专题18 动点在几何图形面积中的分类讨论(基础训练)-中考数学重难点专项突破（全国通用）

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(2)当t＝5 s时，求S的值；
(3)当5 s【思路生成】对于(1)，首先确定重叠部分是三角形，再根据相似三角形的判定和性质求出高，进而得出面积；
对于(2)，确定重叠部分的面积是四边形，再根据△EFG的面积－△CHG的面积计算即可；
对于(3)，先确定重叠部分是五边形，然后根据相似三角形的判定和性质表示出对应边，再根据面积关系，列出关于S，t的关系式，最后根据二次函数的性质讨论极值即可．
答图①
解：(1)如答图①，过点E作EM⊥l于点M，EF交CD于点H，
∵EF＝EG＝5 cm，FG＝8 cm，
∴FM＝MG＝4 cm，
在Rt△EFM中，EM＝3 cm.
当t＝3 s时，CF＝3 cm，
∵∠FCH＝∠FME，∠HFC＝∠EFM，∴△FCH∽△FME，∴eq \f(CF,FM)＝eq \f(CH,EM)，
∵CF＝3 cm，FM＝4 cm，EM＝3 cm，∴CH＝eq \f(9,4) cm.
则S＝eq \f(1,2)CF·CH＝eq \f(27,8)(cm2)；
答图②
(2)如答图②，当t＝5 s时，点F与点B重合，△CHG的面积＝eq \f(27,8)cm2，S＝eq \f(1,2)FG·EM－S△CHG＝12－eq \f(27,8)＝eq \f(69,8)(cm2)；
答图③
(3)当5 sBF＝(t－5)cm，CG＝(8－t)cm，
∵∠FBH＝∠FME，∠HFB＝∠EFM，
∴△FBH∽△FME，∴eq \f(BF,FM)＝eq \f(BH,EM)，
∵BF＝(t－5)cm，FM＝4 cm，EM＝3 cm，则BH＝eq \f(3,4)(t－5)．
∴S△BFH＝eq \f(1,2)BF·BH＝eq \f(1,2)(t－5)×eq \f(3,4)(t－5)＝eq \f(3,8)(t－5)2＝eq \f(3,8)t2－eq \f(15,4)t＋eq \f(75,8)，
同理CP＝eq \f(3,4)(8－t)，
∴S△CGP＝eq \f(1,2)CG·CP＝eq \f(1,2)(8－t)×eq \f(3,4)(8－t)＝eq \f(3,8)(8－t)2＝eq \f(3,8)t2－6t＋24，
∴S＝S△EFG－S△BFH－S△CGP＝12－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)t2－\f(15,4)t＋\f(75,8)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)t2－6t＋24))
＝－eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(13,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(165,16).
∵－eq \f(3,4)<0，∴函数图象有最高点，
当t＝eq \f(13,2)时，S的最大值为eq \f(165,16).
2、如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，6)，点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．
(1)当t＝2时，线段PQ的中点坐标为__eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，2))__；
(2)当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；
(3)当t＝1时，抛物线y＝x2＋bx＋c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD＝eq \f(1,2)∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)∵点A的坐标为(3，0)，∴OA＝3，
当t＝2时，OP＝t＝2，AQ＝2t＝4，
∴P(2，0)，Q(3，4)，
∴线段PQ的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2＋3,2)，\f(0＋4,2)))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，2))；
(2)∵当点P与点A重合时运动停止，且△PAQ可以构成三角形，
∴0∵四边形OABC是矩形，∴∠B＝∠PAQ＝90°，
∴当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况：
①当△PAQ∽△QBC时，eq \f(PA,AQ)＝eq \f(QB,BC)，
∴eq \f(3－t,2t)＝eq \f(6－2t,3)，即4t2－15t＋9＝0，
解得t1＝3(舍去)，t2＝eq \f(3,4)；
②当△PAQ∽△CBQ时，eq \f(PA,AQ)＝eq \f(BC,BQ)，
∴eq \f(3－t,2t)＝eq \f(3,6－2t)，即t2－9t＋9＝0，
解得t1＝eq \f(9＋3\r(5),2)(舍去)，t2＝eq \f(9－3\r(5),2)，
综上所述，当△CBQ与△PAQ相似时，t的值是eq \f(3,4)或eq \f(9－3\r(5),2)；
(3)存在．
当t＝1时，P(1，0)，Q(3，2)，
把P(1，0)，Q(3，2)代入抛物线y＝x2＋bx＋c中得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋b＋c＝0，,9＋3b＋c＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－3，,c＝2，))
