专题11.2 排列与组合（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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【核心素养】
1.考查对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解及简单应用，凸显数学建模的核心素养．
2．考查常见排列、组合问题的解法，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．
3．考查常见排列数、组合数问题的化简及计算，凸显数学运算的核心素养．
知识点一
排列
(1)排列的定义：从个不同元素中取出 ()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．
(2)排列数的定义：从个不同元素中取出 ()个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用表示．
(3)排列数公式：这里并且
(4)全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，(叫做n的阶乘).排列数公式写成阶乘的形式为，这里规定.
（5）排列数的性质
①Aeq \\al(m,n)＝nAeq \\al(m－1,n－1)； ②Aeq \\al(m,n)＝mAeq \\al(m－1,n－1)＋Aeq \\al(m,n－1)．
性质①是指从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素排成一列．
性质②是指从含有元素a的n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，排成一列．
知识点二
组合
(1)组合的定义：从个不同元素中取出 ()个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．
(2)组合数的定义：从个不同元素中取出 ()个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用表示．[来源:学.科.网]
(3)组合数的计算公式：，由于，所以.
(4)组合数的性质：①；②；③.
常考题型剖析
题型一： 排列数、组合数的计算
【典例分析】
例1-1．（2023下·江苏宿迁·高二统考期中）（ ）
A．74B．98C．124D．148
【答案】C
【分析】根据排列数与组合数公式，计算即可．
【详解】．
故选：C．
例1-2.（2023上·江西南昌·高二南昌十中校考期中）（1）计算：；
（2）求值：.
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）根据排列数公式计算可得；
（2）根据组合数的定义求出的值，再代入计算可得.
【详解】（1）；
（2）由组合数的定义知：，解得，又，
或.
当时；
当时.
所以的值为或.
【总结提升】
1.应用排列数公式时应注意的三个方面
(1)准确展开．应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确．
(2)合理约分．若运算式是分式形式，则要先约分后计算．
(3)合理组合．运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，可以提高运算的速度和准确性．
2.在运用排列数、组合数公式时，必须注意其中对字母取值范围的限制.
【变式训练】
变式1-1．【多选题】（2023下·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考阶段练习）下列等式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】计算出排列数和组合数后判断.
【详解】，，，A正确；
，B错；
，，C正确；
，，D正确．
故选：ACD．
变式1-2.（2023下·新疆阿克苏·高二校考阶段练习）计算：
【答案】9
【分析】根据排列数公式和组合数公式计算可得.
【详解】.
故答案为：9
题型二：排列数、组合数的证明问题
【典例分析】
例2-1.【多选题】（2020下·江苏徐州·高二徐州市第一中学校考阶段练习）下列关系中，能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】利用排列数和组合数的计数公式，对选项进行一一验证，即可得答案.
【详解】对A，令，可得等式不成立，故A错误；
对B，利用组合数的计算公式知正确，故B正确；
对C，利用排列数与组合数的定义，故C正确；
对D，∵，故D正确；
故选：BCD.
例2-2（2023·全国·高三专题练习）证明：对于正整数m，n，k，等式成立．
【答案】证明见解析
【详解】证明：当时，有如下幂级数展开式：
，
．
取发生函数：
．
将的结果中的系数与上式进行对比，可得：
．
最后令，，则有，于是可以得到：
．
将上式中的q改写成r，即可得原命题成立．
【总结提升】
(1)对于含组合数的化简、证明或解方程、不等式等问题多利用：
①组合数公式，即：
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(n！,m！n－m！)＝eq \f(nn－1…n－m＋1,m！)；
②组合数的性质，即Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)和Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n)；
③排列数与组合数的关系，即Aeq \\al(m,n)＝Ceq \\al(m,n)Aeq \\al(m,m)．
(2)当含有字母的组合数的式子要进行变形论证时，利用阶乘公式往往较为方便．
【变式训练】
变式2-1.【多选题】（2023下·江苏南通·高二校考期中）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据排列数和组合数公式判断各选项即可.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，
，故B正确；
对于C，因为，，
且，所以，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：ABD.
变式2-2.（2019下·江苏无锡·高三无锡市第一中学校考开学考试）
求证：
【答案】证明见详解.
【分析】根据与，并使用整体代换令左边=，可得，然后依次递推得到的关系，可得结果.
