陕西省西安市五校联考2023-2024学年高一上学期期末考试数学（Word版附解析）

这是一份陕西省西安市五校联考2023-2024学年高一上学期期末考试数学（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分.，考试结束后，将答题卡交回.等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.
4．考试结束后，将答题卡交回.
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题（12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
2. （多选）已知集合，则使的实数的取值范围可以是（ ）
A. B.
C. D.
3. 设全集集合，集合若，则应该满足的条件是
A. B. ≥C. D. ≤
4. 关于的不等式的解集为空集，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5. 若函数是上的减函数，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函数是奇函数，在上是减函数，且在区间上值域为，则在区间上（ ）
A. 有最大值4B. 有最小值-4C. 有最大值-3D. 有最小值-3
7. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
8. 化简：得（ ）
A. B.
C. D.
9. 定义在R上的函数满足，函数为偶函数，且当时，，则（ ）
A. 的图象关于点成中心对称B. 对任意整数，
C. 的值域为D. 的实数根个数为7
10. 函数的图像为（ ）
A. B.
C. D.
11. 若一些函数的解析式和值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，就是“同族函数”．下列四个函数中能用来构造“同族函数”的是（ ）
A. B.
C D.
12. 若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是（ ）
A. 和B. 1和C. 和D. 和
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知集合，，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a取值范围_______.
14. 已知函数（为常数），若时，恒成立，则的取值范围是______．
15. 若函数在区间上是增函数，则a的取值范围__________.
16. 已知函数在上的最大值与最小值的和为3，则函数的单调递减区间为 _____．
三、解答题（本大题共5小题，共70分）
17 已知集合，，全集．
（1）当时，求，；
（2）若是成立的充分不必要条件,求实数的取值范围．
18. 已知函数.
（1）判断函数在区间上的单调性；
（2）用定义证明（1）中结论；
（3）求该函数在区间上的最大值和最小值.
19. 若，且
（1）求的取值范围；
（2）求的最小值，以及此时对应的的值.
20. 已知函数.
（1）若，证明：；
（2）若是定义在上的奇函数，且当时，.
（ⅰ）求的解析式；
（ⅱ）求方程所有根.
21. 已知函数.
（1）求函数的最小值，并写出取得最小值时自变量的取值集合；
（2）若，求函数的单调减区间.高一数学期末检测卷
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.
4．考试结束后，将答题卡交回.
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题（12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式得到，根据范围大小关系得到答案.
【详解】，，故“”是“”的必要不充分条件.
故选：C
2. （多选）已知集合，则使的实数的取值范围可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】，分不为空集、为空集，分别求的范围可得答案.
【详解】，
①若不为空集，则，解得，
，且，
解得，此时；
②若为空集，则，解得，符合题意，
综上实数满足即可，
故选：ACD.
3. 设全集集合，集合若，则应该满足的条件是
A. B. ≥C. D. ≤
【答案】B
【解析】
【详解】由得：，由，得≥，故选B.
4. 关于的不等式的解集为空集，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由不等式的解集为空集，
当时，即时，不等式不成立，所以不等式的解集为空集；
当时，即时，要使得的解集为空集，
则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
故选：D.
5. 若函数是上的减函数，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数单调性，以及题中条件，逐项判断，即可得出结果.
【详解】因为函数是上的减函数，，
A选项，，当时，，所以；当时，，所以，即B不一定成立；
B选项，当时，，所以；当时，，所以，即B不一定成立；
C选项，时，，则，所以C不成立；
D选项，，则；所以，即D一定成立.
故选：D.
6. 已知函数是奇函数，在上是减函数，且在区间上的值域为，则在区间上（ ）
A. 有最大值4B. 有最小值-4C. 有最大值-3D. 有最小值-3
【答案】B
【解析】
【分析】根据奇函数的性质,分析在对称的区间上单调性相同,即可找出最大值与最小值.
【详解】∵是奇函数,在上是减函数,
∴在上也是减函数,即在区间上递减.
