2024年广东省肇庆市高考数学二检试卷（含解析）

这是一份2024年广东省肇庆市高考数学二检试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知z=z1z2，且z−1=3−i，z2=2−i，则|z|=( )
A. 2B. 2C. 1D. 22
2.已知集合A={x|x2−3x+2≥0,x∈Z}，B={y||y|≤2,y∈N}，则A∩B=( )
A. {0,1}B. {1,2}C. {0,1,2}D. {−2,−1,0,1,2}
3.已知e1,e2是单位向量，且它们的夹角是60°.若a=e1+2e2,b=λe1−e2，且|a|=|b|，则λ=( )
A. 2B. −2C. 2或−3D. 3或−2
4.为了研究我国男女性的身高情况，某地区采用分层随机抽样的方式抽取了100万人的样本，其中男性约占51%、女性约占49%，统计计算样本中男性的平均身高为175cm，女性的平均身高为165cm，则样本中全体人员的平均身高约为( )
A. 166cmB. 168cmC. 170cmD. 172cm
5.已知a=1.013.2，b=0.523.2，c=lg0.523.2，则( )
A. a>b>cB. c>b>aC. c>a>bD. b>a>c
6.已知数列{an}是等差数列，Sn是它的前n项和，a1=2,S1010=11，则S100100=( )
A. 100B. 101C. 110D. 120
7.已知双曲线E：x24−y25=1，则过点(2, 5)与E有且只有一个公共点的直线共有( )
A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条
8.在△ABC中，若A>B，则下列结论错误的是( )
A. A+sinA>B+sinBB. sinA+csB>sinB+csA
C. sinA+csA>sinB+csBD. A+sinB>B+sinA
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线C的方程为x2a+y23=1，则( )
A. 当a<0时，曲线C表示双曲线
B. 当0C. 当a=3时，曲线C表示圆
D. 当a>3时，曲线C表示焦点在y轴上的椭圆
10.若△ABC的三个内角A，B，C的正弦值为sinA，sinB，sinC，则( )
A. sinA，sinB，sinC一定能构成三角形的三条边
B. 1sinA,1sinB,1sinC一定能构成三角形的三条边
C. sin2A，sin2B，sin2C一定能构成三角形的三条边
D. sinA, sinB, sinC一定能构成三角形的三条边
11.已知ω≠0，函数f(x)=sin(ωx+π12)−sin(ωx−5π12)，x∈R，若f(x)在区间(7π12,13π12)上单调递增，则ω的可能取值为( )
A. −1B. 113C. 2D. 4
12.定义在R上的函数f(x)同时满足①f(x+1)−f(x)=2x+2，x∈R；②当x∈[0,1]时，|f(x)|≤1，则( )
A. f(0)=−1B. f(x)为偶函数
C. 存在n∈N*，使得f(n)>2023nD. 对任意x∈R，|f(x)|三、填空题：本题共4小题，共17分。
13.在(x2−2x3)6的展开式中，x2的系数为______．
14.抛物线y=px2的焦点坐标为(0,2)，则p的值为______．
15.小明去书店买了5本参考书，其中有2本数学，2本物理，1本化学.小明从中随机抽取2本，若2本中有1本是数学，则另1本是物理或化学的概率是______．
16.在四面体P−ABC中，BP⊥PC，∠BAC=60°，若BC=2，则四面体P−ABC体积的最大值是______，它的外接球表面积的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知数列{an}满足an=2n，数列{bn}满足bn=a2n+1，记Sn为数列{bn}的前n项和．
(1)是否存在λ，使{bn−λ}为等比数列？若存在，求出所有满足条件的λ；若不存在，请说明理由；
(2)求Sn．
18.(本小题12分)
在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB=2，AD=1，AC=4，求：
(1)BD的长；
(2)△ABC的面积．
19.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC，AA1=A1C.