【详解】令
由与
则
所以，则
所以
而
所以
【点睛】本题考查组合的性质，关键在于与的使用，难点在于计算，考验极强的分析能力以及计算能力，属难题.
题型三： 简单排列、组合问题
【典例分析】
例3-1.（2023·全国·统考高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120B．60C．30D．20
【答案】B
【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.
【详解】不妨记五名志愿者为，
假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法，
同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法，
所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种.
故选：B.
例3-2.（2020·全国·统考高考真题）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.
【答案】
【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.
【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种
故答案为：.
【总结提升】
解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．
(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；
(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；
(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；
(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．
【变式训练】
变式3-1.（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2种B．3种C．6种D．8种
【答案】C
【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.
【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有种分法
第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法
所以，不同的安排方法共有种
故选：C
变式3-2.（2023上·湖南邵阳·高三统考期中）某班派遣五位同学到甲，乙，丙三个街道进行打扫活动，每个街道至少有一位同学去，至多有两位同学去，且两位同学去同一个街道，则不同的派遣方法有 种.
【答案】18
【分析】先安排，再将剩余3人分别两组，和两个街道进行全排列，求出答案.
【详解】由题意得，学生的分配人数分别为2，2，1，
由于两位同学去同一个街道，故先从3个街道中选择1个安排，有种，
再将剩余3人分别两组，和两个街道进行全排列，有
故不同的派遣方法有种.
故答案为：18
题型四： 元素（位置）有限制的排列问题
【典例分析】
例4-1.（2023上·江苏·高三校联考开学考试）甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封神榜》，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（ ）
A．360B．480C．600D．720
【答案】B
【分析】先求得六人的全排列数，结合题意，利用定序排列的方法，即可求解.
【详解】由题意，甲、乙、丙等六人的全排列，共有种不同的排法，
其中甲、乙、丙三人的全排列有种不同的排法，
其中甲、乙在丙的同侧有：甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙，丙乙甲，共4种排法，
所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为种.
故选：B.
例4-2.（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）某班级选出甲、乙、丙等六人分别担任语文、数学、英语、物理、化学、生物六门学科的课代表，已知甲只能担任语文或英语课代表，乙不能担任生物或化学课代表，且乙、丙两人中必有一人要担任数学课代表，则不同的安排方式有（ ）
A．56种B．64种C．72种D．86种
【答案】C
【分析】分类讨论数学课代表的人选：若乙担任数学课代表，再安排甲担任语文或英语课代表，最后再安排剩余的四人；若丙担任数学课代表，再安排甲担任语文或英语课代表，接着安排乙，最后再安排剩余的三人，将两种所有安排方式相加即可.
【详解】若乙担任数学课代表，则不同的安排方式共有种，
若丙担任数学课代表，则不同的安排方式共有种，
所以不同的安排方式共有48+24=72种．
故选:C．
【规律方法】
①直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(又称为元素分析法)，或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又称位置分析法)．
②间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列数．
【变式训练】
变式4-1.（2019·广西桂林·校联考一模）中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则名同学所有可能的选择有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】D
【分析】依次考虑乙、甲的选择情况，然后考虑剩余三个人的选择情况，结合分步乘法计数原理可得结果.
【详解】因为甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则乙可在《尚书》、《礼记》、《周易》三种书中选择一种，
甲可在除《诗经》外的三种书中任选一种，其余三种书可任意排序，
由分步乘法计数原理可知，不同的选择种数为.
故选：D.
变式4-2．（2023上·辽宁丹东·高三统考期中）将五个字母排成一排，若A不在左端且A在的左侧，则不同的排法有 种．（用数字作答）
【答案】36
【分析】根据特殊元素优先分类讨论即可.
【详解】先排B，由题意可知B能排在第3或第4或第5位的位置，
若B在第3位，则A在第2位；若B在第4位，则A在第2或第3位；
若B在第5位，则A在第2、3、4位，合计6种情况.
再排C、D、E，排完A、B后剩余3个位置，即有种，
所以共有种排法.
故答案为：36
题型五： 特殊元素的相邻问题
【典例分析】
例5-1．（2023上·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）将3名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必须站在中间，2名女生必须相邻的排法种数有（ ）
A．4种B．8种C．12种D．48种
【答案】B
【分析】根据分步乘法原理结合排列数求解即可.
