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专题8.2 空间几何体的表面积和体积（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）
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这是一份专题8.2 空间几何体的表面积和体积（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用），文件包含专题82空间几何体的表面积和体积原卷版docx、专题82空间几何体的表面积和体积解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
【核心素养】
1.通过考查几何体体积和表面积的计算，主要考查棱柱、棱锥或不规则几何体的特征及体积与表面积的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
2.结合三视图、直观图、展开图、轴截面、截面等，考查球的切、接问题，主要考查几何体与球的组合体的识辨，球的体积、表面积的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
知识点一
几何体的侧面积、表面积
圆柱的侧面积
圆柱的表面积
圆锥的侧面积
圆锥的表面积
圆台的侧面积
圆台的表面积
球体的表面积
柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.
把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.
知识点二
几何体的体积
圆柱的体积
圆锥的体积
圆台的体积
球体的体积
正方体的体积
正方体的体积
知识点三
多面体的内切球与外接球常用的结论
多面体的内切球与外接球常用的结论
(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝，外接球半径R＝.
(2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝.
(3)设正四面体的棱长为a，则它的高为H＝，内切球半径r＝H＝，外接球半径R＝H＝.
常考题型剖析
题型一：空间几何体的表（侧）面积
【典例分析】
例1-1.（2021·江苏·高考真题）若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（ ）
A．B．C．D．
例1-2.（2021·全国·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26%B．34%C．42%D．50%
【规律方法】
几类空间几何体表面积的求法
(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．
(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．
(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．
(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
【变式训练】
变式1-1.（2020·全国·高考真题（理））已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
变式1-2.（2023·全国·高一课堂例题）设计一个正四棱锥形冰水塔塔顶，高是1.0m，底面的边长是1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板（精确到）？
题型二：空间几何体的体积
例2-1.（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
例2-2.（2023·天津·统考高考真题）在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
【规律方法】
1.处理体积问题的思路
(1)“转”：指的是转换底面与高，将原来不易求面积的底面转换为易求面积的底面，或将原来不易看出的高转换为易看出并易求解长度的高，即等体积法；
(2)“拆”：指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体，便于计算，即分割法；
(3)“拼”：指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原成一个四棱柱，这些都是拼补的方法，即补形法．
2.求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.
【变式训练】
变式2-1.（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A．B．C．D．
变式2-2.（2022·全国·高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）
A．B．C．D．
题型三：三视图与几何体的面积、体积
【典例分析】
例3-1.（2023秋·甘肃兰州·高三兰化一中校考期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
例3-2. （2020·浙江·高考真题）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）
A．B．C．3D．6
【总结提升】
求空间几何体体积的常见类型及思路
（1）规则几何体：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法
（2）不规则几何体：若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.
【变式训练】
变式3-1.（2020·全国·高考真题（文））下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）
A．6+4B．4+4C．6+2D．4+2
变式3-2.（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）某几何体的三视图如图所示，其中正、侧视图中的三角形是斜边为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为 .
题型四：简单几何体与球的切、接问题
例4-1.（2023秋·江苏常州·高三常州高级中学校考开学考试）将一个半径为的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的半径为（ ）
A．B．C．D．
例4-2.（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A．B．C．D．
例4-3.（2023·全国·统考高考真题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 ．
【规律方法】
1.多面体与球切、接问题的求解方法
（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；
（2）若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解；
（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；
（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；
（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．
2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．
3．若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．
4.常见类型：
（1）利用长方体的体对角线探索外接球半径；
（2）利用长方体的面对角线探索外接球半径；
（3）利用底面三角形与侧面三角形的外心探索球心；
（4）利用直棱柱上下底面外接圆圆心的连线确定球心；
（5）锥体的内切球问题；
（6）柱体的内切球问题
【变式训练】
变式4-1.（2020·全国高考真题（理））已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A．B．C．1D．
变式4-2.（2023春·安徽黄山·高一屯溪一中校考期中）一圆锥的高为4，该圆锥体积与其内切球体积之比为，则其内切球的半径是（ ）
A．B．1C．D．
变式4-3.（2023·全国·高三专题练习）棱长为的正四面体的内切球的表面积为 .
