专题9.4 双曲线（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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【核心素养】
1.考查双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
2.考查双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，结合几何量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
3.考查直线与双曲线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．
知识点一
双曲线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线
(1)在平面内；
(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；
(3)这一定值一定要小于两定点的距离．
知识点二
双曲线的标准方程
1. 双曲线的标准方程：
（1）焦点在轴，eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)；
（2）焦点在轴，eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0).
2．满足条件：c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
知识点三
双曲线的几何性质
双曲线的标准方程及其几何性质
知识点四
常用结论
常用结论
1.等轴双曲线及性质
(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．
(2)等轴双曲线⇔离心率e＝eq \r(2)⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．
2．双曲线中的几个常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为eq \f (2b2,a)，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.
(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为eq \f (b2,a2).
(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则Seq \s\d5(△PF1F2)＝b2·eq \f (1,tan \f (θ,2))，其中θ为∠F1PF2.
常考题型剖析
题型一： 双曲线的定义及其应用
【典例分析】
例1-1．（2024·全国·高三专题练习）设是双曲线左支上的动点，分别为左右焦点，则（ ）
A．B．C．4D．
【答案】A
【分析】利用双曲线的方程的特点和双曲线的定义即可求解.
【详解】由，得解得．
因为是双曲线左支上的动点，
所以.
由双曲线的定义可知．
故选：A.
例1-2.（2020·浙江·统考高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可知，点既在双曲线的一支上，又在函数的图象上，即可求出点的坐标，得到的值．
【详解】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，
由，解得，即．
故选：D.
【规律方法】
1.双曲线定义的主要应用
(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线．
3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．
4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解．
【变式训练】
变式1-1.（2014·全国·高考真题）已知双曲线C的离心率为2，焦点为、，点A在C上，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：由已知设则由定义得
在中，由余弦定理得，故选A．
变式1-2.（2017·上海·高考真题）设双曲线的焦点为、，为该双曲线上的一点，若，则________
【答案】11
【详解】由双曲线的方程，可得，
根据双曲线的定义可知，
又因为，所以.
题型二：双曲线圆上的点、焦点距离问题
例2-1.（2004·天津·高考真题）设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则
A．1或5B．6C．7D．9
【答案】C
【详解】由双曲线的方程、渐近线的方程可得，∴a=2．由双曲线的定义可得||PF2|-3|=2 a=4，∴|PF2|=7，故选 C．
例2-2.（2010·全国·高考真题）已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则P到x轴的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，以及转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.
不妨设点P在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得，.由余弦定理得cs∠P=，即cs，解得，所以，故P到x轴的距离为.
【变式训练】
变式2-1.（2007·四川·高考真题）如果双曲线上一点到双曲线右焦点的距离是2，那么点到轴的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由点到双曲线右焦点的距离是2知在双曲线右支上．又由双曲线的第二定义知点到双曲线右准线的距离是，双曲线的右准线方程是，故点到轴的距离是．
变式2-2.（2004·辽宁·高考真题）已知点，，动点满足，当点的纵坐标为时，点到坐标原点的距离是( )
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】由已知可得动点的轨迹为焦点在轴上的双曲线的左支，然后求出双曲线方程，将代入双曲线方程中可求出点的坐标，从而可求出点到坐标原点的距离.
【详解】因为动点满足，
所以动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，此时，，
所以，
所以双曲线方程为，
将代入上式，可得点的横坐标为，
所以点到原点的距离为，
故选：A.
题型三：由a,b,c求双曲线标准方程
【典例分析】
例3-1.（2022秋·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考期中）若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件列关于a，b，c的方程组求解即可.
【详解】设双曲线的标准方程为，
由已知得，解得，
所以双曲线的标准方程为
故选：A.
例3-2.（2023秋·北京丰台·高三北京丰台二中开学考试）已知双曲线的焦点为和，一条渐近线的方程为，则离心率为 ，则的方程为 ．
【答案】
【分析】根据题意设出双曲线方程可解得，即可求出离心率和标准方程.
【详解】由题意可设双曲线方程为，
由焦点为和可得，
一条渐近线的方程为可得，解得；
所以离心率，双曲线方程为.
故答案为：；.
【规律方法】
1．求双曲线方程的思路
(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．
(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：
一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线： = 1 \* GB3 ①双曲线过两点可设为， = 2 \* GB3 ②与共渐近线的双曲线可设为，（3）等轴双曲线可设为等，均为待定系数法求标准方程.
