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初中数学人教版八年级下册18.2.1 矩形巩固练习
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这是一份初中数学人教版八年级下册18.2.1 矩形巩固练习，共34页。试卷主要包含了4C．2，2，等内容，欢迎下载使用。
夯实基础篇
一、单选题：
1．下列给出的判定中不能判定一个四边形是矩形的是（ ）
A．有三个角是直角B．对角线互相平分且相等
C．对角线互相垂直且相等D．一组对边平行且相等，一个角是直角
2．如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是矩形的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作交AD于E，若，则AE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．
4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AOB是等边三角形，OEBD交BC于点E，CD＝2，则CE的长为（ ）
A．1B．C．D．
5．如图，在四边形中，对角线，垂足为，点、、、分别为边、、、的中点．若，，则四边形的面积为（ ）
A．48B．24C．32D．12
6．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在直角三角形中，，，，点M是边上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，则的最小值是（ ）
A．2B．2.4C．2.5D．2.6
二、填空题：
8．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，欲使四边形ABCD变成矩形，则还需添加______．（写出一个合适的条件即可）
9．一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是______．
10．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，AC与BD应满足的的条件是___________．
11．如图，，、、、分别为角平分线，则四边形是__________．
12．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝_______度．
13．如图，在面积为36的四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于点P，则DP的长是_____
三、解答题：
14．如图，在中，，平分交于点D，分别过点A、D作、，与相交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是矩形．
15．如图，四边形是平行四边形，过点作于点，点在边上，，连接，．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若是的平分线．若 ，，求的长．
16．如图，在四边形中，ADBC，．对角线交于点平分交于点，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，=，求△的面积．
17．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，于点E，于点F，且．
(1)求证：四边形ABCD是矩形．
(2)若，求的度数．
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，点是中斜边不与，重合上一动点，分别作于点，作于点，点是的中点，若，，当点在上运动时，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在中，，M为的中点，H为上一点，过点C作，交的延长线于点，若，，则四边形周长的最小值是（ ）
A．28B．26C．22D．18
3．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题：
4．如图，在平行四边形中，，，，点在边上，且，点在线段上，点在线段的延长线上，且，连接交于点，过点作于，则___________.
5．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为______时，P、Q、C、D四点组成矩形．
三、解答题：
6．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)已知是的平分线，若，则□的面积为______．
7．如图，在中，，D是AC的中点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发向点A移动，连接PD并延长交CE于点F，设点P移动的时间为t秒．
(1)求AB与CE之间的距离；
(2)当t为何值时，四边形PBCF为平行四边形；
(3)当时，求t的值．
人教版初中数学八年级下册
18.2.2 矩形的判定 同步练习
夯实基础篇
一、单选题：
1．下列给出的判定中不能判定一个四边形是矩形的是（ ）
A．有三个角是直角B．对角线互相平分且相等
C．对角线互相垂直且相等D．一组对边平行且相等，一个角是直角
【答案】C
【分析】利用矩形的判定方法即可对各选项进行判断，得到符合题意的选项．
【详解】解：A、有三个角是直角的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；
C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，该选项原说法错误，符合题意；
D、一组对边平行且相等，一个角是直角的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；三个角都是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，熟练掌握矩形的判定方法是解本题的关键．
2．如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是矩形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可；
【详解】解：A、四边形是平行四边形，
，
，
，
平行四边形是矩形，故选项A符合题意；
B、四边形ABCD是平行四边形，，
，，
，
选项B不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B不符合题意；
C、四边形是平行四边形， ，
平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；
D、四边形是平行四边形， ，
平行四边形是菱形，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
3．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作交AD于E，若，则AE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．
【答案】C
【分析】根据矩形ABCD，得到AD=BC=8，∠ADC=90°，OA=OC，从而得证△AOE≌△COE，AE=CE，设AE=x，则EC=x，DE=8-x，利用勾股定理计算即可．
【详解】如图，连接EC，
∵ 矩形ABCD，，，
∴AD=BC=8，AB=CD=4，∠ADC=90°，OA=OC，
∵，∴∠AOE=∠COE=90°，
∵OE=OE，
∴△AOE≌△COE，AE=CE，
设AE=x，则EC=x，DE=8-x，
在Rt△DEC中，，
∴，
∴x=5，
∴AE=5，