(1)若M，N分别为A1C1，BB1的中点，证明：MN/​/平面A1BC；
(2)当直线A1B与平面ACC1A1所成角的正弦值为23时，求平面A1BC与平面A1B1C1夹角的余弦值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx−m+mx(m∈R)．
(1)求f(x)的极值；
(2)对任意x∈(0,1)，不等式f(x)>−1e恒成立，求m的取值范围．
21.(本小题12分)
已知F1、F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点P(x0,y0)在C上．
(1)证明：|PF2|=a−ex0(其中e为C的离心率)；
(2)当a=5，b= 15时，是否存在过点F2的直线l与C交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，其中x1>0，x2<0，使得1|AF1|+1|BF1|=3|AB|成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
22.(本小题12分)
某市12月的天气情况有晴天、下雨、阴天3种，第2天的天气情况只取决于第1天的天气情况，而与之前的无关.若第1天为晴天，则第2天下雨的概率为14，阴天的概率为14；若第1天为下雨，则第2天晴天的概率为14，阴天的概率为38；若第1天为阴天，则第2天晴天的概率为14，下雨的概率为13.已知该市12月第1天的天气情况为下雨.(1)求该市12月第3天的天气情况为晴天的概率；
(2)记an，bn，cn分别为该市12月第n(n∈N)天的天气情况为晴天、下雨和阴天的概率，证明：{an+1−an}为等比数列，并求出an．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵z1−=3−i，∴z1=3+i，
故z=z1z2=3+i2−i=(3+i)(2+i)(2−i)(2+i)=6+5i−15=1+i，
则|z|= 12+12= 2．
故选：B．
结合共轭复数的性质、复数的运算及复数的模计算即可得．
本题考查复数的运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：A={x|x2−3x+2≥0,x∈Z}={x|x≥2或x≤1，x∈Z}，
B={y|−2≤y≤2,y∈N}，则A∩B={0,1,2}．
故选：C．
解不等式得出集合A，B，再根据交集的定义求解即可．
本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵|a|=|b|，即|e1+2e2|=|λe1−e2|，
∴e12+4e1⋅e2+4e22=λ2e12−2λe1⋅e2+e22，
∴1+4×1×1×12+4=λ2−2λ×1×1×12+1，
解得λ=3或λ=−2．
故选：D．
根据条件将|e1+2e2|=|λe1−e2|两边平方，然后利用数量积的运算律计算即可．
本题考查向量数量积的定义与性质，方程思想，属基础题．
4.【答案】C
【解析】解：样本中全体人员的平均身高约175×51%+165×49%≈170(cm)．
故选：C．
根据平均数的性质即可求解．
本题主要考查了平均数的计算，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：幂函数y=x3.2在(0,+∞)上单调递增，
故a=1.013.2>>0，
又c=lg0.523.2所以a>b>c．
故选：A．
利用幂函数和对数函数的性质来判断即可．
本题主要考查了幂函数和对数函数的性质，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，
则Sn=na1+12n(n−1)d，即Snn=a1+12(n−1)d，
由a1=2,S1010=11，得S1010=2+92d=11，解得d=2，
因此Snn=n+1，
所以S100100=101．
故选：B．
利用给定条件，求出等差数列{an}的公差，再结合前n项和公式求解即得．
本题主要考查等差数列的前n项和，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：分析条件可得：点P(2, 5)在双曲线的渐近线y= 52x上，且位于第一象限，和双曲线的右顶点有相同横坐标，如图：