2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：
(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，不能确定时应分类讨论．
(2)设方程：根据焦点位置，设方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，焦点不定时，亦可设为mx2＋ny2＝1(m·n<0)；
(3)寻关系：根据已知条件列出关于a、b(或m、n)的方程组；
(4)得方程：解方程组，将a、b、c(或m、n)的值代入所设方程即为所求．
3．双曲线方程的几种形式：
(1)双曲线的一般方程：当ABC≠0时，方程Ax2＋By2＝C可以变形为eq \f(x2,\f(C,A))＋eq \f(y2,\f(C,B))＝1，由此可以看出方程Ax2＋By2＝C表示双曲线的充要条件是ABC≠0，且A，B异号．此时称方程Ax2＋By2＝C为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax2＋By2＝1(AB<0)，将其化为标准方程，即eq \f(x2,\f(1,A))＋eq \f(y2,\f(1,B))＝1.因此，当A>0时，表示焦点在x轴上的双曲线；当B>0时，表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线的方程为eq \f(x2,a2＋λ)－eq \f(y2,b2－λ)＝1(a>0，b>0)；与双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线的方程为eq \f(y2,a2＋λ)－eq \f(x2,b2－λ)＝1(a>0，b>0)．
【变式训练】
变式3-1.（2022秋·广东东莞·高三校考阶段练习）已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为，且渐近线方程为，则其标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由顶点位置可假设双曲线方程，结合顶点坐标和渐近线方程可求得，由此可得结果.
【详解】双曲线顶点在轴上，可设其方程为，
顶点坐标为，渐近线方程为，即，
，解得：，双曲线方程为：.
故选：A.
变式3-2.（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设双曲线的标准方程为，由双曲线的定义知，，即可求出双曲线的标准方程.
【详解】设双曲线的标准方程为，半焦距为c，
则由题意可知，，即，故，
所以双曲线的标准方程为.
故选：C．
题型四： 求过点的双曲线标准方程
例4-1.（2021·北京高考真题）双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】
，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为.
故选：B
例4-2.（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线的中心在原点，且它的一个焦点为，直线与其相交于、两点，线段中点的横坐标为，求此双曲线的方程．
【答案】
【分析】设双曲线的方程为，利用点差法求出的关系，再结合，求出，即可得解.
【详解】设双曲线的方程为，由题意可得，
设，，
由直线与其相交于、两点，线段中点的横坐标为，
得的中点为，则，
由且，
两式相减得，
则，即，
所以，联立，解得，，
故所求双曲线的方程为．
【变式训练】
变式4-1.（2024秋·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）已知等轴双曲线经过点，则的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先设出双曲线的方程为（），代点进行求解即可.
【详解】设双曲线的方程为（），
代入点，得，
故所求双曲线的方程为，
其标准方程为．
故选：A．
变式4-2.（2023·四川成都·校联考二模）已知直线是双曲线的一条渐近线，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的方程表示出渐近线方程，结合题意，建立方程，代入点，可得答案.
【详解】由双曲线，则其渐近线方程为，
由题意可得：，整理可得，
将代入双曲线方程可得：，解得，，
所以双曲线.
故选：C.
题型五： 双曲线的焦点、焦距问题
例5-1.（2012·辽宁·高考真题）已知双曲线x2 y2 =1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若P F1⊥PF2，则∣P F1∣+∣P F2∣的值为 .
【答案】
【详解】试题分析：根据双曲线方程为x2﹣y2=1，可得焦距F1F2=2，因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．再结合双曲线的定义，得到|PF1|﹣|PF2|=±2，最后联解、配方，可得（|PF1|+|PF2|）2=12，从而得到|PF1|+|PF2|的值为．
解：∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．
∵双曲线方程为x2﹣y2=1，
∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8
又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，
∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4
因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12
∴|PF1|+|PF2|的值为
故答案为
例5-2.（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，，且的周长为10，则双曲线C的焦距为 ．
【答案】/
【分析】根据双曲线的定义，解得，然后根据的周长为10，解得各边长，最后根据余弦定理求解即可；
【详解】
设，，，
根据双曲线的定义可知：，
可得，
有，解得，
在和中，由余弦定理有
，
解得，
可得双曲线的焦距为．
故答案为：.
【变式训练】
变式5-1.（2018·浙江·高考真题）双曲线的焦点坐标是（ ）
A．，B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据求焦点坐标.
