专题49 三角形中的对称综合问题-中考数学重难点专项突破（全国通用）

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（1）画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；
（2）直接写出AA1的长度；
（3）如图2，A、C是直线MN同侧固定的点，D是直线MN上的一个动点，在直线MN上画出点D，使AD+DC最小．（保留作图痕迹）
解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）AA1的长度为：2×5＝10；
（3）如图所示：点D即为所求，此时AD+DC最小．
2、如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，3），C（﹣5，2）
（Ⅰ）请在平面直角坐标系内画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，并写出△ABC上任意一点D（x，y）关于y轴对称的点D1的坐标．
（Ⅱ）请在平面直角坐标系内画出△ABC关于关于直线m（直线m上各点的纵坐标都为﹣1）对称的△A2B2C2，其中，点A，B，C的对应点分别为A2，B2，C2．
解：（Ⅰ）如图所示，△A1B1C1即为所求，
任意一点D（x，y）关于y轴对称的点D1的坐标为（﹣x，y）；
（Ⅱ）如图所示，△A2B2C2即为所求．
3、发现（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，请你判断∠1+∠2与∠A有何数量关系，直接写出你的结论，不必说明理由
思考（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BIC的度数；
拓展（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．
解：（1）∠1+∠2＝2∠A；
理由：根据翻折的性质，∠ADE＝（180°﹣∠1），∠AED＝（180°﹣∠2），
∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，
∴∠A+（180﹣∠1）+（180﹣∠2）＝180°，
整理得2∠A＝∠1+∠2；
（2）由（1）∠1+∠2＝2∠A，得2∠A＝100°，
∴∠A＝50°
∵IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，
∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+×50°＝115°；
（3）∵BF⊥AC，CG⊥AB，
∴∠AFH+∠AGH＝90°+90°＝180°，
∠FHG+∠A＝180°，
∴∠BHC＝∠FHG＝180°﹣∠A，
由（1）知∠1+∠2＝2∠A，
∴∠A＝（∠1+∠2），
∴∠BHC＝180°﹣（∠1+∠2）．
4、动手操作，探究填空：
请准备一个锐角三角形的纸片，三个顶点分别标上字母A、B、C，并标出AB边的中点D及AC边的中点E．
（1）把△ABC沿DE对折，观察点A是否落在边BC上？
答：点A （填“在”或“不在”）边BC上；
（2）在（1）的基础上将△ACE对折，使线段CE与EA重合，此时点A是否与点C重合折出的图形中有几个直角？
答：点A与点C （填“重合”或“不重合”）；图形中有 个直角；
（3）在（1）（2）的基础上将△ADB对折，使线段DB与DA重合，观察折得的图形，说出新图形的名称是 形；
（4）经过以上折叠，原△ABC的三个内角是否合并到一起了？这又说明何道理？
答：原△ABC的三个内角 合并到一起；（填“已经”或“没有”）
说明的道理是： ．
解：（1）在；
（2）重合，2；
（3）长方形；
（4）已经，说明的道理是三角形内角和为180°．
5、小明剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：
操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．
（1）如果AC＝6cm，BC＝8cm，则△ACD的周长为 cm；
（2）如果∠B＝35°，则∠CAD＝ 度；
操作二：如图2，小明拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC＝9cm，BC＝12cm，请求出CD的长．
解：操作一：
（1）由折叠可得，DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴△ACD的周长为AD+CD+AC＝BD+CD+AC＝BC+AC＝8+6＝14（cm）
故答案为：14；
（2）由折叠可得，DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD＝35°，
又∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°﹣35°＝55°，
∴∠CAD＝55°﹣35°＝20°，
故答案为：20；
操作二：
设CD＝DE＝x，则BD＝12﹣x，
Rt△ABC中，AB＝＝15，
由折叠可得，AE＝AC＝9，
∴BE＝15﹣9＝6，
∵Rt△BDE中，DE2+BE2＝BD2，
∴x2+62＝（12﹣x）2，
解得x＝4.5，
∴CD＝4.5cm．
6、如图，△ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是△ABC边上的两点，
