第3讲　运动图象　追及相遇问题 讲义

这是一份第3讲　运动图象　追及相遇问题 讲义，共14页。

1．直线运动的x­t图象
(1)意义：反映了直线运动的物体位移随时间变化的规律。
(2)图线上某点切线的斜率的意义
①斜率大小：表示物体速度的大小。
②斜率的正负：表示物体速度的方向。
(3)两种特殊的x­t图象
①若x­t图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状态。(如图中甲所示)
②若x­t图象是一条倾斜的直线，说明物体在做匀速直线运动。(如图中乙所示)
2．直线运动的v­t图象
(1)意义：反映了直线运动的物体速度随时间变化的规律。
(2)图线上某点切线的斜率的意义
①斜率的大小：表示物体加速度的大小。
②斜率的正负：表示物体加速度的方向。
(3)两种特殊的v­t图象
①匀速直线运动的v­t图象是与横轴平行的直线。(如图中甲所示)
②匀变速直线运动的v­t图象是一条倾斜的直线。(如图中乙所示)
(4)图线与坐标轴围成的“面积”的意义
①图线与坐标轴围成的“面积”表示相应时间内的位移。
②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正方向；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负方向。
3．直线运动的a­t图象
(1)意义：反映了直线运动的物体，加速度随时间变化的规律。
(2)匀变速直线运动的a­t图象，只能是与t轴平行的直线。
(3)图线与坐标轴围成“面积”的意义：速度的变化Δv。
【知识点2】 追及和相遇问题
1．追及问题的两类情况
(1)若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度。
(2)若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近。
①同向运动相隔一定的初始距离s0的问题：速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者(如匀速运动)。
a．若两者速度相等时，追者位移仍小于被追者位移与s0之和，则永远追不上，此时两者间有最小距离。
b．若两者位移相等时，速度也相等，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界条件。
c．若两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距有一个最大值。
②从同一地点出发开始同向运动的问题：速度小者加速(如初速度为零的匀加速直线运动)追速度大者(如匀速运动)。
a．当两者速度相等时两者间有最大距离。
b．若两者位移相等时，则追上。
2．相遇问题
(1)同向运动的两物体追上即相遇。两物体位移大小之差等于开始时两物体间距。
(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇。
考点1运动图象的应用[深化理解]
1．应用运动图象的三点注意
(1)无论是x­t图象还是v­t图象都只能描述直线运动。
(2)x­t图象和v­t图象都不表示物体运动的轨迹。
(3)x­t图象和v­t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定。
2．应用运动图象解题“六看”
续表
例1 (多选)如图所示为一质点做直线运动的速度—时间图象，下列说法中正确的是( )
A．整个过程中，CD段和DE段的加速度数值最大
B．整个过程中，BC段的加速度最大
C．整个过程中，C点所表示的状态，离出发点最远
D．BC段所表示的运动通过的路程是34 m
(1)0～22 s内，质点的运动方向是否发生变化？什么时刻离出发点最远？
提示：当图象过时间轴时质点运动方向发生改变，t＝20秒时速度图象过时间轴，即方向发生了改变。t＝20秒时离出发点最远。
(2)v­t图象中“面积”的含义是什么？
提示：图线与时间轴所围的“面积”表示位移的大小。
尝试解答 选AD。
图象的斜率表示加速度，由图知CE段斜率最大，加速度最大，A正确，B错误。t＝20 s时速度改变方向，所以D点所表示的状态离出发点最远，C错误。BC段和时间轴围成的面积为34 m，D正确。
总结升华
用速度—时间图象巧得五个运动量
(1)运动速度：从速度轴上直接读出，负值表示反向运动。
(2)运动时间：从时间轴上直接读出时刻。
(3)运动加速度：从图线的斜率得到加速度，斜率的大小表示加速度的大小，斜率的正负反映了加速度的方向。例题中BC段加速度与CD段加速度方向相反。
(4)运动的位移：从图线与时间轴围成的面积得到位移，图线与时间轴围成的面积表示位移的大小，横轴以上为“＋”值，横轴以下为“－”值，整个过程的位移是它们的代数和，如CD段的位移为正值，DE段为负值；那CE段的总位移为0。
