2021-2022学年福建省福州市九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2021-2022学年福建省福州市九年级上学期数学期末试题及答案，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 2022年冬奥会将在我国北京市和张家口市联合举行，下列历届冬奥会会徽的部分图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 下列二次函数中，其图象的顶点坐标为（-3，-1）的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据顶点式确定顶点坐标即可．
【详解】解：A. 的顶点坐标为（3，1），不符合题意；
B. 的顶点坐标为（-3，1），不符合题意；
C. 顶点坐标为（3，-1），不符合题意；
D. 的顶点坐标为（-3，-1），符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点，解题关键是根据顶点式确定抛物线的顶点坐标．
3. 下列事件中，是必然事件的是( )
A. 掷一次骰子，向上一面的点数是6
B. 任意画个三角形，其内角和为180°
C. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
D. 一元二次方程一定有两个实数根
【答案】B
【解析】
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
【详解】解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是6，属于随机事件；
B．任意画个三角形，其内角和为180°，属于必然事件；
C．篮球队员在罚球线上投篮一次未投中，属于随机事件；
D．一元二次方程一定有两个实数根，属于随机事件；
故选B．
【点睛】本题主要考查了随机事件，解题时注意：事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件．
4. 与点（2，﹣3）在同一反比例函数图象上的点是（ ）
A. （﹣2，3）B. （﹣1，﹣6）C. （6，1）D. （﹣2，﹣3）
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标的关系，应该满足函数解析式，即点的横纵坐标的积等于比例系数k．把各个点代入检验即可．
【详解】与点（2，﹣3）的横纵坐标乘积为-6，
四个答案中只有A的横纵坐标的积等于-6，
故选：A．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
5. 如图，P是等边△ABC内部一点，把△ABP绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，得到△ACQ，则旋转角的度数是（ ）
A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转的性质可得，旋转角为，再根据等边三角形的性质求解即可．
【详解】解：根据旋转的性质可得，旋转角为．
∵为等边三角形，
∴，即旋转角为．
故选：B．
【点睛】此题考查了旋转的性质和等边三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质找到旋转角．
6. 方程是关于的一元二次方程，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义列出关于m的方程组，求出m的值即可．
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
解得：m=-1，
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
7. 已知△ABC与△A′B′C′相似，点A与A′，点B与B′对应，若，且△ABC的中线AD的长为5，则AD的对应中线A′D′的长为（ ）
A. 10B. 20C. 80D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形相似的性质可得周长之比等于相似比，可求对应中线的比，把AD代入计算即可．
【详解】解：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵AD=5，
∴即．
故选择B．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的周长之比等于相似比，对应中线的比等于相似比，掌握相似三角形的性质是解题关键 ．
8. 如图，、分别与相切于、两点，是圆上一点，连接、，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接OA、OB，先证明∠P=180°-∠AOB，根据∠AOB=2∠ACB，求出∠AOB即可解决问题．
【详解】解：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360°，
∴∠P=180°-∠AOB，
∵∠ACB=62°，
∴∠AOB=2∠ACB=124°，
∴∠P=180°-124°=56°，
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
9. 将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为．已知，，若，那么的长度是（ ）
A. B. 4C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】设，根据折叠的性质用x表示出和，最后根据两三角形相似对应边成比例即可求解．
【详解】解：设，则由折叠的性质可知：，，
当时，有，
即：，
解得：；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形相似的性质，掌握“相似三角形对应边成比例”是解题的关键．
10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③若方程的两根为和，且，则；④，其中正确的结论有（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用二次函数的对称轴，即可判断①结论；根据二次函数的性质可知，二次函数与轴的交点为和，代入二次函数解析式，求得，即可判断②结论；根据函数图象，得出，解得或，即可判断③结论；利用①结论，即可判断④结论．
【详解】解：二次函数的对称轴为直线，
，
，①结论正确；
二次函数的图象过点，对称轴为直线，
二次函数与轴的另一个交点为，
，解得：，
，
二次函数的图象开口向下，
，
，
，②结论正确；
，
，
，
，
，
或，
方程的两根为和，且，
，③结论正确；
由①结论可知，，
，
，④结论错误，
