江苏省南京市六校联合体2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题(学生版+解析)

这是一份江苏省南京市六校联合体2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题(学生版+解析)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1. 已知向量，，若，则m的值为( )
A. －1B. 1C. D.
2. 已知复数z满足,则复数z的实部为( )
A. B. C. D.
3. 甲、乙、丙、丁四个乡镇的人口比为，为了解某种疾病的感染情况，采用分层抽样方法从这四个乡镇中抽取容量为n的样本，已知样本中甲乡镇的人数比乙乡镇的人数多20人，则样本容量n的值是( )
A. 200B. 240C. 260D. 280
4. 塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑.如图，为测量某塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为( )

A. B.
C. D.
5. 从数字1，2，3，4中，无放回地抽取2个数字组成一个两位数，其各位数字之和等于5的概率为( )
A. B. C. D.
6. 已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥所得的圆台体积是( )
A. B. C. D.
7. 已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
8. 在平行四边形ABCD中，，，则的最小值为( )
A. －10B. －13
C D.
二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分.
9. 已知复数，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则B.
C. 若，则D. 若，则
10. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A表示事件“两次掷出的点数之和是3”，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C表示事件“两次掷出的点数相同”，D表示事件“至少出现一个奇数点”， 则下列结论正确的是( )
A. A与B互斥B. A与C互斥
C. B与C独立D. B与D对立
11. 已知内角A，B，C所对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，且该三角形有两解，则
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，则为锐角三角形
12. 如图，正方体中，M，N，Q分别是AD，，中点，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则平面MPN
B. 若，则平面MPN
C. 若平面MPQ，则
D. 若，则平面MPN截正方体所得的截面是五边形
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填涂在答题卡相应位置.
13. 已知，，则______.
14. 已知某个数据的平均数为,方差为,现加入数字构成一组新的数据,这组新的数据的方差为______.
15. 在解析几何中，设、为直线l上的两个不同的点，则我们把及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量，把直线l垂直的向量称为直线l的法向量，常用表示，此时.若点，则可以把在法向量上的投影向量的模叫做点P到直线l的距离.现已知平面直角坐标系中，，，，则点P到直线l的距离为______.
16. 已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是，，1，则此三棱锥的外接球的体积为______；此三棱锥的内切球的表面积为______.
四、解答题：本大题共6个小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长(单位：分钟).现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)若某天该商场到访顾客的车辆数为1000，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间上的车辆数；
(2)为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务.若以第30百分位数为标准，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议(数据取整数).
18. 已知，，且，.
(1)求的值；
(2)求的值.
19. 已知中，，，，点D在边BC上且满足.

(1)用、表示，并求；
(2)若点E为边AB中点，求与夹角的余弦值.
20. 我校开展体能测试，甲、乙、丙三名男生准备在跳远测试中挑战2.80米的远度，已知每名男生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为优秀，挑战结束；若第一跳失败，则再跳一次，若第二跳成功，则等级也为优秀，若第二跳失败，则等级为良好，挑战结束.已知甲、乙、丙三名男生成功跳过2.80米的概率分别是，，，且每名男生每跳相互独立.记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀”分别为事件A，B，C.
(1)求、、；
(2)求甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好概率.
21. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若为锐角三角形，且，求面积取值范围.
22. 如图，已知斜三棱柱中，平面平面，与平面所成角的正切值为，所有侧棱与底面边长均为2，D是边AC中点.

(1)求证：∥平面；
(2)求异面直线与所成的角；
(3)F是边一点，且，若，求的值.
2022－2023学年第二学期六校联合体期末联合调研
高一数学
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1. 已知向量，，若，则m的值为( )
A. －1B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由两向量平行的坐标表示列出等式，即可解出答案.
【详解】因为，
所以，
解得：.
故选：D
2. 已知复数z满足,则复数z的实部为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的模和复数的除法,即可得出,进而可得结果.
【详解】因为,
所以实部是.
故选:C.
3. 甲、乙、丙、丁四个乡镇的人口比为，为了解某种疾病的感染情况，采用分层抽样方法从这四个乡镇中抽取容量为n的样本，已知样本中甲乡镇的人数比乙乡镇的人数多20人，则样本容量n的值是( )
A. 200B. 240C. 260D. 280
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
【详解】甲、乙、丙、丁四个乡镇的人口比为，
利用分层抽样方法抽取一个样本量为的样本，
因为样本中甲乡镇的人数比乙乡镇的人数多20人，
则，解得．
故选：B．
4. 塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑.如图，为测量某塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为( )