(5)运动的路程：因为路程是标量。路程是图线与时间轴围成的面积的总和。
eq \a\vs4\al([跟踪训练]) 汽车在平直公路上做刹车试验，若从t＝0时起汽车在运动过程中的位移与速度的平方之间的关系如图所示，下列说法正确的是( )
A．t＝0时汽车的速度为10 m/s
B．刹车过程持续的时间为5 s
C．刹车过程经过3 s时汽车的位移为7.5 m
D．刹车过程汽车的加速度大小为10 m/s2
答案 A
解析 由图象可得x＝－eq \f(1,10)v2＋10，根据v2－veq \\al(2,0)＝2ax可得x＝eq \f(1,2a)v2－eq \f(v\\al(2,0),2a)，解得a＝－5 m/s2，v0＝10 m/s，A正确，D错误；汽车刹车过程的时间为t＝eq \f(0－v0,a)＝2 s，B错误；汽车经过2 s停止，因而经过3 s时汽车的位移为x＝10 m，C错误。
考点2追及和相遇问题[解题技巧]
1．追及和相遇问题中的一个条件和两个关系
(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画过程示意图得到。
2．追及相遇问题两种典型情况
假设物体A追物体B，开始时，两个物体相距x0，有两种典型情况：
(1)初速度小的追初速度大的运动的物体。当vA＝vB时，两者相距最远。
(2)初速度大的追初速度小的运动的物体。当vA＝vB时，
①若已超越则相遇两次。
②若恰好追上，则相遇一次。
③若没追上，则无法相遇，两者之间有最小距离。
例2 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v自＝6 m/s的速度匀速驶来，从旁边超过汽车。试求：
(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
(2)什么时候汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？
(1)追上前两车相距最远的条件是什么？
提示：两车速度相等。
(2)追上时两车的位移关系。
提示：位移之差等于初始距离。
尝试解答 (1)2_s__6_m__(2)4_s__12_m/s。
(1)解法一：(物理分析法)
汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t1，两车间的距离为Δx，则有v自＝at1
所以t1＝eq \f(v自,a)＝2 s
Δx＝v自t1－eq \f(1,2)ateq \\al(2,1)＝6 m。
解法二：(相对运动法)
以自行车为参考系，则从开始到相距最远的这段时间内，汽车相对这个参考系的各个物理量为
初速度v0＝v汽初－v自＝0－6 m/s＝－6 m/s
末速度vt＝v汽车－v自＝0
加速度a′＝a－a自＝3 m/s2－0＝3 m/s2
所以两车相距最远时经历的时间为t1＝eq \f(vt－v0,a)＝2 s
最大距离Δx＝eq \f(v\\al(2,t)－v\\al(2,0),2a′)＝－6 m
负号表示汽车在后。
注意：利用相对运动的方法解题，要抓住三个关键：①选取哪个物体为研究对象；②选取哪个物体为参考系；③规定哪个方向为正方向。
解法三：(极值法)
设汽车在追上自行车之前经过时间t1两车相距最远，则Δx＝v自t1－eq \f(1,2)ateq \\al(2,1)
代入已知数据得Δx＝6t1－eq \f(3,2)teq \\al(2,1)
由二次函数求极值的条件知：t1＝2 s时，Δx有最大值6 m。
所以经过t1＝2 s后，两车相距最远，为Δx＝6 m。
解法四：(图象法)
自行车和汽车的v­t图象如图所示。由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，所以有
t1＝eq \f(v2,a)＝eq \f(6,3) s＝2 s
Δx＝eq \f(v2t1,2)＝eq \f(6×2,2) m＝6 m。
(2)解法一：当两车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，则有v自t2＝eq \f(1,2)ateq \\al(2,2)
解得t2＝eq \f(2v自,a)＝eq \f(2×6,3) s＝4 s
此时汽车的速度v1′＝at2＝12 m/s。
解法二：由前面画出的v­t图象可以看出，在t1时刻之后，当由图线v自、v汽和t＝t2构成的三角形的面积与阴影部分的三角形面积相等时，汽车与自行车的位移相等，即汽车与自行车相遇，所以t2＝2t1＝4 s，v1′＝at2＝3×4 m/s＝12 m/s。
总结升华
追及相遇问题的求解方法
(1)解题思路
(2)解题技巧
①紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式。