∴抛物线的表达式为y＝x2－3x＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,4)，
∴顶点Keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(1,4)))，∴M(0，2)．
∵Q(3，2)，M(0，2)，∴MQ∥x轴，
如答图①，作抛物线对称轴交MQ于E，DQ交y轴于H，
答图①
∴KM＝KQ，KE⊥MQ，
∴∠MKE＝∠QKE＝eq \f(1,2)∠MKQ，
∠MQD＝eq \f(1,2)∠MKQ＝∠QKE，
∵∠HMQ＝∠QEK＝90°，∴△KEQ∽△QMH，∴eq \f(KE,EQ)＝eq \f(MQ,MH)，
∴eq \f(2＋\f(1,4),\f(3,2))＝eq \f(3,MH)，∴MH＝2，∴H(0，4)，
易得HQ的表达式为y＝－eq \f(2,3)x＋4，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－\f(2,3)x＋4，,y＝x2－3x＋2，))x2－3x＋2＝－eq \f(2,3)x＋4，
解得x1＝3(舍)，x2＝－eq \f(2,3)，∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(40,9)))；
同理，在M的下方，y轴上存在点H，使∠HQM＝eq \f(1,2)∠MKQ，如答图②，
答图②
由对称性得H(0，0)，易得OQ的表达式y＝eq \f(2,3)x，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(2,3)x，,y＝x2－3x＋2，))解得x1＝3(舍)，x2＝eq \f(2,3)，
∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(4,9)))；
综上所述，点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(40,9)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(4,9))).
3、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）与x轴交于A(－2, 0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时，求运动多少秒时△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求点K的坐标．
图1
思路点拨
1．△PBQ的面积可以表示为t的二次函数，求二次函数的最小值．
2．△PBQ与△PBC是同高三角形，△PBC与△CBK是同底三角形，把△CBK与△PBQ的比转化为△CBK与△PBC的比．
满分解答
（1）因为抛物线与x轴交于A(－2, 0)、B(4, 0)两点，所以y＝a(x＋2)(x－4)．
所以－8a＝－3．解得．
所以抛物线的解析式为．
（2）如图2，过点Q作QH⊥x轴，垂足为H．
在Rt△BCO中，OB＝4，OC＝3，所以BC＝5，sinB＝．
在Rt△BQH中，BQ＝t，所以QH＝BQsinB＝t．
所以S△PBQ＝．
因为0≤t≤2，所以当t＝1时，△PBQ的面积最大，最大面积是。
（3）当△PBQ的面积最大时，t＝1，此时P是AB的中点，P(1, 0)，BQ＝1。
如图3，因为△PBC与△PBQ是同高三角形，S△PBC∶S△PBQ＝BC∶BQ＝5∶1。
当S△CBK∶S△PBQ＝5∶2时，S△PBC∶S△CBK＝2∶1。
因为△PBC与△CBK是同底三角形，所以对应高的比为2∶1。
如图4，过x轴上的点D画CB的平行线交抛物线于K，那么PB∶DB＝2∶1。
因为点K在BC的下方，所以点D在点B的右侧，点D的坐标为．
过点K作KE⊥x轴于E．设点K的坐标为．
由，得．整理，得x2－4x＋3＝0．
解得x＝1，或x＝3．所以点K的坐标为或．
图2 图3 图4
4、如图1，已知抛物线（b、c是常数，且c＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1,0)．
（1）b＝______，点B的横坐标为_______（上述结果均用含c的代数式表示）；
（2）连结BC，过点A作直线AE//BC，与抛物线交于点E．点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC．设△PBC的面积为S．
①求S的取值范围；
②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有_____个．
图1
思路点拨
1．用c表示b以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB＝2OC．
2．当C、D、E三点共线时，△EHA∽△COB，△EHD∽△COD．
3．求△PBC面积的取值范围，要分两种情况计算，P在BC上方或下方．
4．求得了S的取值范围，然后罗列P从A经过C运动到B的过程中，面积的正整数值，再数一数个数．注意排除点A、C、B三个时刻的值．
满分解答
（1）b＝，点B的横坐标为－2c．
（2）由，设E．
过点E作EH⊥x轴于H．
由于OB＝2OC，当AE//BC时，AH＝2EH．
所以．因此．所以．
当C、D、E三点在同一直线上时，．所以．
整理，得2c2＋3c－2＝0．解得c＝－2或（舍去）．
所以抛物线的解析式为．
（3）①当P在BC下方时，过点P作x轴的垂线交BC于F．
直线BC的解析式为．
设，那么，．
所以S△PBC＝S△PBF＋S△PCF＝．
因此当P在BC下方时，△PBC的最大值为4．
当P在BC上方时，因为S△ABC＝5，所以S△PBC＜5．
综上所述，0＜S＜5．
