江苏省南通市2022-2023学年高一下学期6月期末数学试题(学生版+解析)

这是一份江苏省南通市2022-2023学年高一下学期6月期末数学试题(学生版+解析)，共26页。试卷主要包含了 复数的实部为， 设全集，集合，则， 在边长为3的正方形中，，则， 函数零点所在区间是， 在中，为边的中点，则， 关于函数，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数的实部为( )
A. B. C. -1D. 1
2. 设全集，集合，则( )
A. B. C. D.
3. 在边长为3的正方形中，，则( )
A. -5B. 5C. 15D. 25
4. 在中，角、、的对边分别为、、．若，则( )
A. B. C. D.
5. 函数零点所在区间是( )
A. B. C. D.
6. 如果三棱锥底面不是等边三角形，侧棱与底面所成的角都相等，平面，垂足为，则是的( )
A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心
7. 一组样本数据的平均数为，标准差为3.另一组样本数据的平均数为，标准差为，则( )
A. B.
C. D.
8. 某船在海面上航行至处，测得山顶位于其正西方向且仰角为，该船继续沿南偏东的方向航行5百米至处，测得山顶的仰角为，则该山顶高于海面( )
A. 百米B. 百米C. 百米D. 百米
二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 在中，为边的中点，则( )
A. B.
C. D.
10. 关于函数，下列说法正确的是( )
A. 最小正周期为B.
C. 图象关于点对称D. 在上的最大值为1
11. 同时抛掷两枚硬币，记“出现两个正面”事件，“出现两个反面”为事件，则( )
A. 为必然事件B. 为不可能事件
C. 与为互斥事件D. 与为独立事件
12. 如图，在底面为平行四边形的直四棱柱中，，，、分别为棱、的中点，则( )

A.
B. 与平面所成角的余弦值为
C. 三棱柱外接球的表面积为
D. 点到平面的距离为
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 某学生8次素养测试的成绩统计如下：，则该组数据的第80百分位数为__________．
14. 已知一圆锥侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为______.
15. 满足，的一个复数__________．
16. 在中，角的对边分别为为的中点，，则的周长为__________．
四､解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤．
17. 某种经济树木根据其底部周长的不同售价有所差异，底部周长在为三类树，底部周长在为二类树，底部周长大于或等于为一类树．为了解一大片该经济林的生长情况，随机测量其中100株树木的底部周长(单位：)，数据均落在之间，按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)估计该片经济林中二类树约占多少；
(2)将同组中的每个数据都用该组区间中点的数值代替，试估计该经济林中树木的平均底部周长．
18. 如图，在三棱锥中，平面分别为的中点．

(1)证明：∥平面；
(2)证明：平面平面．
19. 已知向量，函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)若，求.
20. 某校知识竞赛分初赛､复赛两轮.某班从甲､乙两名学生中选拔一人参加学校知识竞赛(初赛)，抽取了两人6次模拟测试的成绩，统计结果如下表：
(1)试根据以上数据比较两名同学的水平，并确定参加初赛的对象；
(2)初赛要求如下：参赛者从5道试题中随机抽取3道作答，至少答对2道方可进入复赛.若某参赛者会5道中的3道，求该参赛者能进入复赛的概率.
21. 在中，角的对边分别为．
(1)求；
(2)若，点在边上，连接并延长至点，且．求面积的最大值及此时点的位置．
22. 如图，在四棱台中，∥侧面，为的中点，为棱上的点，∥平面．

