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专题9.5 抛物线（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）
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这是一份专题9.5 抛物线（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用），文件包含专题95抛物线原卷版docx、专题95抛物线解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共64页， 欢迎下载使用。
【核心素养】
1.考查抛物线的定义、求抛物线方程、最值等问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养．
2.结合抛物线的几何性质及几何图形，求抛物线相关性质及其应用，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
3.考查直线与抛物线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．
知识点一
抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
知识点二
抛物线的标准方程及几何性质
知识点三
焦半径、焦点弦
1.通径
过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为__2p__．
2．焦半径
抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为
3．焦点弦问题
如图所示：AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，抛物线的准线为l．
(1)以AB为直径的圆必与准线l__相切__；
(2)|AB|＝2(x0＋eq \f(p,2))＝x1＋x2＋__p__；
(3)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝eq \f(p2,4)，y1·y2＝－p2．
知识点四
直线和抛物线的位置关系
（1）将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；
若
①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．
（2）直线与抛物线的相交弦
设直线交抛物线于点两点，则
==
同理可得[来源:Z*xx*k.Cm]
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
常考题型剖析
题型一： 抛物线定义的应用
【典例分析】
例1-1．（2023·全国·高三专题练习）已知动点的坐标满足方程，则动点M的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．以上都不对
【答案】C
【分析】等价变形给定等式，再利用式子表示的几何意义，结合抛物线定义即可得解.
【详解】等式变形成，
因此该等式表示动点到原点的距离等于到它直线的距离，
而直线不过原点，所以动点M的轨迹是抛物线.
故选：C
例1-2.（2020·北京·统考高考真题）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）．
A．经过点B．经过点
C．平行于直线D．垂直于直线
【答案】B
【分析】依据题意不妨作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即求解.
【详解】如图所示： ．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.
故选：B.
【规律方法】
1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
2.抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用．
【变式训练】
变式1-1.（2008·北京·高考真题）若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】D
【详解】依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线
变式1-2.（2023·全国·高三专题练习）设抛物线：的焦点为，在上，，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的定义求得，进而确定正确答案.
【详解】抛物线的开口向上，
由于在上，且，
根据抛物线的定义可知，
所以抛物线的方程为.
故选：A
题型二：点到定点距离（和）问题
例2-1.（2022·全国·统考高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
例2-2.（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设点A在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义把问题转化为求取得最小值，数形结合求解即可.
【详解】设点A在准线上的射影为D，如图，
则根据抛物线的定义可知，
求的最小值，即求的最小值，
显然当D，B，A三点共线时最小，
此时点的横坐标为1，代入抛物线方程可知.
故选：B.
【规律方法】
1.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
2.提醒：利用抛物线定义进行距离转化的同时，要注意平面几何知识在其中的重大运用．
【变式训练】
变式2-1.（2011·辽宁·高考真题）已知为抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为，则可利用几何性质得到，故可得到轴的距离.
【详解】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为，
因为是该抛物线上的两点，故，
所以，
又为梯形的中位线，所以，故到轴的距离为，故选C.
变式2-2.（2023春·河南开封·高三统考期末）已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为（ ）
A．5B．C．2D．3
【答案】B
【分析】先利用配方法求得到圆心的最小距离，从而求得到的最小距离.
【详解】由题意知，，设，则，
所以，
故当时，，
所以.
故选：B.
题型三：求抛物线标准方程
【典例分析】
例3-1.（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点在轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【分析】利用抛物线的定义及标准方程计算即可.
【详解】由题意可知该抛物线的焦点坐标为或，
所以其对应标准方程为为或.
故选：D
例3-2.（2023·全国·高三专题练习）过抛物线上一点的抛物线的切线方程为 .
【答案】
【分析】解法一：设切线方程为，联立切线方程与抛物线方程，由，得，则切线方程可求.
解法二：利用导数的几何意义直接可求切线斜率，再由点斜式方程求得答案.
【详解】解法一：由题意，切线方程一定存在，设切线方程为．
由⇒⇒，
由，得，
∴.
故切线方程为，即.
故答案为：.
解法二：由得，∴.
∴.
∴切线方程为，即.
故答案为：.
【规律方法】
1.求抛物线标准方程的方法：
①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数p．
②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数p.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为y2＝mx或x2＝my．
2．求抛物线方程应注意的问题
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图象及开口方向确定．
(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；
(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．
【变式训练】
变式3-1.（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义求解．
【详解】由题意抛物线上任意一点到焦点F的距离与它到直线的距离相，因此，，抛物线方程为．
故选：C．
变式3-2.（2022·全国·高三专题练习）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A．B．或
C． D．或
【答案】D
【解析】将转化为，分类讨论和两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的方程求解即可.
【详解】将转化为,
当时，抛物线开口向上，准线方程，点到准线的距离为，解得，所以抛物线方程为，即；
当时，抛物线开口向下，准线方程，点到准线的距离为，解得或（舍去），所以抛物线方程为，即.
所以抛物线的方程为或
故选：D
题型四： 抛物线中求参数问题
例4-1.（2021·全国·统考高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1B．2C．D．4
【答案】B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，
解得：(舍去).
故选：B.
例4-2.（2022秋·河北唐山·高三开滦第一中学校考期中）已知圆与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于，两点，若四边形是矩形，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题，结合抛物线与圆的对称性得弦为抛物线的通径，进而有，解方程即可得答案.
【详解】解：因为四边形是矩形，
所以由抛物线与圆的对称性知：弦为抛物线的通径，
因为圆的半径为，抛物线的通径为，
所以有：，解得
故选：D
【变式训练】
变式4-1.（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）已知点为抛物线上一点，过点A作C准线的垂线，垂足为B．若（O为坐标原点）的面积为2，则（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】C
【分析】根据点为抛物线上一点可得，利用三角形面积列出等式，即可求得答案.
【详解】由题意点为抛物线上一点可得，
即，则的面积，
解得，
故选：C
变式4-2.（2024·全国·高三专题练习）抛物线的准线方程是，则实数 .
【答案】/
【分析】将抛物线方程化为标准方程，根据其准线方程即可求得实数.
【详解】抛物线化为标准方程：，
其准线方程是，而
所以 ，即 ，
故答案为：
题型五： 社会生活中的抛物线问题
例5-1.（2023·全国·高三专题练习）探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件及设出抛物线的标准方程，结合点在抛物线上即可求解.
【详解】在纵断面内，以反射镜的顶点（即抛物线的顶点）为坐标原点，过顶点垂直于灯口直径的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示，
由题意可得.
设抛物线的标准方程为，于是，解得.
所以抛物线的焦点到顶点的距离为，即光源到反射镜顶点的距离为.
故选：B.
例5-2.（2024·全国·高三专题练习）如图，某大桥中央桥孔的跨度为20m，拱顶呈抛物线形，拱顶距水面10m，桥墩高出水面4m.现有一货轮欲通过此孔，该货轮水下宽度不超过18m.目前吃水线上部分中央船体高16m，宽16m.若不考虑水下深度，该货轮在此状况下能否通过桥孔？试说明理由.
【答案】不能，理由见解析.
【分析】建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法和代入法进行求解判断即可.
【详解】建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线的方程为，
由题意可知：，把它代入方程中，得，
所以方程为，而货轮宽16m，
把代入中，得，
点离水面高度为，而吃水线上部分中央船体高16m，
所以不能通过桥孔.
【变式训练】
变式5-1.（2023·青海海东·统考模拟预测）图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】D
【分析】以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，设拱桥所在抛物线的方程为，根据抛物线过点，求出的值，即可得到抛物线方程，再令，求出的值，即可得解.
【详解】以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，
可设拱桥所在抛物线的方程为，
又抛物线过点，则，解得，
则抛物线的方程为，当时，，
故当水面宽度为米时，拱顶与水面之间的距离为米.
故选：D
变式5-2.（2024·全国·高三专题练习）某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示.现要求水流最高点B离地面5m，点B到管柱OA所在直线的距离为4m，且水流落在地面上以O为圆心，以9m为半径的圆上，求管柱OA的高度.
