专题7.2 等差数列及其前n项和（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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【核心素养】
1.理解等差数列的概念，凸显数学抽象的核心素养．
2．与一次函数相对比，掌握等差数列的通项公式及应用，凸显数学运算的核心素养．
3．与二次函数相结合，掌握等差数列的前n项和公式及应用，凸显数学运算的核心素养．
4．与具体的问题情境相结合，考查等差数列的概念，凸显数学建模的核心素养．
知识点一
等差数列
定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.
知识点二
等差数列的通项公式
；
说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列.
知识点三
等差中项
1.定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 .
，，成等差数列.
2.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
3.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．
知识点四
等差数列的前和的求和公式
1.公式
.
2.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系
(1)当d≠0时，等差数列{an}的通项公式an＝dn＋(a1－d)是关于d的一次函数．
(2)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝eq \f (d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f (d,2)))n是关于n的二次函数．
3.等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
知识点五
等差数列的性质
（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，，，，……；，，，，……；
（3）在等差数列中，对任意，，，；
（4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 时，则 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 是 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 的等差中项.
（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 成等差数列.
（6）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列．
（7）若数列是等差数列,则仍为等差数列．
（8）设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①； ② ；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②.
（9）等差数列中，,则,.
（10）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．
（11）若与为等差数列，且前项和分别为与，则.
（12）等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前n项和有最小值．时为递减数列，且当时前n项和有最大值．
常考题型剖析
题型一：等差数列基本量的运算
【典例分析】
例1-1.（2023·全国·统考高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25B．22C．20D．15
【答案】C
【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出；
方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出．
【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故选：C.
方法二：，，所以，，
从而，于是，
所以．
故选：C.
例1-2.（2022·全国·高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
【答案】2
【解析】
【分析】
转化条件为，即可得解.
【详解】
由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.
【规律方法】
1.解决等差数列运算问题的思想方法
(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．
2.等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题.
3.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为.这对已知和,求数列各项,运算很方便.
【变式训练】
变式1-1.（2019·全国·高考真题（理））记为等差数列的前n项和．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．
【详解】
由题知，，解得，∴，故选A．
变式1-2.（2023秋·四川巴中·高三统考开学考试）已知等差数列的前项和为，则数列的公差为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据等差数列的前n项和公式，结合已知条件，列式计算，即可得答案.
【详解】设等差数列的公差为d，
则，
故由可得，即，
故选：D
题型二：等差数列的判定与证明
例2-1.（2021·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
【答案】证明见解析.
【分析】先根据求出数列的公差，进一步写出的通项，从而求出的通项公式，最终得证.
【详解】∵数列是等差数列，设公差为
∴，
∴，
∴当时，
当时，，满足，
∴的通项公式为，
∴
∴是等差数列.
例2-2.（2021·全国·高考真题（理））已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】证明过程见解析
【解析】
【分析】
选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.
选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证；
选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.
【详解】
选①②作条件证明③：
[方法一]：待定系数法+与关系式
设，则，
当时，；
当时，；
因为也是等差数列，所以，解得；
所以，，故.
[方法二] ：待定系数法
设等差数列的公差为d，等差数列的公差为，
则，将代入，
化简得对于恒成立．
则有，解得．所以．
选①③作条件证明②：
因为，是等差数列，
所以公差，
所以，即，
因为，
所以是等差数列.
选②③作条件证明①：
[方法一]：定义法
设，则，
当时，；
当时，；
因为，所以，解得或；
当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；
当时，，不合题意，舍去.
综上可知为等差数列.
[方法二]【最优解】：求解通项公式
因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意.
【规律方法】
等差数列的四种判断方法
(1) 定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；
(2) 等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列;
(3)通项公式：(为常数,)⇔ 是等差数列;
(4)前项和公式：(为常数, )⇔ 是等差数列;
(5)是等差数列⇔是等差数列.
提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件.
【变式训练】
变式2-1.（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且.证明：数列是等差数列，并求的通项公式.
【答案】证明见解析，
【分析】在等式两边同时除以，结合等差数列的定义可证得数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式.
【详解】证明：在等式两边同时除以，可得，
所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为，
因此，，故.
变式2-2.（2023·全国·高三专题练习）设数列的前项和为，求证：数列为等差数列.
【答案】证明见解析
【分析】利用求出数列的通项公式，再利用等差数列的定义可证得结论成立.