正确的结论有①②③，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与轴的交点问题，二次函数与系数的关系，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数的性质是解题关键，属于中考常考题型．
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 二次函数y＝﹣2（x﹣4）2＋8的最大值为_______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据函数表达式，分析判断可得当x＝4时，y取得最大值8．
【详解】解：在y＝﹣2（x﹣4）2+8中，
∵
∴当x＝4时，y取得最大值8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查由顶点式判断二次函数的最值，牢记相关的知识点并能灵活应用是解题关键．
12. 如图，直线，，，那么的值是______．

【答案】2
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理，得到，即可求出的值．
【详解】解：，
，
，，
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
13. 如图，点，，均在正方形网格点上，则______．
【答案】
【解析】
【分析】连接AD，如图，利用网格特点得到∠ADC=90°，CD=2AD，然后根据正切的定义求解．
【详解】连接AD，如图，
根据网格特点得：∠ADC=90°，CD=2AD，
所以tanC=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了网格型三角形，解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决此题的关键是灵活运用网格特点和锐角三角函数的定义．
14. 某种商品原价每件售价为400元，经过连续两次降价后，每件售价为288元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】设平均每次降价的百分率为x，利用经过连续两次降价后的价格=原价×（1-降价率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，
依题意得：400（1-x）2=288．
故答案为：400（1-x）2=288．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15. 如图，的内切圆与两直角边、分别相切于点D、E，过劣弧（不包括端点D、E）上任一点P作的切线，与、分别交于点M、N，，，则的周长为______．
【答案】4
【解析】
【分析】首先利用勾股定理求出斜边的长度，再判断四边形为正方形，然后利用切线长定理求出内切圆半径，进而求出周长．
【详解】如图，连接、，
在中，，
设内切圆半径为r，、为的切线，
∴，，
∵，，
∴四边形为正方形，
∴，
由切线长定理得，，，，，
∴，解得，
则的周长为
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质定理，切线长定理，解题关键是判断四边形为正方形，再依据切线长定理把三角形的周长化为两条切线长，再转化为半径进行求解．
16. 如图，在反比例函数的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动，tan∠CAB=2，则k的值为_____
【答案】﹣12
【解析】
【分析】连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，通过角的计算找出∠AOE=∠COF，结合“∠AEO=90°，∠CFO=90°”可得出△AOE∽△COF，根据相似三角形的性质得出比例式，再由tan∠CAB=2，可得出CF•OF的值，进而得到k的值．
【详解】解：如图，连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F．
∵由直线AB与反比例函数的对称性可知A、B点关于O点对称，
∴AO=BO．
又∵AC=BC，
∴CO⊥AB．
∵∠AOE+∠AOF=90°，∠AOF+∠COF=90°，
∴∠AOE=∠COF．
又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，
∴△AOE∽△COF，
∴，
∵tan∠CAB2，
∴CF=2AE，OF=2OE．
又∵AE•OE=，CF•OF=|k|，
∴|k|=CF•OF=2AE×2OE=4AE×OE=12，
∴k=±12．
∵点C在第二象限，
∴k=-12．
故答案为：-12．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，解答本题的关键是求出CF•OF=6．解答该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论．
三、解答题（共86分）
17. （1）解方程：；
（2）计算：．
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】（1）根据因式分解法解方程即可；
（2）先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算减法即可．
详解】解：（1），
，
∴或，
∴，；
（2）
．
【点睛】本题考查解一元二次方程，特殊角的三角函数值的混合运算．根据方程特点选择合适的方法解一元二次方程和掌握特殊角的三角函数值的混合运算法则是解题关键．
18. 如图，已知，，是直角坐标系平面上三点．

（1）以原点为位似中心，在第四象限内画出将缩小为原来的一半后的；
（2）画出绕点顺时针旋转后的，并求出线段所扫过的图形面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，线段所扫过的面积为
【解析】
【分析】（1）根据位似的性质，得到各点在第四象限内的对应点、、，依次连接即可得到；
（2）根据旋转的性质，得到各点的对应点、、，依次连接即可得到，根据坐标两点的距离公式，求得，由旋转的性质可知，，再利用扇形面积公式，即可求出线段所扫过的图形面积．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求，
，，
，
由旋转的性质可知，，，
则线段所扫过的图形是圆心角为，半径为的扇形，
所以，线段所扫过的面积为：，
即线段所扫过的面积为．
【点睛】本题考查了作图——位似变换以及旋转的变换，坐标两点的距离公式，旋转的性质，扇形面积公式，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
19. 如图,“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何.”用几何语言可表述为：CD为圆O的直径,弦AB⊥CD于E,CE=1寸,AB=10寸,求直径CD的长.