故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，三角形全等，勾股定理是解题的关键．
4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AOB是等边三角形，OEBD交BC于点E，CD＝2，则CE的长为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据等边三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定证出平行四边形是矩形，再根据矩形的性质可得，然后利用勾股定理可得，，最后根据线段和差即可得．
【详解】解：四边形是平行四边形，，
，
是等边三角形，
，
，
平行四边形是矩形，
，
，，
，
设，则，
在中，，即，
解得或（不符题意，舍去），
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．
5．如图，在四边形中，对角线，垂足为，点、、、分别为边、、、的中点．若，，则四边形的面积为（ ）
A．48B．24C．32D．12
【答案】D
【分析】有一个角是直角的平行四边形是矩形．利用中位线定理可得出四边形EFGH矩形，根据矩形的面积公式解答即可．
【详解】解：∵点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点，
∴EFBD，且EF=BD=3．
同理求得EHACGF，且EH=GF=AC=4，
又∵AC⊥BD，
∴EFGH，FGHE且EF⊥FG．
四边形EFGH是矩形．
∴四边形EFGH的面积=EF•EH=3×4=12，即四边形EFGH的面积是12．
故选：D．
【点睛】本题考查的是中点四边形．解题时，利用了矩形的判定以及矩形的性质，矩形的判定定理有：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
6．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角形中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形，当，利用,可得即可证明四边形EFGH是矩形．
【详解】解：∵点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，
∴，且，且，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形EFGH是矩形，
∴，即，
∵，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的判定定理，三角形中位线的定义和性质，关键是利用三角形中位线定理证明四边形EFGH是平行四边形，再利用推出．
7．如图，在直角三角形中，，，，点M是边上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，则的最小值是（ ）
A．2B．2.4C．2.5D．2.6
【答案】B
【分析】根据题意可证四边形ECFM是矩形，得EF=CM，再由垂线段最短得CM最短进而可得EF最短，最后进行计算即可．
【详解】连接CM，
∵MEAC，MFBC，
∴MEC=MFC=90°,
∵C=90°，
∴四边形ECFM是矩形，
∴EF=CM，
当CMAB时，CM最短，如下图：
当CMAB，
，
∴，
∵在RtABC中，
=，
∴，
∴CM=2.4，
∴CM的最小值是2.4，
∴EF=CM=2.4，
∴EF的最小值是2.4．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定、垂线段最短定理和勾股定理，解决此题的关键是要找到CM最短时的情况．
二、填空题：
8.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，欲使四边形ABCD变成矩形，则还需添加______．（写出一个合适的条件即可）
【答案】AC=BD（答案不唯一）
【分析】根据矩形的判定条件求解即可．
【详解】解：添加条件AC=BD，利用如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
又∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：AC=BD（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，熟知矩形的判定条件是解题的关键．
9．一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是______．
【答案】三个角都是直角的四边形是矩形（或：“有一个角是直角的平行四边形是矩形”）
【分析】使用矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形
【详解】因为木板的对边平行，在进行两次锯开时都是沿着垂直于对边的方向，所以会出现4个直角，有三个角是直角的四边形是矩形．
故答案是三个角是直角的四边形是矩形．
【点睛】本题考查矩形的判定，需要熟记矩形的判定定理并灵活运用．
10．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，AC与BD应满足的的条件是___________．
【答案】
【分析】连接，先根据三角形中位线定理、平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，再根据矩形的判定即可得．
【详解】解：如图，连接，
分别为的中点，
，，
四边形为平行四边形，
要使平行四边形为矩形，则，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．
11．如图，，、、、分别为角平分线，则四边形是__________．
【答案】矩形
【分析】首先根据角平分线的性质证明∠MPQ+∠NPQ＝90°，再证明四边形PMQN是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．
【详解】解：∵PM、PN分别平分∠APQ，∠BPQ，
∴∠MPQ＝∠APQ，∠NPQ＝∠BPQ，
∵∠APQ+∠BPQ＝180°，
∴∠MPQ+∠NPQ＝90°，即∠NPM＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠APQ＝∠PQD，
∵QN平分∠PQD，
∴∠PQN＝∠PQD，
∴∠MPQ＝∠NQP，
∴PM∥QN，
同理QM∥PN，
∴四边形PMQN是平行四边形，
∵∠NPM＝90°，
∴四边形PMQN是矩形．
故答案为：矩形．
【点睛】此题主要考查了矩形的判定和平行线的性质，解题关键是根据角平分线和平行线的性质得出90°角和平行四边形．
12．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝_______度．
【答案】44
【分析】由矩形的性质可知∠OBC=∠ACB=23°，则可求得∠AOB度数，由直角三角形的性质可得∠DBE的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OB=OC，
∴∠ACB=∠OBC=23° ，
∵∠AOB=∠ACB+∠OBC=46°，且BE⊥AC ，
∴∠DBE=44° ．
故答案为：44
【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，利用矩形的对角线相等且平分求得∠OBC的度数是解题的关键．
13．如图，在面积为36的四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于点P，则DP的长是_____
【答案】6
【分析】作DE⊥BC，交BC延长线于E，如图，则四边形BEDP为矩形，再利用等角的余角相等得到∠ADP=∠CDE，则可利用“AAS”证明△ADP≌△CDE，得到DP=DE，S△ADP=S△CDE，所以四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD=S正方形BEDP，根据正方形的面积公式得到DP2=36，易得DP=6．
