2023-2024学年福建省厦门市九年级上学期数学月考试题及答案
展开1. 下列方程中是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义:含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程.运用定义对每个方程进行分析,再做出判断即可.
【详解】A、符合一元二次方程的定义是一元二次方程,故选项正确;
B、含有两个未知数不是一元二次方程,故选项错误;
C、含有分母,不是整式方程,而是分式方程,故选项错误;
D、化简后不含二次项,不是一元二次方程,故选项错误.
故选:A.
【点睛】本题考查一元二次方程的定义:含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程.正确理解一元二次方程的定义是解题的关键.
2. 下列函数表达式中为二次函数的是( )
A. B.
C. D. (a,b,c是常数)
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的定义:一般地,形如、、是常数,的函数,叫做二次函数进行分析.
【详解】解:A、是一次函数,故此选项错误;
B、是二次函数,故此选项正确;
C、含有分式,不是二次函数,故此选项错误;
D、当时,是二次函数,故此选项错误;
故选:B.
【点睛】此题主要考查了二次函数定义,解题的关键是掌握判断函数是否是二次函数,首先是要看它的右边是否为整式,若是整式且仍能化简的要先将其化简,然后再根据二次函数的定义作出判断,要抓住二次项系数不为0这个关键条件.
3. 将抛物线 先向左平移1个单位, 再向上平移2个单位, 两次平移后得到的抛物线 表达式为 ( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】按照“左加右减,上加下减”的规律,进而得出平移后抛物线的解析式即可.
【详解】解:抛物线先向左平移1个单位得到解析式:,再向上平移1单位得到抛物线的解析式为:.
故选:A.
【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律:左加右减,上加下减.
4. 将二次函数化为的形式,结果为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化,再根据完全平方公式分解因式即可.
【详解】∵
∴
故选D.
【点睛】解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式:,注意当二次项系数为1时,常数项等于一次项系数一半的平方.
5. 若关于x的一元二次方程的常数项为0,则m的值为( )
A. 0B. 1C. 1或3D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据常数项为0,二次项系数不为0,得到关于m的方程和不等式,求解即可.
【详解】解:∵关于的一元二次方程的常数项为0,
∴,,
∴,
解得,
故选:B.
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式,一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
6. 随着生产技术的进步,某厂生产一件产品的成本从两年前的100元,下降到现在的 64 元,求年平均下降率.设年平均下降率为 x,通过解方程得到一个根为1.8,则正确的解释是( )
A. 年平均下降率为80%,符合题意B. 年平均下降率为18%,符合题意
C. 年平均下降率为1.8%,不符合题意D. 年平均下降率为180%,不符合题意
【答案】D
【解析】
【分析】根据:平均年下降率是大于0且小于1的数.
【详解】由已知可得,平均年下降率是大于0且小于1的数,故选项D说法正确.
故选D.
【点睛】本题考核知识点:一元二次方程与应用题.解题关键点:应用题中方程的根的检验.
7. 已知点A(﹣3,y1),B(1,y2)在二次函数y=﹣(x+2)2+m的图象上,则y1,y2的大小关系是( )
A. y1<y2B. y1>y2C. y1=y2D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴,然后比较两个点到对称轴的距离,再利用二次函数的性质判断对应的函数值的大小.
【详解】解:二次函数y=﹣(x+2)2+m图象的开口向下,对称轴为直线x=﹣2,
而点A(﹣3,y1)到直线x=﹣2的距离小,点B(1,y2)到直线x=﹣2的距离大,
所以y1>y2.
故选:B.
【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质,求出抛物线的对称轴和开口方向是解题关键.
8. 如图,点P是线段上一点(),若满足,则称点P是的黄金分割点.主持人在舞台上主持节目时,站在黄金分割点上,观众看上去感觉最好.若舞台长20米,主持人从舞台一侧进入,设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上,则x满足的方程是( )
A. B. C. D. 以上都不对
【答案】A
【解析】
【分析】根据黄金分割点的定义列方程整理即可.
【详解】解:设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上,
由题意得:,
整理得:,
故选:A.
【点睛】本题考查了黄金分割点,理解黄金分割的概念,找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键.
9. 设二次函数是实数,则( )
A. 当时,函数的最小值为B. 当时,函数的最小值为
C. 当时,函数最小值为D. 当时,函数的最小值为
【答案】A
【解析】
【分析】令,则,解得:,,从而求得抛物线对称轴为直线,再分别求出当或时函数y的最小值即可求解.
