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人教版七年级数学下册同步练习第01讲平方根(3个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固)(原卷版+解析)
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这是一份人教版七年级数学下册同步练习第01讲平方根(3个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固)(原卷版+解析)，共29页。
知识点01 算术平方根
算术平方根的定义及其表示方法：
一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根。记为 。读作根号。所以就表示的算术平方根。
其中叫做根号，叫做被开方数。
规定0的算术平方根是 。
算术平方根的性质：
①正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方根。0的算术平方根是0本身。
②算术平方根的双重非负性：
只有 才有算术平方根，且它的算术平方根也是一个 。所以算术平方根本身 ，算术平方根的被开方数也 。即 0， 0。
非负性的应用：
几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0。
即若，则 。
③一个正数的算术平方根的平方等于这个数本身。即 。
④一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。再根据这个数的正负去绝对值符号。
即 。
【即学即练1】
1．求下列各数的算术平方根．
（1）196 （2） （3）0.04 （4）102．
【即学即练2】
2．（1）＝ ，＝ ，＝ ，＝ ，＝ ，对于任意实数0，猜想＝ ．
（2）（）2＝ ，（）2＝ ，（）2＝ ，（）2＝ ，对于任意非负数a，猜想（）2＝ ．
【即学即练3】
3．如果，则＝ ．
知识点02 估算算术平方根
估算算术平方根的方法——夹逼法：
具体步骤：
①估算被开方数在那两个完全平方数之间（若一个数能被写成某个整数的平方，则称这个数为平方数）；
②确定无理数的整数步骤；
③按要求估算。
理论依据：
被开方数越大，则对应的算术平方根也越大。
【即学即练1】
4．请你估算的大小，大致范围是（ ）
A．1＜＜2B．2＜＜3C．3＜＜4D．4＜＜5
知识点03 平方根的概念与性质
平方根的概念：
如果一个数的平方等于，则这个数就叫做的 ，也叫做的二次方根。表示为 。
平方根的性质：
①正数的平方根有 个，分别是 与 ，他们互为 。
②规定0的平方根是 。所以0的平方根只有一个，就是它本身。
③负数没有平方根。
求一个数的平方根：
求一个数的平方根的运算就做开平方，与平方预算互为逆运算。
即，则。可表示为，。
【即学即练1】
5．求下列各数的平方根：
（1）121； （2）0.01； （3）； （4）（﹣13）2．
【即学即练2】
6．一个数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则这个数是（ ）
A．﹣1B．3C．9D．﹣3
【即学即练3】
7．求下列各式中x的值．
（1）x2﹣25＝0； （2）（x﹣1）2＝64．
题型01 求算术平方根
【典例1】实数9的算术平方根是（ ）
A．3B．±3C．D．﹣9
【变式1】的算术平方根是（ ）
A．±9B．±3C．9D．3
【变式2】求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）．
【变式3】已知＝x，，z是9的算术平方根，求2x+y﹣z的算术平方根．
题型02 求平方根
【典例1】4的平方根是（ ）
A．﹣2B．2C．±2D．16
【变式1】（﹣9）2的平方根是（ ）
A．﹣9B．±9C．81D．
【变式2】的平方根是（ ）
A．4B．±4C．±2D．2
【变式3】求下列各数的平方根：
（1）49； （2）； （3）2； （4）0.36； （5）．
题型03 算术平方根的非负性应用
【典例1】若+＝0，则x2023+y2024的值（ ）
A．0B．1C．﹣1D．2
【变式1】已知|a﹣1|+＝0，则a+b的值为（ ）
A．﹣4B．﹣2C．2D．4
【变式2】若实数x、y满足+（y﹣3）2＝0，则等于（ ）
A．0B．5C．4D．±4
【变式3】若实数x，y满足|x﹣3|+＝0，则（x+y）3的平方根为（ ）
A．4B．8C．±4D．±8
【变式4】+|b+2|＝0，则的值是（ ）
A．0B．2018C．﹣1D．1
题型04 算术平方根的估算
【典例1】下列整数中，与最接近的是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式1】的值介于下列哪两个整数之间（ ）
A．30，35B．35，40C．40，45D．45，50
【变式2】若，则整数n的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．﹣2
【变式3】如图，数轴上表示的点应在（ ）
A．线段AB上B．线段BC上C．线段CD上D．线段DE上
【变式4】实数在两个相邻的整数m与m+1之间，则整数m是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式5】已知a是的整数部分，b是它的小数部分，则（﹣a）3+（b+3）2＝ ．
题型05 利用两个平方根的关系求值
【典例1】一个正数的两个平方根分别是3与a+2，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．﹣3D．﹣5
【变式1】一个正数的两个平方根分别是2a﹣3和5﹣a，则这个数是（ ）
A．49B．25C．16D．7
【变式2】若一个正数的平方根是2a﹣5和a+2，则a＝ ，这个正数是 ．
【变式3】若＝2，正数b的两个平方根分别是2c﹣1和﹣c+2，求2a+b+c平方根．
题型06 利用求平方根解方程
【典例1】解方程：
（1）16x2＝49； （2）（x﹣2）2＝64．
【变式1】求下列各式中x的值：
（1）9x2﹣25＝0； （2）4（2x﹣1）2＝36．
【变式2】解方程：
（1）25x2﹣49＝0； （2）2（x+1）2﹣49＝1．
1．平方根等于它本身的数是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．±1
2．下列说法正确的是（ ）
A．﹣4的平方根是±2
B．﹣4的算术平方根是﹣2
C．的平方根是±4
D．0的平方根与算术平方根都是0
3．式子表示（ ）
A．﹣3的算术平方根B．6的算术平方根
C．9的平方根D．9的算术平方根
4．下列各式正确的是（ ）
A．＝±4B．＝﹣3C．±＝±9D．＝2
5．已知m＝20212+20222，则的值为（ ）
A．2021B．2022C．4043D．4044
6．在下列结论中，正确的是（ ）
A．B．x4的算术平方根是x2
C．﹣x2一定没有平方根D．的算术平方根是
7．已知，，则＝（ ）
A．35.12B．351.2C．111.08D．1110.8
8．一个正数的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2，则a为（ ）
A．0B．﹣1C．9D．1
9．，则x+y+z的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
10．数学实践课上，老师给同学们提供面积均为400cm2的正方形纸片，要求沿着边的方向裁出长方形．小明、小丽两位同学设计出两种裁剪方案．
小明的方案：能裁出一个长宽之比为3：2，面积为300cm2的长方形；
小丽的方案：能裁出一个长宽之比为5：3，面积为300cm2的长方形．
对于这两个方案的判断，符合实际情况的是（ ）
A．小明、小丽的方案均正确
B．小明的方案正确，小丽的方案错误
C．小明、小丽的方案均错误
D．小明的方案错误，小丽的方案正确
11．的平方根是 ．
12．已知某数的一个平方根为，则这个数的另一个平方根为 ．
13．若单项式2xmy3与3x2ym+n是同类项，则的值为 ．
14．2m﹣4和6﹣m是正数a的两个平方根，则a的值为 ．
15．已知有理数x，y，z满足，那么（x﹣yz）2的平方根为 ．
16．利用平方根求下列x的值：
（1）x2＝9； （2）（x+2）2﹣81＝0．
17．（1）已知正数x的两个平方根分别是2a﹣3和5﹣a，求a2和x的值；
（2）若＝0，求3x+6的平方根．