【答案】
【分析】建立直角坐标系，利用待定系数法和代入法进行求解即可.
【详解】建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线的方程为，
把点代入方程中，得，
所以抛物线方程为
把代入方程中，得，
所以，
所以管柱OA的高度为.
题型六： 抛物线的性质及应用
例6-1.（2020·全国·统考高考真题）设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，可知，从而可以确定出点的坐标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.
【详解】因为直线与抛物线交于两点，且，
根据抛物线的对称性可以确定，所以，
代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，
故选：B.
例6-2.（2023·全国·统考高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
【答案】
【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可.
【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，
准线方程为，点到的准线的距离为.
故答案为：.
【规律总结】
求抛物线的焦点及准线方程的步骤：
(1)把抛物线解析式化为标准方程形式；
(2)明确抛物线开口方向；
(3)求出抛物线标准方程中参数p的值；
(4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程．
【变式训练】
变式6-1.【多选题】（2024·全国·高三专题练习）（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为B．开口向上，焦点为
C．焦点到准线的距离为4D．准线方程为
【答案】AC
【分析】写出标准形式即，即可得到相关结论
【详解】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为．
故选：AC
变式6-2.（2021·全国·统考高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 .
【答案】
【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.
【详解】抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，
因为，所以,
，
所以的准线方程为
故答案为：.
题型七： 抛物线的范围问题
例7-1.（2023·全国·高三专题练习）若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（ ）
A．p＜1B．p＞1C．p＜2D．p＞2
【答案】D
【解析】根据抛物线的几何性质当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值，列不等式求解.
【详解】∵设P为抛物线的任意一点，
则P到焦点的距离等于到准线：x的距离，
显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值．
∴，即p＞2．
故选：D．
例7-2.（2023·全国·高三专题练习）已知过点的直线与抛物线相交于，两点，点，若直线，的斜率分别为，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先由题意，设，，直线的方程为：，联立直线与抛物线方程，由韦达定理，得出，，再由题意，表示出，根据基本不等式，即可求出结果.
【详解】因为过点的直线与抛物线相交于，两点，
所以可设，，直线的方程为：，
由得，因此，，
且，
又直线，的斜率分别为，，点，
所以，，
因此，
当时，；
当时，，
且，
当且仅当，即时，等号成立；
所以；
当时，，
且，
当且仅当，即时，等号成立；
所以，
综上.
故选：C.
【变式训练】
变式7-1.（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知点是抛物线上的动点，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】根据已知条件将问题转化为抛物线上的动点到直线和轴的距离之和的最小值，作出图形，利用抛物线的定义及点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由题可知，过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点，
由，得，所以，如图所示
则动点到轴的距离为
所以，
当且仅当三点共线时，有最小值，即(此时为点到直线的距离)，
所以到直线的距离为，
所以，
所以.
所以的最小值为.
故答案为：
变式7-2.（2022·辽宁大连·大连八中校考模拟预测）设抛物线，若任意以为圆心的圆与抛物线至多有3个公共点，则的值范围为 ．
【答案】
【分析】令圆为且，讨论、，并依此为前提讨论、、，数形结合判断是否任意圆与抛物线交点个数不超过3个，即可得答案.
【详解】令圆为且，抛物线，
对于，圆与抛物线公共点情况如下，
若，它们恒有1个公共点，
若，它们没有公共点，
若，它们恒有2个公共点，
所以，对于，任意以为圆心的圆与抛物线至多有2个公共点，满足题设；
对于，圆与抛物线公共点情况如下，
若，它们恒有3个公共点，
若，它们恒有2个公共点，
若，它们可能0个或2个或4个公共点，
所以，不满足以为圆心的任意圆与抛物线至多有3个公共点；
综上，.
故答案为：
题型八： 抛物线对称性的应用
例8-1.（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线上．若，则当取得最大值时， ．
【答案】或4
【分析】利用余弦定理可得，再利用基本不等式可求得的最大值，再结合抛物线的对称性即可求得的值．
【详解】在中，由余弦定理可得．
，．
，，当且仅当时，等号成立．
根据抛物线的对称性可知，或，或4．
故答案为：或4．
例8-2.（2021·全国·高三专题练习）是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线对称的两个点?若不存在，说明理由；若存在，求a的取值范围.
【答案】存在，.
【分析】本题的解法有两种：一是如果存在对称的两点A、B满足题设要求，显然的中点在抛物线内部，构成一个含有a的不等式，从而确定a的取值范围；
二是按照对称问题的一般处理方法，即A、B两点连线与对称轴垂直，的中点在对称轴上，且直线与抛物线必有两个交点，消元后的一元二次方程必有两个不等的实根，判别式应大于0.
【详解】解法一：假设存在抛物线上两点，关于直线对称，记线段的中点为，则点在上，即.又由相减，得.
直线垂直于，.
又，由得，.
（1）若，如果点在抛物线内部.则有关系式，由不等式组解得.
（2）若，如果点在抛物线内部，则有关系.由不等式组整理，得此时无解.
综上所述，a的取值范围为.
解法二：设，是抛物线上关于直线对称的两个点，则即，①
又，即.
，，②
联立①②得即、为方程的两个实根，，解不等式，得.
故当时，抛物线上总存在关于直线对称的两个点.
【总结提升】
1.为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论．
2．不能把抛物线看作是双曲线的一支．虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴，但抛物线却越来越接近于对称轴的平行线．
【变式训练】
变式8-1.（2022秋·河南·高三信阳高中校联考期末）已知点关于轴的对称点在曲线上，且过点的直线与曲线相交于点，则 .
【答案】16
【分析】根据抛物线的对称性知点在抛物线上，因为直线过此抛物线的焦点，根据焦点弦问题解决即可.
【详解】因为曲线的方程为，即，
所以由题意及抛物线的对称性，知点在抛物线上，且在轴的下方，
因为直线过此抛物线的焦点.
设，
联立，得，
则，
所以由抛物线的焦点弦长公式得.
故答案为：16.
变式8-2.（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，为坐标原点．
(1)过作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为．求抛物线的标准方程；
(2)抛物线上有两点，若为正三角形，求的边长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，利用可构造方程求得，由此可得抛物线方程；
（2）根据对称性可知轴，设，代入抛物线方程可得，利用可构造方程求得，由此可得，即为所求边长.
（1）由抛物线方程知：，为抛物线的通径，则，，解得：，抛物线的标准方程为：.
（2）为正三角形，，由抛物线对称性可知：轴，设，则，解得：，，，，解得：，，即的边长为.
题型九： 抛物线的焦点弦问题
例9-1.（2017·全国·高考真题）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16B．14C．12D．10
【答案】A
【详解】设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知
，当且仅当（或）时，取等号.
例9-2.（2020·山东海南省高考真题）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．
【答案】
【解析】
∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得，
解法一：解得
所以
解法二：
设，则,
过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.
故答案为：
【总结提升】
解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
【变式训练】
变式9-1.（2018·全国·高考真题）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则 ．
【答案】2
【分析】方法一：利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可得结果.
【详解】［方法一］：点差法
设，则，所以
所以，
取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为
因为,，
因为为AB中点，所以平行于x轴，
因为M(-1,1)，所以，则即．
故答案为：2.