【详解】因为双曲线方程为，所以焦点坐标可设为，
因为，所以焦点坐标为，选B.
变式5-2.（2024·全国·高三专题练习）已知点，，动点P满足，当点P的纵坐标是时，求点P到坐标原点的距离．
【答案】
【分析】首先求动点的轨迹方程，再求点的坐标，即可求的值.
【详解】由题意可知，点的轨迹是以为焦点的双曲线的左支，其中，，，
则动点的轨迹方程是，当，得，
即，所以.
所以点到原点的距离为.
题型六： 双曲线的顶点、轴问题
例6-1.（2023秋·山东·高三校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上任意一点，的面积的最大值为，的焦距为2，则双曲线的实轴长为 ．
【答案】4
【分析】根据椭圆焦点三角形的性质即可列方程求解，进而可求解.
【详解】由于的面积为，
由题意知所以
故双曲线的方程为，则的实轴长为4．
故答案为：4

例6-2.（2023秋·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试）已知双曲线的虚轴长为4，离心率，分别是双曲线的左、右焦点，若过的直线与双曲线的左支交于两点，且，则双曲线的实轴长为 ， .
【答案】
【分析】由虚轴长和离心率求出，再由已知条件和双曲线定义可得答案.
【详解】由题意可知，，又，
，于是，
因为，
所以|，
得.
故答案为：①；②.

【变式训练】
变式6-1.（2023·甘肃陇南·统考一模）已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，焦距为6，点在双曲线上，且，，则双曲线的实轴长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】A
【分析】运用代入法，结合已知等式进行求解即可.
【详解】把代入中，得，即，
因为，，
所以，
又，所以，解得，舍去，则.
故选：A
变式6-2.（2013·辽宁·高考真题）已知为双曲线的左焦点，为上的点，若的长等于虚轴长的倍，点在线段上，则的周长为 .
【答案】44
【详解】由题意因为PQ过双曲线的右焦点(5，0)，
所以P，Q都在双曲线的右支上，
则有，
两式相加，利用双曲线的定义得，
所以△PQF的周长为=28＋16＝44.
故答案为44.
题型七： 求双曲线的渐近线
例7-1.（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的性质得到，，即可解得，从而求得答案.
【详解】由题意得：，解得：，
即双曲线的方程为，所以的渐近线方程是.
故选：A.
例7-2.（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）已知双曲线的离心率为，则渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由离心率求得即得渐近线方程．
【详解】，，，
故选：B
【总结提升】
1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a、b，利用c2＝a2＋b2求出c，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．
2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a、2b为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图．
3．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b
【变式训练】
变式7-1.（2004·北京·高考真题）双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先化方程为标准方程，可得a，b代入可得渐近线方程．
【详解】化已知双曲线的方程为标准方程，
可知焦点在y轴，且a＝3，b＝2，
故渐近线方程为.
故选：A．
变式7-2.（2023秋·四川眉山·高三四川省眉山第一中学校考开学考试）设双曲线 (，)的虚半轴长为1，半焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出实半轴长，进而求出渐近线方程.
【详解】双曲线中，，由双曲线半焦距为，得，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：D
题型八： 求双曲线的离心率
例8-1.（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的上焦点为，点P在双曲线的下支上，若，且的最小值为7，则双曲线E的离心率为（ ）
A．2或B．3或C．2D．3
【答案】D
【分析】根据双曲线定义将转化为，数形结合即可求解.
【详解】设双曲线的下焦点为，可知，
则，即，
则，
当且仅当三点共线时，等号成立，
由题意可得，且，
因为在上单调递增，且，
所以方程，且，解得，
则，所以双曲线E的离心率为.
故选：D.

例8-2.（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．
【答案】
【分析】联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率．
【详解】过且斜率为的直线，渐近线，
联立，得，由，得
而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.
故答案为：．
【规律方法】
1.基本方法：
(1)若已知a、c可直接代入e＝eq \f(c,a)求得；
(2)若已知a、b则使用求解；
(3)若已知b、c，则求a，再利用(1)求解；
(4)若已知a、b、c的关系，可转化为关于离心率e的方程(不等式)求值(范围)．
(5)给出图形的问题，先由图形和条件找到a、b、c的关系，再列方程(不等式)求解．
由于a、b、c之间是平方关系，所以在求e时，常常先平方再求解．
2．双曲线的标准方程中对a、b的要求只是a＞0，b＞0易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．
若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈(1，eq \r(2))；
若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝eq \r(2)；
若0＜a＜b，则双曲线的离心率e＞eq \r(2).