18．某小区准备修建一个面积为75m2的花坛，甲、乙两个工程队给出如下两个施工方案．
甲：花坛为长方形，且长与宽的比为3：1．
乙：花坛为正方形．
（1）求长方形花坛的宽．
（2）嘉淇说：“正方形花坛的边长肯定比长方形花坛的宽长3m．”请你判断嘉淇的说法是否正确，并通过计算说明．
19．【观察】|﹣2|＝2，|2|＝2；（﹣3）2＝9，32＝9．
【推理】
（1）若|x|＝1，则x＝ ；
（2）若y2＝16，则y＝ ．
【应用】
（3）已知|a+1|＝2，b2＝25．
①求a，b的值；
②若a，b同号，求a﹣b的值．
20．按要求填空：
（1）填表并观察规律：
（2）根据你发现的规律填空：
已知：＝2.638，则＝ ；
已知：＝0.06164，＝61.64，则x＝ ；
（3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明．
课程标准
学习目标
①算术平方根
②算术平方根的估算
③平方根的概念及其性质
掌握算术平方根的概念及其性质，并能够熟练的进行应用及其求值。
掌握算术平方根的估算方法，能够进行大小比较。
掌握平方根的概念及其性质，并能熟练的应用及其求值。
a
0.0004
0.04
4
400
第01讲 平方根
知识点01 算术平方根
算术平方根的定义及其表示方法：
一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根。记为 。读作根号。所以就表示的算术平方根。
其中叫做根号，叫做被开方数。
规定0的算术平方根是 0 。
算术平方根的性质：
①正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方根。0的算术平方根是0本身。
②算术平方根的双重非负性：
只有 非负数 才有算术平方根，且它的算术平方根也是一个 非负数 。所以算术平方根本身 大于等于0 ，算术平方根的被开方数也 大于等于0 。即 ≥ 0， ≥ 0。
非负性的应用：
几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0。
即若，则 0 。
③一个正数的算术平方根的平方等于这个数本身。即 。
④一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。再根据这个数的正负去绝对值符号。
即 。
【即学即练1】
1．求下列各数的算术平方根．
（1）196 （2） （3）0.04 （4）102．
【分析】利用算术平方根的定义计算即可得到结果．
【解答】解：（1）＝14；
（2）＝；
（3）＝0.2；
（4）＝10．
【即学即练2】
2．（1）＝ 2 ，＝ 3 ，＝ 5 ，＝ 6 ，＝ 0 ，对于任意实数0，猜想＝ |a| ．
（2）（）2＝ 4 ，（）2＝ 9 ，（）2＝ 25 ，（）2＝ 36 ，对于任意非负数a，猜想（）2＝ |a| ．
【分析】（1）由＝|a|进行解答；
（2）由（）2＝•进行计算．
【解答】解：（1）＝|2|＝2，＝|﹣3|＝3，＝|5|＝5，＝|﹣6|＝6，＝6，对于任意实数0，猜想＝|a|．
（2）（）2＝＝|4|＝4，同理（）2＝9，（）2＝25，（）2＝36，对于任意非负数a，猜想（）2＝|a|．
故答案为：2，3，5，6，0，|a|；4，9，25，36．|a|．
【即学即练3】
3．如果，则＝ 2 ．
【分析】根据两个非负数的和是0，即可得到这两个数都等于0，从而得到关于a，b的方程求得a，b的值，进而求得代数式的值．
【解答】解：根据题意得：a﹣2＝0，4﹣b＝0，
解得：a＝2，b＝4，
则＝＝2．
故答案为：2．
知识点02 估算算术平方根
估算算术平方根的方法——夹逼法：
具体步骤：
①估算被开方数在那两个完全平方数之间（若一个数能被写成某个整数的平方，则称这个数为平方数）；
②确定无理数的整数步骤；
③按要求估算。
理论依据：
被开方数越大，则对应的算术平方根也越大。
【即学即练1】
4．请你估算的大小，大致范围是（ ）
A．1＜＜2B．2＜＜3C．3＜＜4D．4＜＜5
【分析】求出的范围即可．
【解答】解：∵＜＜，
∴3＜＜4，
故选：C．
知识点03 平方根的概念与性质
平方根的概念：
如果一个数的平方等于，则这个数就叫做的 平方根 ，也叫做的二次方根。表示为 。
平方根的性质：
①正数的平方根有 2 个，分别是 与 ，他们互为 相反数 。
②规定0的平方根是 0 。所以0的平方根只有一个，就是它本身。
③负数没有平方根。
求一个数的平方根：
求一个数的平方根的运算就做开平方，与平方预算互为逆运算。
即，则。可表示为，。
【即学即练1】
5．求下列各数的平方根：
（1）121； （2）0.01； （3）； （4）（﹣13）2．
【分析】（1）根据平方根的定义，进行求解即可；
（2）根据平方根的定义，进行求解即可；
（3）根据平方根的定义，进行求解即可；
（4）根据平方根的定义，进行求解即可．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【即学即练2】
6．一个数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则这个数是（ ）
A．﹣1B．3C．9D．﹣3
【分析】根据一个数的两个平方根的特点，列方程求出a的值，进而确定这个数．
【解答】解：由题意得，
2a﹣1﹣a+2＝0，
解得a＝﹣1，
所以2a﹣1＝﹣3，﹣a+2＝3，
即一个数的两个平方根分别是3与﹣3，
所以这个数是9，
故选：C．
【即学即练3】
7．求下列各式中x的值．
（1）x2﹣25＝0； （2）（x﹣1）2＝64．
【分析】运用平方根知识进行求解．
【解答】解：（1）移项，得x2＝25，
开平方，得x＝±5；
（2）开平方，得x﹣1＝±8，
解得x＝9或x＝﹣7．
题型01 求算术平方根
【典例1】实数9的算术平方根是（ ）
A．3B．±3C．D．﹣9
【分析】根据算术平方根的定义，即可解答．
【解答】解：实数9的算术平方根是3，
故选：A．
【变式1】的算术平方根是（ ）
A．±9B．±3C．9D．3
【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后即可求出其算术平方根．
【解答】解：∵＝9，
又∵（±3）2＝9，
∴9的平方根是±3，
∴9的算术平方根是3．
即的算术平方根是3．
故选：D．
【变式2】求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）．
【分析】（1）根据算式平方根的定义，进行计算即可；
（2）先计算根号下的减法运算，然后再根据算式平方根的定义，进行计算即可；
（3）根据算术平方根的定义，进行计算即可．
【解答】解：（1）
＝
＝9；
（2）
＝
＝
＝；
（3）﹣
＝﹣
＝﹣
＝﹣．
【变式3】已知＝x，，z是9的算术平方根，求2x+y﹣z的算术平方根．
【分析】根据＝x，＝2，z是9的算术平方根，可以求得x、y、z的值，从而可以解答本题．
【解答】解：∵＝x，
∴x＝5；
∵＝2，
∴y＝4；
∵z是9的算术平方根，
∴z＝3；
∴2x+y﹣z＝2×5+4﹣3＝11，
∴2x+y﹣z的算术平方根是．
题型02 求平方根
【典例1】4的平方根是（ ）
A．﹣2B．2C．±2D．16
【分析】根据平方根的定义进行解答即可．
【解答】解：∵（±2）2＝4，
∴4的平方根为±2，
故选：C．
【变式1】（﹣9）2的平方根是（ ）
A．﹣9B．±9C．81D．
【分析】直接根据平方根的定义解答即可．
【解答】解：∵（﹣9）2＝81，（±9）2＝81，
∴（﹣9）2的平方根是±9．
故选：B．
【变式2】的平方根是（ ）
A．4B．±4C．±2D．2
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：＝4，4的平方根是±2．
故选：C．
【变式3】求下列各数的平方根：
（1）49； （2）； （3）2； （4）0.36； （5）．
【分析】（1）根据平方根的定义求一个数的平方根；
（2）根据平方根的定义求一个数的平方根；
（3）根据平方根的定义求一个数的平方根；
（4）根据平方根的定义求一个数的平方根；
（5）根据平方根的定义求一个数的平方根．
【解答】解：（1）∵（±7）2＝49，
∴49的平方根是±7；
（2）∵，
∴的平方根是；
（3）∵
∴的平方根是；
（4）∵（±0.6）2＝0.36
∴0.36的平方根是±0.6；
（5）∵，
∴的平方根是．
题型03 算术平方根的非负性应用
【典例1】若+＝0，则x2023+y2024的值（ ）
A．0B．1C．﹣1D．2
【分析】先根据非负数的性质求出x、y，再代入x2023+y2024，计算即可．