【详解】
如图，作DE⊥BC，交BC延长线于E，
∵DP⊥AB，ABC=90°，
∴四边形BEDP为矩形，
∴∠PDE=90°，即∠CDE+∠PDC=90°，
∵∠ADC=90°，即∠ADP+∠PDC=90°，
∴∠ADP=∠CDE，
在△ADP和△CDE中
，
∴△ADP≌△CDE，
∴DP=DE，S△ADP=S△CDE，
∴四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD=S正方形BEDP，
∴DP2=36，
∴DP=6．
故答案为6．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了正方形和矩形的性质．本题的关键的作辅助线构造两个全等的三角形．
三、解答题：
14．如图，在中，，平分交于点D，分别过点A、D作、，与相交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据、证明四边形为平行四边形，即可得出答案；
（2）由等腰三角形的性质得出，，得出，，先证出四边形是平行四边形．再证明四边形是矩形即可．
【详解】（1）证明：∵、，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）证明：∵，平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴
∴四边形是矩形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由等腰三角形的性质得出，，是解决问题的关键．
15．如图，四边形是平行四边形，过点作于点，点在边上，，连接，．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若是的平分线．若 ，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定即可证得；
（2）根据勾股定理求出长，可证得，即可得出答案．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，角平分线的定义，等角对等边，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
16．如图，在四边形中，ADBC，．对角线交于点平分交于点，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，=，求△的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据矩形的判定即可得证；
（2）先根据含角的直角三角形的性质、勾股定理可得，再根据矩形的性质可得，根据角平分线的定义和直角三角形的性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后利用三角形的面积公式即可得．
（1）
证明：，
，
∵，
，
∴四边形是矩形．
（2）
解：在中，，
，
由（1）已证：四边形是矩形，
，
平分，
，
，
，
，
则的面积为．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．
17．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，于点E，于点F，且．
(1)求证：四边形ABCD是矩形．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)10°
【分析】（1）证△AEO≌△DFO（AAS），得出OA=OD，则AC=BD，即可得出四边形ABCD是矩形．
（2）由矩形的性质得出∠ABC=∠BAD=90°，OA=OB，则∠OAB=∠OBA，求出∠BAE=40°，则∠OBA=∠OAB=50°，即可得出答案．
（1）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵于点E，于点F，
∴，
又∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）
由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，点是中斜边不与，重合上一动点，分别作于点，作于点，点是的中点，若，，当点在上运动时，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】证明四边形BMPN是矩形，得BP=MN，由勾股定理求出AC=15，当BP⊥AC时，BP最小，然后由面积法求出BP最小值，即可解决问题．
【详解】解：连接，如图所示：
，于点，于点，
四边形是矩形，，
，与互相平分，
点是的中点，
，
当时，最小
∵
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理及面积法等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
2．如图，在中，，M为的中点，H为上一点，过点C作，交的延长线于点，若，，则四边形周长的最小值是（ ）
A．28B．26C．22D．18
【答案】A
【分析】通过证明可得，可得四边形的周长即为，进而可确定当时，四边形的周长有最小值，通过证明四边形为矩形可得的长，进而可求解．
【详解】解：，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，，
四边形的周长，
当最小时，即时四边形的周长有最小值，
，，
，
四边形为矩形，
，
四边形的周长最小值为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称最短路径问题，全等三角形的判定与性质，确定的值是解题的关键．
3．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】判断出△ABE是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACB＝30°，再判断出△ABO，△DOC是等边三角形，可判断①；根据等边三角形的性质求出OB＝AB，再求出OB＝BE，可判断②，由直角三角形的性质可得BC＝AB，可判断③，由等腰三角形性质求出∠BOE＝75°，再根据∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝135°，可判断④；由面积公式可得可判断⑤；即可求解．
【详解】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∵∠CAE＝15°，
∴∠ACE＝∠AEB−∠CAE＝45°−15°＝30°，
∴∠BAO＝90°−30°＝60°，
∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD，
∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确；
∴OB＝AB，
又∵ AB＝BE，
∴OB＝BE，
∴△BOE是等腰三角形，故②正确；
在Rt△ABC中
∵∠ACB=30°
∴BC＝AB，故③错误；
∵∠OBE＝∠ABC−∠ABO＝90°−60°＝30°＝∠ACB，
∴∠BOE＝（180°−30°）＝75°，
∴∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝60°＋75°＝135°，故④错误；
∵AO＝CO，
∴，故⑤正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．
二、填空题：
4．如图，在平行四边形中，，，，点在边上，且，点在线段上，点在线段的延长线上，且，连接交于点，过点作于，则___________.