(1)证明：平面∥平面；
(2)求；
(3)求二面角大小．
2023年南通市高一学年度质量监测
数学
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数的实部为( )
A. B. C. -1D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再利用复数的概念求解.
【详解】因为复数，
所以复数的实部为.
故选：A
2. 设全集，集合，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的交并补运算即可求解.
【详解】,,,,
故选:C
3. 在边长为3的正方形中，，则( )
A. -5B. 5C. 15D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量数量积运算、向量线性运算求得正确答案.
【详解】由于，所以，所以，
又，所以
.
故选：C.
4. 在中，角、、的对边分别为、、．若，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求得的值.
【详解】因为，由正弦定理可得，
设，则，，
由余弦定理可得.
故选：D.
5. 函数的零点所在区间是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论.
【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，
因为，，
由零点存在定理可知，函数的零点所在区间是.
故选：B.
6. 如果三棱锥底面不是等边三角形，侧棱与底面所成的角都相等，平面，垂足为，则是的( )
A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心
【答案】D
【解析】
【分析】由线面角的定义，得到再在三角形中，由三角函数得到从而得到进而得解.
【详解】如图所示：

因为平面，侧棱与底面所成的角都相等，
则
故故是的外心.
故选：D.
7. 一组样本数据的平均数为，标准差为3.另一组样本数据的平均数为，标准差为，则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均数、方差公式判断数据添加平均数后新的平均数、标准差变化情况即可.
【详解】因为，所以，
所以，
，
，所以，解得，所以.
故选：B
8. 某船在海面上航行至处，测得山顶位于其正西方向且仰角为，该船继续沿南偏东的方向航行5百米至处，测得山顶的仰角为，则该山顶高于海面( )
A. 百米B. 百米C. 百米D. 百米
【答案】B
【解析】
【分析】设山顶高于海面的距离为，利用余弦定理求解即可.
【详解】如图所示：

设山顶高于海面的距离为，由题意，，，
所以，
在中，，，由余弦定理得，
即，即，解得或(舍去)，
所以该山顶高于海面百米.
故选：B
二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 在中，为边的中点，则( )
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用平面向量的线性运算逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】如下图所示：
对于A选项，，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D对.
故选：BCD.
10. 关于函数，下列说法正确的是( )
A. 最小正周期为B.
C. 图象关于点对称D. 在上的最大值为1
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的图象性质，逐项分析判断作答.
【详解】对于A，的最小正周期，故选项A正确；
对于B，，故选项B错误；
对于C，令，则，所以的对称中心为，
当时，函数的图象关于点对称，故选项C正确；
对于D，因为，所以，
当即时，函数取最大值1，故选项D正确；
故选：ACD.
11. 同时抛掷两枚硬币，记“出现两个正面”为事件，“出现两个反面”为事件，则( )
A. 为必然事件B. 为不可能事件
C. 与为互斥事件D. 与为独立事件
【答案】BC
【解析】
【分析】根据实验的所有结果，判断事件与事件的关系.
【详解】同时抛掷两枚质地均匀的硬币结果有：正正，正反，反正，反反，共4个基本事件，
不是必然事件，A选项错误；
事件与事件不能同时发生，为不可能事件，与为互斥事件，与不是独立事件， B选项正确，C选项正确，D选项错误；
故选：BC
12. 如图，在底面为平行四边形的直四棱柱中，，，、分别为棱、的中点，则( )

A.
B. 与平面所成角的余弦值为
C. 三棱柱的外接球的表面积为
D. 点到平面的距离为
【答案】ACD
【解析】
【分析】证明出，再结合可判断A选项；利用线面角定义可判断B选项；求出的外接圆直径，可求得三棱柱的外接球的直径为，结合球体的表面积公式可判断C选项；利用等体积法可判断D选项.
【详解】对于A选项，连接、，

因为四边形为平行四边形，且，则为菱形，
因为，则，且，
故为等边三角形，
因为为的中点，则，
因为且，则四边形为平行四边形，
所以，，故，A对；
对于B选项，过点在平面内作，垂足为点，连接，

因为平面，平面，则，
因为，，、平面，则平面，
所以，与平面所成角为，
因为四边形是边长为的菱形，且，则，故，
由余弦定理可得，
因为，则，
因为平面，平面，则，
所以，，
因为平面，平面，则，
所以，，
所以，，即与平面所成角的余弦值为，B错；
对于C选项，如下图所示：

圆柱的底面圆直径为，母线长为，
则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心.
且有，
可将直三棱柱置于圆柱内，使得、的外接圆分别为圆、圆，
如下图所示：