［方法二］：【最优解】焦点弦的性质
记抛物线的焦点为F，因为，则以为直径的圆与准线相切于点M，由抛物线的焦点弦性质可知，所以．
［方法三］： 焦点弦性质+韦达定理
记抛物线的焦点为F，因为，则以为直径的圆与准线相切于点M，记中点为N，则，设，代入中，得，所以，得，所以．
［方法四］：【通性通法】暴力硬算
由题知抛物线的焦点为，设直线的方程为，代入中得，设，则，同理有，由，即．又，所以，得．
［方法五］：距离公式+直角三角形的性质
设直线为，与联立得，则从而，可得的中点，所以．
又由弦长公式知．
由得，解得，所以．
［方法六］：焦点弦的性质应用
由题可知，线段为抛物线的焦点弦，，由于以抛物线的焦点弦为直径的圆必与准线相切，又点M恰为抛物线准线上的点，因此，以为直径的圆必与准线相切于点M．
过点M作平行于轴的直线交于点N，则N为圆心．
设，则．
又因为，所以联立解得．将的值代入中求得．
因为抛物线C的焦点，所以．
【整体点评】方法一：根据点差法找出直线的斜率与两点纵坐标的关系，再根据抛物线定义求出中点坐标，从而解出；
方法二：直接根据焦点弦的性质解出，是该题的最优解；
方法三：根据焦点弦性质可知，直线过点，再根据韦达定理求出直线的斜率；
方法四：直接设出直线方程，联立运算，属于解决直线与抛物线位置关系问题的通性通法，思路直接，运算复杂；
方法五：反设直线，再通过联立，利用直角三角形的性质求解，运算较复杂；
方法六：利用焦点弦的性质直接求出其中一点的坐标，再根据斜率公式求出．
变式9-2.（2023·全国·高三专题练习）已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】B
【分析】根据抛物线焦点弦的性质以及，联立可得，进而可用对勾函数的性质求的最值，进而可求.
【详解】解法1：抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
设，，则∵，由抛物线定义可知，∴，又因为，所以即，由①②可得：
所以.∵，
当时，，当时，，
∴，则弦AB的中点到C的准线的距离，d最大值是.
∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是，
故选：B.
解法2：弦AB的中点到C的准线的距离，根据结论，，，
故选：B.
题型十：直线与抛物线的位置关系
例10-1.（2022秋·广东深圳·高三校联考期中）已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，点A在第一象限，线段AB的中点为M，其中点A的横坐标为3，，则点M到y轴的距离为 .
【答案】/
【分析】利用抛物线的定义，结合一元二次方程根与系数关系、中点坐标公式进行求解即可.
【详解】因为，
所以抛物线C：，则，
所以直线l的斜率为，则直线AB：，
故把直线与抛物线进行联立，
得，因为，
所以设，，
则，，
故答案为：.
例10-2.（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据抛物线的焦点，求抛物线方程；（2）首先设出直线的方程为，与抛物线方程联立，并利用韦达定理表示，并利用，求直线的斜率，验证后，即可得到直线方程.
【详解】解：（1）由椭圆可知，，
所以，，则，
因为抛物线的焦点为，可设抛物线方程为，
所以，即.
所以抛物线的标准方程为.
（2）由椭圆可知，，
若直线无斜率，则其方程为，经检验，不符合要求.
所以直线的斜率存在，设为，直线过点，
则直线的方程为，
设点，，
联立方程组，
消去，得.①
因为直线与抛物线有两个交点，
所以，即，
解得，且.
由①可知，
所以，
则，
因为，且，
所以，
解得或，
因为，且，
所以不符合题意，舍去，
所以直线的方程为，
即.
【变式训练】
变式10-1.（2023·全国·高三专题练习）已知直线与曲线恰有一个公共点，则实数a的值为 .
【答案】0或或
【分析】根据给定条件，联立方程，利用方程组有解求解即得.
【详解】当时，曲线为直线，显然直线与有唯一公共点，因此；
当时，由消去y并整理得：，
当时，，直线与曲线有唯一公共点，因此；
当且时，，则，
此时直线与曲线相切，有唯一公共点，因此，
所以实数a的值为0或或.
故答案为：0或或
变式10-2.（2022·全国·高三专题练习）已知F为抛物线E：的焦点，以F为圆心作半径为R的圆Γ，圆Γ与x轴的负半轴交于点A，与抛物线E分别交于点B、C，若△ABC为直角三角形．
(1)求半径R的值；
(2)判断直线AB与抛物线E的位置关系，并给出证明．
【答案】(1)
(2)直线AB与抛物线相切，证明见解析.
【分析】（1）根据抛物线和圆的对称性可得B，C，F三点共线，则可得，进而得到，所以圆的半径；
（2）由（1）得到直线A、B的坐标进而可得AB的方程，再与抛物线方程联立，求得，即可得到位置关系．
【详解】（1）解：由题意得：
由抛物线和圆的对称性可得B，C关于x轴对称，再由△ABC为直角三角形可得BC为圆的直径，B，C，F三点共线
，代入抛物线的方程可得
所以圆的半径
（2）直线AB与抛物线E相切.
由（1）知，，，
则直线AB： ，联立，整理得
∴
∴直线AB与抛物线相切．
题型十一： 抛物线与其它曲线的综合问题
例11-1.（2023·天津和平·统考一模）抛物线的焦点为，其准线与双曲线的渐近线相交于两点，若的周长为，则（ ）
A．2B．C．8D．4
【答案】A
【分析】利用双曲线的渐近线、抛物线的焦点和准线以及两点的距离公式进行计算求解.
【详解】由题知，双曲线的渐近线为，
抛物线的焦点，准线方程为，
由得两点坐标为，，
所以，因为的周长为，
所以，解得.故B，C，D错误.
故选：A.
例11-2.（2023·天津·统考高考真题）过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．
【详解】易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，
所以，解得：，由解得：或，
所以，解得：．
当时，同理可得．
故答案为：．
【变式训练】
变式11-1.（2022·全国·高三专题练习）已知圆C: ，点在抛物线T：上运动，过点引直线，与圆C相切，切点分别为，，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】设出点的坐标，探讨出的取值范围，借助四边形MPCQ的面积计算，把表示为的函数即可作答.
【详解】如图，连接CP，CQ，CM，依题意，，而，
而，则CM垂直平分线段PQ，于是得四边形MPCQ的面积为面积的2倍，
从而得，即，
设点，而，，则，
当且仅当t=1时取“=”，，
因此得，即，得，
所以的取值范围为.
故答案为：
变式11-2.（2023秋·陕西汉中·高三统考阶段练习）已知抛物线：的焦点为，曲线与交于点，轴，则 .
【答案】
【分析】根据抛物线方程得，根据轴得，，再代入抛物线方程可求出结果.
【详解】由得，，故，
因为轴，所以，，
又，所以，得，又，所以.
故答案为：.
.
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）抛物线上一点到焦点的距离为，则实数的值为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的定义及抛物线的几何性质即可求解.
【详解】解：因为抛物线过点，所以，
抛物线的焦点为，
由抛物线的定义可知，解得.
故选：A.
2.（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）若抛物线（）上一点到焦点的距离是，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用抛物线定义有，结合已知求即可.
【详解】设焦点为，则，解得．
故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆与抛物线相交于M，N，且，则（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】B
【分析】由圆与抛物线的对称性及，可得点纵坐标，代入抛物线得横坐标，求出即可得解.
【详解】因为圆与抛物线相交于M，N，且，
由对称性，不妨设，
代入抛物线方程，则，解得，
所以，
故
故选：B
二、多选题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，，是C上相异两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，且，则
C．若，则D．若，则的最小值为
【答案】AD
【分析】根据相等向量得F为的中点，利用焦半径公式求解弦长判断A，根据焦半径公式及点在抛物线上建立方程求解判断B，根据焦半径公式判断C，根据抛物线的定义，把转化为，利用当三点共线时，取得最小值，从而判断D.
【详解】对于A，因为，所以F为的中点，
根据抛物线的对称性知，直线与轴垂直，
所以，正确；
对于B，因为，所以，即，又，所以，
所以，解得或，错误；
对于C，若，则，当且仅当三点共线时等号成立，错误；
对于D，抛物线的焦点为，准线方程为，
过点作准线的垂线，垂足为点，
由抛物线的定义得，则，
当点N、A、M三点共线时，取得最小值，且最小值为.正确.
故选：AD.