【解答】解：∵+＝0，
∴x﹣1＝0，x+y＝0，
∴x＝1，y＝﹣1，
∴x2023+y2024＝1+1＝2．
故选：D．
【变式1】已知|a﹣1|+＝0，则a+b的值为（ ）
A．﹣4B．﹣2C．2D．4
【分析】利用非负数的性质求出a与b的值，即可求出a+b的值．
【解答】解：∵|a﹣1|+＝0，
∴a﹣1＝0，3﹣b＝0，
解得a＝1，b＝3，
∴a+b＝1+3＝4．
故选：D．
【变式2】若实数x、y满足+（y﹣3）2＝0，则等于（ ）
A．0B．5C．4D．±4
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵+（y﹣3）2＝0，
∴x﹣2＝0，y﹣3＝0，
解得x＝2，y＝3，
∴＝＝4，
故选：C．
【变式3】若实数x，y满足|x﹣3|+＝0，则（x+y）3的平方根为（ ）
A．4B．8C．±4D．±8
【分析】利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案．
【解答】解：∵|x﹣3|+＝0，
∴x﹣3＝0，y﹣1＝0，
∴x＝3，y＝1，
则（x+y）3＝（3+1）3＝64，
64的平方根是：±8．
故选：D．
【变式4】+|b+2|＝0，则的值是（ ）
A．0B．2018C．﹣1D．1
【分析】直接利用绝对值以及算术平方根的性质得出a，b的值，代入计算得出答案．
【解答】解：根据题意得a﹣1＝0，b+2＝0，
解得：a＝1，b＝﹣2，
则＝＝1．
故选：D．
题型04 算术平方根的估算
【典例1】下列整数中，与最接近的是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】由12.25＜13＜16，可知，然后作答即可．
【解答】解：∵12.25＜13＜16，
∴，
∴与4更接近，
故选：C．
【变式1】的值介于下列哪两个整数之间（ ）
A．30，35B．35，40C．40，45D．45，50
【分析】根据算术平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：∵402＝1600，452＝2025，而1600＜2023＜2025，
∴40＜＜45，
故选：C．
【变式2】若，则整数n的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．﹣2
【分析】先估算出的大小即可得到答案．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵n是整数，
∴n＝0．
故选：A．
【变式3】如图，数轴上表示的点应在（ ）
A．线段AB上B．线段BC上C．线段CD上D．线段DE上
【分析】先估算出的值的范围，然后再估算出﹣1的值的范围，即可解答．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴1＜﹣1＜2，
∴数轴上表示的点应在线段DE上，
故选：D．
【变式4】实数在两个相邻的整数m与m+1之间，则整数m是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】由，即，易得，即可求得m．
【解答】解：∵，
∴，则，
∴m＝5．
故选：A．
【变式5】已知a是的整数部分，b是它的小数部分，则（﹣a）3+（b+3）2＝ ﹣12 ．
【分析】由于3＜＜4，由此可得的整数部分和小数部分，再进一步代入求得数值即可．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴的整数部分＝3，小数部分为 ﹣3，
则（﹣a）3+（b+3）2＝（﹣3）3+（﹣3+3）2＝﹣27+15＝﹣12．
故答案为：﹣12．
题型05 利用两个平方根的关系求值
【典例1】一个正数的两个平方根分别是3与a+2，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．﹣3D．﹣5
【分析】由一个正数的两个平方根分别是3与a+2，可得3+a+2＝0，再解方程即可．
【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是3与a+2，
∴3+a+2＝0，
∴a＝﹣5，
故选：D．
【变式1】一个正数的两个平方根分别是2a﹣3和5﹣a，则这个数是（ ）
A．49B．25C．16D．7
【分析】根据一个正数有两个平方根，且它们互为相反数得出2a﹣3+5﹣a＝0，求出a的值，即可求出这个数．
【解答】解：由题意得，2a﹣3+5﹣a＝0，
解得a＝﹣2，
∴5﹣a＝5﹣（﹣2）＝7，2a﹣3＝2×（﹣2）﹣3＝﹣7，
∴（±7）2＝49，
即这个数是49，
故选：A．
【变式2】若一个正数的平方根是2a﹣5和a+2，则a＝ 1 ，这个正数是 9 ．
【分析】根据互为相反数的两个数和为0的性质解题即可．
【解答】解：∵若一个正数的平方根是2a﹣5和a+2，
∴2a﹣5和a+2互为相反数．
∴2a﹣5+a+2＝0，
∴a＝1，
∴a+2＝1+2＝3，
∴这个正数是32＝9．
故答案为：1，9．
【变式3】若＝2，正数b的两个平方根分别是2c﹣1和﹣c+2，求2a+b+c平方根．
【分析】由于一个正数的两个平方根互为相反数，得：2c﹣1和﹣c+2＝0．解方程即可求出c，然后即可求b，根据算术平方根的定义可求a，再代入计算可求2a+b+c平方根．
【解答】解：∵正数b的两个平方根分别是2c﹣1和﹣c+2，
∴2c﹣1﹣c+2＝0，解得c＝﹣1，
∴b＝（﹣2﹣1）2＝9，
∵＝2，
解得a＝5，
∴2a+b+c＝10+9﹣1＝18，
∴18的平方根是±3．
题型06 利用求平方根解方程
【典例1】解方程：
（1）16x2＝49； （2）（x﹣2）2＝64．
【分析】（1）（2）如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，由此即可求解．
【解答】解：（1）16x2＝49，
∴x2＝，
∴x＝±；
（2）（x﹣2）2＝64，
∴x﹣2＝±8，
∴x＝10或x＝﹣6．
【变式1】求下列各式中x的值：
（1）9x2﹣25＝0； （2）4（2x﹣1）2＝36．
【分析】（1）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可．
（2）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）9x2﹣25＝0，
移项得，9x2＝25，
两边都除以9得，，
由平方根的定义得，；
即，或；
（2）4（2x﹣1）2＝36，
两边都除以4得，（2x﹣1）2＝9，
由平方根的定义得，2x﹣1＝±3，
即x＝2或x＝﹣1．
【变式2】解方程：
（1）25x2﹣49＝0； （2）2（x+1）2﹣49＝1．
【分析】（1）利用一元二次方程的解法求解即可；
（2）把（x+1）看作一个整体，求解即可．
【解答】解：（1）25x2﹣49＝0，
化为：，
∴x＝±，
∴；
（2）2（x+1）2﹣49＝1，
化为：（x+1）2＝25，
∴x+1＝±5，
∴x1＝4，x2＝﹣6．
1．平方根等于它本身的数是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．±1
【分析】根据平方根的性质计算．
【解答】解：平方根等于它本身的数是0．
故选：B．
2．下列说法正确的是（ ）
A．﹣4的平方根是±2
B．﹣4的算术平方根是﹣2
C．的平方根是±4
D．0的平方根与算术平方根都是0
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：A．﹣4没有平方根，因此选项A不符合题意；
B．﹣4没有平方根，也没有算术平方根，因此选项B不符合题意；
C.的平方根，即4的平方根，4的平方根为＝±2，因此选项C不符合题意；
D.0的平方根和算术平方根都是0，因此选项D符合题意；
故选：D．
3．式子表示（ ）
A．﹣3的算术平方根B．6的算术平方根
C．9的平方根D．9的算术平方根
【分析】根据实数的运算顺序，先算平方，再开方，由此即可求解．
【解答】解：，
∴表示的是9的算术平方根．
故选：D．
4．下列各式正确的是（ ）
A．＝±4B．＝﹣3C．±＝±9D．＝2
【分析】根据算术平方根和平方根的定义即可求解．
【解答】解：A．因为16的算术平方根是4，即＝4，则A选项不符合题意；
B．因为＝＝3，则B选项不符合题意；
C．因为81的平方根是±9，即，则C选项符合题意；
D．负数没有平方根，则D选项不符合题意；
故选：C．
5．已知m＝20212+20222，则的值为（ ）