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先在中利用正弦定理求出的长，再在直角利用三角函数可求得结果.
【详解】在中，，，
则，
，
由正弦定理得，即，
所以，得，
在直角中，，则
，
故选：D
5. 从数字1，2，3，4中，无放回地抽取2个数字组成一个两位数，其各位数字之和等于5的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先得出所有的两位数的个数，再列举出其各位数字之和为5的两位数，根据古典概率公式可得选项.
【详解】两位数共有个，
其各位数字之和为5的两位数有：14，41，23，32共4个数，
所以各位数字之和等于5的概率为，
故选：A.
6. 已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥所得的圆台体积是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意易知圆锥的高为，母线长为2，底面圆半径为1，再由大圆锥的体积减小圆锥的体积即可得出圆台体积.
【详解】设圆锥的高为，母线长为，底面圆半径为，
则，解得：，，
所以，
所以圆台体积为：，
故选：A
7. 已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件列方程组可求出和，再利用两角差的余弦公式可求得结果.
【详解】因为，，
所以，解得，
所以，
故选：C
8. 在平行四边形ABCD中，，，则的最小值为( )
A. －10B. －13
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，求得，令，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】如图所示，设，且，
在中，由余弦定理可得，
即，可得
可得，，
所以，
设，可得，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，
则，
当时，取得最小值，最小值为.
故选：B.
二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分.
9. 已知复数，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则B.
C. 若，则D. 若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】利用虚数单位的意义判断A；利用复数代数形式的乘法结合模的意义判断B；举例说明判断CD作答.
【详解】对于A，由，得，因此，A正确；
对于B，令，则，
，
，即，B正确；
对于C，令，，而，C错误；
对于D，取，显然，而，且，D错误.
故选：AB
10. 先后两次掷一枚质地均匀骰子，A表示事件“两次掷出的点数之和是3”，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C表示事件“两次掷出的点数相同”，D表示事件“至少出现一个奇数点”， 则下列结论正确的是( )
A. A与B互斥B. A与C互斥
C. B与C独立D. B与D对立
【答案】BC
【解析】
【分析】写出事件所包含的基本事件，根据互斥事件和对立事件的概念进行判断ABD；求出，得到C正确.
【详解】先后两次掷一枚质地均匀的骰子，样本空间
，
故事件，
事件
，
事件，
事件
.
A选项，，故A与B不互斥，A错误；
B选项，，故A与C互斥，B正确；
C选项，，故，
又，，故，
所以B与C独立，C正确；
D选项，，
但，
所以B与D不对立，D错误.
故选：BC
11. 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，且该三角形有两解，则
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，则为锐角三角形
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据大边对大角及正弦定理判断A，根据图形数形结合可判断B，由正弦定理及三角恒等变换判断C，由两角和的正切公式变形可判断D.
【详解】因为，所以，由正弦定理，可知，故A正确；
如图，
，，且该三角形有两解，所以，即，
故B正确；
由正弦定理可得，，即，所以，因为，所以或，
即或，所以三角形为等腰或直角三角形，故C错误；
因为
，且，
所以，即为锐角，所以为锐角三角形，故D正确.
故选：ABD
12. 如图，正方体中，M，N，Q分别是AD，，的中点，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则平面MPN
B. 若，则平面MPN
C. 若平面MPQ，则
D. 若，则平面MPN截正方体所得的截面是五边形
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据线线平行即可判断A，根据线面平行的性质即可得矛盾判断B,根据线面线面垂直的性质即可判断C，根据平行关系，即可由线段成比例得线线平行，即可求解截面.
【详解】对于A,连接,在正方体中，可知，
当时，是的中点，则,所以 ，由于平面,平面,所以平面MPN，故A正确，
对于B, 当时，与点重合，连接交于点 ,连接,
若平面MPN,则平面,且平面平面,则，
由于是的中点，则为中点，这显然不符合要求，故B错误，
对于C, 若平面MPQ，则,由于 平面平面,又, 平面,
所以平面,平面,则,
显然 与平面不垂直，故,则,
由于为中点，所以为中点，故 ，C正确，
对于D，取中点,在 上取点,使得，在棱取,使得，在棱上取
由于分别为的中点，所以 ,
同理
连接即可得到截面多边形，故D正确，
故选：ACD
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填涂在答题卡相应位置.
13. 已知，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由半角公式求解.
【详解】，则，
由半角公式可得.
故答案为：
14. 已知某个数据的平均数为,方差为,现加入数字构成一组新的数据,这组新的数据的方差为______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用方差公式计算即可得到结果.
【详解】设原数据为,则,,
加入2后,所得4个数据平均数为,
所得4个数据的方差为.
故答案为:.
15. 在解析几何中，设、为直线l上的两个不同的点，则我们把及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量，把直线l垂直的向量称为直线l的法向量，常用表示，此时.若点，则可以把在法向量上的投影向量的模叫做点P到直线l的距离.现已知平面直角坐标系中，，，，则点P到直线l的距离为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量法即可求得点到直线的距离.
【详解】由已知得，，，所以，
在直线l上的投影向量的长度为，
故点P到直线l的距离.
故答案为：
16. 已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是，，1，则此三棱锥的外接球的体积为______；此三棱锥的内切球的表面积为______.
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】由题意可知三棱锥的三条侧棱两两垂直，首先求得三条侧棱的棱长，然后计算外接球的半径，最后计算其体积即可；等体积法计算三棱锥内切球的半径，从而求出内切球的表面积.
【详解】解：设三棱锥中，面，面，面两两垂直，则三棱锥的三条侧棱两两垂直，可设三条侧棱的长度分别为a，b，c，
由题意可得：，解得，
设三棱锥的外接球半径为，则，即，
外接球的体积；
设三棱锥的内切球半径为，由勾股定理可知：，
则，
则有，
解得：，则表面积为：.