【答案】
【分析】过点M作MHBC交CP于H，根据平行线的性质可得∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF，根据等边对等角可得∠BCP＝∠BPC，然后求出∠BPC＝∠MHP，根据等角对等边可得PM＝MH，根据等腰三角形三线合一的性质可得PE＝EH，利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝FH，从而求出EF＝CP，利用勾股定理列式求出AP，然后可得PD，再次利用勾股定理列式计算即可求出CP，从而得解．
【详解】解：如图，过点M作MHBC交CP于H，
则∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF，
∵BP＝BC，
∴∠BCP＝∠BPC，
∴∠BPC＝∠MHP，
∴PM＝MH，
∵PM＝CN，
∴CN＝MH，
∵ME⊥CP，
∴PE＝EH，
在和中，，
∴（AAS），
∴CF＝FH，
∴EF＝EH＋FH＝CP，
∵在平行四边形ABCD中，AD＝10，，
∴BC＝AD＝10，平行四边形ABCD是矩形，
∴BP＝BC＝10，
在Rt中，AP＝，
∴PD＝AD−AP＝10−6＝4，
∵在矩形ABCD中，∠D＝90°，
∴在Rt中，CP＝，
∴EF＝CP＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．
5．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为______时，P、Q、C、D四点组成矩形．
【答案】2.4s或4s或7.2s
【分析】根据已知可知：点Q将由根据矩形的性质得到AD∥BC，设过了t秒，当AP=BQ时，P、Q、C、D四点组成矩形，在点Q由的过程中，则PA=t，BQ=12-4t，求得t=2.4（s），在点Q由的过程中，t=4（t-3），求得t=4（s），在点Q再由中，t=12-4（t-6），求得t=7.2（s），在点Q再由的过程中，t=4（t-9），t=13（s），故此舍去，从而得到结论．
【详解】解：根据已知可知：点Q由
在点Q第一次到达点B过程中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
若， 则四边形APQB是矩形，则以P、Q、C、D四点为顶点组成矩形．
设过了t秒，则PA=t，BQ=12-4t，
∴t=12-4t，
∴t=2.4（s），
在点Q由的过程中，
设过了t秒，则PA=t，BQ=4（t-3），
t=4（t-3），
解得：t=4（s），
在点Q再由过程中，
设过了t秒，则PA=t，BQ=12-4（t-6），
t=12-4（t-6），
解得：t=7.2（s），
在点Q再由的过程中，
设过了t秒，则PA=t，BQ=4（t-9），
t=4（t-9），
解得：t=13（s）>12(s)，故此舍去．
故答案为：2.4s或4s或7.2s；
【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，此题属于动点型题目．解题时要注意数形结合与方程思想的应用．
三、解答题：
6．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)已知是的平分线，若，则□的面积为______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明平行四边形是矩形．
(2）根据边角的关系，得到，再根据S行四边形进行计算．
【详解】（1）证明：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴ ，
，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查平行四边形及矩形判定，角平分线的性质，勾股定理及平行四边形面积计算，能够熟练运用平行四边形的性质是解题关键．
7．如图，在中，，D是AC的中点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发向点A移动，连接PD并延长交CE于点F，设点P移动的时间为t秒．
(1)求AB与CE之间的距离；
(2)当t为何值时，四边形PBCF为平行四边形；
(3)当时，求t的值．
【答案】(1)2.4
(2)t为时，四边形PBCF为平行四边形
(3)
【分析】（1）根据勾股定理，可得的长，根据面积的不同表示方法，可得答案；
（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得答案；
（3）根据已知条件判定，即可得出，进而得到四边形为平行四边形，依据，即可得到四边形为矩形．再根据勾股定理即可得到的长，进而得出．
（1）
解：在中，，，
．
如图，过作于，则由，
得．
，
与之间的距离为2.4．
（2）
，
当时，四边形是平行四边形．
为的中点，
为的中点．
．
（3）
，
，．
为的中点，
，
．
，
四边形为平行四边形．
，．
．
四边形为矩形．
．
在中，，，
．
．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
夯实基础篇
一、单选题：
1．下列给出的判定中不能判定一个四边形是矩形的是（ ）
A．有三个角是直角B．对角线互相平分且相等
C．对角线互相垂直且相等D．一组对边平行且相等，一个角是直角
2．如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是矩形的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作交AD于E，若，则AE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．
4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AOB是等边三角形，OEBD交BC于点E，CD＝2，则CE的长为（ ）
A．1B．C．D．
5．如图，在四边形中，对角线，垂足为，点、、、分别为边、、、的中点．若，，则四边形的面积为（ ）
A．48B．24C．32D．12
6．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在直角三角形中，，，，点M是边上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，则的最小值是（ ）
A．2B．2.4C．2.5D．2.6
二、填空题：
8．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，欲使四边形ABCD变成矩形，则还需添加______．（写出一个合适的条件即可）
9．一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是______．
10．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，AC与BD应满足的的条件是___________．
11．如图，，、、、分别为角平分线，则四边形是__________．