②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有11个．
5、如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．
（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；
（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．
图1
思路点拨
1．四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，可以转化为四边形PB′OB的面积是
△A′B′O面积的3倍．
2．联结PO，四边形PB′OB可以分割为两个三角形．
3．过点向x轴作垂线，四边形PB′OB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形．
满分解答
（1）△AOB绕着原点O逆时针旋转90°，点A′、B′的坐标分别为(－1, 0) 、(0, 2)．
因为抛物线与x轴交于A′(－1, 0)、B(2, 0)，设解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，
代入B′(0, 2)，得a＝1．
所以该抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－2) ＝－x2＋x＋2．
（2）S△A′B′O＝1．
如果S四边形PB′A′B＝4 S△A′B′O＝4，那么S四边形PB′OB＝3 S△A′B′O＝3．
如图2，作PD⊥OB，垂足为D．
设点P的坐标为 (x，－x2＋x＋2)．
．
．
所以．
解方程－x2＋2x＋2＝3，得x1＝x2＝1．
所以点P的坐标为(1，2)．
图2 图3 图4
（3）如图3，四边形PB′A′B是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线．
6．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B坐标(－3，0)，点C在y轴正半轴上，且eq \f(OC,BC)＝eq \f(4,5).点P从原点O出发，以每秒一个单位长度的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t(0≤t≤5)秒，过点P作平行于y轴的直线l，直线l扫过四边形OCDA的面积为S.
(1)求点D坐标；
(2)求S关于t的函数关系式；
(3)在直线l移动过程中，l上是否存在一点Q，使以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵点B坐标(－3，0)，∴OB＝3，
∵eq \f(OC,BC)＝eq \f(4,5)，∴OC＝4，BC＝5，C(0，4)，
∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝BC＝BA＝5，CD∥BA，∴D(5，4)；
(2)依题意知OP＝t，由(1)知OC＝4，OA＝BA－OB＝2.
①当0≤t≤2时，如答图①，S＝OP·OC＝4t；
②当2∵BC∥AD，∴∠CBO＝∠SAP，∴△CBO∽△SAP，
∴eq \f(SP,CO)＝eq \f(AP,BO)，∴eq \f(SP,4)＝eq \f(t－2,3)，∴SP＝eq \f(4,3)t－eq \f(8,3)，
∴S△APS＝eq \f(1,2)AP·SP＝eq \f(1,2)×(t－2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)t－\f(8,3)))＝eq \f(2,3)t2－eq \f(8,3)t＋eq \f(8,3)，
∴SOASRC＝S矩形OPRC－S△APS＝4t－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)t2－\f(8,3)t＋\f(8,3)))＝－eq \f(2,3)t2＋eq \f(20,3)t－eq \f(8,3).[来源:学_科_网]
综上，S关于t的函数关系式为S＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4t（0≤t≤2），,－\f(2,3)t2＋\f(20,3)t－\f(8,3)（2答图① 答图②
(3)点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))或(1，－3)或(4，1)．
①如答图③，当BQ＝CQ时，延长PQ交CD于点M，
∵∠BQC＝90°，∴∠BQP＋∠CQM＝90°，
∵∠CQM＋∠QCM＝90°，∴∠BQP＝∠QCM，
∴△BQP≌△QCM，∴CM＝QP，QM＝BP，
又∵CM＝OP，
∴OP＝QP＝t，∴QM＝PM－QP＝4－t，BP＝BO＋OP＝3＋t，
∴4－t＝3＋t，∴t＝eq \f(1,2)，∴Q1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2))).
②如答图④，当BQ＝BC时，
∵∠CBQ＝90°，∴∠CBO＋∠PBQ＝90°，
∵∠PBQ＋∠BQP＝90°，∴∠CBO＝∠BQP，
∴△CBO≌△BQP，∴BP＝CO＝4，PQ＝OB＝3，
∴OP＝BP－OB＝1，∴Q2(1，－3)．
③如答图⑤，当CB＝CQ时，
∵∠BCQ＝90°，∴∠BCO＋∠OCQ＝90°，
∵∠OCQ＋∠QCM＝90°，∴∠BCO＝∠QCM，
∴△BCO≌△QCM，∴CM＝CO＝4，MQ＝OB＝3，
∴PQ＝MP－MQ＝1，∴Q3(4，1)．
综上，点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))或(1，－3)或(4，1)．

答图③ 答图④ 答图⑤