高考数学二轮专题回顾2 函数与导数

这是一份高考数学二轮专题回顾2 函数与导数，共8页。试卷主要包含了求函数解析式的主要方法，函数的奇偶性，函数的周期性，函数的单调性，求函数最值常用的方法，函数图象的几种常见变换，二次函数问题等内容，欢迎下载使用。

[检验1] 函数f(x)＝eq \r(lg2x－1)的定义域为________.
答案 [2，＋∞)
解析 要使函数f(x)有意义，则lg2x－1≥0，即x≥2，则函数f(x)的定义域是[2，＋∞).
2.求函数解析式的主要方法：(1)代入法；(2)待定系数法；(3)换元(配凑)法；(4)解方程组法等.用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题.
[检验2] 已知f(eq \r(x))＝x＋2eq \r(x)，则f(x)＝________.
答案 x2＋2x(x≥0)
3.分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数.
[检验3] 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ex，x＜0，,ln x，x＞0，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))))＝________.
答案 eq \f(1,e)
4.函数的奇偶性
若f(x)的定义域关于原点对称，则
f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|);
f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x).
定义域含0的奇函数满足f(0)＝0；定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件；判断函数的奇偶性，先求定义域，若其定义域关于原点对称，再找f(x)与f(－x)的关系.
[检验4] (1)若f(x)＝2x＋2－xlg a是奇函数，则实数a＝________.
(2)已知f(x)为偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，若f(lg x)＞f(1)，则x的取值范围是________.
答案 (1)eq \f(1,10) (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)，10))
5.函数的周期性
由周期函数的定义“函数f(x)满足f(x)＝f(a＋x)(a≠0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：
①若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(x)(a≠0)，则f(x)是周期T＝2a的周期函数；
②若f(x＋a)＝eq \f(1,f（x）)(a≠0)恒成立，则T＝2a；
③若f(x＋a)＝－eq \f(1,f（x）)(a≠0)恒成立，则T＝2a.
[检验5] 函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs \f(πx,2)，0答案 eq \f(\r(2),2)
解析 因为函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数f(x)的最小正周期是4.
因为在区间(－2，2]上，
f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs \f(πx,2)，0所以f(f(15))＝f(f(－1))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝cs eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2).
6.函数的单调性
(1)定义法：设任意x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数.
(2)导数法：注意f ′(x)＞0能推出f(x)为增函数，但反之不一定.如函数f(x)＝x3在
(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，∴f ′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件.
(3)复合函数由同增异减的判定法则来判定.
(4)求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接，或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.
[检验6] (1)函数f(x)＝eq \f(1,x)的单调减区间为________.
(2)已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))的x的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3)))
答案 (1)(－∞，0)，(0，＋∞) (2)D
7.求函数最值(值域)常用的方法
(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；
(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；
(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或二元的函数；
(4)导数法：适合于可导函数；
(5)换元法(特别注意新元的范围)；
(6)分离常数法：适合于一次分式；
(7)有界函数法：适用于含有指、对数函数或正、余弦函数的式子.
无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域.
[检验7] 函数y＝eq \f(2x,2x＋1)的值域为________.
答案 (0，1)
8.函数图象的几种常见变换
(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”.
(2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|).
(3)对称变换：
①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；
②函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；
③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称.
[检验8] (1)函数y＝eq \f(3x－1,x＋2)的图象关于点________对称.
(2)函数f(x)＝|lg x|的单调递减区间为________.
答案 (1)(－2，3) (2)(0，1)
9.二次函数问题
(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合.二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系.
(2)二次函数解析式的三种形式：
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).
(3)一元二次方程实根分布：先观察二次项系数，Δ与0的关系，对称轴与区间的关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图.
尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形.
[检验9] 不等式mx2＋mx＋1>0的解集为R，则实数m的取值范围为________.
答案 [0，4)
解析 当m＝0时，不等式显然恒成立，即x∈R，满足条件；
当m≠0时，为二次函数，要恒大于零只有开口向上，Δ<0.
所以m>0且Δ＝m2－4m<0，即010.指数与对数的运算性质
(1)指数运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r，s∈Q).
(2)对数运算性质：已知a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0，则lga(MN)＝lgaM＋lgaN，
lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN，lgaMn＝nlgaM，
对数换底公式：lgaN＝eq \f(lgbN,lgba).
推论：lgamNn＝eq \f(n,m)lgaN；lgab＝eq \f(1,lgba).