因为，，则为等边三角形，
故圆的直径为，
所以，三棱柱的外接球的直径为，
所以，三棱柱的外接球的表面积为，C对；
对于D选项，连接、，如下图所示：

因为平面，平面，则，
又因为且，则四边形为矩形，
所以，，
因为，平面，平面，则平面，
所以，点到平面的距离等于，
因为点为的中点，则点到平面的距离为，
所以，，
因为四边形为矩形，则，
因为，，则，
同理，
在中，，，，
由余弦定理可得，
因为平面，平面，则，
所以，，
所以，，
则，
所以，，
设点到平面的距离为，由，得，
所以，，即点到平面的距离为，D对.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；
④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 某学生8次素养测试的成绩统计如下：，则该组数据的第80百分位数为__________．
【答案】92
【解析】
【分析】根据百分位数的计算即可求解.
【详解】由于,所以该组数据的第80百分位数为第七个数.
故答案为：92
14. 已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为______.
【答案】##
【解析】
【分析】依次求圆锥底面周长、底面半径、高，由体积公式即可求.
【详解】由题意，圆锥底面周长为，
故圆锥底面半径，圆锥高，
故圆锥的体积为.
故答案为：
15. 满足，的一个复数__________．
【答案】(或中的一个，答案不唯一)
【解析】
【分析】设，根据可得出或，分、两种情况讨论，结合复数的模长公式可求得复数的值.
【详解】设，则，
因为，则，即或.
当时，即，由，解得或，此时，或；
当时，即，由，解得，此时，.
综上所述，或.
故答案为：(或中的一个，答案不唯一)
16. 在中，角的对边分别为为的中点，，则的周长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用余弦定理建立方程，即可求解作答.
【详解】在中，，由余弦定理得，即，
整理得，在中，，
由余弦定理得，相加整理得，即，
因此，解得，所以的周长为.
故答案为：
四､解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤．
17. 某种经济树木根据其底部周长的不同售价有所差异，底部周长在为三类树，底部周长在为二类树，底部周长大于或等于为一类树．为了解一大片该经济林的生长情况，随机测量其中100株树木的底部周长(单位：)，数据均落在之间，按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)估计该片经济林中二类树约占多少；
(2)将同组中的每个数据都用该组区间中点的数值代替，试估计该经济林中树木的平均底部周长．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据频率之和为1即可求解，即可求解二类树频率，
(2)根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解.
【小问1详解】
由频率分布直方图可得，
所以，解得．
因为底部周长在为二类树，
所以由图可得，．
答：该片经济林中二类树木约占．
【小问2详解】
由题意可得，
答：估计该经济林中树木的平均底部周长为．
18. 如图，在三棱锥中，平面分别为的中点．