5.（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为2
B．抛物线C关于x轴对称
C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条
D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4
【答案】AB
【分析】根据焦半径公式结合条件判断A，由抛物线的对称性判断B，由直线与抛物线的位置关系判断C，结合抛物线的定义，把转化为到准线的距离后可求得题中距离和的最小值判断D．
【详解】设，则，，又抛物线的焦点为，
对A，由题可知，时，等号成立，所以的最小值是1，A错；
对B，抛物线的焦点在轴上，抛物线关于轴对称，B错；
对C，由题知点在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确；
对D，记抛物线的准线为，准线方程为，
过作于，过作于，则，，
所以当三点共线，即与重合时，最小，最小值为．D正确．
故选：AB．
6.（2023·河北保定·统考二模）已知抛物线的焦点为，点为抛物线的准线与轴的交点，过点的直线与抛物线交于不同的两点，则（ ）
A．B．存在一点为中点，使得
C．存在这样的直线使成立D．
【答案】AD
【分析】由题意，设出直线的方程，将直线与抛物线联立，利用根的判别式得到，设,，,，根据韦达定理得到，和的表达式，结合抛物线的性质对选项进行逐一分析，进而即可求解．
【详解】
因为抛物线的焦点为，点为抛物线的准线与轴的交点，
所以，，
又过点的直线与抛物线交于不同的两点、，
不妨设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
所以，
不妨设,，,，
对于选项A：
，故选项A正确；
对于选项B：若点为中点，
此时,，
即,，
可得，
不妨令，，
此时，
所以，故选项B错误；
对于选项C：当时，
可知，不符合题意，故选项C错误；
对于选项D：因为
，故选项D正确．
故选：AD．
三、填空题
7．（2023·全国·高三专题练习）写出过抛物线上的点且与圆相切的一条直线的方程 ．
【答案】或或（写出其中一个即可）
【分析】由已知求出点或.先求解直线斜率不存在时的方程；然后设斜率，得出点斜式方程，表示出圆心到直线的距离，列出方程，求解即可得出斜率，进而得出直线方程.
【详解】由题意可知，，解得，
所以，点或.
又圆的圆心，半径.
①当点时
当直线斜率不存在时，此时方程为，与圆相切，满足题意；
当直线斜率存在时，设斜率为，此时直线方程为，
即.
因为，直线与圆相切，所以圆心到的距离，
即，
整理可得，，解得，
代入直线方程整理可得，直线方程为.
②当点时
当直线斜率不存在时，此时方程为，与圆相切，满足题意；
当直线斜率存在时，设斜率为，此时直线方程为，
即.
因为，直线与圆相切，所以圆心到的距离，
即，
整理可得，，解得，
代入直线方程整理可得，直线方程为.
综上所述，直线方程为或或.
故答案为：.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知点和抛物线C：，过C的焦点且斜率为的直线与C交于A，B两点．若，则 ．
【答案】2
【分析】设，，则由可得，再联立直线方程和抛物线方程后结合韦达定理化简前者可求的值.
【详解】因为抛物线C：的焦点为，所以直线AB的方程为，
由可得，其中，
此时.
设，，则，，
所以，
．
因为，所以，，
因为，所以，所以，
整理可得，
所以，得，所以．
故答案为：.
9．（2022·浙江·高三专题练习）已知P，Q是抛物线上两点，M是PQ中点，若，则M点纵坐标的最小值是 ；若，则M点纵坐标的最小值 .
【答案】
【分析】首先根据已知条件设出过焦点的直线，通过联立方程求出焦点弦的范围，然后当时，利用抛物线的定义以及三角不等式即可求解；当时，可知弦必不过焦点，然后利用抛物线的对称性即可求解.
【详解】由题意可知，抛物线的焦点的坐标为，
设过焦点的直线：，且交抛物线于、两点，
由可得，，且，
则，，
所以，
从而可知过抛物线焦点的弦长的最小值为，
(i)当，则弦有可能过焦点，
由题意可知，抛物线的准线为：，
过、、分别作准线的垂线，垂足分别为、、，连接、，如下图所示：
由抛物线定义可知，，，
所以，
又由三角关系可知，，即，
从而M点纵坐标的最小值是；
(ii)当时，可知必不过焦点，
由抛物线性质可知，当平行于轴时，点纵坐标达到最小值，
由抛物线对称性，不妨令点横坐标为，易知点纵坐标，
即此时M点纵坐标的最小值是.
故答案为：
四、解答题
10．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：.
(1)若直线与抛物线只有一个公共点，求的值；
(2)过点作斜率为的直线交抛物线于,两点，求的面积．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，分别讨论当或，即可求解；
（2）由抛物线的标准方程可得到焦点坐标，从而得到直线方程，联立直线方程与抛物线方程，根据韦达定理及即可求解.
【详解】（1）依题意，联立，消去，得：，即：，
①当时，有：，显然方程只有一个解，满足条件；
②当时，要使得直线与抛物线只有一个公共点，
则方程只有一个解，
所以，解得：；
综上所述，当或时，直线与抛物线只有一个公共点．
（2）由于抛物线：的焦点的坐标为，
所以过点且斜率为的直线方程为：，
设，，
联立，消去，得：，
则由韦达定理得：，，
所以，
所以.
11．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知拋物线，过其焦点作两条相互垂直且不平行于轴的直线，分别交抛物线于点和点的中点分别为.
(1)若直线的斜率为2，求直线的方程；
(2)求线段的中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立直线和抛物线方程，求得中点坐标，即可求解直线的方程；
（2）首先设直线的方程为，与抛物线方程联立，求得点的坐标，并利用直线与直线的关系，求得点的坐标，即可求解点，再通过消参求得点的轨迹方程.
【详解】（1）抛物线的焦点，，
直线的方程为，设，
联立，得，，
所以中点的横坐标为，中点的纵坐标为，即，
直线的方程为，设，
联立，得，，
所以中点的横坐标为，中点的纵坐标为，即，
所以，直线的方程为，
化简为直线的方程为；
（2）设直线的方程为，设，，
联立，得，
得，
所以中点的横坐标为，纵坐标为，
即，将换成得，
得的中点的坐标为，
即，得.
12．（2022·全国·高三专题练习）抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交H于P、Q两点，且．
(1)求抛物线H的方程;
(2)一条直线经过抛物线H的焦点F，且交曲线H于A、B两点，点C为直线上的动点．
①求证：不可能是钝角;
②是否存在这样的点C，使得是正三角形？若存在，求点C的坐标；否则，说明理由．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②存在，
【分析】(1)根据抛物线的对称性，可得，进而得到坐标，从而利用待定系数法求得抛物线的方程；
（2）①设直线，联立方程，利用韦达定理和向量的数量积的坐标运算可得到，从而证得；
②设存在这样的点C，根据①得中间结论和线段中点公式求得 ，利用直线垂直的条件得到，则，由等边三角形条件得到，利用距离公式表示，进而求得.
【详解】（1）解：（1）由抛物线H的对称性，得，此坐标为，
设抛物线H的方程为，，得抛物线H的方程为
（2）（2）①设直线， ，
由，消去x并整理得，
则，，
∴，
，
所以，
所以
所以不可能是钝角;
②设存在这样的点C,设线段AB的中点为，连接CM，
因为△ABC为等边三角形，M为AB中点，∴CM⊥AB，
由①知，，
所以，，
所以坐标为，
当m=0时，直线AB斜率不存在，根据抛物线的对称性可知此时C的坐标为(-1,0),
而A(1,2),B(1,-2),此时AB=4，,,
△ABC不是等边三角形，
当时，直线AB的斜率为,
直线CM的斜率为,
由CM⊥AB，得，
解得，
所以C的坐标为
所以 ,
由①得，，
所以
所以，
由得，
所以存在点.
