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    2023-2024学年福建省厦门市九年级上学期数学月考试题及答案

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    这是一份2023-2024学年福建省厦门市九年级上学期数学月考试题及答案,共21页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1. 下列方程中是一元二次方程的是( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据一元二次方程的定义:含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程.运用定义对每个方程进行分析,再做出判断即可.
    【详解】A、符合一元二次方程的定义是一元二次方程,故选项正确;
    B、含有两个未知数不是一元二次方程,故选项错误;
    C、含有分母,不是整式方程,而是分式方程,故选项错误;
    D、化简后不含二次项,不是一元二次方程,故选项错误.
    故选:A.
    【点睛】本题考查一元二次方程的定义:含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程.正确理解一元二次方程的定义是解题的关键.
    2. 下列函数表达式中为二次函数的是( )
    A. B.
    C. D. (a,b,c是常数)
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据二次函数的定义:一般地,形如、、是常数,的函数,叫做二次函数进行分析.
    【详解】解:A、是一次函数,故此选项错误;
    B、是二次函数,故此选项正确;
    C、含有分式,不是二次函数,故此选项错误;
    D、当时,是二次函数,故此选项错误;
    故选:B.
    【点睛】此题主要考查了二次函数定义,解题的关键是掌握判断函数是否是二次函数,首先是要看它的右边是否为整式,若是整式且仍能化简的要先将其化简,然后再根据二次函数的定义作出判断,要抓住二次项系数不为0这个关键条件.
    3. 将抛物线 先向左平移1个单位, 再向上平移2个单位, 两次平移后得到的抛物线 表达式为 ( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】按照“左加右减,上加下减”的规律,进而得出平移后抛物线的解析式即可.
    【详解】解:抛物线先向左平移1个单位得到解析式:,再向上平移1单位得到抛物线的解析式为:.
    故选:A.
    【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律:左加右减,上加下减.
    4. 将二次函数化为的形式,结果为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】化,再根据完全平方公式分解因式即可.
    【详解】∵

    故选D.
    【点睛】解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式:,注意当二次项系数为1时,常数项等于一次项系数一半的平方.
    5. 若关于x的一元二次方程的常数项为0,则m的值为( )
    A. 0B. 1C. 1或3D. 3
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据常数项为0,二次项系数不为0,得到关于m的方程和不等式,求解即可.
    【详解】解:∵关于的一元二次方程的常数项为0,
    ∴,,
    ∴,
    解得,
    故选:B.
    【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式,一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
    6. 随着生产技术的进步,某厂生产一件产品的成本从两年前的100元,下降到现在的 64 元,求年平均下降率.设年平均下降率为 x,通过解方程得到一个根为1.8,则正确的解释是( )
    A. 年平均下降率为80%,符合题意B. 年平均下降率为18%,符合题意
    C. 年平均下降率为1.8%,不符合题意D. 年平均下降率为180%,不符合题意
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据:平均年下降率是大于0且小于1的数.
    【详解】由已知可得,平均年下降率是大于0且小于1的数,故选项D说法正确.
    故选D.
    【点睛】本题考核知识点:一元二次方程与应用题.解题关键点:应用题中方程的根的检验.
    7. 已知点A(﹣3,y1),B(1,y2)在二次函数y=﹣(x+2)2+m的图象上,则y1,y2的大小关系是( )
    A. y1<y2B. y1>y2C. y1=y2D. 不能确定
    【答案】B
    【解析】
    【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴,然后比较两个点到对称轴的距离,再利用二次函数的性质判断对应的函数值的大小.
    【详解】解:二次函数y=﹣(x+2)2+m图象的开口向下,对称轴为直线x=﹣2,
    而点A(﹣3,y1)到直线x=﹣2的距离小,点B(1,y2)到直线x=﹣2的距离大,
    所以y1>y2.
    故选:B.
    【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质,求出抛物线的对称轴和开口方向是解题关键.
    8. 如图,点P是线段上一点(),若满足,则称点P是的黄金分割点.主持人在舞台上主持节目时,站在黄金分割点上,观众看上去感觉最好.若舞台长20米,主持人从舞台一侧进入,设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上,则x满足的方程是( )
    A. B. C. D. 以上都不对
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据黄金分割点的定义列方程整理即可.
    【详解】解:设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上,
    由题意得:,
    整理得:,
    故选:A.
    【点睛】本题考查了黄金分割点,理解黄金分割的概念,找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键.
    9. 设二次函数是实数,则( )
    A. 当时,函数的最小值为B. 当时,函数的最小值为
    C. 当时,函数最小值为D. 当时,函数的最小值为
    【答案】A
    【解析】
    【分析】令,则,解得:,,从而求得抛物线对称轴为直线,再分别求出当或时函数y的最小值即可求解.
    【详解】解:令,则,
    解得:,,
    ∴抛物线对称轴为直线
    当时, 抛物线对称轴为直线,
    把代入,得,

