江苏省南京市九校联合体2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题(学生版+解析)

这是一份江苏省南京市九校联合体2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题(学生版+解析)，共23页。试卷主要包含了本试卷共分8页，5C， 已知向量，，若，则， 在中，下列命题正确的个数是， 设复数，则下列结论正确的是， 下列说法中错误的是， 设有两组数据等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷共分8页.满分150分.考试用时120分钟.
2.答题前，考生务必将学校、姓名写在答题卡上，正确填涂考试号.答案涂、写在答题卡上指定位置.考试结束后交回答题卡.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 的值为( )
A. 1B. －1C. D.
2. 数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位数为( )
A. 6B. 6.5C. 7D. 5.5
3 向量与不共线，，，且与共线，则k，l应满足( )
A. B.
C. D.
4. 一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为( )
A B. C. D.
5. 已知向量，，若，则( )
A. B. C. D. 3
6. 从长度为的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为( )
A. B. C. D.
7. 在中，下列命题正确的个数是( )
①；②；③若，则为等腰三角形；④，则为锐角三角形．
A. 1B. 2C. 3D. 4
8. 已知锐角，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设复数，则下列结论正确的是( )
A. z的共轭复数为B. z的虚部为1
C. z在复平面内对应的点位于第二象限D.
10. 下列说法中错误的是( )
A. 已知，且与的夹角为锐角，则实数
B. 向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C. 若，则存在唯一实数，使得
D. 非零向量和满足，则 与的夹角为
11. 抛掷两枚质地均匀骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，事件“两枚骰子出现点数和为8”，事件“两枚骰子出现点数和为9”，则( )
A. 与互斥B. 与互斥C. 与独立D. 与独立
12. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，下列说法正确的是( )
A. 若有两解
B. 若有两解
C. 若为锐角三角形，则b的取值范围是
D. 若为钝角三角形，则b的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，
13. 设有两组数据：与，它们之间存在关系式：(，其中非零常数)，若这两组数据方差分别为和，则和之间的关系是________．
14. 边长为的三角形的最大角与最小角之和为____．
15. 已知向量，，若在方向上的投影向量为，则的值为 __．
16. 如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为为圆上的点，，，，分别是以为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，，，使得重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为__________．
四、解答题：本题共6小题，其中第17题10分，其余各题为12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知是虚数单位，设.
(1)求证：1＋ω＋ω2＝0；
(2)计算：(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)．
18. 已知，，，是第三象限角．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求的值．
19. 为测量地形不规则的一个区域的径长，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到，为钝角，，，．

(1)求的值；
(2)若测得，求待测径长．
20. 社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，将笔试成绩按照、、、分组，得到如图所示频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数(每组数据以区间中点值为代表)；
(3)若计划面试人，请估计参加面试的最低分数线．
21. 如图，三棱锥中，为等边三角形，且面面，．
(1)求证：；
(2)当与平面BCD所成角为45°时，求二面角余弦值．
22. 设是边长为1的正三角形，点四等分线段(如图所示)．
(1)求的值；
(2)为线段上一点，若，求实数的值；
(3)为边上一动点，当取最小值时，求的值．
南京市九校联合体2022-2023学年度第二学期期末学情调研
高一数学
注意事项：
1.本试卷共分8页.满分150分.考试用时120分钟.
2.答题前，考生务必将学校、姓名写在答题卡上，正确填涂考试号.答案涂、写在答题卡上指定位置.考试结束后交回答题卡.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 的值为( )
A. 1B. －1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据计算可得结果.
【详解】由，得.
故选：B
2. 数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位数为( )
A. 6B. 6.5C. 7D. 5.5
【答案】D
【解析】
【分析】由百分位数的求法求60百分位数.
【详解】由题设，，故60百分位数为.
故选：D
3. 向量与不共线，，，且与共线，则k，l应满足( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据与共线，由求解.
【详解】由与共线，故，
即，
故，
所以
故选：D.
【点睛】本题主要考查平面向量共线定理的应用，属于基础题.
4. 一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意求得圆锥底面半径和高，由此求得圆锥的表面积.
【详解】依题意，设圆锥底面半径为，高为，母线长为，则，
底面周长为，则，所以，
所以圆锥的表面积为，
故选：A.
5. 已知向量，，若，则( )
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】先根据向量平行得到正余弦间的关系，再弦化切，进而用正切和公式展开代入即可.
【详解】因为，所以，易知，所以，所以.
故选：C.
6. 从长度为的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出从长度为的5条线段中任取3条，共有几种取法,再求出取出的三条线段能构成一个三角形的情况有几种，根据古典概型的概率公式即可得答案.
【详解】从长度为的5条线段中任取3条，共有种取法,
而取出的三条线段能构成一个三角形的情况有和以及,共3种,
故这三条线段能构成一个三角形的概率为,
故选：B
7. 在中，下列命题正确的个数是( )
①；②；③若，则为等腰三角形；④，则为锐角三角形．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】①，所以错误；
②，所以正确；
③由题得,所以为等腰三角形，所以正确；
④，则是锐角，但是不一定为锐角三角形，所以错误．
【详解】①，所以错误；
②，所以正确；
③若，则,所以为等腰三角形，所以正确；
④，则是锐角，但是不一定为锐角三角形，所以错误．
故选：B
8. 已知锐角，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理可得，结合三角形为锐角三角形可得的取值范围.