3．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a、b、c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
4．等轴双曲线的离心率与渐近线关系
双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝eq \r(2)⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
5．渐近线与离心率
的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．
【变式训练】
变式8-1.（2023·山西吕梁·统考二模）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，，且的面积为，则的离心率是（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】B
【分析】由题意，结合图形的对称性可得四边形为矩形，再根据双曲线的定义利用勾股定理求解即可.
【详解】如图，若在第一象限，因为，所以，
由图形的对称性知四边形为矩形，因为的面积为，所以，
又因为，所以，，
在中，，解得．

故选：B
变式8-2.（2020·全国·高考真题（文））设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y=x，则C的离心率为_________．
【答案】
【分析】根据已知可得，结合双曲线中的关系，即可求解.
【详解】由双曲线方程可得其焦点在轴上，
因为其一条渐近线为，
所以，.
故答案为：
题型九： 求双曲线离心率范围（最值）
例9-1.（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知，是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足，则双曲线离心率的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】设P的坐标，代入双曲线的方程，利用数量积的坐标表示，结合双曲线离心率的计算公式求解即得.
【详解】设，双曲线的半焦距为c，则有，，，
于是，
因此，
当且仅当时取等号，则，即，离心率，
所以双曲线离心率的最小值为.
故选：D
例9-2.（2023秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）已知双曲线（，）的离心率为，若直线与无公共点，则e的取值范围是 .
【答案】
【分析】确定双曲线的渐近线方程，由题意可得关于的不等关系，即可求得离心率范围.
【详解】因为双曲线（，）的渐近线为，
因为，要使直线与E无公共点，则，
所以，，所以双曲线的离心率的范围
所以满足条件的离心率的范围是，
故答案为：
【规律提升】
确定离心率范围常用方法：
构建二次函数；
创造应用均值不等式的条件；
构造“对号函数”，应用函数的单调性.
2.在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a，eq \r(a)，|a|等非负性求解．
3.求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关 系，结合c2＝a2＋b2和eq \f(c,a)＝e得到关于e的不等式，然后求解．在建立不等式求e时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c－a.双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．
4.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略
(1)双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形成关于e的关系式，并且需注意e＞1.
(2)双曲线的渐近线是令，即得两渐近线方程eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0.
(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用.
【变式训练】
变式9-1.（2023·全国·高三专题练习）若，双曲线：与双曲线：的离心率分别为，，则（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】B
【分析】由双曲线方程，把离心率表示出来，再利用基本不等式求得最小值.
【详解】由题意可得，，则，
由基本不等式，，即，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.
故选：B.
变式9-2.（2021·全国·统考高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．
【详解】设，由，因为 ，，所以
，
因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；
当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．
故选：C．
题型十：根据几何性质求双曲线方程
例10-1.（2018·天津高考真题（文））已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且 则双曲线的方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，
由可得：，
不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，
据此可得：，，
则，则，
双曲线的离心率：，
据此可得：，则双曲线的方程为.
本题选择A选项.
例10-2.（2023·天津·统考高考真题）双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案.
【详解】如图，

因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，
所以.
设,则，所以，所以.
因为,所以，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为
故选：D
【规律总结】
1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，从而直接求得．
2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y＝eq \f(n,m)x的双曲线方程可设为：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0)；与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1共渐近线的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
【变式训练】
变式10-1.（2020·天津·统考高考真题）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．
【详解】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选：．
变式10-2.（2023·北京·统考高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答.
【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，
由双曲线的离心率为，得，解得，则，
所以双曲线的方程为.
故答案为：
题型十一： 根据几何性质解决求参数等问题
例11-1.（2023秋·湖南·高三校联考阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】根据双曲线的渐近线方程即可计算.
【详解】由题设知，，解得.
故选:A.
例11-2.（2023·陕西渭南·统考模拟预测）已知双曲线的离心率为2，则 ．
【答案】
【分析】利用双曲线的标准方程可得，即可求得.
【详解】由可得，
利用离心率为，可得，解得.
故答案为：
【变式训练】
变式11-1.（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）双曲线的离心率为2，则右焦点到其渐近线的距离为 ．
【答案】
【分析】由双曲线离心率结合方程求出，得到右焦点的坐标和双曲线渐近线方程，利用公式求点到直线的距离.