(1)证明：∥平面；
(2)证明：平面平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)由三角形中位线定理可得∥，再由线面平行的判定定理可证得结论；
(2)由(1)知∥，而，则有，再由已知的线面垂直可得，则由线面垂直的判定定理可得平面，从而利用面面垂直的判定定理可证得结论.
【小问1详解】
证明：在中，因为分别为的中点，所以∥．
又因为平面平面，所以∥平面．
【小问2详解】
证明：由(1)可知∥，
又因为，所以．
因为平面平面，所以．
又因为平面，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
19. 已知向量，函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)若，求.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】(1)根据向量数量积的坐标表示函数，然后对函数进行降幂化简，代入正弦函数的单调增区间求解；
(2)先求，然后结合角的范围及同角关系求得，然后利用两角差的正弦公式化简计算即可.
【小问1详解】
，
由，解得，
所以的单调递增区间是.
【小问2详解】
，
因为，所以，
所以，
所以
.
20. 某校知识竞赛分初赛､复赛两轮.某班从甲､乙两名学生中选拔一人参加学校知识竞赛(初赛)，抽取了两人6次模拟测试的成绩，统计结果如下表：
(1)试根据以上数据比较两名同学的水平，并确定参加初赛的对象；
(2)初赛要求如下：参赛者从5道试题中随机抽取3道作答，至少答对2道方可进入复赛.若某参赛者会5道中的3道，求该参赛者能进入复赛的概率.
【答案】(1)甲､乙的平均分相同，但甲的成绩比乙稳定；选甲参加知识竞赛较合适
(2)
【解析】
【分析】(1)根据表格数据计算平均数和方差，比较即可确定人选；
(2)列举总的基本事件和所求事件包含的基本事件，利用古典概率概率计算公式即可求解.
【小问1详解】
由题意可得，，
，
，
，
所以，，
所以甲､乙的平均分相同，但甲的成绩比乙稳定，故选甲参加知识竞赛较合适.
【小问2详解】
在5道题中，参赛者会答的3道题分别记为，另外2道不会答的题分别记为，
记“参赛者进入复赛”为事件，参赛者从5道题中抽3道题的结果有
，，，共10种.
进入复赛，即至少答对2道的情况有
，，共7种.
所以参赛者进入复赛的概率为.
21. 在中，角的对边分别为．
(1)求；
(2)若，点在边上，连接并延长至点，且．求面积的最大值及此时点的位置．
【答案】(1)
(2)最大值为；点在边上靠近的三等分点
【解析】
【分析】(1)由正弦定理边角互化以及辅助角公式，即可结合三角函数的性质求解，
(1)根据正弦定理求解，进而由余弦定理以及面积公式，结合基本不等式即可求解最值，进而根据边角大小，求解的长度，即可确定位置.
【小问1详解】
在中，由正弦定理，得．
因为，所以．
因为，所以，故，
则,
因为，所以，则,
因此
【小问2详解】
在中，，由(1)知．
在中，由正弦定理得．
因为，所以，
所以．
在中，因为，所以．
设．
在中，由余弦定理，
得．
因为，
所以，所以，
当且仅当时等号成立．
所以面积的最大值为．
在中，因为，所以．
在中，因为，所以．
在Rt中，，
所以点在边上靠近的三等分点．

22. 如图，在四棱台中，∥侧面，为的中点，为棱上的点，∥平面．

(1)证明：平面∥平面；
(2)求；
(3)求二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】(1)由已知条件可证得四边形是平行四边形，则∥，再由线面平行的判定可得∥平面，而∥平面，所以由面面平行的判定定理可证得结论；
(2)由面面平行的性质可得∥，则得四边形是平行四边形，从而可求出；
(3)在梯形中，过点作的垂线，垂足为，连接，则可得∥∥，可证得平面，则二面角的平面角是，然后在中求解即可.
【小问1详解】
在四棱台中，
因为，
所以，所以．
又因为为的中点，所以．
四棱台中，∥，
所以四边形是平行四边形，
所以∥．
又平面平面，
所以∥平面．
又因为∥平面平面平面，
所以平面∥平面，
【小问2详解】
由(1)知平面∥平面，
又因为平面平面，平面平面，
所以∥，
又因为∥，所以四边形是平行四边形，
所以．
又由(1)知，所以．
【小问3详解】
在梯形中，过点作的垂线，垂足为，连接．

因，
所以．
在梯形中，因为∥，
所以四边形是平行四边形，
所以∥，
所以∥∥，
又因为平面平面，
所以，
所以．
又因为平面平面，
所以平面．
又因为平面，所以，
所以二面角的平面角是．
因为，所以．
因为平面平面，
所以．
因为∥∥，
所以．
在中，，
所以，
所以．
所以二面角的大小是．
【点睛】关键点点睛：此题考查面面平行的判定，考查二面角的求法，解题的关键是根据题意证明出平面，则可得二面角的平面角是，然后在直角三角形中求解即可，考查空间想象能力和推理能力，属于较难题.第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
甲的成绩(分)
100
90
120
130
105
115
乙的成绩(分)
95
125
110
95
100
135
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
甲成绩(分)
100
90
120
130
105
115
乙的成绩(分)
95
125
110
95
100
135