所以过P(2, 5)且与双曲线E有且只有一个公共点的直线只有两条，
一条是切线：x=2，一条是过点P(2, 5)且与另一条渐近线平行的直线．
故选：C．
根据点和双曲线的位置关系确定满足条件的直线的条数．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：对A，在△ABC中，因为A>B，所以a>b，由正弦定理得2RsinA>2RsinB，所以sinA>sinB，故A正确；
对B，由A得sinA>sinB，由A>B，可得csAsinB+csA成立，即B正确；
对C，当A=3π4,B=π6时，得sinA+csA=0，sinB+csB=1+ 32，所以sinA+csA对D，原式可化为A−sinA>B−sinB，构造f(x)=x−sinx，故f′(x)=1−csx≥0，则f(x)在R上单调递增，结合A>B，故f(A)>f(B)，即D正确．
故选：C．
首先分析题意，利用三角形性质和正余弦函数的性质，并构造函数，利用导数逐个选项进行分析即可．
本题主要考查了正弦定理，函数单调性在不等式大小比较中的应用，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A，当a<0时，x2a+y23=1表示焦点在y轴上的双曲线，故A正确，
对于B，当0对于C，当a=3时，x23+y23=1⇒x2+y2=3，表示圆，C正确，
对于D，当a>3时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，D错误．
故选：AC．
根据双曲线，椭圆以及圆的性质即可结合选项逐一求解．
本题考查了双曲线，椭圆以及圆的性质，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：对于A，由正弦定理得sinA：sinB：sinC=a：b：c，
所以sinA，sinB，sinC作为三条线段的长一定能构成三角形，故A正确，
对于B，由正弦定理得1sinA：1sinB；1sinC=1a：1b：1c，
例如a=5，b=12，c=13，则1a=15,1b=112,1c=113，
由于1a=25125,1c+1b=25156，1c+1b<1a，故不能构成三角形的三条边长，故B错误，
对于C，由正弦定理得sin2A：sin2B：sin2C=a2：b2：c2，
例如：a=3、b=4、c=5，则a2=9、b2=16、c2=25，
则a2+b2=25=c2，sin2A，sin2B，sin2C作为三条线段的长不能构成三角形，故C不正确；
对于D，由正弦定理可得 sinA： sinB： sinC= a： b： c，不妨设ac，故 a< b< c，且( a+ b)2−( c)2=a+b−c+2 ab>2 ab>0，
所以( a+ b)> c，故D正确．
故选：AD．
根据正弦定理边化角，结合三角形三边满足的关系即可根据选项逐一求解．
本题考查的知识要点：正弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：因为f(x)=sin(ωx+π12)−sin(ωx−5π12)=sin(ωx+π12)+cs(ωx+π12)
= 2[ 22sin(ωx+π12)+cs(ωx+π12)× 22]= 2sin(ωx+π12+π4)
= 2sin(ωx+π3)，
当ω=−1时，f(x)= 2sin(−x+π3)，函数在(7π12,5π6)上递减，在(5π6,13π12)上递增，故A不可以；
当ω=113时，f(x)= 2sin(x13+π3)，
因为0<113×7π12+π3<π2，0<113×13π12+π3=5π12<π2，
则f(x)在(7π12,13π12)上递增，故B可以；
当ω=2时，f(x)= 2sin(2x+π3)，因为7π12所以3π2<2x+π3<5π2，
函数y=sint在t∈(3π2,5π2)单调递增，
所以f(x)在(7π12,13π12)上递增，故C可以；
当ω=4时，f(x)= 2sin(4x+π3)，
因为7π12可得2π+2π3<4x+π3<4π+2π3，
此时正弦函数y=sint在t∈(2π+2π3,4π+2π3)不单调，故D不可以．
