人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.1 勾股定理单元测试练习题

这是一份人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.1 勾股定理单元测试练习题，共26页。试卷主要包含了8千米，BH＝3，6cm，，2cm，，6，CH＝6，，8，等内容，欢迎下载使用。

班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．根据下列条件不能判定三角形是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝2：3：5B．a：b：c＝5：3：4
C．a＝，b＝，c＝D．∠A+∠B＝2∠C
2．(2023春•凯里市期末）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB、BC、AC为边长向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝4，S2＝9，则S3的值为（ ）
A．13B．5C．11D．37
3．(2023秋•余庆县期末）在周长为24的直角三角形中，斜边长为11，则该三角形的面积为（ ）
A．6B．12C．24D．48
4．(2023秋•东营区校级期末）如图，一棵大树被台风挂断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高（ ）
A．5mB．7mC．8mD．10m
5．(2023秋•雁塔区校级期中）若直角三角形的三边长为5，12，m，则m2的值为（ ）
A．13B．119C．169D．119或169
6．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是（ ）
A．B．C．D．
7．(2023秋•萧县期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21．大正方形的面积为13．则小正方形的面积为（ ）
A．3B．4C．5
8．(2023秋•宁德期末）意大利著名画家达•芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设左图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2，则下列表示S1，S2的等式成立的是（ ）
A．S1＝a2+b2+2abB．S1＝a2+b2+ab
C．S2＝c2D．S2＝c2+ab
9．(2023秋•辉县市校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的三边为边向外做正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，连结EC，CG，作CP⊥CG交HI于点P，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝4，S2＝7，则S△ACP：S△BCP等于（ ）
A．2：B．4：3C．：D．7：4
10．(2023秋•乐山期末）如图，图（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是（ ）
A．76B．57C．38D．19
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．(2023秋•伊川县期末）已知a、b为直角三角形的两边长，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则第三边长为 ．
12．(2023秋•沙坪坝区校级期末）如图△ABC中，AB＝AC，过点C作CD⊥AB交AB于点D．已知CD＝5，BD＝2，则AB的长是 ．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上的点，若BD＝2，DC＝3，则AB2﹣AD2的值为 ．
14．(2023秋•平顶山期末）如图，四边形ABCD中，AB＝14，BC＝10，CD＝8，DA＝6，其中∠D＝90°，则四边形ABCD的面积是 ．
15．(2023秋•平昌县期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了 米．
16．(2023秋•阳泉期末）如图所示，已知△ABC中，BC＝16cm，AC＝20cm，AB＝12cm，点P是BC边上的一个动点，点P从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t（s），若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，则运动时间t＝ ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(2023秋•卧龙区校级期末）如图，已知CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m．求图中着色部分的面积．
18．(2023秋•莱阳市期末）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准．
19．(2023秋•南关区校级期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得BC＝6千米，CH＝4.8千米，BH＝3.6千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路线（即CH与AB是否垂直）？请通过计算加以说明．
（2）求原来的路线AC的长．
20．(2023春•朝阳区校级期中）如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．
（1）图（1）中正方形ABCD的面积为 ，边长为 ；
（2）在图（2）的4×4方格中，画一个面积为8的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）；并在图（2）的数轴上，用圆规找出实数的准确位置．
21．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，作DE⊥AC于点E．
（1）若AD＝CD，求∠C的度数．
（2）若AB＝6，BC＝8．
①求AE的长度；
②求△ACD的面积．
22．(2023秋•兴庆区校级期末）阅读下列文字，然后回答问题．
已知在平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），它们之间的距离P1P2＝．
（1）已知A（2，4），B（﹣3，﹣8），试求A，B两点间的距离．
（2）已知△DEF各顶点的坐标为D（1，6），E（﹣2，2），F（4，2），请判断此三角形的形状，并说明理由．
23．(2023秋•代县期末）综合与实践
美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；
（2）如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积；