12．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝_______度．
13．如图，在面积为36的四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于点P，则DP的长是_____
三、解答题：
14．如图，在中，，平分交于点D，分别过点A、D作、，与相交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是矩形．
15．如图，四边形是平行四边形，过点作于点，点在边上，，连接，．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若是的平分线．若 ，，求的长．
16．如图，在四边形中，ADBC，．对角线交于点平分交于点，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，=，求△的面积．
17．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，于点E，于点F，且．
(1)求证：四边形ABCD是矩形．
(2)若，求的度数．
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，点是中斜边不与，重合上一动点，分别作于点，作于点，点是的中点，若，，当点在上运动时，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在中，，M为的中点，H为上一点，过点C作，交的延长线于点，若，，则四边形周长的最小值是（ ）
A．28B．26C．22D．18
3．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题：
4．如图，在平行四边形中，，，，点在边上，且，点在线段上，点在线段的延长线上，且，连接交于点，过点作于，则___________.
5．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为______时，P、Q、C、D四点组成矩形．
三、解答题：
6．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)已知是的平分线，若，则□的面积为______．
7．如图，在中，，D是AC的中点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发向点A移动，连接PD并延长交CE于点F，设点P移动的时间为t秒．
(1)求AB与CE之间的距离；
(2)当t为何值时，四边形PBCF为平行四边形；
(3)当时，求t的值．
人教版初中数学八年级下册
18.2.2 矩形的判定 同步练习
夯实基础篇
一、单选题：
1．下列给出的判定中不能判定一个四边形是矩形的是（ ）
A．有三个角是直角B．对角线互相平分且相等
C．对角线互相垂直且相等D．一组对边平行且相等，一个角是直角
【答案】C
【分析】利用矩形的判定方法即可对各选项进行判断，得到符合题意的选项．
【详解】解：A、有三个角是直角的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；
C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，该选项原说法错误，符合题意；
D、一组对边平行且相等，一个角是直角的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；三个角都是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，熟练掌握矩形的判定方法是解本题的关键．
2．如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是矩形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可；
【详解】解：A、四边形是平行四边形，
，
，
，
平行四边形是矩形，故选项A符合题意；
B、四边形ABCD是平行四边形，，
，，
，
选项B不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B不符合题意；
C、四边形是平行四边形， ，
平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；
D、四边形是平行四边形， ，
平行四边形是菱形，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
3．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作交AD于E，若，则AE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．
【答案】C
【分析】根据矩形ABCD，得到AD=BC=8，∠ADC=90°，OA=OC，从而得证△AOE≌△COE，AE=CE，设AE=x，则EC=x，DE=8-x，利用勾股定理计算即可．
【详解】如图，连接EC，
∵ 矩形ABCD，，，
∴AD=BC=8，AB=CD=4，∠ADC=90°，OA=OC，
∵，∴∠AOE=∠COE=90°，
∵OE=OE，
∴△AOE≌△COE，AE=CE，
设AE=x，则EC=x，DE=8-x，
在Rt△DEC中，，
∴，
∴x=5，
∴AE=5，
故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，三角形全等，勾股定理是解题的关键．
4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AOB是等边三角形，OEBD交BC于点E，CD＝2，则CE的长为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据等边三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定证出平行四边形是矩形，再根据矩形的性质可得，然后利用勾股定理可得，，最后根据线段和差即可得．
【详解】解：四边形是平行四边形，，
，
是等边三角形，
，
，
平行四边形是矩形，
，
，，
，
设，则，
在中，，即，
解得或（不符题意，舍去），
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．
5．如图，在四边形中，对角线，垂足为，点、、、分别为边、、、的中点．若，，则四边形的面积为（ ）
A．48B．24C．32D．12
【答案】D
【分析】有一个角是直角的平行四边形是矩形．利用中位线定理可得出四边形EFGH矩形，根据矩形的面积公式解答即可．
【详解】解：∵点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点，
∴EFBD，且EF=BD=3．
同理求得EHACGF，且EH=GF=AC=4，
又∵AC⊥BD，
∴EFGH，FGHE且EF⊥FG．
四边形EFGH是矩形．
∴四边形EFGH的面积=EF•EH=3×4=12，即四边形EFGH的面积是12．