（1）探究图1：如果沿直线DE折叠，则∠BDA′与∠A的关系是 ；
（2）探究图2：如果折成图2的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由；
（3）探究图3：如果折成图3的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由；
（4）探究图4：若将四边形纸片ABCD折成图4的形状，直接写出∠DE A′、∠CF B′、∠A和∠B四个角之间的数量关系 ．
解：（1）∠BDA′＝2∠A，
理由：∵△ABC沿直线DE折叠，使A点落在CE上，图①，
∴∠A＝∠AA′D，
∴∠BDA′＝∠A+∠AA′D＝2∠A；
故答案为：∠BDA′＝2∠A；
（2）∠BDA′+∠CEA′＝2∠A，
理由：图②，连结AA′，
∵∠BDA′＝∠1+∠2，∠CEA＝∠3+∠4，
∴∠BDA′+∠CEA＝∠1+∠3+∠2+∠4＝∠A+∠A′，
而∠A＝∠AA′D，
∴∠BDA′+∠CEA′＝2∠A；
（3）∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A．
理由如下：图③，
由翻折可得：∠A′＝∠A，∠DEA′＝∠DEA，∠A′DE＝∠ADE，
由内角和性质得：（∠A′+∠A）+（∠DEA′+∠DEA）+（∠A′DE+∠ADE）＝360°，
∴2∠A+（180°+∠CEA′）+（180°﹣∠BDA′）＝360°
∴2∠A+∠CEA′﹣∠BDA′＝0，
∴∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A；
（4）由折叠性质得∠A′EF＝∠AEF，∠B′FE＝∠BFE，
∴∠1+∠2＝180°﹣（∠A′EF+∠AEF）+180°﹣（∠B′FE+∠BFE）
＝180°﹣2∠AEF+180°﹣2∠BFE
＝360°﹣2（360°﹣∠A﹣∠B）
＝2（∠A+∠B）﹣360°．
故答案为∠1+∠2＝2（∠A+∠B）﹣360°．
7、如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在AB边上的点D处．
（1）当∠B＝28°时，求∠AEC的度数；
（2）当AC＝6，AB＝10时，
①求线段BC的长；
②求线段DE的长．
解：（1）∠ACB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠PAB+∠ABM＝270°，
∵AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，
∴∠BAC＝∠PAB，∠ABC＝∠ABM，
∴∠BAC+∠ABC＝（∠PAB+∠ABM）＝135°，
∴∠ACB＝45°；
（2）∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，
∴∠CAB＝∠BAQ，
∵AC平分∠PAB，
∴∠PAC＝∠CAB，
∴∠PAC＝∠CAB＝∠BAO＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝30°，
∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，
∴∠ABC＝∠ABN，
∵BC平分∠ABM，
∴∠ABC＝∠MBC，
∴∠MBC＝∠ABC＝∠ABN，
∴∠ABO＝60°，
故答案为：30°，60°；
（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO＝∠BAO，∠EOQ＝∠BOQ，
∴∠E＝∠EOQ﹣∠EAO＝（∠BOQ﹣∠BAO）＝∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAF＝90°．
在△AEF中，
∵有一个角是另一个角的倍，故有：
①∠EAF＝∠F，∠E＝30°，∠ABO＝60°；
②∠F＝∠E，∠E＝36°，∠ABO＝72°；
③∠EAF＝3/2∠E，∠F＝60°，∠ABO＝120°（舍去）；
④∠E＝3/2∠F，∠E＝54°，∠ABO＝108°（舍去）；
∴∠ABO为60°或72°．
8、如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AB边上一动点，点P是AD上的一个动点．
（1）若∠BAD＝37°，求∠ACB的度数；
（2）若BC＝6，AD＝4，AB＝5，且CE⊥AB时，求CE的长；
（3）在（2）的条件下，请直接写出BP+EP的最小值．
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵AD是BC边上的中线，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝37°，
∴∠ABC＝53°，
∴∠ACB＝53°．
（2）∵CE⊥AB，
∴•BC•AD＝•AB•CE，
∵BC＝6，AD＝4，AB＝5，
∴CE＝．
（3）连接PC．
∵AD垂直平分线段BC，
∴PB＝PC．
∴PB+PE＝PE+PC≥CE，
∴PE+PB的最小值为．
9、如图1，在△ABC中，AB＝BC＝10，高AH＝8．D是线段AC的动点，射线BD交AH于E点．
（1）若D恰好是AC的中点．
①求证：AC＝BD；②求线段AE的长；
（2）如图2，作AM⊥BD于M，CN⊥BD于N，求AM+CN的最大值和最小值．
解：（1）①∵在△ABC中，AB＝BC＝10，高AH＝8．
∴Rt△ABH中，BH＝＝6，
∴CH＝4，
∴Rt△ACH中，AC＝＝4，
∵AB＝BC，D是AC的中点，