    ∴当,时,y有最小值,最小值为.
    故A正确,B错误;
    当时, 抛物线对称轴为直线,
    把代入,得,

    ∴当,时,y有最小值,最小值为,
    故C、D错误,
    故选:A.
    【点睛】本题考查抛物线的最值,抛物线对称轴.利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键.
    10. 已知抛物线(,为常数)经过不同的两点,那么该抛物线的顶点坐标不可能是下列中的( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】先求出抛物线的对称轴为直线,再根据抛物线经过不同两点的纵坐标为m相同,得,求出抛物线的顶点坐标为,再把A、B、C、D选项代入计算,即可得答案.
    【详解】解:抛物线的对称轴为直线,
    抛物线经过不同两点的纵坐标为m相同,
    抛物线的对称轴为

    而抛物线的顶点纵坐标为:,
    抛物线的顶点坐标为,
    当时,,故A选项不符合题意,
    当时,,故B选项符合题意,
    当时,,故C选项不符合题意,
    当时,,故D选项不符合题意,
    故选:B.
    【点睛】本题考查了二次函数,解题的关键是求出抛物线的顶点坐标为.
    二、填空题(本大题有6小题,每小题4分,共24分)
    11. ﹣3的相反数是__________.
    【答案】3
    【解析】
    【详解】解:一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号.
    所以﹣(﹣3)=3,
    故答案为:3.
    12. 二次函数的顶点坐标是______________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据二次函数的性质求解即可.
    【详解】解:∵二次函数解析式为,
    ∴二次函数的顶点坐标为,
    故答案为:.
    【点睛】本题主要考查了二次函数的性质,熟知二次函数的顶点坐标为是解题的关键.
    13. 若是方程的根,则______.
    【答案】1
    【解析】
    【分析】将代入原方程,即可得出关于a的方程,求出解即可.
    【详解】当时,,
    解得.
    故答案为:1.
    【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根,理解一元二次方程的根的意义是解题的关键.
    14. 参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次,有______ 人参加聚会.
    【答案】 5
    【解析】
    【详解】设有 x人参加聚会,每个人都与另外的人握手一次,则每个人握手x-1次,且其中任何两人的握手只有一次,因而共有x(x-1)次,设出未知数列方程解答即可.
    解:设有 x人参加聚会,根据题意列方程得,=10,
    解得x1=5,x2=-4(不合题意,舍去);
    答:有 5人参加聚会.
    故答案为5.
    15. 下面是小明同学采用因式分解法求解一元二次方程解题过程,
    等式左边去括号,得,①
    移项、合并同类项,得,②
    等式左边分解因式,得,③
    解得,.④
    以上解题过程中,开始出现错误的那一步对应的序号是_____________.
    【答案】③
    【解析】
    【分析】将原式去括号、移项合并、提公因式然后求解,对比发现错误步骤即可.
    【详解】解:
    等式左边去括号,得,
    移项、合并同类项,得,
    提公因式,得,
    解得,.
    ③开始出现错误,
    故答案为:③
    【点睛】本题考查了解一元二次方程;掌握解方程的步骤正确计算是解题的关键.
    16. 已知抛物线经过两点,若分别位于抛物线对称轴的两侧,且,则的取值范围是___________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据题意,可得抛物线对称轴为直线,开口向上,根据已知条件得出点在对称轴的右侧,且,进而得出不等式,解不等式即可求解.
    【详解】解:∵,
    ∴抛物线的对称轴为直线,开口向上,
    ∵分别位于抛物线对称轴的两侧,
    假设点在对称轴的右侧,则,解得,

    ∴点在点的右侧,与假设矛盾,则点在对称轴的右侧,

    解得:
    又∵,


    解得:
    ∴,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了二次函数的性质,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
    三、解答题(本大题有9小题,共86分)
    17. 计算:.
    【答案】
    【解析】
    【分析】分别化简、、,再进行加减运算即可.
    【详解】解:原式.
    【点睛】本题考查了二次根式的化简,绝对值的化简,零指数次幂以及二次根式的加减运算,正确进行化简运算是解题的关键.
    18. 解不等式:
    【答案】
    【解析】
    【分析】利用去分母,去括号、移项、系数化为1,即可出不等式的解集.
    【详解】解:不等式两边同时乘以6得,,
    去括号得,
    移项得,,
    解得,
    【点睛】本题是一道有关求解一元一次不等式的题目,掌握求解步骤是关键.
    19. 先化简,再求值:,其中.
    【答案】,.
    【解析】
    【分析】根据分式的混合运算法则化简,再将a的值代入化简之后的式子即可求出答案.
    【详解】解:原式