【详解】解:令,则,
解得:,,
∴抛物线对称轴为直线
当时, 抛物线对称轴为直线,
把代入,得,
∵
∴当,时,y有最小值,最小值为.
故A正确,B错误;
当时, 抛物线对称轴为直线,
把代入,得,
∵
∴当,时,y有最小值,最小值为,
故C、D错误,
故选:A.
【点睛】本题考查抛物线的最值,抛物线对称轴.利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键.
10. 已知抛物线(,为常数)经过不同的两点,那么该抛物线的顶点坐标不可能是下列中的( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出抛物线的对称轴为直线,再根据抛物线经过不同两点的纵坐标为m相同,得,求出抛物线的顶点坐标为,再把A、B、C、D选项代入计算,即可得答案.
【详解】解:抛物线的对称轴为直线,
抛物线经过不同两点的纵坐标为m相同,
抛物线的对称轴为
,
而抛物线的顶点纵坐标为:,
抛物线的顶点坐标为,
当时,,故A选项不符合题意,
当时,,故B选项符合题意,
当时,,故C选项不符合题意,
当时,,故D选项不符合题意,
故选:B.
【点睛】本题考查了二次函数,解题的关键是求出抛物线的顶点坐标为.
二、填空题(本大题有6小题,每小题4分,共24分)
11. ﹣3的相反数是__________.
【答案】3
【解析】
【详解】解:一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号.
所以﹣(﹣3)=3,
故答案为:3.
12. 二次函数的顶点坐标是______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的性质求解即可.
【详解】解:∵二次函数解析式为,
∴二次函数的顶点坐标为,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质,熟知二次函数的顶点坐标为是解题的关键.
13. 若是方程的根,则______.
【答案】1
【解析】
【分析】将代入原方程,即可得出关于a的方程,求出解即可.
【详解】当时,,
解得.
故答案为:1.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根,理解一元二次方程的根的意义是解题的关键.
14. 参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次,有______ 人参加聚会.
【答案】 5
【解析】
【详解】设有 x人参加聚会,每个人都与另外的人握手一次,则每个人握手x-1次,且其中任何两人的握手只有一次,因而共有x(x-1)次,设出未知数列方程解答即可.
解:设有 x人参加聚会,根据题意列方程得,=10,
解得x1=5,x2=-4(不合题意,舍去);
答:有 5人参加聚会.
故答案为5.
15. 下面是小明同学采用因式分解法求解一元二次方程解题过程,
等式左边去括号,得,①
移项、合并同类项,得,②
等式左边分解因式,得,③
解得,.④
以上解题过程中,开始出现错误的那一步对应的序号是_____________.
【答案】③
【解析】
【分析】将原式去括号、移项合并、提公因式然后求解,对比发现错误步骤即可.
【详解】解:
等式左边去括号,得,
移项、合并同类项,得,
提公因式,得,
解得,.
③开始出现错误,
故答案为:③
【点睛】本题考查了解一元二次方程;掌握解方程的步骤正确计算是解题的关键.
16. 已知抛物线经过两点,若分别位于抛物线对称轴的两侧,且,则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意,可得抛物线对称轴为直线,开口向上,根据已知条件得出点在对称轴的右侧,且,进而得出不等式,解不等式即可求解.
【详解】解:∵,
∴抛物线的对称轴为直线,开口向上,
∵分别位于抛物线对称轴的两侧,
假设点在对称轴的右侧,则,解得,
∴
∴点在点的右侧,与假设矛盾,则点在对称轴的右侧,
∴
解得:
又∵,
∴
∴
解得:
∴,
故答案为:.
【点睛】本题考查了二次函数的性质,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
三、解答题(本大题有9小题,共86分)
17. 计算:.
【答案】
【解析】
【分析】分别化简、、,再进行加减运算即可.
【详解】解:原式.
【点睛】本题考查了二次根式的化简,绝对值的化简,零指数次幂以及二次根式的加减运算,正确进行化简运算是解题的关键.
18. 解不等式:
【答案】
【解析】
【分析】利用去分母,去括号、移项、系数化为1,即可出不等式的解集.
【详解】解:不等式两边同时乘以6得,,
去括号得,
移项得,,
解得,
【点睛】本题是一道有关求解一元一次不等式的题目,掌握求解步骤是关键.
19. 先化简,再求值:,其中.
【答案】,.
【解析】
【分析】根据分式的混合运算法则化简,再将a的值代入化简之后的式子即可求出答案.
【详解】解:原式
.
当时,原式.
【点睛】本题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解题的关键.
20. 如图,菱形中,点E,F分别在边上,,求证:.