【详解】双曲线的离心率为2，由得，则，
右焦点，渐近线方程为，到渐近线的距离为.
故答案为：
变式11-2.（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知双曲线：的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，点Q为线段PF的中点，，O为坐标原点，且点E在双曲线上，则 .
【答案】
【分析】先求出点P的坐标，再根据中点坐标公式及向量坐标运算求出点E的坐标，代入双曲线方程即可求解.
【详解】不妨设点P在渐近线上，令，由题意知，
又，解得，所以.
因为点Q为线段PF的中点，所以，又，所以，
又因为点E在双曲线上，所以，解得，所以.
故答案为：

题型十二：双曲线的实际应用
例12-1.（2023·全国·高三专题练习）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由已知得双曲线的焦点在x轴上，设该双曲线的方程为，代入建立方程组，求解即可得双曲线的标准方程．
【详解】由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点在该双曲线上．
设该双曲线的方程为，
则解得，，
故该双曲线的标准方程是．
故选：D.
例12-2.（2023·全国·高三专题练习）双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为，为其左右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】设，由双曲线定义表示出，用已知正切值求出，再由双曲线定义得，再由勾股定理结合正切值用表示出，从而建立关系式求出（用表示），然后在中，应用勾股定理得出的关系，求得离心率．
【详解】
由题可知共线，共线，
如图，设，则，
因为，所以，
又，所以，所以，所以，
又因为，，所以，
所以，得，则，
又，且，所以，
化简得，所以.
故答案为：.
【总结提升】
解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤．
【变式训练】
变式12-1.（2021·长丰北城衡安学校高二月考（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ）
A．2πB．3πC．2πD．4π
【答案】C
【分析】
利用该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，
且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，
可设，
代入方程，即可解得，
即杯身最细处圆的半径为 ，从而得解.
【详解】
该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，
且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，
可设 代入双曲线方程可得
，
即，
作差可得，解得 ，
所以杯身最细处的周长为 .
故选：C
变式12-2.（2004·福建·高考真题）如图，地在地的正东方向处，地在地的北偏东方向处，河流的沿岸（曲线）上任意一点到的距离比到的距离远．现要在曲线上一处建一座码头，向两地转运货物．经测算，从到到修建公路的费用分别是万元、万元，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）
A．万元B．万元C．万元D．万元
【答案】B
【分析】依题意知曲线是以、为焦点、实轴长为2的双曲线的一支，此双曲线的离心率为2，以直线为轴、的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为，点的坐标为．设点、在右准线上射影分别为点、，
求出修建这条公路的总费用，根据双曲线的定义有，数形结合求出最小值.
【详解】解：如图以所在直线为轴、的中点为原点建立平面直角坐标系，如下图所示：
，，则，
根据双曲线的定义可知，曲线是以、为焦点、实轴长为的双曲线的右支，
且，，则离心率
该双曲线的方程为，则其右准线方程为，
设点、在右准线上射影分别为点、，
则
则修建这条公路的总费用
当且仅当点在线段上时取等号，故的最小值是．
故选：．
题型十三：直线与双曲线的位置关系
例13-1.（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）已知过坐标原点的直线与双曲线相交于A，B两点，点在第一象限，经过点且与直线垂直的直线与双曲线的另外一个交点为，点在轴上，，点为坐标原点，且，则双曲线的离心率 .
【答案】
【分析】由题意可得直线的斜率存在且不等于，不妨设直线的方程为，设线段BM的中点为，连接OQ，设，根据点差法得到，由垂直关系得到，结合求出点的坐标，由求出的齐次式，进而可得出答案.
【详解】根据题意，画出示意图，如图所示．

由题意可得直线的斜率存在且不等于，不妨设直线的方程为，
因为，所以B、N、M三点共线，
设线段BM的中点为，连接OQ，
根据题意，显然可得点为线段AB的中点，所以，
设，，，
因为点B，M都在双曲线上，
则，两式相减得，
即，
而，，
所以，即，
又因为，则，即，
所以，即，
所以，
又，则，
即，故，
所以，
而，故，即，
则双曲线的离心率．
故答案为：.
例13-2.（2023·全国·高三专题练习）在双曲线上求一点，使到直线的距离最短．
【答案】
【解析】将双曲线上一点到直线距离的最值问题转化找到平行于直线且与双曲线相切的直线问题,进而求得满足最值时的点坐标
【详解】设与直线平行且与双曲线相切的直线方程为：,
联立,化简得,
,
,
则当时,到直线的距离最短,此时切线方程为：,
代入双曲线方程中,即,解得,则该点为
【变式训练】
变式13-1.（2023·全国·统考高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
变式13-2.（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）过点能作双曲线的两条切线，则该双曲线离心率的取值范围为 .