（3）如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝42，求S2的值．
【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
第17章勾股定理单元测试（培优压轴卷，八下人教）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．根据下列条件不能判定三角形是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝2：3：5B．a：b：c＝5：3：4
C．a＝，b＝，c＝D．∠A+∠B＝2∠C
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断选项B和选项C，根据三角形的内角和定理即可判断选项A和选项D．
【解析】A．∵∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C＝180＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵a：b：c＝5：3：4，
∴b2+c2＝a2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵a＝，b＝，c＝，
∴b2+c2＝a2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵∠A+∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3∠C＝180°，
∴∠C＝60°，
∴∠A+∠B＝120°，不能求出△ABC的一个角是直角，
即△ABC不一定是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
2．(2023春•凯里市期末）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB、BC、AC为边长向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝4，S2＝9，则S3的值为（ ）
A．13B．5C．11D．37
【分析】先根据勾股定理得出△ABC的三边关系，再根据正方形的性质即可得出S3的值．
【解析】∵△ABC中，∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴BC2＝AC2﹣AB2，
∵AB2＝S1＝4，BC2＝S2＝9，AC2＝S3，
∴S3＝S1+S2＝4+9＝13．
故选：A．
3．(2023秋•余庆县期末）在周长为24的直角三角形中，斜边长为11，则该三角形的面积为（ ）
A．6B．12C．24D．48
【分析】设直角三角形的一直角边长为x，另一直角边为y，由题意得x+y＝13，则（x+y）2＝132①，再由勾股定理得x2+y2＝112②，①﹣②得2xy＝48，则xy＝24，即可求解．
【解析】设直角三角形的一直角边长为x，另一直角边为y，
由题意可得：x+y＝24﹣11＝13，
∴（x+y）2＝132①，
由勾股定理可得：x2+y2＝112②，
①﹣②得：2xy＝48，
∴xy＝24，
∴该三角形的面积为：xy＝×24＝12，
故选：B．
4．(2023秋•东营区校级期末）如图，一棵大树被台风挂断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高（ ）
A．5mB．7mC．8mD．10m
【分析】在折断的大树与地面构成的直角三角形中，由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出大树折断之前的高度．
【解析】如图；．
在Rt△ABC中，AB＝3米，BC＝4米，
由勾股定理，得：AC＝＝5米，
∴AC+AB＝3+5＝8米，即大树折断之前有8米高．
故选：C．
5．(2023秋•雁塔区校级期中）若直角三角形的三边长为5，12，m，则m2的值为（ ）
A．13B．119C．169D．119或169
【分析】由于直角三角形的斜边不能确定，故应分m为直角边与斜边两种情况进行讨论．
【解析】当m为直角边时，m2＝122﹣52＝119；
当m为斜边时，m2＝52+122＝169．
故选：D．
6．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是（ ）
A．B．C．D．
【分析】求出三角形ABC的面积，再根据三角形的面积公式即可求得AC边上的高．
【解析】四边形DEFA是正方形，面积是4；
△ABF，△ACD的面积相等，且都是×1×2＝1．
△BCE的面积是：×1×1＝．
则△ABC的面积是：4﹣1﹣1﹣＝．
在直角△ADC中根据勾股定理得到：AC＝＝．
设AC边上的高线长是x．则•AC•x＝x＝，
解得：x＝．
故选：C．
7．(2023秋•萧县期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21．大正方形的面积为13．则小正方形的面积为（ ）
A．3B．4C．5
【分析】观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，可以得出4个直角三角形的面积，进而求出答案．
【解析】如图所示：
∵（a+b）2＝21，
∴a2+2ab+b2＝21，
∵大正方形的面积为13，
∴a2+b2＝13，
∴2ab＝21﹣13＝8，
∴小正方形的面积为13﹣8＝5．
故选：C．
8．(2023秋•宁德期末）意大利著名画家达•芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设左图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2，则下列表示S1，S2的等式成立的是（ ）
A．S1＝a2+b2+2abB．S1＝a2+b2+ab
C．S2＝c2D．S2＝c2+ab
【分析】根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题．
【解析】观察图象可知：S1＝S2＝a2+b2+ab＝c2+ab，
故选：B．
9．(2023秋•辉县市校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的三边为边向外做正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，连结EC，CG，作CP⊥CG交HI于点P，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝4，S2＝7，则S△ACP：S△BCP等于（ ）
A．2：B．4：3C．：D．7：4
【分析】过点P作PM⊥CB，交CB的延长线于点M，作PN⊥CA，交CA的延长线于点N．根据CP平分∠ACB，即可得出PM＝PN．再根据正方形ACDE和正方形BCFG的面积之比为4：3，即可得到AC：BC＝2：，进而利用三角形面积公式得到S△ACP：S△BCP的值．