题型五：几何体轴截面问题
【典例分析】
例5-1.（2023·全国·高一专题练习）已知圆锥PO，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m，顶角为的等腰三角形，该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
例5-2. （2023秋·河南焦作·高三统考开学考试）把过棱锥的顶点且与底面垂直的直线称为棱锥的轴，过棱锥的轴的截面称为棱锥的轴截面．现有一个正三棱锥、一个正四棱锥、一个正六棱锥，它们的高相等，轴截面面积的最大值也相等，则此正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥的体积之比为（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
变式5-1.（2023秋·江苏南京·高二校考开学考试）已知圆台的上下底面半径分别为2和5，且母线与下底面所成为角的正切值为，则该圆台的表面积为（ ）
A．B．C．D．
变式5-2.（2023春·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知圆锥的内切球半径为，若圆锥的侧面展开图恰好为一个半圆，则该圆锥的体积为 ．
一、单选题
1．（2023秋·四川巴中·高三统考开学考试）某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2.（2023·全国·统考高考真题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（ ）
A．1B．C．2D．3
3.（2020·全国·高考真题（理））已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A．B．C．1D．
二、多选题
4．（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为B．该圆锥的侧面积为
C．D．的面积为
5．（2023秋·广东广州·高三广州市培英中学校考阶段练习）已知四面体的所有棱长均为，则下列结论正确的是（ ）
A．异面直线与所成角为B．点到平面的距离为
C．四面体的外接球体积为D．四面体的内切球表面积为
三、填空题
6．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知圆锥的底面直径为，轴截面为正三角形，则该圆锥内半径最大的球的体积为 .
7．(2020·浙江高考)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．
8．（2023·全国·统考高考真题）在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点．
9.（2023·全国·统考高考真题）在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ．
10.（2023·宁夏石嘴山·统考一模）已知正六棱锥的各顶点都在球的球面上，球心在该正六棱锥的内部，若球的体积为，则该正六棱锥体积的最大值是 .
四、解答题
11．（2023·全国·高一随堂练习）正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥．
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；
(2)若大棱锥的侧棱长为，小棱锥的底面边长为，求截得的棱台的侧面积与全面积．
12．（2023秋·广东湛江·高二校考开学考试）如图，该几何体是由圆柱和三棱锥组合而成的，四边形为轴截面，是圆的直径，平面．
(1)求证：垂直所确定的平面．
(2)求该几何体的表面积．
【核心素养】
1.通过考查几何体体积和表面积的计算，主要考查棱柱、棱锥或不规则几何体的特征及体积与表面积的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
2.结合三视图、直观图、展开图、轴截面、截面等，考查球的切、接问题，主要考查几何体与球的组合体的识辨，球的体积、表面积的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
知识点一
几何体的侧面积、表面积
圆柱的侧面积
圆柱的表面积
圆锥的侧面积
圆锥的表面积
圆台的侧面积
圆台的表面积
球体的表面积
柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.
把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.
知识点二
几何体的体积
圆柱的体积
圆锥的体积
圆台的体积
球体的体积
正方体的体积
正方体的体积
知识点三
多面体的内切球与外接球常用的结论
多面体的内切球与外接球常用的结论
(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝，外接球半径R＝.
(2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝.
(3)设正四面体的棱长为a，则它的高为H＝，内切球半径r＝H＝，外接球半径R＝H＝.
常考题型剖析
题型一：空间几何体的表（侧）面积
【典例分析】
例1-1.（2021·江苏·高考真题）若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（ ）
A．B．C．D．
例1-2.（2021·全国·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26%B．34%C．42%D．50%
【规律方法】
几类空间几何体表面积的求法
(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．
(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．
(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．
(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
【变式训练】
变式1-1.（2020·全国·高考真题（理））已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
变式1-2.（2023·全国·高一课堂例题）设计一个正四棱锥形冰水塔塔顶，高是1.0m，底面的边长是1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板（精确到）？
题型二：空间几何体的体积
例2-1.（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
例2-2.（2023·天津·统考高考真题）在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
【规律方法】
1.处理体积问题的思路
(1)“转”：指的是转换底面与高，将原来不易求面积的底面转换为易求面积的底面，或将原来不易看出的高转换为易看出并易求解长度的高，即等体积法；
(2)“拆”：指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体，便于计算，即分割法；
(3)“拼”：指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原成一个四棱柱，这些都是拼补的方法，即补形法．
2.求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.
