC＝∠MBC，在△NDC与△MBC中
BC=DC
(2)如图，延长AB到B，使BB＝AD
AB+AD＝AC，∴AB＝AC
由(1)知∠ADC＝∠BBC;在△ADC与△BBC中
∴△ADC ≌△EBC，故AD＝EC
又AE＝AC，∴AE＝AC＝EC
故△ABC为等边三角形，∴∠CAB＝60°;
∴∠BAD＝120°，∠BCD＝360°-180°-120°＝60°
即∠BCD＝60°
4、如图，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC =a、AC =b、AB =c.
（1）求线段BG的长；[来源:学.科.网]
（2）求证：DG平分∠EDF.
解：（1）△BDG与四边形ACDG的周长相等，
∴BD+BG+DG＝AC+CD+DG+AG
D是BC的中点
∴BD＝CD
∴BG =AC +AG
BG +(AC +AG)=AB +AC,
∴BG =（AB +AC)=（b+c)
(2)证明:点D.F分别是BC、AB的中点
∴DF＝AC=b，BF=AB=c
又FG＝BGBF =（b+c)-c =b
∴DF=FG
∴∠FDG＝∠FGD
点D.E分别是BC、AC的中点，
∴DB∥AB，∴∠EDG＝∠FGD,∴∠FDG＝∠BDG,即DG平分∠EDF
5、如图，BAMN，垂足为A，BA =4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A不重合），∠BPC =∠BPA，BCBP，过点C作CDMN，垂足为D，设AP =x.CD的长度是否随着x的变化而变化？若变化，请用含x的代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度.
解：CD的长度不变
理由如下:
如图，延长CB和PA，记交点为点Q
∠BPC ＝∠BPA，BC⊥BP
∴QB＝BC(等腰三角形“三合一＂的性质)
BA⊥MN，CD⊥MM
∴AB∥CD，
∴△QAB ∽△△QDC
AB/CD=QB/QC=1/2
∴CD＝2AB＝2×4＝8
即CD＝8;
6、已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为0（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）.
（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OPA =90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值.
解：(1)存在.
O(0，0)、A(5，0)、B(m，2)、C(m-5，2).
∴OA＝BC＝5，BC∥OA，
以OA为直径作D，与直线BC分別交于点E.F
则∠OEA＝∠OFA＝90°，如图1
作DG⊥EF于G，连DB，则DB＝OD＝2.5，DG＝2，EG=GF
∴DE==1.5
∴E(1,2),F(4,2),
∴当，即1≤m≤9时，边BC上总存在这样的点P，使∠OPA＝90°;
(2)如图2，
BC＝OA＝5，BC∥OA
∴四边形OABC是平行四边形
∴OC∥AB，
∴∠AOC +∠OAB＝180°，
OQ平分∠AOC，AQ平分∠OAB，
∴∠AOQ＝0.5∠AOC，∠OAQ＝0.5∠OAB，
∴∠AOQ +∠OAQ＝90°
∴∠AQO＝90°，
以OA为直径作D，与直线BC分別交于点E.F，
则∠OEA＝∠OFA＝90°，
∴点Q只能是点E或点F，
当Q在F点时，OF、AF分别是∠AOC与OAB的平分线，BC∥OA
∴∠CFO＝∠FOA＝∠FOC，∠BFA＝∠FAO＝∠FAB，∴CF＝OC，BF＝AB
而OC＝AB，
∴CF＝BF，即F是BC的中点。
而F点为(4，2)，
此时m的值为6.5，
当在E点时，同理可求得此时m的值为3.5，
综上所述，m的值为3.5或6.5.
7、我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”。其中∠B=∠C。
（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）；
（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中∠B=∠C，E为边BC上一点，若AB//DE，AE/DC，求证：；
（3）在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E。若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论。（不必说明理由）
解：（1）如图，过点D作DE//BC交PB于点E，则四边形ABCD分割成一个等腰梯形BCDE和一个三角形ADE；
（2），；，；，；.在△ABE和△DEC中，，，，.
（3）作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，BH⊥CD于H，∠BFE＝∠CHE＝90°
AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，EF=EG=EH，
在Rt△EFB和Rt△EHC中，BE=CE，EF= EH，
Rt△EFB≌Rt△EHC(HL)∠3＝∠4.
BE=CE，∠1=∠2.
∠1+∠3＝∠2+∠4，
即∠ABC＝∠DCB，
四边形ABCD为AD截某三角形所得，且AD不平行BC，
四边形ABCD是“准等腰梯形”。
当点E不在四边形ABCD的内部时，有两种情况：
如图，当点E在BC边上时，
同理可以证明△EFB≌△EHC，∠B＝∠C，四边形ABCD是“准等腰梯形”
当点B在四边形ABCD的外部时，四边形ABCD不一定是“准等腰梯形”。
分两种情况：
情况一：当∠BED的角平分线与线段BC的垂直平分线重合时，四边形ABCD为“准等腰梯形”；
情况二：当∠BED的角平分线与线段BC的垂直平分线相交时，四边形ABCD不是“准等腰梯形.