故选：BC．
先把函数化成y=Asin(ωx+φ)的形式，再逐一验证ω的值，验证函数在给定的区间内是否单调递增．
本题主要考查了和差角公式及辅助角公式的应用，还考查了正弦函数单调性的应用，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：对于A，∵f(x+1)−f(x)=2x+2，
令x=0，则f(1)−f(0)=2，
即f(1)=f(0)+2，
又x∈[0,1]，|f(x)|≤1，即−1≤f(x)≤1，
可知−1≤f(0)≤1−1≤f(1)≤1，即−1≤f(0)≤1−1≤f(0)+2≤1，得−1≤f(0)≤−1，
即f(0)=−1，故A正确；
对于B，由选项A可得f(1)=f(0)+2=1，
又令x=−1，得f(0)−f(−1)=0，解得f(−1)=−1，
∴f(−1)≠f(1)，
∴函数f(x)不是偶函数，故B错误；
对于C，因为f(x+1)−f(x)=2x+2，当n≥2，n∈N*时，
f(n)=[f(n)−f(n−1)]+[f(n−1)−f(n−2)]+⋯+[f(2)−f(1)]+f(1)
=2n+2n−2+⋯+2×2+1=2(n+n−1+⋯+2)+1
=2×(n−1)(n+2)2+1=n2+n−1，
又f(1)=1满足上式，
∴f(n)=n2+n−1，n∈N*，
令n=2023，则f(2023)=20232+2022>2023×2023，
∴存在n∈N*，使得f(n)>2023n，故C正确；
对于D，令g(x)=f(x)−x2−x，
则g(x+1)−g(x)=f(x+1)−(x+1)2−(x+1)−f(x)+x2+x=f(x+1)−f(x)−2x−2=0，
即g(x+1)=g(x)，
即g(x)是以1为周期的周期函数，因为当x∈[0,1]，|f(x)|≤1，
则|g(x)|=|f(x)−x2−x|≤|f(x)|+|x2+x|≤3，
结合周期性可知对任意x∈R，均有|g(x)|≤3，
∴|f(x)|=|g(x)+x2+x|≤|g(x)|+x2+|x|≤x2+|x|+3，
由C选项可得f(x)=x2+x−1，
令|f(x)|=x2+|x|+3，
即|x2+x−1|=x2+|x|+3，即(x2+x−1)2=(x2+|x|+3)2，
当x=0时上式不成立；
当x>0时，上式化简整理得x2+x+1=0无解；
当x<0时，上式化简整理得(x−2)(x2+1)=0无解；
所以对任意x∈R，|f(x)|≠x2+|x|+3．
所以对任意x∈R，|f(x)|故选：ACD．
对于A，根据题意令x=0分析运算即可；
对于B，根据题意求f(1)和f(−1)，结合偶函数的定义分析判断；
对于C，利用累加法分析判断；
对于D，设g(x)=f(x)−x2−x，分析可知g(x)是以1为周期的周期函数，且|g(x)|≤3，结合绝对值的性质分析求解．
本题考查了抽象函数及其应用，函数的奇偶性，属于难题．
13.【答案】60
【解析】解：(x2−2x3)6的展开式通项为Tr+1=C6r(x2)6−r(−2x3)r=(−2)rC6rx12−5r，
令12−5r=2得r=2，
所以x2的系数为(−2)2C62=60．
故答案为：60．
写出(x2−2x3)6的展开式通项Tr+1，令x的次数为2，求出r，进而可得答案．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
14.【答案】18
【解析】解：抛物线y=px2⇒x2=1py．
其焦点坐标为(0,2)，由1p=8，
解得p=18．
故答案为：18．
先把抛物线的方程化成标准方程，再根据焦参数的几何意义求解．
本题考查抛物线的标准方程和性质，属基础题．
15.【答案】67
【解析】解：根据题意，记事件A为“取出的2本中有1本是数学”，事件B为“另1本是物理或化学”，
则P(A)=C21C31+C22C52=710 ,P(AB)=C21C21+C21C11C52=610，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=610710=67．
故答案为：67．
根据题意，记事件A为“取出的2本中有1本是数学”，事件B为“另1本是物理或化学”，求出P(A)、P(AB)，由条件概率公式计算可得答案．
本题考查条件概率的计算，注意条件概率的定义，属于基础题．