【变式训练】
变式2-1.（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A．B．C．D．
变式2-2.（2022·全国·高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）
A．B．C．D．
题型三：三视图与几何体的面积、体积
【典例分析】
例3-1.（2023秋·甘肃兰州·高三兰化一中校考期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
例3-2. （2020·浙江·高考真题）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）
A．B．C．3D．6
【总结提升】
求空间几何体体积的常见类型及思路
（1）规则几何体：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法
（2）不规则几何体：若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.
【变式训练】
变式3-1.（2020·全国·高考真题（文））下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）
A．6+4B．4+4C．6+2D．4+2
变式3-2.（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）某几何体的三视图如图所示，其中正、侧视图中的三角形是斜边为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为 .
题型四：简单几何体与球的切、接问题
例4-1.（2023秋·江苏常州·高三常州高级中学校考开学考试）将一个半径为的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的半径为（ ）
A．B．C．D．
例4-2.（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A．B．C．D．
例4-3.（2023·全国·统考高考真题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是 ．
【规律方法】
1.多面体与球切、接问题的求解方法
（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；
（2）若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解；
（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；
（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；
（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．
2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．
3．若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．
4.常见类型：
（1）利用长方体的体对角线探索外接球半径；
（2）利用长方体的面对角线探索外接球半径；
（3）利用底面三角形与侧面三角形的外心探索球心；
（4）利用直棱柱上下底面外接圆圆心的连线确定球心；
（5）锥体的内切球问题；
（6）柱体的内切球问题
【变式训练】
变式4-1.（2020·全国高考真题（理））已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A．B．C．1D．
变式4-2.（2023春·安徽黄山·高一屯溪一中校考期中）一圆锥的高为4，该圆锥体积与其内切球体积之比为，则其内切球的半径是（ ）
A．B．1C．D．
变式4-3.（2023·全国·高三专题练习）棱长为的正四面体的内切球的表面积为 .
题型五：几何体轴截面问题
【典例分析】
例5-1.（2023·全国·高一专题练习）已知圆锥PO，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m，顶角为的等腰三角形，该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
例5-2. （2023秋·河南焦作·高三统考开学考试）把过棱锥的顶点且与底面垂直的直线称为棱锥的轴，过棱锥的轴的截面称为棱锥的轴截面．现有一个正三棱锥、一个正四棱锥、一个正六棱锥，它们的高相等，轴截面面积的最大值也相等，则此正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥的体积之比为（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
变式5-1.（2023秋·江苏南京·高二校考开学考试）已知圆台的上下底面半径分别为2和5，且母线与下底面所成为角的正切值为，则该圆台的表面积为（ ）
A．B．C．D．
变式5-2.（2023春·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知圆锥的内切球半径为，若圆锥的侧面展开图恰好为一个半圆，则该圆锥的体积为 ．
一、单选题
1．（2023秋·四川巴中·高三统考开学考试）某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2.（2023·全国·统考高考真题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（ ）
A．1B．C．2D．3
3.（2020·全国·高考真题（理））已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A．B．C．1D．
二、多选题
4．（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为B．该圆锥的侧面积为
C．D．的面积为
5．（2023秋·广东广州·高三广州市培英中学校考阶段练习）已知四面体的所有棱长均为，则下列结论正确的是（ ）
A．异面直线与所成角为B．点到平面的距离为
C．四面体的外接球体积为D．四面体的内切球表面积为
三、填空题
6．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知圆锥的底面直径为，轴截面为正三角形，则该圆锥内半径最大的球的体积为 .
7．(2020·浙江高考)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．
8．（2023·全国·统考高考真题）在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点．
9.（2023·全国·统考高考真题）在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ．
10.（2023·宁夏石嘴山·统考一模）已知正六棱锥的各顶点都在球的球面上，球心在该正六棱锥的内部，若球的体积为，则该正六棱锥体积的最大值是 .
四、解答题
11．（2023·全国·高一随堂练习）正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥．
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；
(2)若大棱锥的侧棱长为，小棱锥的底面边长为，求截得的棱台的侧面积与全面积．
12．（2023秋·广东湛江·高二校考开学考试）如图，该几何体是由圆柱和三棱锥组合而成的，四边形为轴截面，是圆的直径，平面．
(1)求证：垂直所确定的平面．
(2)求该几何体的表面积．
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