【答案】26
【解析】
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．
【详解】解：
设直径CD长为2x，则半径OC=x，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB=10寸，
∴AE=BE=AB=×10=5寸，
连接OA，则OA=x寸，根据勾股定理得x2=52+（x-1）2，
解得x=13，
CD=2x=2×13=26（寸）．
故答案为26
【点睛】此题是一道古代问题，其实质是考查垂径定理和勾股定理．
20. 北京将于2022年举办冬奥会和冬残奥会，中国将成为一个举办过五次各类奥林匹克运动会国家小亮是个集邮爱好者，他收集了如下图所示的四张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将四张邮票背面朝上，洗匀放好．
（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“冬残奥会吉祥物雪容融”的概率是______；
（2）小亮从中随机抽取一张邮票（不放回），再从余下的邮票中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率．（这四张邮票依次分别用字母A，B，C，D表示）
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率公式计算即可；
（2）根据列表法求得抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率．
【详解】（1）共四张邮票，
小亮从中随机抽取一张邮票是“冬残奥会吉祥物雪容融”的概率是；
故答案为：
（2）这四张邮票依次分别用字母A，B，C，D表示，列表如下，
共有12中等可能情况，其中抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的可能性有2种，
抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”和“冬奥会吉祥物冰墩墩”的概率为．
【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
21. 一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、．

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）直接写出不等式的解集．
【答案】（1），
（2）7.5 （3）或
【解析】
【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到，然后把，代入即可求解；
（2）首先求出点C的坐标，然后利用进行计算；
（3）观察函数图象得到当或时，反比例函数的图象在一次函数图象上方，据此可得不等式的解集．
【小问1详解】
把代入，得，
∴反比例函数的解析式为．
点在上，
，
．
把，代入
得，解得，
一次函数的解析式为．
【小问2详解】
在一次函数中，令时，则，

，
，
即的面积为7.5．
【小问3详解】
根据图象可得，
或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式．
22. 由我国完全自主设计与建造的首艘国产航母山东舰于年月日交付海军．如图，某日山东舰在南海海域开展训练时在处测得小岛在该舰的北偏东方向，往东行驶海里后到达处，此时测得小岛在该舰的北偏东方向，已知以小岛为中心，周围海里内有暗礁，问航母山东舰继续向东航行是否有触礁的危险？

【答案】没有触礁的危险，见解析
【解析】
【分析】过点作于点，根据已知得出，解，得出，与比较大小，即可求解．
【详解】解：没有触礁的危险，理由如下：
过点作于点，
如图，由题知，，，
，，
，
，
海里，
在中，，，，
，
航母不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方位角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
23. 如图，已知在中，是的中线，，点在边上，．

（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）先证明，可得，再证明，再结合，从而可得结论；
（2）先证明，可得，可得，再证明，可得，可得，从而可得答案．
【小问1详解】
证明： 为的中线，
，
，
，
，
，，，
，
，
【小问2详解】
，
．
，
∵，
，
，，
，
，
，
由①②可得，．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练的证明三角形相似是解本题的关键．