16.【答案】 33 16π3
【解析】解：由余弦定理可得BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcs∠BAC，
故4=AB2+AC2−AB⋅AC≥2AB⋅AC−AB⋅AC≥AB⋅AC，
所以AB⋅AC≤4，当且仅当AB=AC时取等号，
故S△ABC=12AB⋅AC⋅sin60°= 34AB⋅AC≤ 34×4= 3，
故△ABC面积的最大值为 3，
VP−ABC=13S△ABCh≤13× 3h= 33h，
由于BP⊥PC，所以点P在以BC为直径的球上(不包括平面ABC)，
故当平面PBC⊥平面ABC时，此时h最大为半径12BC=1，
故VP−ABC≤ 33h≤ 33，
由正弦定理可得：2sin60∘=4 3=2r，r为△ABC外接圆的半径，
设四面体P−ABC外接球半径为R，则R2=r2+O1O2=43+O1O2，
其中O，O1分别为球心和△ABC外接圆的圆心，
故当OO1=0时，此时R2=43+O1O2最小，
故外接球的表面积为4πR2=16π3，
故答案为： 33，16π3．
根据余弦定理以及不等式可得AB⋅AC≤4，进而可求解面积的最大值，进而根据BP⊥PC，即可求解高的最大值，进而可求解体积，根据正弦定理求解外接圆半径，即可根据球的性质求解球半径的最小值，即可由表面积公式求解．
本题考查空间几何体的表面积和体积的最值求法，属中档题．
17.【答案】解：(1)假设存在λ，使{bn−λ}为等比数列，
可得b1−λ，b2−λ，b3−λ成等比数列，即为(b2−λ)2=(b1−λ)(b3−λ)，
即(17−λ)2=(5−λ)(65−λ)，
解得λ=1．
下面证明：λ=1时，{bn−λ}为等比数列．
由bn=a2n+1，得bn=22n+1=4n+1，故bn−1=4n，bn−1−1=4n−1，
因为bn−1bn−1−1=4(n≥2)是非零常数，且b1−1=4+1−1=4，
所以{bn−1}为首项为4，公比为4的等比数列，
即存在λ=1，使{bn−λ}为等比数列；
(2)由(1)得bn=4n+1，
所以Sn=4+42+43+...+4n+n=4(1−4n)1−4+n=4n+1−43+n．
【解析】(1)假设存在λ，使{bn−λ}为等比数列，由等比数列的中项性质求得λ，再由等比数列的定义证明；
(2)利用等比数列的求和公式和分组求和法求得Sn．
本题考查等比数列的性质及分组求和法，考查归纳推理与数学运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)方法一：设∠BAC=2θ，则∠BAD=∠CAD=θ，
由S△ABC=S△ABD+S△ACD，得12AB⋅ADsinθ+12AC⋅ADsinθ=12AB⋅ACsin2θ，
所以12×2×1×sinθ+12×4×1×sinθ=12×2×4×sin2θ，得csθ=38，
故BD2=AB2+AD2−2AB⋅ADcsθ=22+12−2×1×2×38=72，
所以BD= 142；
方法二：由角平分线定理知ABAC=BDDC=24=12，
不妨设BD=x，则DC=2x，
由∠BAD=∠CAD可知cs∠BAD=cs∠CAD，
即12+22−x22×1×2=12+42−(2x)22×1×4，解得x= 142(负值舍去)，
即BD= 142；
(2)方法一：因为csθ=38，所以sinθ= 1−cs2θ= 1−(38)2= 558，
所以sin2θ=2sinθcsθ=2× 558×38=3 5532，
所以S△ABC=12AB⋅ACsin2θ=12×2×4×3 5532=3 558；
方法二：由(1)知BC=3x=3 142，
在△ABC中，cs∠BAC=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=4+16−(3 142)22×2×4=−2332，
故sin∠BAC= 1−(−2332)2=3 5532，
所以S△ABC=12AB⋅ACsin∠BAC=12×2×4×3 5532=3 558．
【解析】(1)法一：首先分析题意利用已知进行求解得出BD2=AB2+AD2−2AB⋅ADcsθ=22+12−2×1×2×38=72，解出即可；
法二：运用角平分线定理进行求解．
(2)由第一问已知进行解答，利用三角形求出sin2θ=2sinθcsθ=2× 558×38=3 5532，即可得出答案．