A．2021B．2022C．4043D．4044
【分析】将m＝20212+20222代入2m﹣1，再将2022写成2021+1，可得一个完全平方式即可求解．
【解答】解：∵2m﹣1
＝2（20212+20222）﹣1
＝2[20212+（2021+1）2]﹣1
＝2（2×20212+2×2021+1）﹣1
＝4×20212+4×2021+1
＝（2×2021+1）2
＝40432
∴
＝4043，
故选：C．
6．在下列结论中，正确的是（ ）
A．B．x4的算术平方根是x2
C．﹣x2一定没有平方根D．的算术平方根是
【分析】根据算术平方根的定义逐一分析判断即可．
【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、x4的算术平方根是x2，故此选项符合题意；
C、∵﹣x2≤0，∴当﹣x2＝0时有平方根，故此选项不符合题意；
D、∵，3的算术平方根是，∴的算术平方根是；
故选：B．
7．已知，，则＝（ ）
A．35.12B．351.2C．111.08D．1110.8
【分析】根据计算得出结论即可．
【解答】解：∵，
∴，
故选：A．
8．一个正数的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2，则a为（ ）
A．0B．﹣1C．9D．1
【分析】根据平方根的性质可得2a﹣1﹣a+2＝0，解得a的值即可．
【解答】解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2，
∴2a﹣1﹣a+2＝0，
解得：a＝﹣1，
故选：B．
9．，则x+y+z的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】直接利用非负数的性质得出x，y，z的值，进而得出答案．
【解答】解：∵|x+2|++（2y﹣8）2＝0，
∴x+2＝0，z﹣1＝0，2y﹣8＝0，
解得：x＝﹣2，z＝1，y＝4，
∴x+y+z＝﹣2+1+4＝3．
故选：D．
10．数学实践课上，老师给同学们提供面积均为400cm2的正方形纸片，要求沿着边的方向裁出长方形．小明、小丽两位同学设计出两种裁剪方案．
小明的方案：能裁出一个长宽之比为3：2，面积为300cm2的长方形；
小丽的方案：能裁出一个长宽之比为5：3，面积为300cm2的长方形．
对于这两个方案的判断，符合实际情况的是（ ）
A．小明、小丽的方案均正确
B．小明的方案正确，小丽的方案错误
C．小明、小丽的方案均错误
D．小明的方案错误，小丽的方案正确
【分析】分别求得两个方案的长方形的长，与原正方形的边长相比较即可求解．
【解答】解：∵正方形纸片的面积为400cm2，
∴正方形的边长为20cm，
小明的方案：设长方形纸片的长和宽分别为：3a cm、2a cm，
∴3a•2a＝300，即a2＝50，
∴a＝＝5，
∴3a＝15＞20，
∴不能裁剪出符合要求的纸片；
小丽的方案：设长方形纸片的长和宽分别为：5x cm、3x cm，
∴5x•3x＝300，即x2＝20，
∴x＝＝2，
∴5x＝10＞20，
∴不能裁剪出符合要求的纸片；
故选：C．
11．的平方根是 ±2 ．
【分析】根据平方根、算术平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：由于＝4，
所以的平方根是＝±2，
故答案为：±2．
12．已知某数的一个平方根为，则这个数的另一个平方根为 ．
【分析】根据平方根的性质解决此题．
【解答】解：根据非负数的平方根的性质，若一个数的平方根是，则这个数的另一个平方根为．
故答案为：．
13．若单项式2xmy3与3x2ym+n是同类项，则的值为 ．
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同即可求解．
【解答】解：∵单项式2xmy3与3x2ym+n是同类项，
∴m＝2，m+n＝3，
∴n＝1，
∴，
故答案为：．
14．2m﹣4和6﹣m是正数a的两个平方根，则a的值为 64 ．
【分析】根据题意可知这两个数互为相反数，列等式，求出m的值，再求出a的值．
【解答】解：∵2m﹣4和6﹣m是正数a的两个平方根，
∴2m﹣4与6﹣m互为相反数，
∴2m﹣4+（6﹣m）＝0，
解得m＝﹣2，
这两个平方根分别为：﹣8、8，
∴a＝64；
故答案为：64．
15．已知有理数x，y，z满足，那么（x﹣yz）2的平方根为 ±2 ．
【分析】根据算术平方根的非负性分别求出x、y、z，根据平方根的概念解答即可．
【解答】解：∵，
∴＝0，＝0，＝0，
解得，x＝0，y＝1，z＝2，
则（x﹣yz）2＝4，
∵4的平方根为±2，
∴（x﹣yz）2的平方根为±2，
故答案为：±2．
16．利用平方根求下列x的值：
（1）x2＝9； （2）（x+2）2﹣81＝0．
【分析】（1）方程直接开平方即可求出解；
（2）方程变形后，把（x+2）看作一个整体，利用平方根定义开方即可求出解．
【解答】解：（1）x2＝9，
∴x＝±3；
（2）（x+2）2﹣81＝0，
∴（x+2）2＝81，
∴x+2＝±9，
解得：x＝7或x＝﹣11．
17．（1）已知正数x的两个平方根分别是2a﹣3和5﹣a，求a2和x的值；
（2）若＝0，求3x+6的平方根．
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，可得a的值，继而可得x的值；
（2）根据二次根式有意义的条件，求出x的值，再代入进行计算即可．
【解答】解：（1）2a﹣3+5﹣a＝0，
解得a＝﹣2，
则a2＝（﹣2）2＝4，
x＝（5﹣a）2＝72＝49；
（2）∵＝0，
∴3x﹣1＝0，
∴x＝，
则3x+6的平方根是±＝±．
18．某小区准备修建一个面积为75m2的花坛，甲、乙两个工程队给出如下两个施工方案．
甲：花坛为长方形，且长与宽的比为3：1．
乙：花坛为正方形．
（1）求长方形花坛的宽．
（2）嘉淇说：“正方形花坛的边长肯定比长方形花坛的宽长3m．”请你判断嘉淇的说法是否正确，并通过计算说明．
【分析】（1）设长方形花坛的宽为x m，则长为3x m，利用面积公式列出等式，再利用算术平方根求解；
（2）假设嘉淇的说法正确，计算出正方形的面积，与花坛的面积比较即可．
【解答】解：（1）设长方形花坛的宽为x m，则长为3x m，
由题意得x•3x＝3x2＝75，
因此，
即长方形花坛的宽为5m．
（2）嘉淇的说法错误，理由如下：
由（1）知长方形花坛的宽为5米，
若嘉淇的说法正确，正方形花坛的边长为：5+3＝8（m），
则正方形花坛的面积为：82＝64（m2）≠75（m2），
因此假设不成立，即嘉淇的说法错误．
19．【观察】|﹣2|＝2，|2|＝2；（﹣3）2＝9，32＝9．
【推理】
（1）若|x|＝1，则x＝ ±1 ；
（2）若y2＝16，则y＝ ±4 ．
【应用】
（3）已知|a+1|＝2，b2＝25．
①求a，b的值；
②若a，b同号，求a﹣b的值．
【分析】（1）根据绝对值的定义解题即可；
（2）根据平方根的定义可得结果；
（3）利用绝对值和平方根的定义确定a，b的值，即可求出a﹣b的值．
【解答】解：（1）∵|1|＝1，|﹣1|＝1，
∴x＝±1；
故答案为：±1．
（2）∵42＝16，（﹣4）2＝16，
∴y＝±4，
故答案为：±4．
（3）|a+1|＝2，b2＝25，
∴a+1＝±2，b＝±5，
即a＝1或a＝﹣3，b＝±5，
由a，b同号可知，
当a＝1，b＝5时，a﹣b＝1﹣5＝﹣4；
当a＝﹣3，b＝﹣5时，a﹣b＝﹣3﹣（﹣5）＝2，
所以a﹣b的值为：﹣4或2．
20．按要求填空：
（1）填表并观察规律：
（2）根据你发现的规律填空：
已知：＝2.638，则＝ 26.38 ；
已知：＝0.06164，＝61.64，则x＝ 3800 ；
（3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明．
【分析】（1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可；
（2）根据二次根式的乘法法则计算，即可得到答案；
（3）根据解题过程找出规律即可．
【解答】解：（1），，，，
填表如下：
故答案为：0.02，0.2，2，20；
（2）∵
∴；
∵，
∴，
∴，
∴x＝3800；
故答案为：26.38，3800；
（3）由以上解答过程发现：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩大或缩小10倍（意思正确即可）．课程标准
学习目标
①算术平方根
②算术平方根的估算
③平方根的概念及其性质
掌握算术平方根的概念及其性质，并能够熟练的进行应用及其求值。