②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。
③若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动，另外还要注意最后对解的讨论分析。
④紧紧抓住速度相等这个关键点。
⑤作此类选择题时，图象法是最好的选择，如例题中的解法四。
eq \a\vs4\al([跟踪训练]) 甲、乙两车相距40.5 m，同时沿平直公路做直线运动，甲车在前，以初速度v1＝16 m/s，加速度a1＝2 m/s2做匀减速直线运动，乙车在后，以初速度v2＝4.0 m/s，加速度a2＝1.0 m/s2与甲同向做匀加速直线运动。求：
(1)甲、乙两车相遇前相距的最大距离；
(2)乙车追上甲车经历的时间。
答案 (1)64.5 m (2)11.0 s
解析 (1)解法一：甲、乙两车速度相等时距离最大，设时间为t1时，两车的速度相等，则：v1－a1t1＝v2＋a2t1
即16－2t1＝4＋t1，解得：t1＝4.0 s
对甲车：x1＝v1t1－eq \f(1,2)a1teq \\al(2,1)＝48 m
对乙车：x2＝v2t1＋eq \f(1,2)a2teq \\al(2,1)＝24 m
故甲、乙两车相遇前相距的最大距离：
xmax＝x0＋x1－x2＝64.5 m
解法二：甲、乙两车之间的距离为
x＝v1t1－eq \f(1,2)a1teq \\al(2,1)＋x0－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(v2t1＋\f(1,2)a2t\\al(2,1)))
即x＝－eq \f(3,2)teq \\al(2,1)＋12t1＋40.5
当t1＝－eq \f(12,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))) s＝4 s时，甲、乙两车之间的距离有最大值，最大值为
xmax＝eq \f(4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))×40.5－122,4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))) m＝64.5 m。
(2)甲车运动至停止的时间t2＝eq \f(v1,a1)＝8 s
在甲车运动时间内，甲车位移：x1′＝eq \f(v1,2)t2＝64 m
乙车位移：x2′＝v2t2＋eq \f(1,2)a2teq \\al(2,2)＝64 m
故甲车停止时，甲、乙两车仍相距x＝40.5 m，甲车停止时，乙车的速度：v2′＝v2＋a2t2＝12 m/s，
故x＝v2′t3＋eq \f(1,2)a2teq \\al(2,3)
即40.5＝12t3＋eq \f(1,2)teq \\al(2,3)，解得：t3＝3 s
乙车追上甲车的时间：t＝t2＋t3＝11.0 s。
[2015·福建高考](15分)一摩托车由静止开始在平直的公路上行驶，其运动过程的v­t图象如图所示。求：
(1)摩托车在0～20 s这段时间的加速度大小a；
(2)摩托车在0～75 s这段时间的平均速度大小eq \x\t(v)。
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分。其中1～6为单选，7～10为多选)
1．[2018·长春模拟]如图所示是甲、乙两物体从同一点出发的位移—时间(x­t)图象，由图象可以看出在0～4 s这段时间内( )
A．甲、乙两物体始终同向运动
B．4 s时甲、乙两物体之间的距离最大
C．甲的平均速度大于乙的平均速度
D．甲、乙两物体之间的最大距离为3 m
答案 D
解析 由图象可知，甲物体在2 s后运动方向改变，A错误；4 s时两车相遇，B错误；2 s末甲、乙距离最大为3 m，D正确；0～4 s这段时间内甲、乙位移相等，所以平均速度相等，故C错误。
2．[2018·奉贤区模拟]一物体运动的速度随时间变化的关系如图所示，根据图象可知( )
A．4 s内物体在做曲线运动
B．4 s内物体的速度一直在减小
C．物体的加速度在2.5 s时方向改变
D．4 s内物体速度的变化量的大小为8 m/s
答案 D
解析 v­t图象只能描述直线运动，A错误；4 s内由图象知物体的速度先减小后反向增大，B错误；2.5 s时，物体速度改变方向，加速度方向不变，C错误；4 s内速度变化量大小为Δv＝8 m/s，D正确。
3．如图所示为某质点做直线运动的v­t图象，图中t2＝3t1，质点在0～t1时间内和t1～t2时间内位移相等。则( )
A．在0～t1时间内，质点的加速度逐渐变小
B．在t1～t2时间内，质点的加速度逐渐变大
C．质点在0～t1时间内和t1～t2时间内的平均速度是相等的