【详解】证明：因为数列的前项和为，
当时，，
当时，，
也满足，故对任意的，，
所以，对任意的，，
因此，数列为等差数列.
题型三：等差数列的前n项和
【典例分析】
例3-1．（2020·全国·高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
因为是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案.
【详解】
是等差数列，且，
设等差数列的公差
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根据等差数列前项和公式：
可得：
.
故答案为：.
例3-2.（2020·海南·高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为 ．
【答案】
【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.
【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，
故答案为：.
例3-3.（2023·全国·统考高考真题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
（2）因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.
【规律方法】
主要利用等差数列的求和公式，注意其变形式的应用．
【变式训练】
变式3-1.（2023·全国·高三专题练习）已知是等差数列的前项和，若，，则 .
【答案】
【分析】推导出数列为等差数列，根据题中条件求出该数列的公差，再结合等差数列的基本量可求得的值.
【详解】设等差数列的公差为，则，则，
故对任意的，，
因此，数列为等差数列，且其公差为，
所以，，可得，
所以，，故.
故答案为：.
变式3-2.（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知数列的前项和，，，．
(1)计算的值，求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据，作差得到，再根据等差数列通项公式计算可得；
（2）由（1）可得，利用并项求和法计算可得；
(1)
解：当时，，解得，
由题知①，②，
由②①得，因为，所以，
于是：数列的奇数项是以为首项，以4为公差的等差数列，
即，
偶数项是以为首项，以4为公差的等差数列，
即
所以的通项公式；
(2)
解：由（1）可得，
.
变式3-3.（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，求数列的前n项和．
【答案】
【分析】先分析的正负，当时采用分组求和法，转化为等差数列求和问题.
【详解】因为，
所以当时，，
，
当时，，.
当时，，
当时，
.
综上所述，
题型四：等差数列和的最值问题
【典例分析】
例4-1．（2021·全国·统考高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
【答案】(1)；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
例4-2.（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【详解】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
【规律方法】
1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当，时，有最大值；，时，有最小值；若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，(2)当，时，满足的项数使得取最小值.
2.利用等差数列的前n项和：(为常数, )为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；，递减）；
3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.只需将等差数列的前n项和依次看成数列，利用数列中最大项和最小项的求法即可.
4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.
变式4-1.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为，公差为d，且满足，则对描述正确的有（ ）
A．是唯一最大值B．是最大值
C．D．是最小值
【答案】BC
【分析】根据等差数列的性质、前项和公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由得，
而则，所以是的最大值，A选项错误，B选项正确.
，C选项正确.
由于，是单调递减数列，所以没有最小值，D选项错误.
故选：BC
变式4-2.（2018·全国·高考真题（文））记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【答案】（1）=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．
【解析】
【详解】
分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.
详解：（1）设的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．
所以{}的通项公式为=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
题型五：等差数列性质及应用
【典例分析】
例5-1．（2020·浙江·高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（ ）
A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可得，，而，即可表示出题中，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．
【详解】
对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；
对于B，由题意可知，，，
∴，，，．
∴，．
根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；
对于C，，
当时，，C正确；
对于D，，，
．
当时，，∴即；
当时，，∴即，所以，D不正确．
故选：D.
例5-2．（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知数列和均为等差数列，数列的前项和为，若为定值，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用等差中项和等差数列求和公式可求得的值，根据求出的值，再利用等差中项的性质可求得的值.
【详解】在等差数列中，由得，
因为为定值，所以，即，所以.
故选：A.
例5-3.（2024秋·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考阶段练习）已知两个等差数列和的前项和分别为和，，则 ．
【答案】9
【分析】利用等差数列前项和公式以及等差数列性质可得，代入数据计算可得结果.
【详解】根据等差数列前项和公式可知，
再由等差数列性质可得；
所以，
又因为，所以；
即.
故答案为：9
例5-4．（2023·全国·统考高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；
（2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解.
【详解】（1），，解得，
，
又，
，
即，解得或（舍去），
.
（2）为等差数列，
，即，
，即，解得或，
，，
又，由等差数列性质知，，即，
，即，解得或（舍去）
当时，，解得，与矛盾，无解；
当时，，解得.
综上，.
【温馨提醒】
等差数列的性质主要涉及“项的性质”和“和的性质”，因此，要注意结合等差数列的通项公式、前n项和公式求解．
【变式训练】
变式5-1.（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考二模）已知等差数列是递增数列，且满足，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由等差数列的性质，，又，是递增数列，可解得，
得解.