掌握算术平方根的估算方法，能够进行大小比较。
掌握平方根的概念及其性质，并能熟练的应用及其求值。
a
0.0004
0.04
4
400
0.02
0.2
2
20
a
0.0004
0.04
4
400
0.02
0.2
2
20
知识点01 算术平方根
算术平方根的定义及其表示方法：
一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根。记为 。读作根号。所以就表示的算术平方根。
其中叫做根号，叫做被开方数。
规定0的算术平方根是 。
算术平方根的性质：
①正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方根。0的算术平方根是0本身。
②算术平方根的双重非负性：
只有 才有算术平方根，且它的算术平方根也是一个 。所以算术平方根本身 ，算术平方根的被开方数也 。即 0， 0。
非负性的应用：
几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0。
即若，则 。
③一个正数的算术平方根的平方等于这个数本身。即 。
④一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。再根据这个数的正负去绝对值符号。
即 。
【即学即练1】
1．求下列各数的算术平方根．
（1）196 （2） （3）0.04 （4）102．
【即学即练2】
2．（1）＝ ，＝ ，＝ ，＝ ，＝ ，对于任意实数0，猜想＝ ．
（2）（）2＝ ，（）2＝ ，（）2＝ ，（）2＝ ，对于任意非负数a，猜想（）2＝ ．
【即学即练3】
3．如果，则＝ ．
知识点02 估算算术平方根
估算算术平方根的方法——夹逼法：
具体步骤：
①估算被开方数在那两个完全平方数之间（若一个数能被写成某个整数的平方，则称这个数为平方数）；
②确定无理数的整数步骤；
③按要求估算。
理论依据：
被开方数越大，则对应的算术平方根也越大。
【即学即练1】
4．请你估算的大小，大致范围是（ ）
A．1＜＜2B．2＜＜3C．3＜＜4D．4＜＜5
知识点03 平方根的概念与性质
平方根的概念：
如果一个数的平方等于，则这个数就叫做的 ，也叫做的二次方根。表示为 。
平方根的性质：
①正数的平方根有 个，分别是 与 ，他们互为 。
②规定0的平方根是 。所以0的平方根只有一个，就是它本身。
③负数没有平方根。
求一个数的平方根：
求一个数的平方根的运算就做开平方，与平方预算互为逆运算。
即，则。可表示为，。
【即学即练1】
5．求下列各数的平方根：
（1）121； （2）0.01； （3）； （4）（﹣13）2．
【即学即练2】
6．一个数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则这个数是（ ）
A．﹣1B．3C．9D．﹣3
【即学即练3】
7．求下列各式中x的值．
（1）x2﹣25＝0； （2）（x﹣1）2＝64．
题型01 求算术平方根
【典例1】实数9的算术平方根是（ ）
A．3B．±3C．D．﹣9
【变式1】的算术平方根是（ ）
A．±9B．±3C．9D．3
【变式2】求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）．
【变式3】已知＝x，，z是9的算术平方根，求2x+y﹣z的算术平方根．
题型02 求平方根
【典例1】4的平方根是（ ）
A．﹣2B．2C．±2D．16
【变式1】（﹣9）2的平方根是（ ）
A．﹣9B．±9C．81D．
【变式2】的平方根是（ ）
A．4B．±4C．±2D．2
【变式3】求下列各数的平方根：
（1）49； （2）； （3）2； （4）0.36； （5）．
题型03 算术平方根的非负性应用
【典例1】若+＝0，则x2023+y2024的值（ ）
A．0B．1C．﹣1D．2
【变式1】已知|a﹣1|+＝0，则a+b的值为（ ）
A．﹣4B．﹣2C．2D．4
【变式2】若实数x、y满足+（y﹣3）2＝0，则等于（ ）
A．0B．5C．4D．±4
【变式3】若实数x，y满足|x﹣3|+＝0，则（x+y）3的平方根为（ ）
A．4B．8C．±4D．±8
【变式4】+|b+2|＝0，则的值是（ ）
A．0B．2018C．﹣1D．1
题型04 算术平方根的估算
【典例1】下列整数中，与最接近的是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式1】的值介于下列哪两个整数之间（ ）
A．30，35B．35，40C．40，45D．45，50
【变式2】若，则整数n的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．﹣2
【变式3】如图，数轴上表示的点应在（ ）
A．线段AB上B．线段BC上C．线段CD上D．线段DE上
【变式4】实数在两个相邻的整数m与m+1之间，则整数m是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式5】已知a是的整数部分，b是它的小数部分，则（﹣a）3+（b+3）2＝ ．
题型05 利用两个平方根的关系求值
【典例1】一个正数的两个平方根分别是3与a+2，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．﹣3D．﹣5
【变式1】一个正数的两个平方根分别是2a﹣3和5﹣a，则这个数是（ ）
A．49B．25C．16D．7
【变式2】若一个正数的平方根是2a﹣5和a+2，则a＝ ，这个正数是 ．
【变式3】若＝2，正数b的两个平方根分别是2c﹣1和﹣c+2，求2a+b+c平方根．
题型06 利用求平方根解方程
【典例1】解方程：
（1）16x2＝49； （2）（x﹣2）2＝64．
【变式1】求下列各式中x的值：
（1）9x2﹣25＝0； （2）4（2x﹣1）2＝36．
【变式2】解方程：
（1）25x2﹣49＝0； （2）2（x+1）2﹣49＝1．
1．平方根等于它本身的数是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．±1
2．下列说法正确的是（ ）
A．﹣4的平方根是±2
B．﹣4的算术平方根是﹣2
C．的平方根是±4
D．0的平方根与算术平方根都是0
3．式子表示（ ）
A．﹣3的算术平方根B．6的算术平方根
C．9的平方根D．9的算术平方根
4．下列各式正确的是（ ）
A．＝±4B．＝﹣3C．±＝±9D．＝2
5．已知m＝20212+20222，则的值为（ ）
A．2021B．2022C．4043D．4044
6．在下列结论中，正确的是（ ）
A．B．x4的算术平方根是x2
C．﹣x2一定没有平方根D．的算术平方根是
7．已知，，则＝（ ）
A．35.12B．351.2C．111.08D．1110.8
8．一个正数的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2，则a为（ ）
A．0B．﹣1C．9D．1
9．，则x+y+z的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
10．数学实践课上，老师给同学们提供面积均为400cm2的正方形纸片，要求沿着边的方向裁出长方形．小明、小丽两位同学设计出两种裁剪方案．
小明的方案：能裁出一个长宽之比为3：2，面积为300cm2的长方形；
小丽的方案：能裁出一个长宽之比为5：3，面积为300cm2的长方形．
对于这两个方案的判断，符合实际情况的是（ ）
A．小明、小丽的方案均正确
B．小明的方案正确，小丽的方案错误
C．小明、小丽的方案均错误
D．小明的方案错误，小丽的方案正确
11．的平方根是 ．
12．已知某数的一个平方根为，则这个数的另一个平方根为 ．
13．若单项式2xmy3与3x2ym+n是同类项，则的值为 ．
14．2m﹣4和6﹣m是正数a的两个平方根，则a的值为 ．
15．已知有理数x，y，z满足，那么（x﹣yz）2的平方根为 ．
16．利用平方根求下列x的值：
（1）x2＝9； （2）（x+2）2﹣81＝0．
17．（1）已知正数x的两个平方根分别是2a﹣3和5﹣a，求a2和x的值；
（2）若＝0，求3x+6的平方根．
18．某小区准备修建一个面积为75m2的花坛，甲、乙两个工程队给出如下两个施工方案．
甲：花坛为长方形，且长与宽的比为3：1．
乙：花坛为正方形．
（1）求长方形花坛的宽．
（2）嘉淇说：“正方形花坛的边长肯定比长方形花坛的宽长3m．”请你判断嘉淇的说法是否正确，并通过计算说明．
19．【观察】|﹣2|＝2，|2|＝2；（﹣3）2＝9，32＝9．
【推理】