【答案】
【分析】分析可知，切线的斜率存在，设切线方程为，将切线方程与双曲线的方程联立，由可得出关于的方程，可知方程有两个不等的实数根，求出的取值范围，即可求得该双曲线的离心率的取值范围.
【详解】当过点的直线的斜率不存在时，直线的方程为，
由可得，故直线与双曲线相交，不合乎题意；
当过点的直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
联立可得，
因为过点能作双曲线的两条切线，
则，可得，
由题意可知，关于的二次方程有两个不等的实数根，
所以，，可得，
又因为，即，因此，关于的方程没有的实根，
所以，且，解得，即，
当时，，
当时，，
综上所述，该双曲线的离心率的取值范围是.
故答案为：.
题型十四： 双曲线与其它曲线的综合问题
例14-1.（2022·天津·高考真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.
故选：C.
例14-2.（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线C：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得，结合渐近线方程列式求，进而可得结果.
【详解】设双曲线C的半焦距为，由椭圆可得，
由题意可得，解得，
所以双曲线C：，即.
故选：D.
【变式训练】
变式14-1.【多选题】（2023秋·广东珠海·高三珠海市第二中学校考阶段练习）已知曲线.有（ ）
A．若，则是焦点在轴上的椭圆
B．若，则是半径为的圆
C．若，则是双曲线，且渐近线的方程为
D．若，则是两条直线
【答案】AD
【分析】根据椭圆、圆、双曲线、直线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，若，曲线的方程可化为，
则，所以是焦点在轴上的椭圆，A选项正确.
B选项，若，曲线的方程可化为，
则是半径为的圆，所以B选项错误.
C选项，若，曲线的方程可化为，表示双曲线，
由得，所以C选项错误.
D选项，若，曲线的方程可化为，
表示两条直线，所以D选项正确.
故选：AD
变式14-2.（2007·天津·高考真题）设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据抛物线方程求其准线方程，也即双曲线的准线方程，结合双曲线的离心率得到关于a，c的方程组，解方程组得a，c的值，从而得到b的值，确定双曲线方程．
【详解】抛物线的准线为，
所以对双曲线的左准线为，
又因为双曲线的离心率为，
联立，解得，
则，
则此双曲线的方程为.
故选：D．
.
一、单选题
1．（2018·全国·高考真题（文））已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为，从而求得，再根据题中所给的方程中系数，可以得到，利用椭圆中对应的关系，求得，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.
详解：根据题意，可知，因为，
所以，即，
所以椭圆的离心率为，故选C.
2.（2023秋·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与的右支交于点，若为等腰三角形，则点到轴的距离为（ ）
A．B．C．3D．5
【答案】A
【分析】由为等腰三角形，可得，证得，有，又，得，利用面积法求点到轴的距离.
【详解】设双曲线的右焦点为，由题意可得，连接，
则有，，
若为等腰三角形，则（线段与显然不相等），
所以，又为的中点，所以，
则有．
由双曲线的定义得，
所以，
设点到轴的距离为，则．
故选：A．
3.（2023·四川泸州·泸县五中校考模拟预测）设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且满足，，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据圆的半径得出，根据中位线定理和勾股定理计算，从而得出，即可得出双曲线的方程．
【详解】∵为圆上的点，，
，∴是的中点，
又是的中点，，
且，
又，，
是圆的切线，，
又，，
，
∴双曲线方程为．

故选：D
二、多选题
4.（2024·全国·高三专题练习）双曲线C经过，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的标准方程是
B．双曲线C的渐近线程为
C．双曲线C的焦点坐标是，
D．双曲线C的离心率为2
【答案】BCD
【分析】根据已知条件待定系数法求出双曲线方程，根据方程写出焦点坐标、离心率、及渐近线判断各个选项即可.
【详解】依题意，设双曲线，
双曲线C经过，两点，则，解得，
所以双曲线C的标准方程为，A错误，
实半轴长，虚半轴长，半焦距，
双曲线的渐近线方程为：，B正确；
双曲线C的焦点坐标是， ，C正确；
双曲线的离心率， D正确.