故答案为：；
【点睛】关键点点睛：此题考查三棱锥与其外接球和内切球的综合问题，求其内切球半径的关键是利用等体积法，考查空间想象能力，属于较难题.
四、解答题：本大题共6个小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长(单位：分钟).现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)若某天该商场到访顾客的车辆数为1000，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间上的车辆数；
(2)为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务.若以第30百分位数为标准，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议(数据取整数).
【答案】(1)50 (2)免费停车时长为分钟
【解析】
【分析】(1)根据频率之和为1列出方程，求出的频率，从而得到样本中停车时长在区间上的频率并估计该天停车时长在区间上的车辆数；
(2)先确定第30百分位数位于之间，列出方程，求出答案.
【小问1详解】
根据频率分布直方图中所有频率和为1，设的频率为，
可列等式为，
，
所以样本中停车时长在区间上的频率为，
估计该天停车时长在区间上的车辆数是50；
【小问2详解】
设免费停车时间长不超过分钟，又因为的频率为，
并且的频率为，所以位于之间，
则满足，
，
确定免费停车时长为分钟.
18. 已知，，且，.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)

(2)
【解析】
【分析】(1)利用同角三角函数的平方关系求得，然后求得 由两角和的正切公式可得答案；
(2)结合(1)，利用，由两角和的正切公式，结合可得答案.
【小问1详解】
由题意
所以
所以
【小问2详解】
由为锐角，可得
所以
19. 已知中，，，，点D在边BC上且满足.

(1)用、表示，并求；
(2)若点E为边AB中点，求与夹角的余弦值.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】(1)根据向量的线性运算即可求解，
(2)由向量的线性运算表示向量，由数量积，利用夹角公式即可求解.
【小问1详解】
，
所以,
【小问2详解】
易知,
所以,
又,
所以,
20. 我校开展体能测试，甲、乙、丙三名男生准备在跳远测试中挑战2.80米的远度，已知每名男生有两次挑战机会，若第一跳成功，则等级为优秀，挑战结束；若第一跳失败，则再跳一次，若第二跳成功，则等级也为优秀，若第二跳失败，则等级为良好，挑战结束.已知甲、乙、丙三名男生成功跳过2.80米的概率分别是，，，且每名男生每跳相互独立.记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀”分别为事件A，B，C.
(1)求、、；
(2)求甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率.
【答案】(1)、、；
(2).
【解析】
【分析】(1) 获得优秀，可以是第一跳成功，也可以是第一跳失败第二跳成功，利用互斥事件的概率公式计算.
(2)利用相互独立事件和互斥事件的概率的应用求出结果．
【小问1详解】
记“甲、乙、丙三名男生第1跳成功”分别为事件A1，B1，C1，记“甲、乙、丙三名男生第2跳成功”分别为事件A2，B2，C2.
记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得“优秀”为事件A，B，C.
，
， .
，
甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中获得优秀的概率、、；
【小问2详解】
记“甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好”为事件D，
.
甲、乙、丙三名男生在这次跳远挑战中恰有两人获得良好的概率.
21. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由正弦定理结合得到，利用辅助角公式得到，结合角的范围得到；
(2)法一：由(1)中，结合三角形面积公式得到，由正弦定理求出，得到面积的取值范围；
法二：由余弦定理得到，结合三角形为锐角三角形得到，从而求出，求出面积的取值范围.
【小问1详解】
由正弦定理可得：，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以，
因为，
所以，即；
【小问2详解】
法一：由及(1)知的面积.
由正弦定理得.
由于锐角三角形，故，.
由(1)知，
所以，
因为在上单调递增，
故，故，
故，
从而.
因此面积的取值范围是；
法二：因为，，
由余弦定理得，即，故，
为锐角三角形，则，即，
由①得，解得，
由②得，解得或(舍去)，
综上，
所以.
22. 如图，已知斜三棱柱中，平面平面，与平面所成角的正切值为，所有侧棱与底面边长均为2，D是边AC中点.

(1)求证：∥平面；
(2)求异面直线与所成的角；
(3)F是边一点，且，若，求值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】(1)连接与交于点，连接，则可证得∥，再由线面平行的判定定理可证得结论；
(2)取的中点，连接，则，由面面垂直的性质可得平面，所以即为与平面所成角，可求出，然后在中利用余弦定理得，再根据平行关系可求得结果；
(3)由平面，可得，而，则平面，从而可得，然后在菱形中，以坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，再利用向量可求得结果.
【小问1详解】
如图，连接与交于点，连接，
在斜三棱柱中，
四边形是平行四边形，则是的中点，
又是中点，
则∥，
又平面，平面，
则∥平面，
【小问2详解】
取的中点，连接，斜三棱柱底面边长均为2，
则，
平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以即为与平面所成角，
中，，，则，
又，
则在中，由余弦定理得，
因为
所以，则```，
因为∥，∥，
所以异面直线与所成的角为，即为，
【小问3详解】
由(2)知平面，又，则，
又，，平面，
所以平面，
又平面，所以，
在菱形中，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，

则，
所以，，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，解得.