（1）若|x|＝1，则x＝ ；
（2）若y2＝16，则y＝ ．
【应用】
（3）已知|a+1|＝2，b2＝25．
①求a，b的值；
②若a，b同号，求a﹣b的值．
20．按要求填空：
（1）填表并观察规律：
（2）根据你发现的规律填空：
已知：＝2.638，则＝ ；
已知：＝0.06164，＝61.64，则x＝ ；
（3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明．
课程标准
学习目标
①算术平方根
②算术平方根的估算
③平方根的概念及其性质
掌握算术平方根的概念及其性质，并能够熟练的进行应用及其求值。
掌握算术平方根的估算方法，能够进行大小比较。
掌握平方根的概念及其性质，并能熟练的应用及其求值。
a
0.0004
0.04
4
400
第01讲 平方根
知识点01 算术平方根
算术平方根的定义及其表示方法：
一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根。记为 。读作根号。所以就表示的算术平方根。
其中叫做根号，叫做被开方数。
规定0的算术平方根是 0 。
算术平方根的性质：
①正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方根。0的算术平方根是0本身。
②算术平方根的双重非负性：
只有 非负数 才有算术平方根，且它的算术平方根也是一个 非负数 。所以算术平方根本身 大于等于0 ，算术平方根的被开方数也 大于等于0 。即 ≥ 0， ≥ 0。
非负性的应用：
几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0。
即若，则 0 。
③一个正数的算术平方根的平方等于这个数本身。即 。
④一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。再根据这个数的正负去绝对值符号。
即 。
【即学即练1】
1．求下列各数的算术平方根．
（1）196 （2） （3）0.04 （4）102．
【分析】利用算术平方根的定义计算即可得到结果．
【解答】解：（1）＝14；
（2）＝；
（3）＝0.2；
（4）＝10．
【即学即练2】
2．（1）＝ 2 ，＝ 3 ，＝ 5 ，＝ 6 ，＝ 0 ，对于任意实数0，猜想＝ |a| ．
（2）（）2＝ 4 ，（）2＝ 9 ，（）2＝ 25 ，（）2＝ 36 ，对于任意非负数a，猜想（）2＝ |a| ．
【分析】（1）由＝|a|进行解答；
（2）由（）2＝•进行计算．
【解答】解：（1）＝|2|＝2，＝|﹣3|＝3，＝|5|＝5，＝|﹣6|＝6，＝6，对于任意实数0，猜想＝|a|．
（2）（）2＝＝|4|＝4，同理（）2＝9，（）2＝25，（）2＝36，对于任意非负数a，猜想（）2＝|a|．
故答案为：2，3，5，6，0，|a|；4，9，25，36．|a|．
【即学即练3】
3．如果，则＝ 2 ．
【分析】根据两个非负数的和是0，即可得到这两个数都等于0，从而得到关于a，b的方程求得a，b的值，进而求得代数式的值．
【解答】解：根据题意得：a﹣2＝0，4﹣b＝0，
解得：a＝2，b＝4，
则＝＝2．
故答案为：2．
知识点02 估算算术平方根
估算算术平方根的方法——夹逼法：
具体步骤：
①估算被开方数在那两个完全平方数之间（若一个数能被写成某个整数的平方，则称这个数为平方数）；
②确定无理数的整数步骤；
③按要求估算。
理论依据：
被开方数越大，则对应的算术平方根也越大。
【即学即练1】
4．请你估算的大小，大致范围是（ ）
A．1＜＜2B．2＜＜3C．3＜＜4D．4＜＜5
【分析】求出的范围即可．
【解答】解：∵＜＜，
∴3＜＜4，
故选：C．
知识点03 平方根的概念与性质
平方根的概念：
如果一个数的平方等于，则这个数就叫做的 平方根 ，也叫做的二次方根。表示为 。
平方根的性质：
①正数的平方根有 2 个，分别是 与 ，他们互为 相反数 。
②规定0的平方根是 0 。所以0的平方根只有一个，就是它本身。
③负数没有平方根。
求一个数的平方根：
求一个数的平方根的运算就做开平方，与平方预算互为逆运算。
即，则。可表示为，。
【即学即练1】
5．求下列各数的平方根：
（1）121； （2）0.01； （3）； （4）（﹣13）2．
【分析】（1）根据平方根的定义，进行求解即可；
（2）根据平方根的定义，进行求解即可；
（3）根据平方根的定义，进行求解即可；
（4）根据平方根的定义，进行求解即可．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【即学即练2】
6．一个数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则这个数是（ ）
A．﹣1B．3C．9D．﹣3
【分析】根据一个数的两个平方根的特点，列方程求出a的值，进而确定这个数．
【解答】解：由题意得，
2a﹣1﹣a+2＝0，
解得a＝﹣1，
所以2a﹣1＝﹣3，﹣a+2＝3，
即一个数的两个平方根分别是3与﹣3，
所以这个数是9，
故选：C．
【即学即练3】
7．求下列各式中x的值．
（1）x2﹣25＝0； （2）（x﹣1）2＝64．
【分析】运用平方根知识进行求解．
【解答】解：（1）移项，得x2＝25，
开平方，得x＝±5；
（2）开平方，得x﹣1＝±8，
解得x＝9或x＝﹣7．
题型01 求算术平方根
【典例1】实数9的算术平方根是（ ）
A．3B．±3C．D．﹣9
【分析】根据算术平方根的定义，即可解答．
【解答】解：实数9的算术平方根是3，
故选：A．
【变式1】的算术平方根是（ ）
A．±9B．±3C．9D．3
【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后即可求出其算术平方根．
【解答】解：∵＝9，
又∵（±3）2＝9，
∴9的平方根是±3，
∴9的算术平方根是3．
即的算术平方根是3．
故选：D．
【变式2】求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）．
【分析】（1）根据算式平方根的定义，进行计算即可；
（2）先计算根号下的减法运算，然后再根据算式平方根的定义，进行计算即可；
（3）根据算术平方根的定义，进行计算即可．
【解答】解：（1）
＝
＝9；
（2）
＝
＝
＝；
（3）﹣
＝﹣
＝﹣
＝﹣．
【变式3】已知＝x，，z是9的算术平方根，求2x+y﹣z的算术平方根．
【分析】根据＝x，＝2，z是9的算术平方根，可以求得x、y、z的值，从而可以解答本题．
【解答】解：∵＝x，
∴x＝5；
∵＝2，
∴y＝4；
∵z是9的算术平方根，
∴z＝3；
∴2x+y﹣z＝2×5+4﹣3＝11，
∴2x+y﹣z的算术平方根是．
题型02 求平方根
【典例1】4的平方根是（ ）
A．﹣2B．2C．±2D．16
【分析】根据平方根的定义进行解答即可．
【解答】解：∵（±2）2＝4，
∴4的平方根为±2，
故选：C．
【变式1】（﹣9）2的平方根是（ ）
A．﹣9B．±9C．81D．
【分析】直接根据平方根的定义解答即可．
【解答】解：∵（﹣9）2＝81，（±9）2＝81，
∴（﹣9）2的平方根是±9．
故选：B．
【变式2】的平方根是（ ）
A．4B．±4C．±2D．2
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：＝4，4的平方根是±2．
故选：C．
【变式3】求下列各数的平方根：
（1）49； （2）； （3）2； （4）0.36； （5）．
【分析】（1）根据平方根的定义求一个数的平方根；
（2）根据平方根的定义求一个数的平方根；
（3）根据平方根的定义求一个数的平方根；
（4）根据平方根的定义求一个数的平方根；
（5）根据平方根的定义求一个数的平方根．
【解答】解：（1）∵（±7）2＝49，
∴49的平方根是±7；
（2）∵，
∴的平方根是；
（3）∵
∴的平方根是；
（4）∵（±0.6）2＝0.36
∴0.36的平方根是±0.6；
（5）∵，
∴的平方根是．
题型03 算术平方根的非负性应用
【典例1】若+＝0，则x2023+y2024的值（ ）
A．0B．1C．﹣1D．2
【分析】先根据非负数的性质求出x、y，再代入x2023+y2024，计算即可．
【解答】解：∵+＝0，
∴x﹣1＝0，x+y＝0，
∴x＝1，y＝﹣1，
∴x2023+y2024＝1+1＝2．
故选：D．
【变式1】已知|a﹣1|+＝0，则a+b的值为（ ）
A．﹣4B．﹣2C．2D．4
【分析】利用非负数的性质求出a与b的值，即可求出a+b的值．
【解答】解：∵|a﹣1|+＝0，
∴a﹣1＝0，3﹣b＝0，