∴BD⊥AC，
∴Rt△BCD中，BD＝＝4，
∴AC＝BD；
②如图，过E作EF⊥AB于F，则易得△BEF≌△BHF，
∴BF＝BH＝6，设EF＝EH＝x，
在Rt△AEF中，42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴AE＝8﹣3＝5；
（2）∵S△ABD+S△CBD＝S△ABC，
∴BD•AM+BD•CN＝×10×8，
∴AM+CN＝，
根据垂线段最短，可得BD的最小值为4，
∴AM+CN的最大值为4，
∵BD的最大值为10，
∴AM+CN的最小值为8．
10、如图，在△ABC中，点P是BC边上的动点，点M是AP的中点，PD⊥AB，垂足为D，PE⊥AC，垂足为E，连接MD，ME．
（Ⅰ）求证：∠DME＝2∠BAC；
（Ⅱ）若∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝，连接DE，求△MDE周长的最小值．
解：（Ⅰ）解法一：∵PD⊥AB，PE⊥AC，M为AP中点，
∴DM＝EM＝AP＝AM，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠5＝∠1+∠2＝2∠1，∠6＝∠3+∠4＝2∠3，
∴∠DME＝∠5+∠6＝2∠1+2∠3＝2∠BAC；
解法二：∵PD⊥AB，PE⊥AC，M为AP中点，
∴DM＝EM＝AP＝AM＝PM，
∴点A，D，P，E在以M为圆心，MA为半径的圆上，
∴∠DME＝2∠BAC；
（Ⅱ）过点M作MN⊥DE于N，
由（Ⅰ）知DM＝EM，
∴∠DMN＝∠EMN＝∠DME，DN＝EN，
∵∠B＝45°，∠C＝75°，
∴∠BAC＝60°．
由（Ⅰ）知，∠DME＝2∠BAC＝120°．
∴∠DMN＝60°，
∴DN＝DM•sin∠DMN＝DM，
∴DE＝2DN＝DM，
△MDE周长＝DM+ME+DE
＝DM+DM+DM
＝（2+）DM
＝（2+）×AP，
∴当AP最短时，△MDE周长最小．
此时AP⊥BC；
当AP⊥BC时，
∵∠B＝45°，∴AP＝AB＝＝6．
∴△MDE周长最小值为（2+）××6＝6+3．
11、如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠B＝60°，将平行四边形ABCD沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D′处，折叠后点C的对应点为C′，D′C′交BC于点G，∠BGD′＝32°．
（1）求∠D′EF的度数；
（2）求线段AE的长．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B＝∠D＝60°，AD∥BC
∴∠DEF＝∠EFB
∵将平行四边形ABCD沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D′处
∴∠D＝∠ED'G＝60°，∠DEF＝∠D'EF，
∴∠D'EF＝∠EFB，
∵∠BGD′＝32°
∴∠D'GF＝148°
∵∠D'GF+∠EFB+∠D'EF+∠ED'G＝360°
∴∠D'EF＝76°
（2）过点E作EH⊥AB于点H，
设AE＝x，
∵AD∥BC
∴∠HAD＝∠B＝60°，且EH⊥AB
∴AH＝，HE＝x，
∵点D'是AB中点
∴AD'＝AB＝2
∵HE2+D'H2＝D'E2，
∴x2+（2+）2＝（8﹣x）2，
∴x＝
∴AE＝
12、如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A，点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP，BH．
（1）求证：BP平分∠APH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．
证明：（1）在正方形ABCD中，∵AD∥BC
∴∠APB＝∠PBC
∵四边形EPGF由四边形EBCF折叠而成
∴∠EPH＝∠EBC，EB＝EP
∴∠EBP＝∠EPB，
∴∠EPH﹣∠EPB＝∠EBC﹣∠EBP
∴∠BPH＝∠PBC
∴∠APB＝∠BPH
∴BP平分∠APH
（2）当点P在AD上移动时，△PDH的周长不发生变化．
证明：如图，作BQ⊥PH，垂足为Q，
∵在△BPA和△BPQ中
∴△BPA≌△BPQ（AAS）
∴AP＝PQ，AB＝BQ
∵AB＝BC
∴BQ＝BC
在Rt△BQH与Rt△BCH中
∴Rt△BQH≌Rt△BCH（HL）
∴QH＝HC
∵△PDH的周长为PD+PH+DH
∴PD+PH+DH＝PD+PQ+QH+DH
＝AP+PD+DH+HC
＝AD+DC
＝8
∴△PDH的周长固定不变，等于8．
13、已知正方形ABCD中，AB＝6，点E在AB上，且BE＝2AE，将△ADE沿DE对折至△DEF，延长EF交BC于H，连接DH，BF．
（1）求证：CH＝FH；
（2）求BH的长；
（3）求△FBH的面积．
证明：（1）∵将△ADE沿DE对折至△DEF，
∴AD＝DF，∠DAE＝∠EFD＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD，∠DCB＝90°
∴DF＝DC，且DH＝DH，
∴Rt△DCH≌Rt△DFH（HL）
∴CH＝FH；
（2）∵AB＝6，BE＝2AE，
∴AE＝2，BE＝4，
∵EH2＝BE2+BH2，
∴（CH+2）2＝16+（6﹣CH）2，
∴CH＝3，
∴BH＝3；
（3）∵S△BEH＝BE×BH＝6，且EF＝2，FH＝3，
∴△FBH的面积＝×3＝．