图形
标准方程
y2=2px（p＞0）
y2=－2px（p＞0）
x2=2py（p＞0）
x2=－2py（p＞0）
顶点
O（0，0）
范围
x≥0，
x≤0，
y≥0，
y≤0，
对称轴
x轴
y轴
焦点
离心率
e=1
准线方程
焦半径
标准方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
焦半径|AF|
|AF|＝__x0＋eq \f(p,2)__
|AF|＝__eq \f(p,2)－x0__
|AF|＝__y0＋eq \f(p,2)__
|AF|＝__eq \f(p,2)－y0__
【核心素养】
1.考查抛物线的定义、求抛物线方程、最值等问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养．
2.结合抛物线的几何性质及几何图形，求抛物线相关性质及其应用，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
3.考查直线与抛物线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．
知识点一
抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
知识点二
抛物线的标准方程及几何性质
知识点三
焦半径、焦点弦
1.通径
过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为__2p__．
2．焦半径
抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为
3．焦点弦问题
如图所示：AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，抛物线的准线为l．
(1)以AB为直径的圆必与准线l__相切__；
(2)|AB|＝2(x0＋eq \f(p,2))＝x1＋x2＋__p__；
(3)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝eq \f(p2,4)，y1·y2＝－p2．
知识点四
直线和抛物线的位置关系
（1）将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；
若
①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．
（2）直线与抛物线的相交弦
设直线交抛物线于点两点，则
==
同理可得[来源:Z*xx*k.Cm]
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
常考题型剖析
题型一： 抛物线定义的应用
【典例分析】
例1-1．（2023·全国·高三专题练习）已知动点的坐标满足方程，则动点M的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．以上都不对
【答案】C
【分析】等价变形给定等式，再利用式子表示的几何意义，结合抛物线定义即可得解.
【详解】等式变形成，
因此该等式表示动点到原点的距离等于到它直线的距离，
而直线不过原点，所以动点M的轨迹是抛物线.
故选：C
例1-2.（2020·北京·统考高考真题）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）．
A．经过点B．经过点
C．平行于直线D．垂直于直线
【答案】B
【分析】依据题意不妨作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即求解.
【详解】如图所示： ．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.
故选：B.
【规律方法】
1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
2.抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用．
【变式训练】
变式1-1.（2008·北京·高考真题）若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】D
【详解】依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线
变式1-2.（2023·全国·高三专题练习）设抛物线：的焦点为，在上，，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的定义求得，进而确定正确答案.
【详解】抛物线的开口向上，
由于在上，且，
根据抛物线的定义可知，
所以抛物线的方程为.
故选：A
题型二：点到定点距离（和）问题
例2-1.（2022·全国·统考高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
例2-2.（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设点A在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义把问题转化为求取得最小值，数形结合求解即可.
【详解】设点A在准线上的射影为D，如图，
则根据抛物线的定义可知，
求的最小值，即求的最小值，
显然当D，B，A三点共线时最小，
此时点的横坐标为1，代入抛物线方程可知.
故选：B.
【规律方法】
1.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
2.提醒：利用抛物线定义进行距离转化的同时，要注意平面几何知识在其中的重大运用．
【变式训练】
变式2-1.（2011·辽宁·高考真题）已知为抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为，则可利用几何性质得到，故可得到轴的距离.
【详解】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为，
因为是该抛物线上的两点，故，
所以，
又为梯形的中位线，所以，故到轴的距离为，故选C.
变式2-2.（2023春·河南开封·高三统考期末）已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为（ ）
A．5B．C．2D．3
【答案】B
【分析】先利用配方法求得到圆心的最小距离，从而求得到的最小距离.
【详解】由题意知，，设，则，
所以，
故当时，，
所以.
故选：B.
题型三：求抛物线标准方程
【典例分析】
例3-1.（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点在轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【分析】利用抛物线的定义及标准方程计算即可.
【详解】由题意可知该抛物线的焦点坐标为或，
所以其对应标准方程为为或.
故选：D
例3-2.（2023·全国·高三专题练习）过抛物线上一点的抛物线的切线方程为 .
【答案】
【分析】解法一：设切线方程为，联立切线方程与抛物线方程，由，得，则切线方程可求.
解法二：利用导数的几何意义直接可求切线斜率，再由点斜式方程求得答案.
【详解】解法一：由题意，切线方程一定存在，设切线方程为．
由⇒⇒，
由，得，
∴.
故切线方程为，即.
故答案为：.
解法二：由得，∴.
∴.
∴切线方程为，即.
故答案为：.
【规律方法】
1.求抛物线标准方程的方法：
①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数p．
②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数p.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为y2＝mx或x2＝my．
2．求抛物线方程应注意的问题
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图象及开口方向确定．
(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；
(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．
【变式训练】
变式3-1.（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义求解．
【详解】由题意抛物线上任意一点到焦点F的距离与它到直线的距离相，因此，，抛物线方程为．
故选：C．
变式3-2.（2022·全国·高三专题练习）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A．B．或
C． D．或
【答案】D
【解析】将转化为，分类讨论和两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的方程求解即可.
【详解】将转化为,
当时，抛物线开口向上，准线方程，点到准线的距离为，解得，所以抛物线方程为，即；
当时，抛物线开口向下，准线方程，点到准线的距离为，解得或（舍去），所以抛物线方程为，即.
所以抛物线的方程为或
故选：D
题型四： 抛物线中求参数问题
例4-1.（2021·全国·统考高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1B．2C．D．4
【答案】B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，
解得：(舍去).
故选：B.
例4-2.（2022秋·河北唐山·高三开滦第一中学校考期中）已知圆与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于，两点，若四边形是矩形，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题，结合抛物线与圆的对称性得弦为抛物线的通径，进而有，解方程即可得答案.
【详解】解：因为四边形是矩形，
所以由抛物线与圆的对称性知：弦为抛物线的通径，
因为圆的半径为，抛物线的通径为，
所以有：，解得
故选：D
【变式训练】
变式4-1.（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）已知点为抛物线上一点，过点A作C准线的垂线，垂足为B．若（O为坐标原点）的面积为2，则（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】C
【分析】根据点为抛物线上一点可得，利用三角形面积列出等式，即可求得答案.
【详解】由题意点为抛物线上一点可得，
即，则的面积，
解得，
故选：C
变式4-2.（2024·全国·高三专题练习）抛物线的准线方程是，则实数 .
【答案】/
【分析】将抛物线方程化为标准方程，根据其准线方程即可求得实数.
【详解】抛物线化为标准方程：，
其准线方程是，而
所以 ，即 ，
故答案为：
题型五： 社会生活中的抛物线问题
例5-1.（2023·全国·高三专题练习）探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件及设出抛物线的标准方程，结合点在抛物线上即可求解.
【详解】在纵断面内，以反射镜的顶点（即抛物线的顶点）为坐标原点，过顶点垂直于灯口直径的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示，
由题意可得.
设抛物线的标准方程为，于是，解得.
所以抛物线的焦点到顶点的距离为，即光源到反射镜顶点的距离为.
故选：B.
例5-2.（2024·全国·高三专题练习）如图，某大桥中央桥孔的跨度为20m，拱顶呈抛物线形，拱顶距水面10m，桥墩高出水面4m.现有一货轮欲通过此孔，该货轮水下宽度不超过18m.目前吃水线上部分中央船体高16m，宽16m.若不考虑水下深度，该货轮在此状况下能否通过桥孔？试说明理由.
【答案】不能，理由见解析.
【分析】建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法和代入法进行求解判断即可.
【详解】建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线的方程为，
由题意可知：，把它代入方程中，得，
所以方程为，而货轮宽16m，
把代入中，得，
点离水面高度为，而吃水线上部分中央船体高16m，
所以不能通过桥孔.
【变式训练】
变式5-1.（2023·青海海东·统考模拟预测）图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】D
【分析】以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，设拱桥所在抛物线的方程为，根据抛物线过点，求出的值，即可得到抛物线方程，再令，求出的值，即可得解.
【详解】以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，
可设拱桥所在抛物线的方程为，
又抛物线过点，则，解得，
则抛物线的方程为，当时，，
故当水面宽度为米时，拱顶与水面之间的距离为米.
故选：D
变式5-2.（2024·全国·高三专题练习）某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示.现要求水流最高点B离地面5m，点B到管柱OA所在直线的距离为4m，且水流落在地面上以O为圆心，以9m为半径的圆上，求管柱OA的高度.