解得a＝1，b＝3，
∴a+b＝1+3＝4．
故选：D．
【变式2】若实数x、y满足+（y﹣3）2＝0，则等于（ ）
A．0B．5C．4D．±4
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵+（y﹣3）2＝0，
∴x﹣2＝0，y﹣3＝0，
解得x＝2，y＝3，
∴＝＝4，
故选：C．
【变式3】若实数x，y满足|x﹣3|+＝0，则（x+y）3的平方根为（ ）
A．4B．8C．±4D．±8
【分析】利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案．
【解答】解：∵|x﹣3|+＝0，
∴x﹣3＝0，y﹣1＝0，
∴x＝3，y＝1，
则（x+y）3＝（3+1）3＝64，
64的平方根是：±8．
故选：D．
【变式4】+|b+2|＝0，则的值是（ ）
A．0B．2018C．﹣1D．1
【分析】直接利用绝对值以及算术平方根的性质得出a，b的值，代入计算得出答案．
【解答】解：根据题意得a﹣1＝0，b+2＝0，
解得：a＝1，b＝﹣2，
则＝＝1．
故选：D．
题型04 算术平方根的估算
【典例1】下列整数中，与最接近的是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】由12.25＜13＜16，可知，然后作答即可．
【解答】解：∵12.25＜13＜16，
∴，
∴与4更接近，
故选：C．
【变式1】的值介于下列哪两个整数之间（ ）
A．30，35B．35，40C．40，45D．45，50
【分析】根据算术平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：∵402＝1600，452＝2025，而1600＜2023＜2025，
∴40＜＜45，
故选：C．
【变式2】若，则整数n的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．﹣2
【分析】先估算出的大小即可得到答案．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵n是整数，
∴n＝0．
故选：A．
【变式3】如图，数轴上表示的点应在（ ）
A．线段AB上B．线段BC上C．线段CD上D．线段DE上
【分析】先估算出的值的范围，然后再估算出﹣1的值的范围，即可解答．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴1＜﹣1＜2，
∴数轴上表示的点应在线段DE上，
故选：D．
【变式4】实数在两个相邻的整数m与m+1之间，则整数m是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】由，即，易得，即可求得m．
【解答】解：∵，
∴，则，
∴m＝5．
故选：A．
【变式5】已知a是的整数部分，b是它的小数部分，则（﹣a）3+（b+3）2＝ ﹣12 ．
【分析】由于3＜＜4，由此可得的整数部分和小数部分，再进一步代入求得数值即可．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴的整数部分＝3，小数部分为 ﹣3，
则（﹣a）3+（b+3）2＝（﹣3）3+（﹣3+3）2＝﹣27+15＝﹣12．
故答案为：﹣12．
题型05 利用两个平方根的关系求值
【典例1】一个正数的两个平方根分别是3与a+2，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．﹣3D．﹣5
【分析】由一个正数的两个平方根分别是3与a+2，可得3+a+2＝0，再解方程即可．
【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是3与a+2，
∴3+a+2＝0，
∴a＝﹣5，
故选：D．
【变式1】一个正数的两个平方根分别是2a﹣3和5﹣a，则这个数是（ ）
A．49B．25C．16D．7
【分析】根据一个正数有两个平方根，且它们互为相反数得出2a﹣3+5﹣a＝0，求出a的值，即可求出这个数．
【解答】解：由题意得，2a﹣3+5﹣a＝0，
解得a＝﹣2，
∴5﹣a＝5﹣（﹣2）＝7，2a﹣3＝2×（﹣2）﹣3＝﹣7，
∴（±7）2＝49，
即这个数是49，
故选：A．
【变式2】若一个正数的平方根是2a﹣5和a+2，则a＝ 1 ，这个正数是 9 ．
【分析】根据互为相反数的两个数和为0的性质解题即可．
【解答】解：∵若一个正数的平方根是2a﹣5和a+2，
∴2a﹣5和a+2互为相反数．
∴2a﹣5+a+2＝0，
∴a＝1，
∴a+2＝1+2＝3，
∴这个正数是32＝9．
故答案为：1，9．
【变式3】若＝2，正数b的两个平方根分别是2c﹣1和﹣c+2，求2a+b+c平方根．
【分析】由于一个正数的两个平方根互为相反数，得：2c﹣1和﹣c+2＝0．解方程即可求出c，然后即可求b，根据算术平方根的定义可求a，再代入计算可求2a+b+c平方根．
【解答】解：∵正数b的两个平方根分别是2c﹣1和﹣c+2，
∴2c﹣1﹣c+2＝0，解得c＝﹣1，
∴b＝（﹣2﹣1）2＝9，
∵＝2，
解得a＝5，
∴2a+b+c＝10+9﹣1＝18，
∴18的平方根是±3．
题型06 利用求平方根解方程
【典例1】解方程：
（1）16x2＝49； （2）（x﹣2）2＝64．
【分析】（1）（2）如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，由此即可求解．
【解答】解：（1）16x2＝49，
∴x2＝，
∴x＝±；
（2）（x﹣2）2＝64，
∴x﹣2＝±8，
∴x＝10或x＝﹣6．
【变式1】求下列各式中x的值：
（1）9x2﹣25＝0； （2）4（2x﹣1）2＝36．
【分析】（1）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可．
（2）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）9x2﹣25＝0，
移项得，9x2＝25，
两边都除以9得，，
由平方根的定义得，；
即，或；
（2）4（2x﹣1）2＝36，
两边都除以4得，（2x﹣1）2＝9，
由平方根的定义得，2x﹣1＝±3，
即x＝2或x＝﹣1．
【变式2】解方程：
（1）25x2﹣49＝0； （2）2（x+1）2﹣49＝1．
【分析】（1）利用一元二次方程的解法求解即可；
（2）把（x+1）看作一个整体，求解即可．
【解答】解：（1）25x2﹣49＝0，
化为：，
∴x＝±，
∴；
（2）2（x+1）2﹣49＝1，
化为：（x+1）2＝25，
∴x+1＝±5，
∴x1＝4，x2＝﹣6．
1．平方根等于它本身的数是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．±1
【分析】根据平方根的性质计算．
【解答】解：平方根等于它本身的数是0．
故选：B．
2．下列说法正确的是（ ）
A．﹣4的平方根是±2
B．﹣4的算术平方根是﹣2
C．的平方根是±4
D．0的平方根与算术平方根都是0
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：A．﹣4没有平方根，因此选项A不符合题意；
B．﹣4没有平方根，也没有算术平方根，因此选项B不符合题意；
C.的平方根，即4的平方根，4的平方根为＝±2，因此选项C不符合题意；
D.0的平方根和算术平方根都是0，因此选项D符合题意；
故选：D．
3．式子表示（ ）
A．﹣3的算术平方根B．6的算术平方根
C．9的平方根D．9的算术平方根
【分析】根据实数的运算顺序，先算平方，再开方，由此即可求解．
【解答】解：，
∴表示的是9的算术平方根．
故选：D．
4．下列各式正确的是（ ）
A．＝±4B．＝﹣3C．±＝±9D．＝2
【分析】根据算术平方根和平方根的定义即可求解．
【解答】解：A．因为16的算术平方根是4，即＝4，则A选项不符合题意；
B．因为＝＝3，则B选项不符合题意；
C．因为81的平方根是±9，即，则C选项符合题意；
D．负数没有平方根，则D选项不符合题意；
故选：C．
5．已知m＝20212+20222，则的值为（ ）
A．2021B．2022C．4043D．4044
【分析】将m＝20212+20222代入2m﹣1，再将2022写成2021+1，可得一个完全平方式即可求解．
【解答】解：∵2m﹣1
＝2（20212+20222）﹣1
＝2[20212+（2021+1）2]﹣1
＝2（2×20212+2×2021+1）﹣1
＝4×20212+4×2021+1