    当时,原式.
    【点睛】本题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解题的关键.
    20. 如图,菱形中,点E,F分别在边上,,求证:.
    【答案】见解析
    【解析】
    【分析】解法一:由菱形的性质可得,结合可证,再证明即可;
    解法二:连接,由菱形的性质可得,根据等边对等角得出,再证明即可.
    【详解】证明:解法一: ∵四边形是菱形,

    又∵,
    ∴,
    ∴,
    在△ADE和△CDF中,

    解法二: 连接,
    ∵四边形是菱形,
    ∴,
    ∴,
    在△ACE和△CAF中,
    D
    ∴,
    ∴.
    【点睛】本题考查菱形的性质,三角形全等的判定和性质,等边对等角.灵活运用菱形的性质和三角形全等的判定是解题的关键.
    21. 设一元二次方程.在下面的四组条件中选择其中一组的值,使这个方程有两个不相等的实数根,并解这个方程.
    ①;②;③;④.
    注:如果选择多组条件分别作答,按第一个解答计分.
    【答案】选②,,;选③,,
    【解析】
    【分析】先根据判别式判断一元二次方程根的情况,再利用公式法解一元二次方程即可.
    【详解】解:中,
    ①时,,方程有两个相等的实数根;
    ②时,,方程有两个不相等的实数根;
    ③时,,方程有两个不相等的实数根;
    ④时,,方程没有实数根;
    因此可选择②或③.
    选择②时,



    ,;
    选择③时,



    ,.
    【点睛】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况,解一元二次方程,解题的关键是掌握:对于一元二次方程,当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程没有实数根.
    22. 已知二次函数.
    (1)求该二次函数的顶点坐标和对称轴并画出它的图象;
    (2)当函数值y小于0时,观察图象,直接写出自变量x的取值范围.
    【答案】(1)顶点坐标为,对称轴为;图象见解析
    (2)
    【解析】
    【分析】(1),即可得到抛物线的顶点坐标,对称轴;用五点法绘制函数图象即可;
    (2)观察图象即可求解.
    【小问1详解】
    解:,
    故抛物线的顶点坐标为,对称轴为;
    令,解得:或,
    ∴抛物线与x轴的交点坐标为和;
    当时,,
    故抛物线和y轴的交点坐标为,该点关于抛物线对称轴的对称点为,
    根据上述五点描点连线绘制如下函数图象:
    【小问2详解】
    观察图象知,当函数值y小于0时,x的取值范围是.
    【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点,顶点坐标,对称轴等,要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法及这些点代表的意义及函数特征.
    23. 某商场将进货价火为元的台灯以元售出,月销售个,,月这种台灯销售量持续增加,在售价不变的基础上,月的销售量达到个,设,两个月的销售量月平均增长率不变.
    (1)求,两个月的销售量月平均增长率;
    (2)从月起,在月销售量的基础上,商场决定降价促销.经调查发现,售价在元至元范围内,这种台灯的售价每降价元,其销售量增加个.这种台灯售价定为多少时,商场月销售这种台灯获利元?
    【答案】(1)
    (2)元
    【解析】
    【分析】(1)设,两个月这种台灯销售量月均增长率为,利用三月份的销售量=一月份的销售量×(1+月均增长率)2,即可得出关于的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论;
    (2)解法一:设每台降价元,则每台的销售利润为元,四月份可售出台,利用总利润=每台的销售利润×四月份的销售量,即可得出关于的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论;
    解法二:设每台售价定为元,则每台的销售利润为元,四月份可售出台,利用总利润=每台的销售利润×四月份的销售量,即可得出关于的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.
    【小问1详解】
    解:设,两个月的销售量月平均增长率为,
    依题意,得:,
    解得:,(不符合题意,舍去).
    答:,两个月的销售量月平均增长率为.
    【小问2详解】
    解法一:
    设这种台灯每个降价元时,商场四月份销售这种台灯获利元,
    依题意,得:,
    整理,得:,
    解得,(不符合题意,舍去),
    当时,.
    答:该种台灯售价定为元时,商场四月份销售这种台灯获利元.
    解法二:
    设这种台灯售价定为元时,商场四月份销售这种台灯获利元,
    依题意,得:,
    整理,得,
    解得,(不符合题意,舍去).
    答:该种台灯售价定为元时,商场四月份销售这种台灯获利元.
    【点睛】本题考查一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.本题运用了一题多解的思路.
    24. 某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略.部分内容如下.
    每次清洗1个单位质量的该种含污物品,清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990
    方案一:采用一次清洗的方式.
    结果:当用水量为19个单位质量时,清洗后测得的清洁度为0.990.
    方案二:采用两次清洗的方式.
    记第一次用水量为个单位质量,第二次用水量为个单位质量,总用水量为个单位质量,两次清洗后测得的清洁度为C.记录的部分实验数据如下:
    对以上实验数据进行分析,补充完成以下内容.
    (Ⅰ)选出C是0.990的所有数据组,并划“√”;
    (Ⅱ)通过分析(Ⅰ)中选出的数据,发现可以用函数刻画第一次用水量和总用水量之间的关系,在平面直角坐标系中画出此函数的图象;