又∵在区间上的值域为,
∴
根据奇函数的性质可知且在区间上单调递减,
∴在区间上有最大值3,有最小值-4.
故选：B.
【点睛】本题考查了奇函数的单调性和值域特点,如果性质记不熟,可以将大致图像画出.本题属于中等题.
7. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】将函数化为，再进行判断.
【详解】，
它是由图象上所有的点向右平移个单位长度得到的，所以D正确.
故选：D.
8. 化简：得（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据诱导公式以及平方公式可化简为，再结合角是第二象限角，确定正负，即可得结果.
【详解】解：
又因为角时第二象限角，所以，所以.
故选：C.
9. 定义在R上的函数满足，函数为偶函数，且当时，，则（ ）
A. 的图象关于点成中心对称B. 对任意整数，
C. 的值域为D. 的实数根个数为7
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用函数的对称性、周期性以及时，，可作出的完整图象，数形结合求解.
【详解】由可得函数以4为周期，
又由函数为偶函数可得，
所以函数的一条对称轴为，
又由时，，所以作出函数图象如下，
所以由图可知，的图象不关于点成中心对称，A错误；
对任意整数，，B正确；
的值域为，C正确；
由可得，令，
作出如图，
注意到
，，
所以的图象和的图象共有7个交点，
即的实数根个数为7，D正确；
故选:BCD.
10. 函数的图像为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】以函数的定义域、奇偶性去排除错误选项即可.
【详解】函数的定义域为，可以排除选项B、C；
由，
可知函数为偶函数，其图像应关于y轴轴对称，可以排除选项D.
故选：A
11. 若一些函数的解析式和值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，就是“同族函数”．下列四个函数中能用来构造“同族函数”的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“同族函数”的定义可知“同族函数”不会为单调函数，由此判断各选项中函数的单调性，即可判断出答案.
【详解】对于A，函数，，与函数，，符合“同族函数”定义，A正确；
对于B，C，函数和在各自定义域上都是单调递增函数，
当自变量x取值不同时，函数值不同，因此无法用来构造“同族函数”，B，C错误；
对于D，在上均单调递减，当自变量x取值不同时，函数值不同，
因此无法用来构造“同族函数”，D错误，
故选：A
12. 若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是（ ）
A. 和B. 1和C. 和D. 和
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的两个零点是2和3，求得a，b，得到求解.
【详解】函数的两个零点是2和3，
，3是方程的两个根，
则，，
即，，
，
由，解得和，
故函数的零点是1和，
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数零点的求法，属于基础题.
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知集合，，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a的取值范围_______.
【答案】或且
【解析】
【分析】先考虑A，B为空集得出a的范围，再利用补集思想求得结果.
【详解】对于集合A，由，解得;
对于集合B，由，解得.
因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集,
所以a的取值范围是或，且
故答案为：或且
14. 已知函数（为常数），若时，恒成立，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】令，分离常数，由此求得的取值范围.
【详解】依题意时，恒成立，即，，，在时成立.而在区间上，为单调递增函数，当时有最小值为，故，所以.
故答案
【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解，考查指数函数和对数函数的性质，属于基础题.
15. 若函数在区间上是增函数，则a的取值范围__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用二次函数单调性列出不等式，求解不等式即得.
【详解】函数图象开口向上，对称轴为，
由函数在区间上单调递增，得，解得，
所以a的取值范围是
故答案为：
16. 已知函数在上的最大值与最小值的和为3，则函数的单调递减区间为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】由指数函数的单调性可得的最值，解方程可得，再由复合函数的单调性，结合对数函数和二次函数的单调性，可得所求减区间．
【详解】当时，在递增，可得，即；
当时，在递减，可得，即，舍去；
所以即，
设，则．
因为在递增，
所以要求函数的单调递减区间，
只需求的减区间．
而的减区间为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共5小题，共70分）
17. 已知集合，，全集．
（1）当时，求，；
（2）若是成立的充分不必要条件,求实数的取值范围．
【答案】（1）A∩B＝{x|1≤x≤4}，（∁UA）∩（∁UB）＝{x|x＜﹣2或x＞7}；（2）（﹣∞，﹣4）∪[﹣1，]
【解析】
【分析】（1）当时，得到，再计算，得到答案.