【答案】
【分析】建立直角坐标系，利用待定系数法和代入法进行求解即可.
【详解】建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线的方程为，
把点代入方程中，得，
所以抛物线方程为
把代入方程中，得，
所以，
所以管柱OA的高度为.
题型六： 抛物线的性质及应用
例6-1.（2020·全国·统考高考真题）设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，可知，从而可以确定出点的坐标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.
【详解】因为直线与抛物线交于两点，且，
根据抛物线的对称性可以确定，所以，
代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，
故选：B.
例6-2.（2023·全国·统考高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
【答案】
【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可.
【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，
准线方程为，点到的准线的距离为.
故答案为：.
【规律总结】
求抛物线的焦点及准线方程的步骤：
(1)把抛物线解析式化为标准方程形式；
(2)明确抛物线开口方向；
(3)求出抛物线标准方程中参数p的值；
(4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程．
【变式训练】
变式6-1.【多选题】（2024·全国·高三专题练习）（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为B．开口向上，焦点为
C．焦点到准线的距离为4D．准线方程为
【答案】AC
【分析】写出标准形式即，即可得到相关结论
【详解】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为．
故选：AC
变式6-2.（2021·全国·统考高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 .
【答案】
【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.
【详解】抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，
因为，所以,
，
所以的准线方程为
故答案为：.
题型七： 抛物线的范围问题
例7-1.（2023·全国·高三专题练习）若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（ ）
A．p＜1B．p＞1C．p＜2D．p＞2
【答案】D
【解析】根据抛物线的几何性质当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值，列不等式求解.
【详解】∵设P为抛物线的任意一点，
则P到焦点的距离等于到准线：x的距离，
显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值．
∴，即p＞2．
故选：D．
例7-2.（2023·全国·高三专题练习）已知过点的直线与抛物线相交于，两点，点，若直线，的斜率分别为，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先由题意，设，，直线的方程为：，联立直线与抛物线方程，由韦达定理，得出，，再由题意，表示出，根据基本不等式，即可求出结果.
【详解】因为过点的直线与抛物线相交于，两点，
所以可设，，直线的方程为：，
由得，因此，，
且，
又直线，的斜率分别为，，点，
所以，，
因此，
当时，；
当时，，
且，
当且仅当，即时，等号成立；
所以；
当时，，
且，
当且仅当，即时，等号成立；
所以，
综上.
故选：C.
【变式训练】
变式7-1.（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知点是抛物线上的动点，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】根据已知条件将问题转化为抛物线上的动点到直线和轴的距离之和的最小值，作出图形，利用抛物线的定义及点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由题可知，过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点，
由，得，所以，如图所示
则动点到轴的距离为
所以，
当且仅当三点共线时，有最小值，即(此时为点到直线的距离)，
所以到直线的距离为，
所以，
所以.
所以的最小值为.
故答案为：
变式7-2.（2022·辽宁大连·大连八中校考模拟预测）设抛物线，若任意以为圆心的圆与抛物线至多有3个公共点，则的值范围为 ．
【答案】
【分析】令圆为且，讨论、，并依此为前提讨论、、，数形结合判断是否任意圆与抛物线交点个数不超过3个，即可得答案.
【详解】令圆为且，抛物线，
对于，圆与抛物线公共点情况如下，
若，它们恒有1个公共点，
若，它们没有公共点，
若，它们恒有2个公共点，
所以，对于，任意以为圆心的圆与抛物线至多有2个公共点，满足题设；
对于，圆与抛物线公共点情况如下，
若，它们恒有3个公共点，
若，它们恒有2个公共点，
若，它们可能0个或2个或4个公共点，
所以，不满足以为圆心的任意圆与抛物线至多有3个公共点；
综上，.
故答案为：
题型八： 抛物线对称性的应用
例8-1.（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线上．若，则当取得最大值时， ．
【答案】或4
【分析】利用余弦定理可得，再利用基本不等式可求得的最大值，再结合抛物线的对称性即可求得的值．
【详解】在中，由余弦定理可得．
，．
，，当且仅当时，等号成立．
根据抛物线的对称性可知，或，或4．
故答案为：或4．
例8-2.（2021·全国·高三专题练习）是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线对称的两个点?若不存在，说明理由；若存在，求a的取值范围.
【答案】存在，.
【分析】本题的解法有两种：一是如果存在对称的两点A、B满足题设要求，显然的中点在抛物线内部，构成一个含有a的不等式，从而确定a的取值范围；
二是按照对称问题的一般处理方法，即A、B两点连线与对称轴垂直，的中点在对称轴上，且直线与抛物线必有两个交点，消元后的一元二次方程必有两个不等的实根，判别式应大于0.
【详解】解法一：假设存在抛物线上两点，关于直线对称，记线段的中点为，则点在上，即.又由相减，得.
直线垂直于，.
又，由得，.
（1）若，如果点在抛物线内部.则有关系式，由不等式组解得.
（2）若，如果点在抛物线内部，则有关系.由不等式组整理，得此时无解.
综上所述，a的取值范围为.
解法二：设，是抛物线上关于直线对称的两个点，则即，①
又，即.
，，②
联立①②得即、为方程的两个实根，，解不等式，得.
故当时，抛物线上总存在关于直线对称的两个点.
【总结提升】
1.为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论．
2．不能把抛物线看作是双曲线的一支．虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴，但抛物线却越来越接近于对称轴的平行线．
【变式训练】
变式8-1.（2022秋·河南·高三信阳高中校联考期末）已知点关于轴的对称点在曲线上，且过点的直线与曲线相交于点，则 .
【答案】16
【分析】根据抛物线的对称性知点在抛物线上，因为直线过此抛物线的焦点，根据焦点弦问题解决即可.
【详解】因为曲线的方程为，即，
所以由题意及抛物线的对称性，知点在抛物线上，且在轴的下方，
因为直线过此抛物线的焦点.
设，
联立，得，
则，
所以由抛物线的焦点弦长公式得.
故答案为：16.
变式8-2.（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，为坐标原点．
(1)过作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为．求抛物线的标准方程；
(2)抛物线上有两点，若为正三角形，求的边长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，利用可构造方程求得，由此可得抛物线方程；
（2）根据对称性可知轴，设，代入抛物线方程可得，利用可构造方程求得，由此可得，即为所求边长.
（1）由抛物线方程知：，为抛物线的通径，则，，解得：，抛物线的标准方程为：.
（2）为正三角形，，由抛物线对称性可知：轴，设，则，解得：，，，，解得：，，即的边长为.
题型九： 抛物线的焦点弦问题
例9-1.（2017·全国·高考真题）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16B．14C．12D．10
【答案】A
【详解】设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知
，当且仅当（或）时，取等号.
例9-2.（2020·山东海南省高考真题）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．
【答案】
【解析】
∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得，
解法一：解得
所以
解法二：
设，则,
过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.
故答案为：
【总结提升】
解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
【变式训练】
变式9-1.（2018·全国·高考真题）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则 ．
【答案】2
【分析】方法一：利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可得结果.
【详解】［方法一］：点差法
设，则，所以
所以，
取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为
因为,，
因为为AB中点，所以平行于x轴，
因为M(-1,1)，所以，则即．
故答案为：2.