14、勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c，显然∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．
（1）请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再通过探究这三个图形面积之间的关系，证明：勾股定理a2+b2＝c2；
（2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝24千米，BC＝16千米，在AB上有一个供应站P，且PC＝PD，求出AP的距离；
（3）借助（2）的思考过程与几何模型，直接写出代数式的最小值为 ．
解：（1）梯形ABCD的面积＝＝＝
四边形AECD的面积＝S△AEC+S△ACD＝＝
△EBC的面积＝＝＝
∵梯形ABCD的面积＝四边形AECD的面积+△EBC的面积
∴＝+
∴a2+b2＝c2
（2）如图，当DP＝PC时
设AP＝a，BP＝40﹣a
∵DP2＝CP2
∴AP2+AD2＝BP2+CB2
∴a2+242＝（40﹣a）2+162
解得 a＝16
∴AP＝BC＝16千米
（3）如图，AB＝，BC＝
∴AB+BC的最小值即为H、B、C三点共线时
HC＝＝20
∴+的最小值为20
故答案为20
15、在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图①，若∠ADE＝60°，AB＝AC＝2，点D在线段BC上，
①∠BCE和∠BAC之间是有怎样的数量关系？不必说明理由；
②当四边形ADCE的周长取最小值时，直接写出BD的长；
（2）若∠BAC≠60°，当点D在射线BC上移动，如图②，则∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由．
解：（1）①∠BCE+∠BAC＝180°；
②如图1
∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝EC，
∵四边形ADCE的周长＝AD+DC+CE+AE＝AD+DC+BD+AE＝BC+2AD，
∴当AD最短时，四边形ADCE的周长最小，即AD⊥BC时，周长最小；
∵AB＝AC，
∴BD＝BC＝1；
（2）∠BCE+∠BAC＝180°；
理由如下：如图2，
AD与CE交于F点，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC，
∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠EAF＝∠ECD，
∵∠BAC＝∠FAE，∠BCE+∠ECD＝180°，
∴∠BCE+∠BAC＝180°；
16、在△ABC中，已知∠A＝80°，∠C＝30°，现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C′DE，对折叠后产生的夹角进行探究：
（1）如图（1）把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求∠1+∠2的和；
（2）如图（2）把△CDE沿DE折叠覆盖∠A，则求∠1+∠2的和；
（3）如图（3）把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系．
解：（1）∠1+∠2＝180°﹣2∠CDE+180°﹣2∠CED
＝360°﹣2（∠CDE+∠CED）
＝360°﹣2（180°﹣∠C）
＝2∠C
＝60°；
（2）连接DG，
∠1+∠2＝180°﹣∠C′﹣（∠ADG+∠AGD）
＝180°﹣30°﹣（180°﹣80°）
＝50°；
（3）∠2﹣∠1＝180°﹣2∠CED﹣（2∠CDE﹣180°）
＝360°﹣2（∠CDE+∠CED）
＝360°﹣2（180°﹣∠C）
＝2∠C
所以：∠2﹣∠1＝2∠C．
17、在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交BC于点F．
（1）如图，当AE⊥BC时，写出图中所有与∠B相等的角： ；所有与∠C相等的角： ．
（2）若∠C﹣∠B＝50°，∠BAD＝x°（0＜x≤45）．
①求∠B的度数；
②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，
∴∠CAF+∠BAF＝90°，∠B+∠BAF＝90°，
∴∠CAF＝∠B，
由翻折可知，∠B＝∠E，
∴∠B＝∠CAF＝∠E，
同理∠CAF+∠BAF＝90°，∠C+∠CAF＝90°，
∴∠C＝∠BAF，
∵∠CAF＝∠E，
∴AC∥DE，
∴∠C＝∠CDE，
∴∠C＝∠CDE＝∠BAF．
故答案为：∠E、∠CAF；∠CDE、∠BAF；
（2）①∵∠C﹣∠B＝50°，∠C+∠B＝90°，
∴∠C＝70°，∠B＝20°；
②∠BAD＝x°，则∠ADF＝（20+x）°，
∴∠ADB＝∠ADE＝（160﹣x）°，
∴∠FDE＝∠ADE﹣∠ADF＝（140﹣2x）°，
∵∠B＝∠E＝20°，
∴∠DFE＝180°﹣∠E﹣∠FDE＝（2x+20）°，
当∠EDF＝∠DFE时，140﹣2x＝2x+20，
解得，x＝30，
当∠DFE＝∠E＝20°时，2x+20＝20，
解得，x＝0，
∵0＜x≤45，
∴不合题意，故舍去，
当∠EDF＝∠E＝20°，140﹣2x＝20，
解得，x＝60，
∵0＜x≤45，
∴不合题意舍去．
综上可知，存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等，且x＝30．