故选：D．
【点睛】本题考查的是中点四边形．解题时，利用了矩形的判定以及矩形的性质，矩形的判定定理有：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
6．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角形中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形，当，利用,可得即可证明四边形EFGH是矩形．
【详解】解：∵点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，
∴，且，且，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形EFGH是矩形，
∴，即，
∵，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的判定定理，三角形中位线的定义和性质，关键是利用三角形中位线定理证明四边形EFGH是平行四边形，再利用推出．
7．如图，在直角三角形中，，，，点M是边上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，则的最小值是（ ）
A．2B．2.4C．2.5D．2.6
【答案】B
【分析】根据题意可证四边形ECFM是矩形，得EF=CM，再由垂线段最短得CM最短进而可得EF最短，最后进行计算即可．
【详解】连接CM，
∵MEAC，MFBC，
∴MEC=MFC=90°,
∵C=90°，
∴四边形ECFM是矩形，
∴EF=CM，
当CMAB时，CM最短，如下图：
当CMAB，
，
∴，
∵在RtABC中，
=，
∴，
∴CM=2.4，
∴CM的最小值是2.4，
∴EF=CM=2.4，
∴EF的最小值是2.4．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定、垂线段最短定理和勾股定理，解决此题的关键是要找到CM最短时的情况．
二、填空题：
8.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，欲使四边形ABCD变成矩形，则还需添加______．（写出一个合适的条件即可）
【答案】AC=BD（答案不唯一）
【分析】根据矩形的判定条件求解即可．
【详解】解：添加条件AC=BD，利用如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
又∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：AC=BD（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，熟知矩形的判定条件是解题的关键．
9．一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是______．
【答案】三个角都是直角的四边形是矩形（或：“有一个角是直角的平行四边形是矩形”）
【分析】使用矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形
【详解】因为木板的对边平行，在进行两次锯开时都是沿着垂直于对边的方向，所以会出现4个直角，有三个角是直角的四边形是矩形．
故答案是三个角是直角的四边形是矩形．
【点睛】本题考查矩形的判定，需要熟记矩形的判定定理并灵活运用．
10．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，AC与BD应满足的的条件是___________．
【答案】
【分析】连接，先根据三角形中位线定理、平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，再根据矩形的判定即可得．
【详解】解：如图，连接，
分别为的中点，
，，
四边形为平行四边形，
要使平行四边形为矩形，则，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．
11．如图，，、、、分别为角平分线，则四边形是__________．
【答案】矩形
【分析】首先根据角平分线的性质证明∠MPQ+∠NPQ＝90°，再证明四边形PMQN是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．
【详解】解：∵PM、PN分别平分∠APQ，∠BPQ，
∴∠MPQ＝∠APQ，∠NPQ＝∠BPQ，
∵∠APQ+∠BPQ＝180°，
∴∠MPQ+∠NPQ＝90°，即∠NPM＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠APQ＝∠PQD，
∵QN平分∠PQD，
∴∠PQN＝∠PQD，
∴∠MPQ＝∠NQP，
∴PM∥QN，
同理QM∥PN，
∴四边形PMQN是平行四边形，
∵∠NPM＝90°，
∴四边形PMQN是矩形．
故答案为：矩形．
【点睛】此题主要考查了矩形的判定和平行线的性质，解题关键是根据角平分线和平行线的性质得出90°角和平行四边形．
12．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝_______度．
【答案】44
【分析】由矩形的性质可知∠OBC=∠ACB=23°，则可求得∠AOB度数，由直角三角形的性质可得∠DBE的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OB=OC，
∴∠ACB=∠OBC=23° ，
∵∠AOB=∠ACB+∠OBC=46°，且BE⊥AC ，
∴∠DBE=44° ．
故答案为：44
【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，利用矩形的对角线相等且平分求得∠OBC的度数是解题的关键．
13．如图，在面积为36的四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于点P，则DP的长是_____
【答案】6
【分析】作DE⊥BC，交BC延长线于E，如图，则四边形BEDP为矩形，再利用等角的余角相等得到∠ADP=∠CDE，则可利用“AAS”证明△ADP≌△CDE，得到DP=DE，S△ADP=S△CDE，所以四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD=S正方形BEDP，根据正方形的面积公式得到DP2=36，易得DP=6．
【详解】
如图，作DE⊥BC，交BC延长线于E，
∵DP⊥AB，ABC=90°，
∴四边形BEDP为矩形，
∴∠PDE=90°，即∠CDE+∠PDC=90°，
∵∠ADC=90°，即∠ADP+∠PDC=90°，
∴∠ADP=∠CDE，
在△ADP和△CDE中
，
∴△ADP≌△CDE，
∴DP=DE，S△ADP=S△CDE，
∴四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD=S正方形BEDP，
∴DP2=36，
∴DP=6．