【解析】如图所示，过点P作PM⊥CB，交CB的延长线于点M，作PN⊥CA，交CA的延长线于点N，
由题可得，∠BCG＝45°，CP⊥CG，
∴∠BCP＝45°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACP＝45°，即CP平分∠ACB，
又∵PM⊥BC，PN⊥AC，
∴PM＝PN，
∵正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，且S1＝4，S2＝7，
∴正方形BCFG的面积＝7﹣4＝3，
∴正方形ACDE和正方形BCFG的面积之比为4：3，
∴AC：BC＝2：，
∴＝＝＝，
即S△ACP：S△BCP等于2：．
故选：A．
10．(2023秋•乐山期末）如图，图（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是（ ）
A．76B．57C．38D．19
【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
【解析】设AC＝AD＝x，则BD＝30﹣5﹣2x＝25﹣2x，
∵BD2＝BC2+CD2，
∴52+（2x）2＝（25﹣2x）2，
∴x＝6，
∴BD＝25﹣2x＝13，AD＝6，
∴这个风车的外围周长是：（13+6）×4＝76．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．(2023秋•伊川县期末）已知a、b为直角三角形的两边长，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则第三边长为 5或 ．
【分析】直接利用非负数的性质得出a，b的值，再利用勾股定理得出答案．
【解析】∵（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，
解得：a＝3，b＝4，
∵直角三角形的两边长分别为a，b，
∴第三边长＝5或＝，
故答案为：5或．
12．(2023秋•沙坪坝区校级期末）如图△ABC中，AB＝AC，过点C作CD⊥AB交AB于点D．已知CD＝5，BD＝2，则AB的长是 ．
【分析】设AB＝AC＝x，则AD＝x﹣2，在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解析】设AB＝AC＝x，则AD＝AB﹣BD＝x﹣2，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD2+AD2＝AC2，
即52+（x﹣2）2＝x2，
解得：x＝，
即AB的长为，
故答案为：．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上的点，若BD＝2，DC＝3，则AB2﹣AD2的值为 16 ．
【分析】在Rt△ABC与Rt△ACD中，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2，AD2＝AC2+CD2，两式相减即可得出结论．
【解析】∵BD＝2，DC＝3，
∴BC＝BD+DC＝5，
在Rt△ABC与Rt△ACD中，由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，AD2＝AC2+CD2，
∴AB2﹣AD2＝BC2﹣CD2＝52﹣32＝16，
故答案为：16．
14．(2023秋•平顶山期末）如图，四边形ABCD中，AB＝14，BC＝10，CD＝8，DA＝6，其中∠D＝90°，则四边形ABCD的面积是 7+24 ．
【分析】连接AC，根据勾股定理计算出AC长，根据AC＝BC确定△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质，求出底边上的高，然后再求出面积，利用△ACD和△ABC的面积求和即可．
【解析】连接AC，过点C作CE⊥AB于点E，如图所示：
∵∠D＝90°，CD＝8，DA＝6，
∴，
∵BC＝10，
∴AC＝BC，
∵CE⊥AB，
∴，
∵∠AEC＝90°，
在Rt△ACE中根据勾股定理得：，
∴，，
∴．
故答案为：．
15．(2023秋•平昌县期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了 9 米．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长．
【解析】在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴AB＝＝＝15（米），
∵CD＝10（米），
∴AD＝＝6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），
答：船向岸边移动了9米，
故答案为：9．
16．(2023秋•阳泉期末）如图所示，已知△ABC中，BC＝16cm，AC＝20cm，AB＝12cm，点P是BC边上的一个动点，点P从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t（s），若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，则运动时间t＝ 6s或12s或10.8s ．
【分析】分情况讨论：AB＝BP，AB＝AP，画出图形分别求解即可．
【解析】∵BC＝16cm，AC＝20cm，AB＝12cm，
∴BC2+AB2＝AC2，
∴∠B＝90°，
如图1，AB＝PB＝12cm，
∴t＝12÷2＝6s；
如图2，AP＝AB＝12cm，
∴BC+PC＝（16+20﹣12）cm＝24cm，
∴t＝24÷2＝12s；
如图3，AB＝BP＝12cm，
过点B作BD⊥AC于D，则AD＝PD，
∵S△ABC＝×AB×BC＝×AC×BD，
∴12×16＝20BD，
∴BD＝9.6cm，
由勾股定理得：AD＝＝＝7.2cm，
∴AP＝2AD＝14.4cm，
∴t＝（16+20﹣14.4）÷2＝10.8s，
综上所述，t的值是6s或12s或10.8s．
故答案为：6s或12s或10.8s．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(2023秋•卧龙区校级期末）如图，已知CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m．求图中着色部分的面积．
【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACB为直角三角形，再根据S阴影＝AC×BC﹣AD×CD即可得出结论．
【解析】在Rt△ADC中，
∵CD＝6米，AD＝8米，BC＝24米，AB＝26米，
∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，
∴AC＝10米（取正值）．
在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676．
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°．
∴S阴影＝AC×BC﹣AD×CD＝×10×24﹣×8×6＝96（米2）．