【详解】先让甲站好中间位置，再让2名女生相邻有两种选法，最后再排剩余的2名男生，
根据分步乘法原理得，有种不同的排法.
故选：B
例5-2.（2023·河南·校联考模拟预测）2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（ ）
A．18种B．24种C．30种D．36种
【答案】C
【分析】分别计算丙站在左端时和丙不站在左端时的情况，即可得到答案.
【详解】当丙站在左端时，甲、丙必须相邻，其余人全排列，有种站法；
当丙不站在左端时，从丁、戊两人选一人站左边，再将甲、丙捆绑，与余下的两人全排，
有种站法，
所以一共有种不同的站法．
故选：C
【规律方法】
1.相邻元素捆绑法：相邻元素捆绑法．如果所给问题中要求某n个元素必须相邻，可将这n个元素先排好，然后将其整体看作一个元素参与排列．
2.定元、定位优先排法.
【变式训练】
变式5-1.（2023上·四川内江·高三期末）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，丙不站在两端，则不同的排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
【答案】B
【分析】采用捆绑法和特殊位置优先法，结合分步乘法计数原理可求得结果．
【详解】将甲和乙看作一个整体，有种方法，
将丁、戊和甲乙的整体首先安排到两端，则有种方法，
再安排丙和剩余的人，有有种方法，
根据分步乘法计数原理可得不同的排列方式有：种．
故选：B．
变式5-2.（2023·湖南永州·统考一模）为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为 （用数字作答）．
【答案】
【分析】利用捆绑求得正确答案.
【详解】由于《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，所以两者“捆绑”，
则不同的排列种数为种.
故答案为：
题型六： 特殊元素的不相邻问题
【典例分析】
例6-1.（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）现有4男3女共7个人排成一排照相，其中三个女生不全相邻的排法种数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用排除法，即7人的全排列减去3个女生都不相邻的情形（用插空法求三女生全不相邻的排法）.
【详解】7个人全排列诚去3个女生全部相邻的情形，即，
故选：B.
例6-2.（2023·云南曲靖·校考三模）老师排练节目需要4个男生和2个女生，将这六名学生随机排成一排，2个女生不相邻的排法为 .
【答案】
【分析】利用插空法计算可得.
【详解】若2个女生不相邻，先排4个男生有种排法，4个男生产生5个空，
将2个女生插人5个空中有种排法，故有种排法，
故答案为：
【规律方法】
不相邻问题插空法：不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置，故称“插空法”．
【变式训练】
变式6-1.（2024上·云南·高三云南省下关第一中学校联考阶段练习），，，，五名学生按任意次序站成一排，其中和不相邻，则不同的排法种数为（ ）
A．72B．36C．18D．64
【答案】A
【分析】先将其余三人全排列，利用插空法求解.
【详解】解：先将其余三人全排列，共有种情况，
再将和插空，共有种情况，
所以共有种情况，
故选：A.
变式6-2.（2023下·重庆南岸·高二重庆市广益中学校校考阶段练习）为庆祝广益中学建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有（ ）种.
A．40B．24C．20D．12
【答案】B
【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解.
【详解】由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，
先令丙、丁两人相邻用捆绑法，再把丙、丁与戊排列在一起，最后插空令甲、乙两人不相邻,则不同的排法共有种.
故选：.
题型七： 组合数性质及其应用
【典例分析】
例7-1.【多选题】（2022下·广东广州·高二统考期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的叙述证确的是（ ）
A．第9行中从左到右第6个数是126
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据杨辉三角，利用组合数的计算判断ABD，利用二项式系数的性质判断C.
【详解】对于A，第9行中从左到右第6个数是，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，由二项式系数的性质知，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：ABD.
例7-2.（2023·高三课时练习）（1）设、均为正整数，求证：；
（2）设为正整数，解不等式：.
【答案】（1）证明见解析；（2）原不等式的解集为.
【分析】（1）使用组合数公式及其性质进行证明即可；
（2）由第（1）问中结论和二项式系数和的性质化简不等式后求解即可.
【详解】（1）证明：左边右边,所以等式成立.
（2）由第（1）问中证明所得结论得，
，
∴原不等式转化为，即
当时，，
∴，，严格递增，
又∵，，
∴的取值是，，，，，，，原不等式的解集为.