故答案为6．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了正方形和矩形的性质．本题的关键的作辅助线构造两个全等的三角形．
三、解答题：
14．如图，在中，，平分交于点D，分别过点A、D作、，与相交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据、证明四边形为平行四边形，即可得出答案；
（2）由等腰三角形的性质得出，，得出，，先证出四边形是平行四边形．再证明四边形是矩形即可．
【详解】（1）证明：∵、，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）证明：∵，平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴
∴四边形是矩形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由等腰三角形的性质得出，，是解决问题的关键．
15．如图，四边形是平行四边形，过点作于点，点在边上，，连接，．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若是的平分线．若 ，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定即可证得；
（2）根据勾股定理求出长，可证得，即可得出答案．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，角平分线的定义，等角对等边，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
16．如图，在四边形中，ADBC，．对角线交于点平分交于点，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，=，求△的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据矩形的判定即可得证；
（2）先根据含角的直角三角形的性质、勾股定理可得，再根据矩形的性质可得，根据角平分线的定义和直角三角形的性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后利用三角形的面积公式即可得．
（1）
证明：，
，
∵，
，
∴四边形是矩形．
（2）
解：在中，，
，
由（1）已证：四边形是矩形，
，
平分，
，
，
，
，
则的面积为．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．
17．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，于点E，于点F，且．
(1)求证：四边形ABCD是矩形．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)10°
【分析】（1）证△AEO≌△DFO（AAS），得出OA=OD，则AC=BD，即可得出四边形ABCD是矩形．
（2）由矩形的性质得出∠ABC=∠BAD=90°，OA=OB，则∠OAB=∠OBA，求出∠BAE=40°，则∠OBA=∠OAB=50°，即可得出答案．
（1）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵于点E，于点F，
∴，
又∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）
由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，点是中斜边不与，重合上一动点，分别作于点，作于点，点是的中点，若，，当点在上运动时，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】证明四边形BMPN是矩形，得BP=MN，由勾股定理求出AC=15，当BP⊥AC时，BP最小，然后由面积法求出BP最小值，即可解决问题．
【详解】解：连接，如图所示：
，于点，于点，
四边形是矩形，，
，与互相平分，
点是的中点，
，
当时，最小
∵
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理及面积法等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
2．如图，在中，，M为的中点，H为上一点，过点C作，交的延长线于点，若，，则四边形周长的最小值是（ ）
A．28B．26C．22D．18
【答案】A
【分析】通过证明可得，可得四边形的周长即为，进而可确定当时，四边形的周长有最小值，通过证明四边形为矩形可得的长，进而可求解．
【详解】解：，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，，
四边形的周长，
当最小时，即时四边形的周长有最小值，
，，
，
四边形为矩形，
，
四边形的周长最小值为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称最短路径问题，全等三角形的判定与性质，确定的值是解题的关键．
3．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】判断出△ABE是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACB＝30°，再判断出△ABO，△DOC是等边三角形，可判断①；根据等边三角形的性质求出OB＝AB，再求出OB＝BE，可判断②，由直角三角形的性质可得BC＝AB，可判断③，由等腰三角形性质求出∠BOE＝75°，再根据∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝135°，可判断④；由面积公式可得可判断⑤；即可求解．
【详解】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∵∠CAE＝15°，
∴∠ACE＝∠AEB−∠CAE＝45°−15°＝30°，
∴∠BAO＝90°−30°＝60°，
∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD，
∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确；
∴OB＝AB，
又∵ AB＝BE，
∴OB＝BE，
∴△BOE是等腰三角形，故②正确；
在Rt△ABC中
∵∠ACB=30°
∴BC＝AB，故③错误；
∵∠OBE＝∠ABC−∠ABO＝90°−60°＝30°＝∠ACB，
∴∠BOE＝（180°−30°）＝75°，
∴∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝60°＋75°＝135°，故④错误；
∵AO＝CO，
∴，故⑤正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．
二、填空题：
4．如图，在平行四边形中，，，，点在边上，且，点在线段上，点在线段的延长线上，且，连接交于点，过点作于，则___________.