本题考查余弦定理，三角恒等变换，考查解三角形，属中档题．
19.【答案】(1)证明：如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，
取AC的中点P，连接MP交A1C于点Q，连接QB，

因为M是A1C1的中点，N是BB1的中点，
所以BN//AA1//PM，BN=QM，
所以四边形MNBQ是平行四边形，
所以QB//MN，又QB⊂平面A1BC，MN⊄平面A1BC，
所以MN/​/平面A1BC；
(2)解：因为AB⊥AC，平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，AB⊂平面ABC，
所以AB⊥平面ACC1A1，
所以直线A1B与平面ACC1A1所成的角为∠AA1B，则sin∠AA1B=23，
不妨设AB=AC=2，则A1B=3,AA1= 5，连接CM，因为AA1=A1C=CC1，
所以CM⊥A1C1，又平面ABC/​/平面A1B1C1，
所以平面ACC1A1⊥平面A1B1C1，且平面ACC1A1∩平面A1B1C1=A1C1，CM⊂平面ACC1A1，
故CM⊥平面A1B1C1，设B1C1的中点为E，连接ME，
以M为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A1(0,−1,0)，B(2,−2,2)，C(0,0,2)，B1(2,−1,0)，C1(0,1,0)，
故A1B=(2,−1,2),BC=(−2,2,0)，
设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z)，
则A1B⋅n=0BC⋅n=0，即2x−y+2z=0−2x+2y=0，不妨取x=2，则有n=(2,2,−1)，
易知平面A1B1C1的一个法向量为m=(0,0,1)，
设平面A1BC与平面A1B1C1的夹角为θ，
则csθ=|cs〈m,n〉|=|m⋅n||m|⋅|n|=|−1| 22+22+(−1)2=13，
所以平面A1BC与平面A1B1C1夹角的余弦值为13．
【解析】(1)取AC的中点P，连接MP交A1C于点Q，连接QB，利用已知条件证明四边形MNBQ是平行四边形即可；
(2)由题建系利用向量法即可求解．
本题考查了空间几何体中线面位置关系的证明和空间角的向量求解，属于中档题．
20.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1x−mx2=x−mx2，
当m≤0时，f′(x)>0恒成立，此时f(x)单调递增，f(x)无极值，
当m>0时，令f′(x)=0，得x=m，
故当x∈(0,m)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(m,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
此时f(x)在x=m处取到极小值lnm−m+1，无极大值；
(2)对任意0−1e恒成立，代入化简即m>xlnx+xex−1恒成立，
令g(x)=xlnx+xex−1,x∈(0,1)，则g′(x)=x−lnx−1−1e(x−1)2，
令h(x)=x−lnx−1−1e,x∈(0,1)，则h′(x)=x−1x<0，
即h(x)在区间(0,1)上单调递减，又h(1e)=0，
所以当x∈(0,1e)时，h(x)>0，即g′(x)>0，此时g(x)单调递增，
当x∈(1e,1)时，h(x)<0，即g′(x)<0，此时g(x)单调递减，
所以g(x)max=g(1e)=1eln1e+1e21e−1=1e，
所以m>1e，即m的取值范围为(1e,+∞)．
【解析】(1)求导，分类讨论确定函数单调性即可求解．
(2)将不等式转化为m>xlnx+xex−1恒成立，构造函数g(x)=xlnx+xex−1,x∈(0,1)，利用导数确定函数单调性，结合函数的最值分类讨论求解．
本题考查了导数的综合应用，属于中档题．
21.【答案】(1)证明：设F2(c,0)，因为点P(x0,y0)在C上，
所以x02a2+y02b2=1，故y02=b2(1−x02a2)，
所以|PF2|= (x0−c)2+y02= (x0−c)2+b2(1−x02a2)=|a−ex0|，