［方法二］：【最优解】焦点弦的性质
记抛物线的焦点为F，因为，则以为直径的圆与准线相切于点M，由抛物线的焦点弦性质可知，所以．
［方法三］： 焦点弦性质+韦达定理
记抛物线的焦点为F，因为，则以为直径的圆与准线相切于点M，记中点为N，则，设，代入中，得，所以，得，所以．
［方法四］：【通性通法】暴力硬算
由题知抛物线的焦点为，设直线的方程为，代入中得，设，则，同理有，由，即．又，所以，得．
［方法五］：距离公式+直角三角形的性质
设直线为，与联立得，则从而，可得的中点，所以．
又由弦长公式知．
由得，解得，所以．
［方法六］：焦点弦的性质应用
由题可知，线段为抛物线的焦点弦，，由于以抛物线的焦点弦为直径的圆必与准线相切，又点M恰为抛物线准线上的点，因此，以为直径的圆必与准线相切于点M．
过点M作平行于轴的直线交于点N，则N为圆心．
设，则．
又因为，所以联立解得．将的值代入中求得．
因为抛物线C的焦点，所以．
【整体点评】方法一：根据点差法找出直线的斜率与两点纵坐标的关系，再根据抛物线定义求出中点坐标，从而解出；
方法二：直接根据焦点弦的性质解出，是该题的最优解；
方法三：根据焦点弦性质可知，直线过点，再根据韦达定理求出直线的斜率；
方法四：直接设出直线方程，联立运算，属于解决直线与抛物线位置关系问题的通性通法，思路直接，运算复杂；
方法五：反设直线，再通过联立，利用直角三角形的性质求解，运算较复杂；
方法六：利用焦点弦的性质直接求出其中一点的坐标，再根据斜率公式求出．
变式9-2.（2023·全国·高三专题练习）已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】B
【分析】根据抛物线焦点弦的性质以及，联立可得，进而可用对勾函数的性质求的最值，进而可求.
【详解】解法1：抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
设，，则∵，由抛物线定义可知，∴，又因为，所以即，由①②可得：
所以.∵，
当时，，当时，，
∴，则弦AB的中点到C的准线的距离，d最大值是.
∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是，
故选：B.
解法2：弦AB的中点到C的准线的距离，根据结论，，，
故选：B.
题型十：直线与抛物线的位置关系
例10-1.（2022秋·广东深圳·高三校联考期中）已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，点A在第一象限，线段AB的中点为M，其中点A的横坐标为3，，则点M到y轴的距离为 .
【答案】/
【分析】利用抛物线的定义，结合一元二次方程根与系数关系、中点坐标公式进行求解即可.
【详解】因为，
所以抛物线C：，则，
所以直线l的斜率为，则直线AB：，
故把直线与抛物线进行联立，
得，因为，
所以设，，
则，，
故答案为：.
例10-2.（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据抛物线的焦点，求抛物线方程；（2）首先设出直线的方程为，与抛物线方程联立，并利用韦达定理表示，并利用，求直线的斜率，验证后，即可得到直线方程.
【详解】解：（1）由椭圆可知，，
所以，，则，
因为抛物线的焦点为，可设抛物线方程为，
所以，即.
所以抛物线的标准方程为.
（2）由椭圆可知，，
若直线无斜率，则其方程为，经检验，不符合要求.
所以直线的斜率存在，设为，直线过点，
则直线的方程为，
设点，，
联立方程组，
消去，得.①
因为直线与抛物线有两个交点，
所以，即，
解得，且.
由①可知，
所以，
则，
因为，且，
所以，
解得或，
因为，且，
所以不符合题意，舍去，
所以直线的方程为，
即.
【变式训练】
变式10-1.（2023·全国·高三专题练习）已知直线与曲线恰有一个公共点，则实数a的值为 .
【答案】0或或
【分析】根据给定条件，联立方程，利用方程组有解求解即得.
【详解】当时，曲线为直线，显然直线与有唯一公共点，因此；
当时，由消去y并整理得：，
当时，，直线与曲线有唯一公共点，因此；
当且时，，则，
此时直线与曲线相切，有唯一公共点，因此，
所以实数a的值为0或或.
故答案为：0或或
变式10-2.（2022·全国·高三专题练习）已知F为抛物线E：的焦点，以F为圆心作半径为R的圆Γ，圆Γ与x轴的负半轴交于点A，与抛物线E分别交于点B、C，若△ABC为直角三角形．
(1)求半径R的值；
(2)判断直线AB与抛物线E的位置关系，并给出证明．
【答案】(1)
(2)直线AB与抛物线相切，证明见解析.
【分析】（1）根据抛物线和圆的对称性可得B，C，F三点共线，则可得，进而得到，所以圆的半径；
（2）由（1）得到直线A、B的坐标进而可得AB的方程，再与抛物线方程联立，求得，即可得到位置关系．
【详解】（1）解：由题意得：
由抛物线和圆的对称性可得B，C关于x轴对称，再由△ABC为直角三角形可得BC为圆的直径，B，C，F三点共线
，代入抛物线的方程可得
所以圆的半径
（2）直线AB与抛物线E相切.
由（1）知，，，
则直线AB： ，联立，整理得
∴
∴直线AB与抛物线相切．
题型十一： 抛物线与其它曲线的综合问题
例11-1.（2023·天津和平·统考一模）抛物线的焦点为，其准线与双曲线的渐近线相交于两点，若的周长为，则（ ）
A．2B．C．8D．4
【答案】A
【分析】利用双曲线的渐近线、抛物线的焦点和准线以及两点的距离公式进行计算求解.
【详解】由题知，双曲线的渐近线为，
抛物线的焦点，准线方程为，
由得两点坐标为，，
所以，因为的周长为，
所以，解得.故B，C，D错误.
故选：A.
例11-2.（2023·天津·统考高考真题）过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．
【详解】易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，
所以，解得：，由解得：或，
所以，解得：．
当时，同理可得．
故答案为：．
【变式训练】
变式11-1.（2022·全国·高三专题练习）已知圆C: ，点在抛物线T：上运动，过点引直线，与圆C相切，切点分别为，，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】设出点的坐标，探讨出的取值范围，借助四边形MPCQ的面积计算，把表示为的函数即可作答.
【详解】如图，连接CP，CQ，CM，依题意，，而，
而，则CM垂直平分线段PQ，于是得四边形MPCQ的面积为面积的2倍，
从而得，即，
设点，而，，则，
当且仅当t=1时取“=”，，
因此得，即，得，
所以的取值范围为.
故答案为：
变式11-2.（2023秋·陕西汉中·高三统考阶段练习）已知抛物线：的焦点为，曲线与交于点，轴，则 .
【答案】
【分析】根据抛物线方程得，根据轴得，，再代入抛物线方程可求出结果.
【详解】由得，，故，
因为轴，所以，，
又，所以，得，又，所以.
故答案为：.
.
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）抛物线上一点到焦点的距离为，则实数的值为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的定义及抛物线的几何性质即可求解.
【详解】解：因为抛物线过点，所以，
抛物线的焦点为，
由抛物线的定义可知，解得.
故选：A.
2.（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）若抛物线（）上一点到焦点的距离是，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用抛物线定义有，结合已知求即可.
【详解】设焦点为，则，解得．
故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆与抛物线相交于M，N，且，则（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】B
【分析】由圆与抛物线的对称性及，可得点纵坐标，代入抛物线得横坐标，求出即可得解.
【详解】因为圆与抛物线相交于M，N，且，
由对称性，不妨设，
代入抛物线方程，则，解得，
所以，
故
故选：B
二、多选题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，，是C上相异两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，且，则
C．若，则D．若，则的最小值为
【答案】AD
【分析】根据相等向量得F为的中点，利用焦半径公式求解弦长判断A，根据焦半径公式及点在抛物线上建立方程求解判断B，根据焦半径公式判断C，根据抛物线的定义，把转化为，利用当三点共线时，取得最小值，从而判断D.
【详解】对于A，因为，所以F为的中点，
根据抛物线的对称性知，直线与轴垂直，
所以，正确；
对于B，因为，所以，即，又，所以，
所以，解得或，错误；
对于C，若，则，当且仅当三点共线时等号成立，错误；
对于D，抛物线的焦点为，准线方程为，
过点作准线的垂线，垂足为点，
由抛物线的定义得，则，
当点N、A、M三点共线时，取得最小值，且最小值为.正确.
故选：AD.