【详解】由等差数列的性质，，又，解得或，又是递增数列，所以，，
.
故选：C.
变式5-2.（2023秋·山东日照·高三统考开学考试）已知等差数列中的各项均大于0，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】B
【分析】利用等差数列的性质求得，然后用表示，构造函数，利用导函数求出最小值即可.
【详解】设等差数列的公差为，
则由得，解得或（舍去），
所以，
因为，所以，
令，则，
令得或（舍去），
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值为，
所以的最小值为.
故选：B
变式5-3.（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校考假期作业）设等差数列的前项和为，已知，则 .
【答案】
【分析】根据题意，利用等差数列的性质，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】因为，
根据等差数列的性质，可得，
所以.
故答案为：.
变式5-4.（2023·全国·高三专题练习）设是等差数列的前项和，，，则 .
【答案】200
【分析】根据等差数列前项和性质结合等差数列基本量的计算求出新等差数列的公差，最后根据等差数列的前项和公式计算可得.
【详解】依题意，，，，…，依次成等差数列，
设该等差数列的公差为.又，，
因此，解得，
所以.
故答案为：200
题型六：等差数列与数学文化
【典例分析】
例6-1．（2020·全国·统考高考真题）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
【答案】C
【分析】第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，
设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到.
【详解】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以.
故选：C
例6-2．（2023·河南开封·统考三模）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4个为1，3，7，13，则该数列的第13项为（ ）
A．156B．157C．158D．159
【答案】B
【分析】根据二阶等差数列的定义求出数列的通项公式，再利用累加法计算即可求解.
【详解】设该二阶等差数列为，则；
由二阶等差数列的定义可知，
所以数列是以为首项，公差的等差数列，即，
所以
将所有上式累加可得，所以；
即该数列的第13项为.
故选：B
【总结提升】
主要有以下几类：
古典文集中的等差数列问题；
现实社会中的等差数列实际问题；
新定义的等差数列问题.
【变式训练】
变式6-1.（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图将填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15. 一般地，将连续的正整数填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方. 记阶幻方的每列的数字之和为，如图三阶幻方的，那么 .

【答案】65
【分析】由列之和都相等，等差数列求总和，再除以列数即可.
【详解】由阶幻方填入，共列，
这个数字之和为，由这列之和都相等，
则每一列和.
故.
故答案为：65.
变式6-2.（2020·山东·高考真题）某男子擅长走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里.若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里.这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决.
【答案】140里.
【解析】
【分析】
由条件确定，该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列，根据等差数列的通项公式，和前项和公式，列式求解.
【详解】
解：因为从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，
所以该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列，
设该数列为，第1天走的路程数为首项，公差为，
则，.
因为，，
所以，解得，
则，
所以该男子第5天走140里.
题型七：等差数列与不等式
【典例分析】
例7-1．（2023·全国·统考高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
例7-2．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
【总结提升】
涉及项的大小比较问题，可利用数列的单调性或作差比较；
涉及和式问题，常常利用“放缩法”
【变式训练】
变式7-1.（2023秋·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）已知正项数列的前项和为，.
(1)记，证明：数列的前项和；
(2)若，求证：数列为等差数列，并求的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析；
【分析】（1）利用裂项相消法可求得，由可得结论；
（2）利用与的关系可整理得到，进而得到，由等差数列定义可证得结论；利用等差数列通项公式可推导得到.
【详解】（1），
；
数列为正项数列，，，则.
（2）当且时，，
，
整理可得：，，
经检验，当时，，得，满足条件，
又，数列是以为首项，为公差的等差数列，
，.
变式7-2.（2024秋·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）在数列中，，的前项为．
(1)求证：为等差数列，并求的通项公式；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析，；
(2).
【分析】（1）变形给定的递推公式，利用等差数列定义判断并求出通项公式作答.
（2）由（1）结合裂项相消法求和，分离参数并借助对勾函数求出最小值作答.
【详解】（1）由，，得，，
则，因此数列是以为首项，1为公差的等差数列，
于是，所以的通项公式是.
（2）由（1）知，，，
因此当时，恒成立，即对恒成立，
而对勾函数在上单调递增，于是当时，，则，
所以的取值范围是.
一、单选题
1．（2023秋·北京东城·高三景山学校校考开学考试）“”是“数列为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据等差数列和充分性、必要性的概念求解即可.