故选：BCD
5．（2023秋·河北·高三校联考阶段练习）已知双曲线，若圆与双曲线的渐近线相切，则（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为
B．双曲线C的实轴长为6
C．双曲线C的离心率
D．过双曲线C的右焦点的直线与圆M交于A，B两点，则弦长
【答案】ACD
【分析】根据渐近线与圆相切，求，即可求出渐近线和双曲线方程，即可判断选项.
【详解】双曲线的渐近线方程为，圆的圆心为，半径为1，
所以圆心到渐近线的距离，得（负值舍去），
所以双曲线的渐近线方程为，故A正确；
双曲线方程为，双曲线C的实轴长为，故B错误；
，所以双曲线的离心率，故C正确；
因为双曲线的右焦点是圆的圆心，所以弦长为直径，所以，故D正确.
故选：ACD
6．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，且，点是上一点，则（ ）
A．的离心率为
B．若轴，则
C．若，则（其中为坐标原点）
D．点到的两条渐近线的距离之积为
【答案】ACD
【分析】首先根据题意得到双曲线，对选项A，根据求解即可，对选项B，根据题意得到，，，即可判断B错误，对选项C，根据已知条件得到，即可得到，即可判断C正确，对选项D，利用两点之间距离公式求解即可.
【详解】因为，所以
所以，解得，故双曲线．
对于A，双曲线的离心率，故A正确；
对于B，由题可得，又轴，
所以，则，解得，所以，故B错误；
对于C，因为，且，所以，

所以，所以，所以，故C正确；
对于D，设，则，
因为双曲线的渐近线方程为或，
所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，
故D正确．
故选ACD．
三、填空题
7.（2023秋·陕西汉中·高三统考阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【分析】根据双曲线的一条渐近线方程为，得到求解.
【详解】解：因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以知 ，则，
故答案为：
8.（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，过双曲线上一点向轴作垂线，垂足为，若且与垂直，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】由题意知四边形为菱形，再结合图形得出，最后根据定义即可得出离心率.
【详解】设双曲线焦距为，不妨设点在第一象限，
由题意知，由且与垂直可知，四边形为菱形，且边长为，而为直角三角形，，

故，则，
则，
故，
即离心率.
故答案为: .
9.（2023·全国·高三专题练习）设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先由椭圆标准方程和双曲线标准方程的定义，得出椭圆与双曲线共焦点，再分别表示出离心率，根据及即可求得的范围．
【详解】解：由题意知椭圆的，双曲线的，
则椭圆与双曲线共焦点，设，则，，
，，
，
，
设，则，
解得，即，
又，且，
，
故的取值范围是．
故答案为：
四、解答题
10.（2024·全国·高三专题练习）如图，双曲线的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，求的面积．

【答案】48
【分析】过点作边上的高，根据所给条件结合双曲线的定义可求出三角形的高，即可求出三角形的面积.
【详解】如图，

由可得，，
，
，
，
过点作边上的高，则，
，
所以的面积为.
11．（2004·全国·高考真题）双曲线1（a＞1，b＞0）的焦点距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和．求双曲线的离心率e的取值范围．
【答案】
【分析】直线l的方程是bx+ay﹣ab＝0．点（1，0）到直线l的距离，点（﹣1，0）到直线l的距离，．由知．所以4e4﹣25e2+25≤0．由此可知e的取值范围．
【详解】解：直线l的方程为，即bx+ay﹣ab＝0．
由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离，
同理得到点（﹣1，0）到直线l的距离．
由，即．
于是得，即4e4﹣25e2+25≤0．解不等式，得．
由于e＞1＞0，
所以e的取值范围是．
12.（2003·北京·高考真题）如图，为椭圆的两个顶点，为椭圆的两个焦点．
(1)写出椭圆的方程及准线方程；
(2)过线段上异于O，A的任一点K作的垂线，交椭圆于P，两点，直线与交于点M．求证：点M在双曲线上．
【答案】(1)椭圆的方程为，准线方程为；
(2)详见解析.
【分析】（1）由题可得，进而即得；
（2）设，点，由题可得直线与的方程，进而可得交点的坐标，验证即得.
【详解】（1）由题可设椭圆的方程为，
则，
∴，
所以椭圆的方程为，准线方程为；
（2）设，点，其中，
则，
直线的方程为，
直线的方程为，
由，可得，
所以，又，
因为，
所以直线与交于点M 在双曲线上.
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
实虚轴
线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长．
a、b、c
的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)