[检验10] 若xlg34＝1，则4x－4－x＝( )
A.eq \f(7,3) B.eq \f(8,3)
C.eq \f(10,3) D.eq \f(16,3)
答案 B
解析 ∵xlg34＝1，∴x＝eq \f(1,lg34)＝lg43，
∴4x－4－x＝4lg43－4－lg43＝3－eq \f(1,3)＝eq \f(8,3).
11.指数函数与对数函数的图象与性质
可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象恒过定点(0，1)，对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)的图象恒过定点(1，0).
[检验11] (1)已知a＝lg3π，b＝0.50.8，c＝lgeq \f(1,3)eq \f(1,4)，则a，b，c的大小关系为( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
(2)函数f(x)＝lgeq \f(1,2)(－x2＋x＋6)的单调递增区间是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
答案 (1)D (2)A
解析 (1)因为a＝lg3π>1，0lg3π＝a，
所以c>a>b.
(2)由题意，－x2＋x＋6>0⇒x2－x－6<0⇒x∈(－2，3)，
又∵f(x)＝lgeq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(25,4)))，
∴按照“同增异减”的原则可知，函数的单调递增区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3)).
12.函数与方程
(1)对于函数y＝f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.事实上，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根.
(2)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时这个c就是方程f(x)＝0的根，反之不成立.
[检验12] 函数f(x)＝ln(x＋1)－eq \f(1,x)的一个零点所在的区间是( )
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
答案 B
解析 因为f(x)＝ln(x＋1)－eq \f(1,x)，在(0，＋∞)上是连续函数，且f′(x)＝eq \f(1,x＋1)＋eq \f(1,x2)>0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∵f(1)＝ln 2－1<0，f(2)＝ln 3－eq \f(1,2)>0，
∴f(1)·f(2)<0，
所以f(x)在(1，2)上存在一个零点.
13.导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)是曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
[检验13] 函数f(x)＝ln x过点(0，0)的切线方程为( )
A.y＝x B.y＝eq \f(2,e)x
C.y＝eq \f(1,2)x D.y＝eq \f(1,e)x
答案 D
解析 设切点为(x1，ln x1)，
∵f(x)＝ln x，
∴f′(x)＝eq \f(1,x)，∴eq \f(1,x1)＝eq \f(ln x1－0,x1－0)，
∴ln x1＝1，∴x1＝e，
因此切线方程为y＝eq \f(1,e)x.
14.常用的求导公式与求导法则
(1)(xm)′＝mxm－1，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))′＝－eq \f(1,x2)，
(sin x)′＝cs x，(cs x)′＝－sin x，(ex)′＝ex，(ln x)′＝eq \f(1,x).
(2)(u±v)′＝u′±v′，(uv)′＝u′v＋uv′，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(u,v)))′＝eq \f(u′v－uv′,v2)(v≠0).
[检验14] 已知f(x)＝xln x，则f′(x)＝________；已知f(x)＝eq \f(ex,x)，则f′(x)＝________.
答案 ln x＋1 eq \f(ex（x－1）,x2)
15.利用导数判断函数的单调性
设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f′(x)＜0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常函数.
注意 若已知f(x)为减函数求字母取值范围，则不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否等于0.增函数亦如此.
[检验15] 设函数f(x)＝ln x－eq \f(1,2)ax2在(1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A.(0，1] B.[1，＋∞)
C.(0，1) D.(1，＋∞)
答案 B
解析 由题意，得f′(x)＝eq \f(1,x)－ax≤0在(1，＋∞)上恒成立，则a≥eq \f(1,x2)在(1，＋∞)上恒成立，因为eq \f(1,x2)∈(0，1)，所以a≥1.
16.导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f(x)＝x3，有f ′(0)＝0，但x＝0不是极值点.
[检验16] 已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1处取得极值0，则m＋n＝( )
A.4 B.11
C.4或11 D.3或9
答案 B
解析 ∵f′(x)＝3x2＋6mx＋n，
∴由题设有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f′（－1）＝0，,f（－1）＝0，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3－6m＋n＝0，,－1＋3m－n＋m2＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝3，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝9，))
检验：当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝3))时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，不合题意 ，舍掉；
当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝9))时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋3)(x＋1)，
令f′(x)>0得x<－3或x>－1；
令f′(x)<0得－3所以f(x)在(－∞，－3)，(－1，＋∞)上单调递增，在(－3，－1)上单调递减，符合题意，则m＋n＝2＋9＝11.