【详解】若“”，则数列不一定是等差数列，如，
若“数列为等差数列”，则由等差中项可知，
所以“”是“数列为等差数列”的必要不充分条件，
故选：B
2．（2024秋·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）已知等差数列，记为数列的前项和，若，，则数列的公差（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等差数列的求和公式以及通项公式可得出关于的等式，解之即可.
【详解】在等差数列中，为数列的前项和，，
由可得，即，解得.
故选：D.
3.（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）记为等差数列的前n项和．若，，则（ ）．
A．25B．22C．20D．15
【答案】C
【分析】根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可由求和公式求解.
【详解】设等差数列的公差为d，首项为，
依愿意可得，，即，
又，解得：，，
所以，
故选：C．
二、多选题
4.（2023秋·安徽滁州·高三校考期末）已知单调递增数列满足，其前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．若为方程的两根，则
B．若，则是数列中最大的负数项
C．若，则
D．
【答案】BC
【分析】由已知递推式可得数列为等差数列，公差，然后根据等差数列的性质逐个分析判断即可.
【详解】由，则，所以数列为等差数列，且数列单增，则公差，
对于A，若为方程的两根，且，则 ，
故，所以，则，故A错误；
对于B，因为数列为等差数列，，
故，由数列单增，则是数列中最大的负数项，故B正确；
对于C，因为数列为等差数列，所以成等差数列，令，
又，则，，，所以，则，故C正确；
对于D，因为数列为等差数列，所以成等差数列， 故，化为，故D错误．
故选：BC
三、填空题
5．（2023春·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为 .
【答案】191
【分析】构造数列，并利用等差数列的性质即可求得原数列的第20项为191.
【详解】高阶等差数列： 1，2，4，7，11，16，22，，
令，则数列：1，2，3，4，5，6，，
则数列为等差数列，首项，公差，，则
则
，
故答案为：191
6．（2023·全国·高三专题练习）已知公差为的等差数列中，，，，则 .
【答案】
【分析】利用等差数列的求和公式可得出关于的等式，结合可求得的值.
【详解】在公差为的等差数列中，，，，
则，
整理可得，因为，解得.
故答案为：.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为.若，，则 .
【答案】
【分析】设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的求和公式可求得的值.
【详解】设等差数列的公差为，则，解得，
因此，.
故答案为：.
8．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）在等差数列中，若，且数列的前项和有最大值，则使成立的正整数的最大值是 .
【答案】9
【分析】由题意可得且，由等差数列的性质和求和公式可得结论．
【详解】等差数列的前项和有最大值，等差数列为递减数列，
又，，，
又，，
则使成立的正整数的最大值是9.
故答案为：9
四、解答题
9．（2023·全国·高三专题练习）记为等差数列的前项和.证明：也成等差数列.
【答案】证明见解析
【分析】由等差数列的求和公式可得出，再利用等差数列的定义可证得结论成立.
【详解】证明：设等差数列的公差为，则，则，
故对任意的，，
因此，数列为等差数列.
10．（2023秋·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考阶段练习）已知数列中，，.
(1)求的值，并猜想数列的通项公式；
(2)证明数列是等差数列.
【答案】(1)，；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定的递推公式，分别令，即可求解的值，猜想得出数列的通项公式.
（2）将给定的递推公式两边取倒数，再利用等差数列的定义推理作答.
【详解】（1）在数列中，，，
令，得；令，得；令，得；
所以，猜想数列的通项公式为.
（2）由，，得，，即，
所以数列是以为首项，为公差的是等差数列.
11．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知数列的前n项和为，且.
(1)求；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分为，两种情况，结合等差数列前项和公式求解；
（2）利用裂项相消法可求.
【详解】（1）当时，.
当时，，也适合上式.
故.
（2）由（1）可得，
则.
12．（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知正项数列满足；且对任意的正整数都有成立，其中是数列的前项和，为常数.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，证明：数列的前项和.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由首项可得，再利用即可求得数列是等差数列，进而写出等差数列通项公式；
（2）由（1）可得，利用错位相减法求和可得，又，即可得.
【详解】（1）当时，有，可解得；
即，
所以，
两式相减可得，
整理得
又，所以，即，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
因此.
数列的通项公式为
（2）由可得，
所以，
，
两式相减可得
，
即可得，
又，所以，即；
所以.