【答案】见解析
【解析】
【分析】解法一:由菱形的性质可得,结合可证,再证明即可;
解法二:连接,由菱形的性质可得,根据等边对等角得出,再证明即可.
【详解】证明:解法一: ∵四边形是菱形,
∴
又∵,
∴,
∴,
在△ADE和△CDF中,
∴
解法二: 连接,
∵四边形是菱形,
∴,
∴,
在△ACE和△CAF中,
D
∴,
∴.
【点睛】本题考查菱形的性质,三角形全等的判定和性质,等边对等角.灵活运用菱形的性质和三角形全等的判定是解题的关键.
21. 设一元二次方程.在下面的四组条件中选择其中一组的值,使这个方程有两个不相等的实数根,并解这个方程.
①;②;③;④.
注:如果选择多组条件分别作答,按第一个解答计分.
【答案】选②,,;选③,,
【解析】
【分析】先根据判别式判断一元二次方程根的情况,再利用公式法解一元二次方程即可.
【详解】解:中,
①时,,方程有两个相等的实数根;
②时,,方程有两个不相等的实数根;
③时,,方程有两个不相等的实数根;
④时,,方程没有实数根;
因此可选择②或③.
选择②时,
,
,
,
,;
选择③时,
,
,
,
,.
【点睛】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况,解一元二次方程,解题的关键是掌握:对于一元二次方程,当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程没有实数根.
22. 已知二次函数.
(1)求该二次函数的顶点坐标和对称轴并画出它的图象;
(2)当函数值y小于0时,观察图象,直接写出自变量x的取值范围.
【答案】(1)顶点坐标为,对称轴为;图象见解析
(2)
【解析】
【分析】(1),即可得到抛物线的顶点坐标,对称轴;用五点法绘制函数图象即可;
(2)观察图象即可求解.
【小问1详解】
解:,
故抛物线的顶点坐标为,对称轴为;
令,解得:或,
∴抛物线与x轴的交点坐标为和;
当时,,
故抛物线和y轴的交点坐标为,该点关于抛物线对称轴的对称点为,
根据上述五点描点连线绘制如下函数图象:
【小问2详解】
观察图象知,当函数值y小于0时,x的取值范围是.
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点,顶点坐标,对称轴等,要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法及这些点代表的意义及函数特征.
23. 某商场将进货价火为元的台灯以元售出,月销售个,,月这种台灯销售量持续增加,在售价不变的基础上,月的销售量达到个,设,两个月的销售量月平均增长率不变.
(1)求,两个月的销售量月平均增长率;
(2)从月起,在月销售量的基础上,商场决定降价促销.经调查发现,售价在元至元范围内,这种台灯的售价每降价元,其销售量增加个.这种台灯售价定为多少时,商场月销售这种台灯获利元?
【答案】(1)
(2)元
【解析】
【分析】(1)设,两个月这种台灯销售量月均增长率为,利用三月份的销售量=一月份的销售量×(1+月均增长率)2,即可得出关于的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论;
(2)解法一:设每台降价元,则每台的销售利润为元,四月份可售出台,利用总利润=每台的销售利润×四月份的销售量,即可得出关于的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论;
解法二:设每台售价定为元,则每台的销售利润为元,四月份可售出台,利用总利润=每台的销售利润×四月份的销售量,即可得出关于的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.
【小问1详解】
解:设,两个月的销售量月平均增长率为,
依题意,得:,
解得:,(不符合题意,舍去).
答:,两个月的销售量月平均增长率为.
【小问2详解】
解法一:
设这种台灯每个降价元时,商场四月份销售这种台灯获利元,
依题意,得:,
整理,得:,
解得,(不符合题意,舍去),
当时,.
答:该种台灯售价定为元时,商场四月份销售这种台灯获利元.
解法二:
设这种台灯售价定为元时,商场四月份销售这种台灯获利元,
依题意,得:,
整理,得,
解得,(不符合题意,舍去).
答:该种台灯售价定为元时,商场四月份销售这种台灯获利元.
【点睛】本题考查一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.本题运用了一题多解的思路.
24. 某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略.部分内容如下.
每次清洗1个单位质量的该种含污物品,清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990
方案一:采用一次清洗的方式.
结果:当用水量为19个单位质量时,清洗后测得的清洁度为0.990.
方案二:采用两次清洗的方式.
记第一次用水量为个单位质量,第二次用水量为个单位质量,总用水量为个单位质量,两次清洗后测得的清洁度为C.记录的部分实验数据如下:
对以上实验数据进行分析,补充完成以下内容.