答：图中阴影部分的面积为96米2．
18．(2023秋•莱阳市期末）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6dm，BC＝3dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准．
【分析】在Rt△ABD中，由勾股定理求出BD，在△BCD中，通过计算，根据勾股定理逆定理判断即可．
【解析】在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣62＝45，
在△BCD中，BC2+CD2＝32+62＝45，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴BC⊥CD．
故该车符合安全标准．
19．(2023秋•南关区校级期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得BC＝6千米，CH＝4.8千米，BH＝3.6千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路线（即CH与AB是否垂直）？请通过计算加以说明．
（2）求原来的路线AC的长．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【解析】（1）是，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝（4.8）2+（3.6）2＝36，
BC2＝36，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）设AC＝x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣3.6，CH＝6，
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣3.6）2+62，
解这个方程，得x＝6.8，
答：原来的路线AC的长为6.8米．
20．(2023春•朝阳区校级期中）如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．
（1）图（1）中正方形ABCD的面积为 5 ，边长为 ；
（2）在图（2）的4×4方格中，画一个面积为8的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）；并在图（2）的数轴上，用圆规找出实数的准确位置．
【分析】（1）根据正方形的面积公式、三角形的面积公式计算即可；
（2）根据题意画出面积为8的格点正方形，根据算术平方根得到EF＝，尺规作图即可．
【解析】（1）正方形ABCD的面积＝3×3﹣×1×2×4＝5，
则正方形ABCD的边长为，
故答案为：5；；
（2）如图2中，正方形EFGH是所画的面积为8的格点正方形，
以点E为圆心、EF为半径画弧，交数轴于点P，则点P的坐标为实数．
21．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，作DE⊥AC于点E．
（1）若AD＝CD，求∠C的度数．
（2）若AB＝6，BC＝8．
①求AE的长度；
②求△ACD的面积．
【分析】（1）根据角平分线的性质得到DB＝DE，根据全等三角形的性质得到∠BAD＝∠EAD，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）①根据勾股定理得到AC＝＝10，根据全等三角形的性质得到AE＝AB＝6；
②设BD＝DE＝x，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】（1）∵∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，作DE⊥AC于点E，
∴BD＝DE，
∵AD＝AD，
∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），
∴∠BAD＝∠EAD，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠C，
∵∠BAC+∠C＝90°，
∴∠C＝30°；
（2）①∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，
由（1）知，△ABD≌△AED，
∴AE＝AB＝6；
②∵AC＝10，AE＝6，
∴CE＝4，
设BD＝DE＝x，
∴CD＝8﹣x，
∵DE2+CE2＝DC2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴DE＝3，
∴△ACD的面积＝AC•DE＝10×3＝15．
22．(2023秋•兴庆区校级期末）阅读下列文字，然后回答问题．
已知在平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），它们之间的距离P1P2＝．
（1）已知A（2，4），B（﹣3，﹣8），试求A，B两点间的距离．
（2）已知△DEF各顶点的坐标为D（1，6），E（﹣2，2），F（4，2），请判断此三角形的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据两点距离公式进行计算便可；
（2）根据两点的距离公式求出各条线段的长度，再判定三角形的性质可求解．
【解析】（1）根据两点的距离公式得，AB＝；
（2）△DEF为等腰三角形．
理由：∵D（1，6），E（﹣2，2），F（4，2），
∴DE＝，
EF＝，
DF＝，
∴DE＝DF，
∴△DEF为等腰三角形．
23．(2023秋•代县期末）综合与实践
美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；
（2）如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积；
（3）如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝42，求S2的值．
【分析】（1）依据图1中的正方形的面积可以用两种方式表示出来，即可验证勾股定理；
（2）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；
（3）设八个全等的直角三角形的面积均为a，依据正方形EFGH内外四个直角三角形的面积之和相等，即可得到2S2＝S1+S3，再根据S1+2S2+S3＝42，即可得出S2的值．
【解析】（1）由图1可得，大正方形的面积为c2，
大正方形的面积＝4×ab+（a﹣b）2，
∴4×ab+（a﹣b）2＝c2，
化简可得，a2+b2＝c2；
（2）24÷4＝6，
设AC＝x，则AB＝6﹣x，
依题意得：
（x+3）2+32＝（6﹣x）2，
解得x＝1，
∴该“勾股风车”图案的面积为：×（3+1）×3×4
＝×4×3×4
＝24．
答：该“勾股风车”图案的面积为24；
（3）设八个全等的直角三角形的面积均为a，则
S2＝S1﹣4a，S2＝S3+4a，
两式相加，可得2S2＝S1+S3，
又∵S1+2S2+S3＝42，
∴4S2＝42，
∴S2＝10.5．