（2）将充分不必要条件转化为A⫋B，再讨论和两种情况，分别计算得到答案.
【详解】（1）当a＝2时，A＝{x|1≤x≤7}，则A∩B＝{x|1≤x≤4}；
∁UA＝{x|x＜1或x＞7}，∁UB＝{x|x＜﹣2或x＞4}，
（∁UA）∩（∁RB）＝{x|x＜﹣2或x＞7}；
（2）∵x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，∴A⫋B，
①若A＝∅，则a﹣1＞2a+3，解得a＜﹣4；
②若A≠∅，由A⫋B，得到，且a﹣1≥﹣2与2a+3≤4不同时取等号
解得：﹣1≤a，
综上所述：a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪[﹣1，]．
【点睛】本题考查了集合的运算，根据集合关系求参数，将充分不必要条件转化为A⫋B是解题的关键
18. 已知函数.
（1）判断函数在区间上的单调性；
（2）用定义证明（1）中结论；
（3）求该函数在区间上最大值和最小值.
【答案】（1）函数在单调递增
（2）见解析 （3）最大值为，最小值为
【解析】
【分析】（1）将化为，即可判单调性；
（2）取值，作差，变形，定号；
（3）根据（2）的结论得出答案.
【小问1详解】
，
因为在单调递减，所以在单调递增.
【小问2详解】
任取，设，
，
所以，故函数在单调递增.
【小问3详解】
由（2）得在区间上的最大值为，
在区间上的最小值为，
该函数在区间上的最大值为，最小值为.
19. 若，且
（1）求的取值范围；
（2）求的最小值，以及此时对应的的值.
【答案】（1）；
（2）时，取最小值为
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式可得出关于的不等式，即可得出的最小值；
（2）利用条件等式，得到，进而有，利用基本不等式可得答案.
【小问1详解】
，，，得，解得，明显可得，
的取值范围为
【小问2详解】
由得，，结合得
，
当且仅当时，等式成立，解得，，
即当时，取最小值为
20. 已知函数.
（1）若，证明：；
（2）若是定义在上的奇函数，且当时，.
（ⅰ）求的解析式；
（ⅱ）求方程的所有根.
【答案】（1）证明见解析
（2）（ⅰ）；（ⅱ），，
【解析】
【分析】（1）根据对数函数的性质，基本不等式结合条件即得；
（2）根据奇函数的性质可得函数的解析式，方程转化成曲线与直线的交点情况，结合函数的图象和性质即得.
【小问1详解】
证明：因为，
所以，，
由基本不等式，当时，，
即，
即；
【小问2详解】
（ⅰ）依题意得，当时，，
因为是定义在上的奇函数，所以，代入上式成立，
即当时，，
设，则，所以，
所以；
（ⅱ）方程转化成曲线与直线的交点情况，
当时，与交于点和点，

由（1）知的图象总是向上凸的，所以除外不会有其它交点，
同理，当时，根据对称性，两个图象还有一个交点，
所以方程有三个根，，.
21. 已知函数.
（1）求函数的最小值，并写出取得最小值时自变量的取值集合；
（2）若，求函数的单调减区间.
【答案】（1）有最小值为0，的取值集合是；
（2）.
【解析】
【分析】（1）应用同角平方关系、二倍角正余弦公式及和角余弦公式可得，根据余弦函数的性质求其最小值，并写出对应的取值即可.
（2）整体代入法求的减区间，再确定上的减区间.
【小问1详解】
==，
当，即时，函数有最小值为0，
∴取得最小值时自变量的取值集合是.
【小问2详解】
由，得：，又，
∴，
故上的单调减区间为.