【详解】∵，
∴由正弦定理可得，
∵为锐角三角形，∴可得，即
解得.
故选：D.
【点睛】本题主要考查三角形的正余弦定理的应用，及锐角三角形的性质，属于中档题.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设复数，则下列结论正确的是( )
A. z的共轭复数为B. z的虚部为1
C. z在复平面内对应的点位于第二象限D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据共轭复数的定义即可判断A选项；根据虚部的概念即可判断B选项；根据复数的几何意义可以判断C选项；根据复数模的计算公式可以判断D选项.
【详解】由题得，复数，故z的共轭复数为，则A错误；
z的虚部为1，故B正确；
z在复平面内对应的点为，位于第二象限，故C正确；
，故D正确．
故选:BCD．
10. 下列说法中错误的是( )
A. 已知，且与的夹角为锐角，则实数
B. 向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C. 若，则存在唯一实数，使得
D. 非零向量和满足，则 与的夹角为
【答案】ACD
【解析】
【分析】A. 根据与的夹角为锐角，由，且不共线求解判断；B.判断是否共线；C. 由时判断；D.根据和满足，得到，然后利用向量的夹角公式求解判断.
【详解】A. 因为，所以，又因为与的夹角为锐角，所以，即且，解得且，故错误；
B.因为向量，，所以，即共线，所以不能作为平面内所有向量的一组基底，故正确；
C. 当时，满足，则存在无数个实数，使得 ，故错误；
D.因为非零向量和满足，则，即，则，
，
所以，因为，则，故错误；
故选：ACD
11. 抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，事件“两枚骰子出现点数和为8”，事件“两枚骰子出现点数和为9”，则( )
A. 与互斥B. 与互斥C. 与独立D. 与独立
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，结合互斥事件的概念举反例排除即可；
对于B，列举出事件所包含的基本事件，结合结合互斥事件的概念即可判断；
对于CD，利用古典概型求出事件的概率，结合独立事件的概率公式判断即可.
【详解】对于A，记表示事件“第一枚点数为，第二枚点数为”，则事件包含事件，事件也包含事件，所以，故与不互斥，故A错误；
对于B，事件包含的基本事件有共5件，事件包含的基本事件有共4件，故，即与互斥，故B正确；
对于C，总的基本事件有件，事件的基本事件有件，故，
由选项B知，
而事件包含的基本事件有共2件，故，
所以，故与独立，故C正确；
对于D，事件的基本事件有件，故，由选项B知，
而事件包含的基本事件有共3件，故，
所以，故与不独立，故D错误.
故选：BC.
12. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，下列说法正确的是( )
A. 若有两解
B. 若有两解
C. 若为锐角三角形，则b的取值范围是
D. 若为钝角三角形，则b取值范围是
【答案】AC
【解析】
【分析】根据三角形的构成，可判断三角形有几个解所要满足的条件，即，有两解，或，有一解，，有0解，根据直角三角形的情况，便可得出为锐角或钝角三角形时，b的取值范围.
【详解】A选项，∵，∴有两解，故A正确；
B选项，∵，∴有一解，故B错误；
C选项，∵为锐角三角形，∴，即，故C正确；
D选项，∵为钝角三角形，∴或，即或，故D错误.
故选：AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，
13. 设有两组数据：与，它们之间存在关系式：(，其中非零常数)，若这两组数据的方差分别为和，则和之间的关系是________．
【答案】
【解析】
【分析】注意两组数据关系,后一组中的每一个数字是前一组数字的a倍,这样两组数据的方差之间的关系就是后者的方差是前者的倍.
【详解】两组数据:,与,,它们之间存在关系式:
即第二组数据是第一组数据的倍还要整体加上,
在一列数字上同时加上一个数字方差不变,而同时乘以一个数字方差要乘以这个数字的平方,
和之间的关系是,
故填:,
【点睛】本题考查方差的变换特点,若在原来数据前乘以同一个数,平均数也乘以同一个数,而方差要乘以这个数的平方,在数据上同加或减同一个数,方差不变,属于基础题.
14. 边长为的三角形的最大角与最小角之和为____．
【答案】120°
【解析】
【详解】试题分析：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°-θ，有余弦定理可得，csθ==，易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°-θ=120°，故答案为120．
考点：本试题主要考查了余弦定理的运用，解本题时注意与三角形内角和定理结合分析题意
点评：解决该试题的关键是设长为7的边所对的角为θ，根据余弦定理可得csθ的值，进而可得θ的大小，则由三角形内角和定理可得最大角与最小角的和是180°-θ，即可得答案．
15. 已知向量，，若在方向上的投影向量为，则的值为 __．
【答案】##1.5
【解析】
【分析】利用投影向量公式求解即可.