24. 如图所示，在中，点在斜边上，以为圆心，为半径作圆，分别与、相交于点、，连接，已知．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求劣弧的长；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）如图1，连接OD，由等腰三角形的性质可证∠B=∠ODB=∠CAD，由直角三角形的性质可求∠ADO=90°，可得结论；
（2）分别求出OD的长度和∠DOB的度数，再由弧长公式可求解；
（3）通过证明△ACD∽△BDE，可得，设CD=2x，DE=3x，由平行线的性质可求x=，由勾股定理可求AB的长，即可求解．
详解】解：（1）如图1，连接OD，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠ADC=90°，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵∠CAD=∠B，
∴∠CAD=∠ODB，
∴∠ODB+∠ADC=90°，
∴∠ADO=90°，
又∵OD是半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠CAD=30°，∠CAB=60°，
∴AD=2CD=3，∠DAB=30°，
∴AD=OD，
∴OD=，
∵OD=OB，∠B=30°，
∴∠B=∠ODB=30°，
∴∠DOB=120°，
∴劣弧BD的长=；
（3）如图2，连接DE，
∵BE是直径，
∴∠BDE=90°，
∴∠ACB=∠EDB=90°，
∴AC∥DE，
∵∠B=∠CAD，∠ACD=∠EDB，
∴△ACD∽△BDE，
∴，
∴设CD=2x，DE=3x，
∵AC∥DE，
∴，
∴，
∴x=，
∴CD=1，BC=BD+CD=4，
∴，
∵DE∥AC，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题（3）的关键．
25. 平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为A（2，4），且经过坐标原点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，设抛物线与x轴的另一交点为B，点C为抛物线上A，B之间一点，连接OA，OC，若∠AOC＝∠AOy，求点C的坐标；
（3）如图2，若直线y＝kx﹣2k＋5与抛物线交于M，N两点，点N关于抛物线对称轴的对称点为P，当k＜0时，试说明直线MP过一定点Q，并求出点Q的坐标．
【答案】（1）y=-x2+4x；（2）（，）；（3）直线MP过一定点Q（2，3），理由见详解
【解析】
【分析】（1）设二次函数的解析式为：y=a(x-2)2+4，根据待定系数法，即可求解；
（2）过点C作CE∥y轴，交OA的延长线于点E，可得OC=CE，设C（x，-x2+4x），则E（x, 2x），列出方程，即可求解；
（3）联立，得：，从而得，，设直线MP与直线x=2的交点为Q（2，m），由，，得，通过计算，可得，进而即可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线的顶点为A（2，4），
∴设二次函数的解析式为：y=a(x-2)2+4，
把（0，0）代入上式，可得：0=a(0-2)2+4，解得：a=-1，
∴y=-(x-2)2+4，即：y=-x2+4x；
（2）过点C作CE∥y轴，交OA的延长线于点E，
∴∠OEC=∠AOy，
又∵∠AOC＝∠AOy，
∴∠OEC=∠AOC，
∴OC=CE，
∵A（2，4），
∴直线OA的解析式为：y=2x，
设C（x，-x2+4x），则E（x, 2x），
∴OC=，CE== ，
∴=，解得：x=或x=0（舍去），
∴C坐标为：（，）；
（3）∵直线y＝kx﹣2k＋5，
∴直线恒过点D（2，5），
联立，得：，
设M（x2，y2），N（x1，y1），则，，
设直线MP与直线x=2的交点为Q（2，m），则，，
∴，
∵PG=NG，
∴，
∵HQ=y2-m，QG=m-y1，DH=5-y2，DG=5-y1，
∴，
∴，即：，
∵，
∴，，
∴，即：，
∵k＜0，
∴ m=3，
∴直线MP过一定点Q（2，3）．
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数综合，相似三角形的判定和性质，掌握两点间距离公式，联立函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键．A
B
C
D
A
AB
AC
AD
B
BA
BC
BD
C
CA
CB
CD
D
DA
DB
DC