5.（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为2
B．抛物线C关于x轴对称
C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条
D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4
【答案】AB
【分析】根据焦半径公式结合条件判断A，由抛物线的对称性判断B，由直线与抛物线的位置关系判断C，结合抛物线的定义，把转化为到准线的距离后可求得题中距离和的最小值判断D．
【详解】设，则，，又抛物线的焦点为，
对A，由题可知，时，等号成立，所以的最小值是1，A错；
对B，抛物线的焦点在轴上，抛物线关于轴对称，B错；
对C，由题知点在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确；
对D，记抛物线的准线为，准线方程为，
过作于，过作于，则，，
所以当三点共线，即与重合时，最小，最小值为．D正确．
故选：AB．
6.（2023·河北保定·统考二模）已知抛物线的焦点为，点为抛物线的准线与轴的交点，过点的直线与抛物线交于不同的两点，则（ ）
A．B．存在一点为中点，使得
C．存在这样的直线使成立D．
【答案】AD
【分析】由题意，设出直线的方程，将直线与抛物线联立，利用根的判别式得到，设,，,，根据韦达定理得到，和的表达式，结合抛物线的性质对选项进行逐一分析，进而即可求解．
【详解】
因为抛物线的焦点为，点为抛物线的准线与轴的交点，
所以，，
又过点的直线与抛物线交于不同的两点、，
不妨设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
所以，
不妨设,，,，
对于选项A：
，故选项A正确；
对于选项B：若点为中点，
此时,，
即,，
可得，
不妨令，，
此时，
所以，故选项B错误；
对于选项C：当时，
可知，不符合题意，故选项C错误；
对于选项D：因为
，故选项D正确．
故选：AD．
三、填空题
7．（2023·全国·高三专题练习）写出过抛物线上的点且与圆相切的一条直线的方程 ．
【答案】或或（写出其中一个即可）
【分析】由已知求出点或.先求解直线斜率不存在时的方程；然后设斜率，得出点斜式方程，表示出圆心到直线的距离，列出方程，求解即可得出斜率，进而得出直线方程.
【详解】由题意可知，，解得，
所以，点或.
又圆的圆心，半径.
①当点时
当直线斜率不存在时，此时方程为，与圆相切，满足题意；
当直线斜率存在时，设斜率为，此时直线方程为，
即.
因为，直线与圆相切，所以圆心到的距离，
即，
整理可得，，解得，
代入直线方程整理可得，直线方程为.
②当点时
当直线斜率不存在时，此时方程为，与圆相切，满足题意；
当直线斜率存在时，设斜率为，此时直线方程为，
即.
因为，直线与圆相切，所以圆心到的距离，
即，
整理可得，，解得，
代入直线方程整理可得，直线方程为.
综上所述，直线方程为或或.
故答案为：.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知点和抛物线C：，过C的焦点且斜率为的直线与C交于A，B两点．若，则 ．
【答案】2
【分析】设，，则由可得，再联立直线方程和抛物线方程后结合韦达定理化简前者可求的值.
【详解】因为抛物线C：的焦点为，所以直线AB的方程为，
由可得，其中，
此时.
设，，则，，
所以，
．
因为，所以，，
因为，所以，所以，
整理可得，
所以，得，所以．
故答案为：.
9．（2022·浙江·高三专题练习）已知P，Q是抛物线上两点，M是PQ中点，若，则M点纵坐标的最小值是 ；若，则M点纵坐标的最小值 .
【答案】
【分析】首先根据已知条件设出过焦点的直线，通过联立方程求出焦点弦的范围，然后当时，利用抛物线的定义以及三角不等式即可求解；当时，可知弦必不过焦点，然后利用抛物线的对称性即可求解.
【详解】由题意可知，抛物线的焦点的坐标为，
设过焦点的直线：，且交抛物线于、两点，
由可得，，且，
则，，
所以，
从而可知过抛物线焦点的弦长的最小值为，
(i)当，则弦有可能过焦点，
由题意可知，抛物线的准线为：，
过、、分别作准线的垂线，垂足分别为、、，连接、，如下图所示：
由抛物线定义可知，，，
所以，
又由三角关系可知，，即，
从而M点纵坐标的最小值是；
(ii)当时，可知必不过焦点，
由抛物线性质可知，当平行于轴时，点纵坐标达到最小值，
由抛物线对称性，不妨令点横坐标为，易知点纵坐标，
即此时M点纵坐标的最小值是.
故答案为：
四、解答题
10．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：.
(1)若直线与抛物线只有一个公共点，求的值；
(2)过点作斜率为的直线交抛物线于,两点，求的面积．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，分别讨论当或，即可求解；
（2）由抛物线的标准方程可得到焦点坐标，从而得到直线方程，联立直线方程与抛物线方程，根据韦达定理及即可求解.
【详解】（1）依题意，联立，消去，得：，即：，
①当时，有：，显然方程只有一个解，满足条件；
②当时，要使得直线与抛物线只有一个公共点，
则方程只有一个解，
所以，解得：；
综上所述，当或时，直线与抛物线只有一个公共点．
（2）由于抛物线：的焦点的坐标为，
所以过点且斜率为的直线方程为：，
设，，
联立，消去，得：，
则由韦达定理得：，，
所以，
所以.
11．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知拋物线，过其焦点作两条相互垂直且不平行于轴的直线，分别交抛物线于点和点的中点分别为.
(1)若直线的斜率为2，求直线的方程；
(2)求线段的中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立直线和抛物线方程，求得中点坐标，即可求解直线的方程；
（2）首先设直线的方程为，与抛物线方程联立，求得点的坐标，并利用直线与直线的关系，求得点的坐标，即可求解点，再通过消参求得点的轨迹方程.
【详解】（1）抛物线的焦点，，
直线的方程为，设，
联立，得，，
所以中点的横坐标为，中点的纵坐标为，即，
直线的方程为，设，
联立，得，，
所以中点的横坐标为，中点的纵坐标为，即，
所以，直线的方程为，
化简为直线的方程为；
（2）设直线的方程为，设，，
联立，得，
得，
所以中点的横坐标为，纵坐标为，
即，将换成得，
得的中点的坐标为，
即，得.
12．（2022·全国·高三专题练习）抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交H于P、Q两点，且．
(1)求抛物线H的方程;
(2)一条直线经过抛物线H的焦点F，且交曲线H于A、B两点，点C为直线上的动点．
①求证：不可能是钝角;
②是否存在这样的点C，使得是正三角形？若存在，求点C的坐标；否则，说明理由．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②存在，
【分析】(1)根据抛物线的对称性，可得，进而得到坐标，从而利用待定系数法求得抛物线的方程；
（2）①设直线，联立方程，利用韦达定理和向量的数量积的坐标运算可得到，从而证得；
②设存在这样的点C，根据①得中间结论和线段中点公式求得 ，利用直线垂直的条件得到，则，由等边三角形条件得到，利用距离公式表示，进而求得.
【详解】（1）解：（1）由抛物线H的对称性，得，此坐标为，
设抛物线H的方程为，，得抛物线H的方程为
（2）（2）①设直线， ，
由，消去x并整理得，
则，，
∴，
，
所以，
所以
所以不可能是钝角;
②设存在这样的点C,设线段AB的中点为，连接CM，
因为△ABC为等边三角形，M为AB中点，∴CM⊥AB，
由①知，，
所以，，
所以坐标为，
当m=0时，直线AB斜率不存在，根据抛物线的对称性可知此时C的坐标为(-1,0),
而A(1,2),B(1,-2),此时AB=4，,,
△ABC不是等边三角形，
当时，直线AB的斜率为,
直线CM的斜率为,
由CM⊥AB，得，
解得，
所以C的坐标为
所以 ,
由①得，，
所以
所以，
由得，
所以存在点.
图形
标准方程
y2=2px（p＞0）
y2=－2px（p＞0）
x2=2py（p＞0）
x2=－2py（p＞0）
顶点
O（0，0）
范围
x≥0，
x≤0，
y≥0，
y≤0，
对称轴
x轴
y轴
焦点
离心率
e=1
准线方程
焦半径
标准方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
焦半径|AF|
|AF|＝__x0＋eq \f(p,2)__
|AF|＝__eq \f(p,2)－x0__
|AF|＝__y0＋eq \f(p,2)__
|AF|＝__eq \f(p,2)－y0__
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