又−a≤x0≤a，所以−c≤cax0≤c0，
即证得：|PF2|=a−ex0；
(2)解：假设存在这样的直线l，
由(1)知|AF2|=a−ex1=5− 105x1,|BF2|=a−ex2=5− 105x2，
由椭圆定义知|AF1|=2a−|AF2|=5+ 105x1,|BF1|=2a−|BF2|=5+ 105x2，
因为1|AF1|+1|BF1|=3|AB|，所以15+ 105x1+15+ 105x2=310− 105(x1+x2)，
整理得2(x1+x2)2+15 10(x1+x2)+6x1x2−125=0①，
设l：y=k(x− 10)，
联立x225+y215=1y=k(x− 10)，整理可得：(3+5k2)x2−10 10k2x+25(2k2−3)=0，
显然Δ>0，
且x1+x2=10 10k23+5k2，x1x2=25(2k2−3)3+5k2，代入①式，
化简整理得105k4−8k2−33=0，解得k=± 155．
故直线l存在，且它的方程为y= 155x− 6或y=− 155x+ 6．
【解析】(1)由点P在椭圆上，可得点P的横纵坐标的关系，求出|PF2|的表达式，整理可得结论的成立；
(2)设直线l的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由题意及由(1)整理可得直线l的方程．
本题考查椭圆的性质的应用及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)设“该市12月第n天的天气情况为晴天”为事件An，“该市12月第n天的天气情况为下雨”为事件Bn，“该市12月第n天的天气情况为阴天”为事件Cn,n∈N*，且1≤n≤31，

由图可得，A3=A2A3+B2A3+C2A3，
所以P(A3)=P(A2)P(A3|A2)+P(B2)P(A3|B2)+P(C2)P(A3|C2)=14×(1−14−14)+(1−14−38)×14+38×14=516，
即该市12月第3天的天气情况为晴天的概率为516；
(2)证明：记an=P(An),bn=P(Bn),cn=P(Cn),a1=0,a2=14，
由(1)可得An+1=AnAn+1+BnAn+1+CnAn+1，
由全概率公式可得an+1=P(An+1)=P(An)P(An+1|An)+P(Bn)P(An+1|Bn)+P(Cn)P(An+1|Cn)=an×(1−14−14)+bn×14+cn×14=12an+14bn+14cn，
即an+1=12an+14bn+14cn①，
同理可得bn+1=14an+38bn+13cn②，cn+1=14an+38bn+512cn③，
②+③得bn+1+cn+1=12an+34bn+34cn=12an+34(bn+cn)，
由①得bn+cn=4an+1−2an，则bn+1+cn+1=4an+2−2an+1，
代入④得4an+2−2an+1=12an+34(4an+1−2an)，
即4an+2=5an+1−an，
故4(an+2−an+1)=an+1−an，即an+2−an+1=14(an+1−an)，
又a2−a1=14−0=14，
所以{an+1−an}是首项为14，公比为14的等比数列，
所以an+1−an=14×(14)n−1=(14)n，
所以当n≥2时，a2−a1=(14)1,a3−a2=(14)2,a4−a3=(14)3,⋯,an−an−1=(14)n−1，
累加得an−a1=(14)1+(14)2+(14)3+⋯+(14)n−1=13[1−(14)n−1]，
又因为a1=0，所以an=13[1−(14)n−1]，
显然a1=0也满足上式，
所以an=13[1−(14)n−1]．
【解析】(1)根据全概率公式求解；
(2)记an=P(An)，bn=P(Bn)，cn=P(Cn)，利用全概率公式求出an+1=12an+14bn+14cn，同理可得bn+1=14an+38bn+13cn，cn+1=14an+38bn+512cn，进而得到an+2−an+1=14(an+1−an)，所以{an+1−an}是以14为首项，14为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式，以及累加法求出an即可．
本题主要考查了全概率公式的应用，考查了等比数列的定义和性质，属于中档题．