    结果:结合实验数据,利用所画的函数图象可以推断,当第一次用水量约为______个单位质量(精确到个位)时,总用水量最小.
    根据以上实验数据和结果,解决下列问题:
    (1)当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时,与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位质量(结果保留小数点后一位);
    (2)当采用两次清洗的方式时,若第一次用水量为6个单位质量,总用水量为7.5个单位质量,则清洗后的清洁度C______0.990(填“>”“=”或“<”).
    【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析,4;(1)11.3;(2)<
    【解析】
    【分析】(Ⅰ)直接在表格中标记即可;
    (Ⅱ)根据表格中数据描点连线即可做出函数图象,再结合函数图象找到最低点,可得第一次用水量约为4个单位质量时,总用水量最小;
    (1)根据表格可得,用两次清洗的方式并使总用水量最小时,用水量为7.7个单位质量,计算即可;
    (2)根据表格可得当第一次用水量为6个单位质量,总用水量超过8个单位质量,则清洗后清洁度能达到0.990,若总用水量为7.5个单位质量,则清洁度达不到0.990.
    【详解】(Ⅰ)表格如下:
    (Ⅱ)函数图象如下:

    由图象可得,当第一次用水量约为4个单位质量(精确到个位)时,总用水量最小;
    (1)当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时,用水量为7.7个单位质量,
    19-7.7=11.3,
    即可节水约11.3个单位质量;
    (2)由图可得,当第一次用水量为6个单位质量,总用水量超过8个单位质量,则清洗后的清洁度能达到0.990,
    第一次用水量为6个单位质量,总用水量为7.5个单位质量,则清洗后的清洁度,
    故答案为:<.
    【点睛】本题考查了函数图象,根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键.
    25. 在平面直角坐标系中,平行四边形的顶点A,D的坐标分别是,其中.
    (1)若点B在x轴的上方,
    ①,求的长;
    ②,且.证明:四边形是菱形;
    (2)抛物线经过点B,C.对于任意的,当a,m的值变化时,抛物线会不同,记其中任意两条抛物线的顶点为(与不重合),则命题“对所有的a,b,当时,一定不存在的情形.”是否正确?请说明理由.
    【答案】(1)①4;②
    (2)命题正确,证明见解析
    【解析】
    【分析】(1)①根据平行四边形中AD=BC计算即可;
    ②根据距离公式证明AD=AB即可说明四边形是菱形;
    (2)由BC=AD求出B的横坐标,再在解析式中求出B坐标,即可求出AB的解析式,同时根据顶点坐标特征求出的解析式,再利用反证法证明即可.
    【小问1详解】
    ①∵平行四边形

    ∵A,D的坐标分别是,其中



    ②∵,






    ∵平行四边形
    ∴四边形是菱形
    【小问2详解】
    命题正确,理由如下:
    抛物线的对称轴为
    ∴顶点坐标为
    ∴顶点在定直线上移动
    即的解析式为,
    ∵抛物线经过点B,C.且对称轴,
    ∴B点横坐标为
    ∴B点坐标为:
    设直线AB的解析式为

    假设对所有的a,b,当时,存在的情形,
    ∴对所有的a,b,当时,

    去分母整理得:

    ∴,此时


    ∴互相矛盾,假设不成立
    ∴对所有的a,b,当时,一定不存在的情形.
    【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定、反证法、二次函数的性质.解题的关键是利用平行四边形对边相等找关系,最后一问计算量比较大,需要特别注意.11.0
    9.0
    90
    7.0
    5.5
    4.5
    3.5
    3.0
    3.0
    2.0
    1.0
    0.8
    1.0
    1.3
    1.9
    2.6
    3.2
    4.3
    4.0
    5.0
    7.1
    11.5
    11.8
    10.0
    10.3
    8.9
    8.1
    7.7
    7.8
    7.0
    8.0
    9.1
    12.5
    C
    0.990
    0.989
    0.990
    0.990
    0.990
    0.990
    0.990
    0.988
    0.990
    0.990
    0.990
    11.0
    9.0
    9.0
    7.0
    5.5
    4.5
    3.5
    3.0
    3.0
    2.0
    1.0
    0.8
    1.0
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