＝（2×2021+1）2
＝40432
∴
＝4043，
故选：C．
6．在下列结论中，正确的是（ ）
A．B．x4的算术平方根是x2
C．﹣x2一定没有平方根D．的算术平方根是
【分析】根据算术平方根的定义逐一分析判断即可．
【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、x4的算术平方根是x2，故此选项符合题意；
C、∵﹣x2≤0，∴当﹣x2＝0时有平方根，故此选项不符合题意；
D、∵，3的算术平方根是，∴的算术平方根是；
故选：B．
7．已知，，则＝（ ）
A．35.12B．351.2C．111.08D．1110.8
【分析】根据计算得出结论即可．
【解答】解：∵，
∴，
故选：A．
8．一个正数的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2，则a为（ ）
A．0B．﹣1C．9D．1
【分析】根据平方根的性质可得2a﹣1﹣a+2＝0，解得a的值即可．
【解答】解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2，
∴2a﹣1﹣a+2＝0，
解得：a＝﹣1，
故选：B．
9．，则x+y+z的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】直接利用非负数的性质得出x，y，z的值，进而得出答案．
【解答】解：∵|x+2|++（2y﹣8）2＝0，
∴x+2＝0，z﹣1＝0，2y﹣8＝0，
解得：x＝﹣2，z＝1，y＝4，
∴x+y+z＝﹣2+1+4＝3．
故选：D．
10．数学实践课上，老师给同学们提供面积均为400cm2的正方形纸片，要求沿着边的方向裁出长方形．小明、小丽两位同学设计出两种裁剪方案．
小明的方案：能裁出一个长宽之比为3：2，面积为300cm2的长方形；
小丽的方案：能裁出一个长宽之比为5：3，面积为300cm2的长方形．
对于这两个方案的判断，符合实际情况的是（ ）
A．小明、小丽的方案均正确
B．小明的方案正确，小丽的方案错误
C．小明、小丽的方案均错误
D．小明的方案错误，小丽的方案正确
【分析】分别求得两个方案的长方形的长，与原正方形的边长相比较即可求解．
【解答】解：∵正方形纸片的面积为400cm2，
∴正方形的边长为20cm，
小明的方案：设长方形纸片的长和宽分别为：3a cm、2a cm，
∴3a•2a＝300，即a2＝50，
∴a＝＝5，
∴3a＝15＞20，
∴不能裁剪出符合要求的纸片；
小丽的方案：设长方形纸片的长和宽分别为：5x cm、3x cm，
∴5x•3x＝300，即x2＝20，
∴x＝＝2，
∴5x＝10＞20，
∴不能裁剪出符合要求的纸片；
故选：C．
11．的平方根是 ±2 ．
【分析】根据平方根、算术平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：由于＝4，
所以的平方根是＝±2，
故答案为：±2．
12．已知某数的一个平方根为，则这个数的另一个平方根为 ．
【分析】根据平方根的性质解决此题．
【解答】解：根据非负数的平方根的性质，若一个数的平方根是，则这个数的另一个平方根为．
故答案为：．
13．若单项式2xmy3与3x2ym+n是同类项，则的值为 ．
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同即可求解．
【解答】解：∵单项式2xmy3与3x2ym+n是同类项，
∴m＝2，m+n＝3，
∴n＝1，
∴，
故答案为：．
14．2m﹣4和6﹣m是正数a的两个平方根，则a的值为 64 ．
【分析】根据题意可知这两个数互为相反数，列等式，求出m的值，再求出a的值．
【解答】解：∵2m﹣4和6﹣m是正数a的两个平方根，
∴2m﹣4与6﹣m互为相反数，
∴2m﹣4+（6﹣m）＝0，
解得m＝﹣2，
这两个平方根分别为：﹣8、8，
∴a＝64；
故答案为：64．
15．已知有理数x，y，z满足，那么（x﹣yz）2的平方根为 ±2 ．
【分析】根据算术平方根的非负性分别求出x、y、z，根据平方根的概念解答即可．
【解答】解：∵，
∴＝0，＝0，＝0，
解得，x＝0，y＝1，z＝2，
则（x﹣yz）2＝4，
∵4的平方根为±2，
∴（x﹣yz）2的平方根为±2，
故答案为：±2．
16．利用平方根求下列x的值：
（1）x2＝9； （2）（x+2）2﹣81＝0．
【分析】（1）方程直接开平方即可求出解；
（2）方程变形后，把（x+2）看作一个整体，利用平方根定义开方即可求出解．
【解答】解：（1）x2＝9，
∴x＝±3；
（2）（x+2）2﹣81＝0，
∴（x+2）2＝81，
∴x+2＝±9，
解得：x＝7或x＝﹣11．
17．（1）已知正数x的两个平方根分别是2a﹣3和5﹣a，求a2和x的值；
（2）若＝0，求3x+6的平方根．
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，可得a的值，继而可得x的值；
（2）根据二次根式有意义的条件，求出x的值，再代入进行计算即可．
【解答】解：（1）2a﹣3+5﹣a＝0，
解得a＝﹣2，
则a2＝（﹣2）2＝4，
x＝（5﹣a）2＝72＝49；
（2）∵＝0，
∴3x﹣1＝0，
∴x＝，
则3x+6的平方根是±＝±．
18．某小区准备修建一个面积为75m2的花坛，甲、乙两个工程队给出如下两个施工方案．
甲：花坛为长方形，且长与宽的比为3：1．
乙：花坛为正方形．
（1）求长方形花坛的宽．
（2）嘉淇说：“正方形花坛的边长肯定比长方形花坛的宽长3m．”请你判断嘉淇的说法是否正确，并通过计算说明．
【分析】（1）设长方形花坛的宽为x m，则长为3x m，利用面积公式列出等式，再利用算术平方根求解；
（2）假设嘉淇的说法正确，计算出正方形的面积，与花坛的面积比较即可．
【解答】解：（1）设长方形花坛的宽为x m，则长为3x m，
由题意得x•3x＝3x2＝75，
因此，
即长方形花坛的宽为5m．
（2）嘉淇的说法错误，理由如下：
由（1）知长方形花坛的宽为5米，
若嘉淇的说法正确，正方形花坛的边长为：5+3＝8（m），
则正方形花坛的面积为：82＝64（m2）≠75（m2），
因此假设不成立，即嘉淇的说法错误．
19．【观察】|﹣2|＝2，|2|＝2；（﹣3）2＝9，32＝9．
【推理】
（1）若|x|＝1，则x＝ ±1 ；
（2）若y2＝16，则y＝ ±4 ．
【应用】
（3）已知|a+1|＝2，b2＝25．
①求a，b的值；
②若a，b同号，求a﹣b的值．
【分析】（1）根据绝对值的定义解题即可；
（2）根据平方根的定义可得结果；
（3）利用绝对值和平方根的定义确定a，b的值，即可求出a﹣b的值．
【解答】解：（1）∵|1|＝1，|﹣1|＝1，
∴x＝±1；
故答案为：±1．
（2）∵42＝16，（﹣4）2＝16，
∴y＝±4，
故答案为：±4．
（3）|a+1|＝2，b2＝25，
∴a+1＝±2，b＝±5，
即a＝1或a＝﹣3，b＝±5，
由a，b同号可知，
当a＝1，b＝5时，a﹣b＝1﹣5＝﹣4；
当a＝﹣3，b＝﹣5时，a﹣b＝﹣3﹣（﹣5）＝2，
所以a﹣b的值为：﹣4或2．
20．按要求填空：
（1）填表并观察规律：
（2）根据你发现的规律填空：
已知：＝2.638，则＝ 26.38 ；
已知：＝0.06164，＝61.64，则x＝ 3800 ；
（3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明．
【分析】（1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可；
（2）根据二次根式的乘法法则计算，即可得到答案；
（3）根据解题过程找出规律即可．
【解答】解：（1），，，，
填表如下：
故答案为：0.02，0.2，2，20；
（2）∵
∴；
∵，
∴，
∴，
∴x＝3800；
故答案为：26.38，3800；
（3）由以上解答过程发现：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩大或缩小10倍（意思正确即可）．课程标准
学习目标
①算术平方根
②算术平方根的估算
③平方根的概念及其性质
掌握算术平方根的概念及其性质，并能够熟练的进行应用及其求值。
掌握算术平方根的估算方法，能够进行大小比较。
掌握平方根的概念及其性质，并能熟练的应用及其求值。
a
0.0004
0.04
4
400
0.02
0.2
2
20
a
0.0004
0.04
4
400
0.02
0.2
2
20
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