【答案】
【分析】过点M作MHBC交CP于H，根据平行线的性质可得∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF，根据等边对等角可得∠BCP＝∠BPC，然后求出∠BPC＝∠MHP，根据等角对等边可得PM＝MH，根据等腰三角形三线合一的性质可得PE＝EH，利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝FH，从而求出EF＝CP，利用勾股定理列式求出AP，然后可得PD，再次利用勾股定理列式计算即可求出CP，从而得解．
【详解】解：如图，过点M作MHBC交CP于H，
则∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF，
∵BP＝BC，
∴∠BCP＝∠BPC，
∴∠BPC＝∠MHP，
∴PM＝MH，
∵PM＝CN，
∴CN＝MH，
∵ME⊥CP，
∴PE＝EH，
在和中，，
∴（AAS），
∴CF＝FH，
∴EF＝EH＋FH＝CP，
∵在平行四边形ABCD中，AD＝10，，
∴BC＝AD＝10，平行四边形ABCD是矩形，
∴BP＝BC＝10，
在Rt中，AP＝，
∴PD＝AD−AP＝10−6＝4，
∵在矩形ABCD中，∠D＝90°，
∴在Rt中，CP＝，
∴EF＝CP＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．
5．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为______时，P、Q、C、D四点组成矩形．
【答案】2.4s或4s或7.2s
【分析】根据已知可知：点Q将由根据矩形的性质得到AD∥BC，设过了t秒，当AP=BQ时，P、Q、C、D四点组成矩形，在点Q由的过程中，则PA=t，BQ=12-4t，求得t=2.4（s），在点Q由的过程中，t=4（t-3），求得t=4（s），在点Q再由中，t=12-4（t-6），求得t=7.2（s），在点Q再由的过程中，t=4（t-9），t=13（s），故此舍去，从而得到结论．
【详解】解：根据已知可知：点Q由
在点Q第一次到达点B过程中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
若， 则四边形APQB是矩形，则以P、Q、C、D四点为顶点组成矩形．
设过了t秒，则PA=t，BQ=12-4t，
∴t=12-4t，
∴t=2.4（s），
在点Q由的过程中，
设过了t秒，则PA=t，BQ=4（t-3），
t=4（t-3），
解得：t=4（s），
在点Q再由过程中，
设过了t秒，则PA=t，BQ=12-4（t-6），
t=12-4（t-6），
解得：t=7.2（s），
在点Q再由的过程中，
设过了t秒，则PA=t，BQ=4（t-9），
t=4（t-9），
解得：t=13（s）>12(s)，故此舍去．
故答案为：2.4s或4s或7.2s；
【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，此题属于动点型题目．解题时要注意数形结合与方程思想的应用．
三、解答题：
6．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)已知是的平分线，若，则□的面积为______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明平行四边形是矩形．
(2）根据边角的关系，得到，再根据S行四边形进行计算．
【详解】（1）证明：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴ ，
，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查平行四边形及矩形判定，角平分线的性质，勾股定理及平行四边形面积计算，能够熟练运用平行四边形的性质是解题关键．
7．如图，在中，，D是AC的中点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发向点A移动，连接PD并延长交CE于点F，设点P移动的时间为t秒．
(1)求AB与CE之间的距离；
(2)当t为何值时，四边形PBCF为平行四边形；
(3)当时，求t的值．
【答案】(1)2.4
(2)t为时，四边形PBCF为平行四边形
(3)
【分析】（1）根据勾股定理，可得的长，根据面积的不同表示方法，可得答案；
（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得答案；
（3）根据已知条件判定，即可得出，进而得到四边形为平行四边形，依据，即可得到四边形为矩形．再根据勾股定理即可得到的长，进而得出．
（1）
解：在中，，，
．
如图，过作于，则由，
得．
，
与之间的距离为2.4．
（2）
，
当时，四边形是平行四边形．
为的中点，
为的中点．
．
（3）
，
，．
为的中点，
，
．
，
四边形为平行四边形．
，．
．
四边形为矩形．
．
在中，，，
．
．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
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