D．质点在0～t1时间内和t1～t2时间内，速度方向相同，加速度方向相反
答案 D
解析 根据v­t图线的斜率可得，在0～t1时间内，质点的加速度逐渐变大，在t1～t2时间内，质点的加速度逐渐变小，A、B错误；质点在0～t1时间内和t1～t2时间内位移相等，但时间不相等，所以平均速度不相等，C错误；质点在0～t1时间内和t1～t2时间内，速度都沿正方向，方向相同，加速度方向相反，D正确。
4．如图所示，甲从A地由静止匀加速跑向B地，当甲前进距离为s1时，乙从距A地s2处的C点由静止出发，加速度与甲相同，最后二人同时到达B地，则A、B两地距离为( )
A．s1＋s2B.eq \f(s1＋s22,4s1)
C.eq \f(s\\al(2,1),4s1＋s2)D.eq \f(s1＋s22,s1s1－s2)
答案 B
解析 设甲前进距离为s1时，速度为v，甲和乙做匀加速直线运动的加速度为a，则有vt＋eq \f(1,2)at2－eq \f(1,2)at2＝s2－s1，及v2＝2as1，联立解得乙运动的时间t＝eq \f(s2－s1,\r(2as1))，则A、B的距离s＝s1＋vt＋eq \f(1,2)at2＝eq \f(s1＋s22,4s1)，故B正确。
5．在一平直路面上，甲、乙两车从同一地点同时出发，其运动的v­t图象如图所示。在乙车从开始运动到停下的过程中，下列说法正确的是( )
A．甲车与乙车在t1时刻的距离达到最小值
B．甲车与乙车在t2时刻的距离达到最大值
C．甲车与乙车相遇两次
D．甲车的平均速度小于乙车的平均速度
答案 D
解析 tv甲，两车距离增大，t>t1时，v乙eq \x\t(v)甲，C错误，D正确。
6．随着空气质量的恶化，雾霾现象增多，危害加重。雾和霾都是视程障碍物，会使有效水平能见度降低，从而带来行车安全隐患。在一大雾天，一辆小汽车以30 m/s的速度行驶在高速公路上，突然发现正前方30 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵。如图中a、b分别为小汽车和大卡车的v­t图线，以下说法正确的是( )
A．因刹车失灵前小汽车已减速，不会追尾
B．在t＝5 s时追尾
C．在t＝3 s时追尾
D．由于初始距离太近，即使刹车不失灵也会追尾
答案 C
解析 由图象可知，在t＝5 s时，两车的速度相等，若此时小汽车与大卡车没有追尾，则以后再不会发生追尾。由v­t图象与坐标轴所围图形的面积表示位移的大小可得：t＝5 s 时，xa－xb＝35 m，t＝3 s时，xa－xb＝30 m，所以在t＝3 s时，小汽车与大卡车出现了追尾，C正确，A、B错误；如果刹车不失灵，则两车在t＝2 s时共速，此时xa－xb＝20 m<30 m，故不会追尾，D错误。
7．[2018·湖南十二校联考]汽车A在红绿灯前停住，绿灯亮起时启动，以0.4 m/s2的加速度做匀加速直线运动，30 s后以该时刻的速度做匀速直线运动，设在绿灯亮的同时，汽车B以8 m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以此速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始( )
A．A车在加速过程中与B车相遇
B．A、B两车相遇时速度相同
C．相遇时A车做匀速运动
D．A车追上B车后，两车不可能再次相遇
答案 CD
解析 A车在匀加速直线运动过程中的位移xA1＝eq \f(1,2)aAteq \\al(2,1)＝180 m，此过程中B车的位移xB1＝vBt1＝240 m>xA1，故A车在加速过程中没有与B车相遇，A错误，C正确；之后因vA＝aAt1＝12 m/s>vB，故A车一定能追上B车，相遇之后不能再相遇，A、B相遇时的速度一定不相同，B错误，D正确。
8．甲、乙两质点从同一位置出发，沿同一直线路面运动，它们的v­t图象如图所示。对这两质点在0～3 s内运动的描述，下列说法正确的是( )
A．t＝2 s时，甲、乙两质点相遇
B．在甲、乙两质点相遇前，t＝1 s时，甲、乙两质点相距最远
C．甲质点的加速度比乙质点的加速度小
D．t＝3 s时，乙质点在甲质点的前面
答案 BD
解析 由图可知，甲的加速度a甲＝－eq \f(2,3) m/s2，做匀减速直线运动，乙的加速度a乙＝0.5 m/s2，做匀加速直线运动，C错误；开始时甲速度大，甲在前，乙追甲的过程中，t＝1 s前两者距离在增大，t＝1 s时，两者速度相等，甲、乙两质点距离最大，故B正确；t＝2 s时，分别求它们的位移x甲＝2×2 m－eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×22 m＝eq \f(8,3) m，x乙＝1×2 m＋eq \f(1,2)×0.5×22 m＝3 m，这时乙已在甲前，A错误，D正确。