(Ⅰ)选出C是0.990的所有数据组,并划“√”;
(Ⅱ)通过分析(Ⅰ)中选出的数据,发现可以用函数刻画第一次用水量和总用水量之间的关系,在平面直角坐标系中画出此函数的图象;
结果:结合实验数据,利用所画的函数图象可以推断,当第一次用水量约为______个单位质量(精确到个位)时,总用水量最小.
根据以上实验数据和结果,解决下列问题:
(1)当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时,与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位质量(结果保留小数点后一位);
(2)当采用两次清洗的方式时,若第一次用水量为6个单位质量,总用水量为7.5个单位质量,则清洗后的清洁度C______0.990(填“>”“=”或“<”).
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析,4;(1)11.3;(2)<
【解析】
【分析】(Ⅰ)直接在表格中标记即可;
(Ⅱ)根据表格中数据描点连线即可做出函数图象,再结合函数图象找到最低点,可得第一次用水量约为4个单位质量时,总用水量最小;
(1)根据表格可得,用两次清洗的方式并使总用水量最小时,用水量为7.7个单位质量,计算即可;
(2)根据表格可得当第一次用水量为6个单位质量,总用水量超过8个单位质量,则清洗后清洁度能达到0.990,若总用水量为7.5个单位质量,则清洁度达不到0.990.
【详解】(Ⅰ)表格如下:
(Ⅱ)函数图象如下:
由图象可得,当第一次用水量约为4个单位质量(精确到个位)时,总用水量最小;
(1)当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时,用水量为7.7个单位质量,
19-7.7=11.3,
即可节水约11.3个单位质量;
(2)由图可得,当第一次用水量为6个单位质量,总用水量超过8个单位质量,则清洗后的清洁度能达到0.990,
第一次用水量为6个单位质量,总用水量为7.5个单位质量,则清洗后的清洁度,
故答案为:<.
【点睛】本题考查了函数图象,根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键.
25. 在平面直角坐标系中,平行四边形的顶点A,D的坐标分别是,其中.
(1)若点B在x轴的上方,
①,求的长;
②,且.证明:四边形是菱形;
(2)抛物线经过点B,C.对于任意的,当a,m的值变化时,抛物线会不同,记其中任意两条抛物线的顶点为(与不重合),则命题“对所有的a,b,当时,一定不存在的情形.”是否正确?请说明理由.
【答案】(1)①4;②
(2)命题正确,证明见解析
【解析】
【分析】(1)①根据平行四边形中AD=BC计算即可;
②根据距离公式证明AD=AB即可说明四边形是菱形;
(2)由BC=AD求出B的横坐标,再在解析式中求出B坐标,即可求出AB的解析式,同时根据顶点坐标特征求出的解析式,再利用反证法证明即可.
【小问1详解】
①∵平行四边形
∴
∵A,D的坐标分别是,其中
∴
∵
∴
②∵,
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵平行四边形
∴四边形是菱形
【小问2详解】
命题正确,理由如下:
抛物线的对称轴为
∴顶点坐标为
∴顶点在定直线上移动
即的解析式为,
∵抛物线经过点B,C.且对称轴,
∴B点横坐标为
∴B点坐标为:
设直线AB的解析式为
则
假设对所有的a,b,当时,存在的情形,
∴对所有的a,b,当时,
∴
去分母整理得:
∵
∴,此时
∴
∵
∴互相矛盾,假设不成立
∴对所有的a,b,当时,一定不存在的情形.
【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定、反证法、二次函数的性质.解题的关键是利用平行四边形对边相等找关系,最后一问计算量比较大,需要特别注意.11.0
9.0
90
7.0
5.5
4.5
3.5
3.0
3.0
2.0
1.0
0.8
1.0
1.3
1.9
2.6
3.2
4.3
4.0
5.0
7.1
11.5
11.8
10.0
10.3
8.9
8.1
7.7
7.8
7.0
8.0
9.1
12.5
C
0.990
0.989
0.990
0.990
0.990
0.990
0.990
0.988
0.990
0.990
0.990
11.0
9.0
9.0
7.0
5.5
4.5
3.5
3.0
3.0
2.0
1.0
0.8
1.0
1.3
1.9
2.6
3.2
4.3
4.0
5.0
7.1
11.5
11.8
10.0
10.3
8.9
8.1
7.7
7.8
7.0
8.0
9.1
12.5
C
0.990
√
0.989
0.990
√
0.990
√
0.990
√
0.990
√
0.990
√
0.988
0.990
√
0.990
√
0.990
√
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