【详解】解：，，
，，
在方向上的投影向量为，
在方向上的投影向量为，
，，
故答案为：.
16. 如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为为圆上的点，，，，分别是以为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，，，使得重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先连接交与点，结合四棱锥的侧面积是底面积的2倍，求得正方形边长，再画出折叠后的立体图形，找出外接球的球心，结合勾股定理即可求解
【详解】如图：
连接交与点，设正方形边长为，，则，
则正方形面积为：，四棱锥的侧面积为：，由题意得，即，解得，画出折叠后的立体图形．如图：
设重合点为，该四棱锥为正四棱锥，球心应在的连线上，设为，设外接球半径为，则，，，，，由勾股定理得，即，解得，外接球表面积为：
故答案为
【点睛】本题考查图形折叠前后的变换关系，四棱锥的外接球半径的求法，属于中档题
四、解答题：本题共6小题，其中第17题10分，其余各题为12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知是虚数单位，设.
(1)求证：1＋ω＋ω2＝0；
(2)计算：(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)．
【答案】(1)证明见解析；
(2)4.
【解析】
【分析】(1)代入，化简，即可作出证明；
(2)由(1)知，求解，代入即可求解.
【小问1详解】
证明：∵，
，
∴
【小问2详解】
由1＋ω＋ω2＝0知，
(ω－1)(1＋ω＋ω2)＝0，
∴ω3－1＝0，
∴ω3＝1.
∴(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)
＝(－2ω2)(－2ω)＝4ω3＝4.
18. 已知，，，是第三象限角．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求的值．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．
【解析】
【分析】(Ⅰ)先求得，然后求得，从而求得.
(Ⅱ)先求得，从而求得的值.
【详解】(Ⅰ)∵，，∴，
∴，∴．
(Ⅱ)∵，是第三象限角，∴，
故．
19. 为测量地形不规则的一个区域的径长，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到，为钝角，，，．

(1)求的值；
(2)若测得，求待测径长．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由正弦定理结合二倍角的余弦公式求解即可；
(2)分别在，用余弦定理可求得，，再由两角差的余弦公式可求出，最后在在，由余弦定理即可求出答案.
【小问1详解】
在中，由正弦定理可得：，
则，因为，因为为钝角，
所以，所以.
【小问2详解】
在，由余弦定理可得：，
解得：或(舍去)，
因为，所以，
在，，
由余弦定理可得：，
解得：，
，，，，
，
，由余弦定理可得：
，
故.
20. 社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，将笔试成绩按照、、、分组，得到如图所示频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数(每组数据以区间中点值为代表)；
(3)若计划面试人，请估计参加面试的最低分数线．
【答案】(1)
(2)众数为，平均数为
(3)
【解析】
【分析】(1)利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值；
(2)利用频率分布直方图中最高矩形底边的中点值为众数，将矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全加可得应聘者笔试成绩的平均数；
(3)计算出百分位数，可得结果.
【小问1详解】
解：由题意有，解得.
【小问2详解】
解：应聘者笔试成绩的众数为，
应聘者笔试成绩的平均数为．
【小问3详解】
解：，所以，面试成绩的最低分为百分位数，
前两个矩形面积之和为，前三个矩形的面积之和为，
设百分位数为，则，解得.
因此，若计划面试人，估计参加面试的最低分数线为.
21. 如图，三棱锥中，为等边三角形，且面面，．
(1)求证：；
(2)当与平面BCD所成角为45°时，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】(1)根据给定条件证得平面即可推理作答.
(2)由与平面BCD所成角确定正边长与CD长的关系，再作出二面角的平面角，借助余弦定理计算作答.
小问1详解】
在三棱锥中，平面平面，平面平面，而，
平面，因此有平面，又有平面，
所以.
【小问2详解】
取BC中点F，连接AF，DF，如图，
因为等边三角形，则，而平面平面，平面平面，
平面，于是得平面，是与平面BCD所成角，即，
令，则，因，即有，由(1)知，，则有，
过C作交AD于O，在平面内过O作交BD于E，连CE，从而得是二面角的平面角，
中，，，
中，由余弦定理得，
，，显然E是斜边中点，则，
中，由余弦定理得，
所以二面角的余弦值.
22. 设是边长为1的正三角形，点四等分线段(如图所示)．
(1)求的值；
(2)为线段上一点，若，求实数的值；
(3)为边上一动点，当取最小值时，求的值．
【答案】(1)；(2)；(3)．
【解析】
【分析】(1)利用线段的中点向量公式将所求化为，再结合余弦定理求解；
(2)利用平面向量的线性运算进行化简求解；
(3)先讨论的位置，研究的符号，再设，将表示为关于的函数，利用二次函数的最值判定的位置，再利用余弦定理进行求解．
【详解】(1)原式，
在中，由余弦定理，得
，
所以
(2)易知，即，
即，
因为为线段上一点，
设，
所以，解得
所以；
(3)①当在线段上时，；
②当在线段上时，；要使最小，则必在线段上，
设，则
，
当时，即当为时，最小，
则由(1)可知，
则由余弦定理得，