9．一辆汽车从甲地出发，沿平直公路开到乙地刚好停止，其速度图象如图所示。那么0～t和t～3t两段时间内，下列说法中正确的是( )
A．加速度的大小之比为2∶1
B．位移的大小之比为1∶2
C．平均速度的大小之比为2∶1
D．中间时刻速度的大小之比为1∶1
答案 ABD
解析 设t时刻速度为v1，则0～t时间内加速度a1＝eq \f(v1,t)，位移x1＝eq \f(v1,2)t, 平均速度eq \x\t(v)1＝eq \f(v1,2)，中间时刻速度等于平均速度。t～3t时间内加速度a2＝eq \f(v1,2t)，位移x2＝eq \f(v1,2)·2t，平均速度eq \x\t(v)2＝eq \f(v1,2)。故正确的是A、B、D。
10．某物体在t＝0时刻的速度为零，则下列四个选项中表示该物体做往返运动的图象是( )
答案 ABD
解析 选项A中的位移图象的纵坐标代表位移，其值有时取正值，有时取负值，这说明该物体围绕起点做往返运动，A符合题意；v­t图象的纵坐标代表速度，速度的正负代表方向，速度取正值时代表速度方向与规定的正方向相同，取负值时代表物体的速度方向与正方向相反，可见B符合题意；根据C、D中的a­t图象作出对应的v­t图象(如下图所示)，参考选项B的分析可知，C不符合题意，D符合题意。
二、非选择题(本题共2小题，共30分)
11．[2018·贵州三校联考](12分)如图所示，在光滑的水平地面上，相距L＝10 m的A、B两小球均以v0＝10 m/s向右运动，随后两球相继滑上倾角为30°的足够长的光滑斜坡，地面与斜坡平滑连接，取g＝10 m/s2。求：
(1)B球刚要滑上斜坡时A、B两球的距离；
(2)A球滑上斜坡后经过多长时间两球相遇。
答案 (1)7.5 m (2)2.5 s
解析 (1)设A球滑上斜坡后经过t1时间B球刚要滑上斜坡，则有
t1＝eq \f(L,v0)＝1 s
A球滑上斜坡后加速度a＝gsin30°＝5 m/s2
设这段时间内A球向上运动的位移为x，则
x＝v0t1－eq \f(1,2)ateq \\al(2,1)＝7.5 m。
(2)B球刚要滑上斜坡时A球速度v1＝v0－at1＝5 m/s
B球滑上斜坡时，加速度与A球相同，以A球为参考系，B球相对于A球以v＝v0－v1＝5 m/s
做匀速运动，设再经过时间t2两球相遇，有
t2＝eq \f(x,v)＝1.5 s
则两球相遇时已经过的时间t＝t1＋t2＝2.5 s。
12．(18分)交通路口是交通事故的多发地，驾驶员到交通路口时应格外小心。现有甲、乙汽车正沿同一平直马路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，它们行驶的速度均为v0＝9 m/s。当两车快要到一十字路口时，甲车司机看到绿灯已转换成黄灯，立即紧急刹车，乙车司机为了避免与甲车相撞也紧急刹车。已知甲车紧急刹车的加速度大小a1＝5 m/s2，乙车紧急刹车的加速度大小a2＝4.5 m/s2，乙车司机的反应时间Δt＝0.5 s(即乙车司机看到甲车刹车后0.5 s才开始刹车)，则：
(1)若甲车司机看到黄灯时车头距离警戒线9 m，他采取上述措施能否避免闯红灯？
(2)为保证两车在紧急刹车过程中不相撞，甲、乙两车在行驶过程中应保持多大距离？
答案 (1)能 (2)5.4 m
解析 (1)甲车刹车时，有：
－2a1x＝0－veq \\al(2,0)
解得x＝8.1 m<9 m
故甲车司机能避免闯红灯。
(2)由于a1>a2，故甲车停止后乙车继续靠近甲车
对乙车，反应时间内x1＝v0Δt＝4.5 m
刹车后，有：－2a2x2＝0－veq \\al(2,0)
解得x2＝9 m
两车恰好相遇时，有：Δx＝x1＋x2－x＝5.4 m
故应保持的距离：Δx＝5.4 m。
x­t图象
v­t图象
轴
横轴为时间t，纵轴为位移x
横轴为时间t，纵轴为速度v
线
倾斜直线表示匀速直线运动
倾斜直线表示匀变速直线运动
斜率
表示速度
表示加速度
x­t图象
v­t图象
面积
无实际意义
图线和时间轴围成的面积表示位移
纵截距
表示初位置
表示初速度
特殊点
拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示相遇
拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示速度相等
试卷抽样
评析指导
失分点：理解错误，求解方法错，导致扣10分。
失分原因：对平均速度的概念理解错误，误认为平均速度是速度的平均。
补偿建议：深入理解平均速度，是位移和所用时间的比，在v­t图象中，位移的大小等于图象和t轴所围面积的大小。
规范解答：75 s内摩托车的位移等于v­t图象中图线和t轴所围的面积：s75＝eq \f(1,2)[(45－20)＋75]×30 m＝1500 m
75 s内摩托车的平均速度v＝eq \f(s75,t)＝eq \f(1500,75) m/s＝20 m/s