【总结提升】
与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式、组合数的性质等，求解时，要注意由Ceq \\al(m,n)中的m∈N＋，n∈N＋，且n≥m确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．
【变式训练】
变式7-1.（2020下·陕西榆林·高二校考期中）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用组合数性质化简．
【详解】
.
故选：B.
变式7-2.（2021下·河北保定·高二校考阶段练习）（1）解不等式；
（2）求证：①，
②．
【答案】（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析.
【分析】(1)根据给定条件利用组合的意义及组合数计算公式化简不等式，再解不等式即可.
(2)利用组合数计算公式变形，计算推理作答.
【详解】(1)在不等式中，0≤m-1≤8，且0≤m≤8，m∈N，即有1≤m≤8，m∈N，
原不等式化为：，即，解得，则m=7或8，
所以不等式的解集为.
(2)①，
所以成立；
②因，
，
所以成立.
题型八： 实际问题中的组合问题
【典例分析】
例8-1.（2023·全国·高三专题练习）某运输公司有个车队，每个车队的车多于辆.现从这个车队中抽出辆车组成一个运输队，且每个车队至少抽辆，则不同的抽法种数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用隔板法将个空种插入个隔板，即可解决问题.
【详解】将辆车排好，辆车中间形成个空，从这个空中选个，插入隔板，
等价于将这辆车分成份，每一种插法对应一种抽法，故共有种不同的抽法，
故选：A.
例8-2.（2023上·陕西宝鸡·高三统考阶段练习）某学校为了解学生参加体育活动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取80名学生，已知该校初中部和高中部分别有250名和150名学生，则不同的抽样结果共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】A
【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案．
【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取 人，高中部共抽取人，
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种
故选：A．
【总结提升】
解答组合应用题的总体思路
①整体分类
对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算其结果时，使用分类加法计数原理．特别是“含”与“不含”某元素的计数问题．
②局部分步
整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复.计算每一类相应的结果时，使用分步乘法计数原理．
③考查顺序
区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题用组合解答，有序的问题属排列问题．
④辩证地看待“元素”与“位置”
排列组合问题中的元素与位置，要视具体情况而定，有时“定元素选位置”，有时“定位置选元素”．
⑤把实际问题抽象成组合模型
认真审题，把握问题的本质特征，抽象概括出常规的数学模型．
【变式训练】
变式8-1.（2023·全国·高三专题练习）“2020”含有两个数字0，两个数字2，“2121”含有两个数字1，两个数字2，则含有两个数字0，两个数字2的四位数的个数与含有两个数字1，两个数字2的四位数的个数之和为（ ）
A．8B．9C．10D．12
【答案】B
【分析】先求含有两个数字0，两个数字2的四位数，再求两个数字1，两个数字2的四位数，可得答案．
【详解】第一类，含有两个数字0，两个数字2的四位数的个数为；
第二类，含有两个数字1，两个数字2的四位数的个数为，由分类加法计数原理得，满足题意的四位数的个数为．故选B．
【反思】本题主要考查分类加法计数原理的应用，注意特殊元素的优先考虑，特殊位置优先安排．
变式8-2.（2023·全国·模拟预测）为了弘扬古诗文化，积累古诗词，某小学举行古诗词背诵比赛，其中五年级有6个班，前3个班每个班有50名学生，后3个班每个班有55名学生．现从每个班随机抽取3名学生参加比赛，则不同的抽取方法种数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，由组合数的计算，结合分步乘法计数原理，代入计算，即可得到结果.
【详解】从50名学生中抽取3人，有种不同的抽取方法，
从55名学生中抽取3人，有种不同的抽取方法．
因为前3个班每个班有50名学生，后3个班每个班有55名学生，
所以参加比赛的学生的抽取方法种数是．
故选:C．
题型九： 有限制条件的组合问题
【典例分析】
例9-1.（2023·江西南昌·校考模拟预测）四面体的顶点和各棱的中点共10个点．在这10点中取4个不共面的点，则不同的取法种数为（ ）
A．141B．144C．150D．155
【答案】A
【分析】求出从10个点中任取4个点的取法，减去不合题意的结果可得答案．
【详解】从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类．
第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有种；
第二类，取任一条棱上的3个点及该棱所对棱的中点，这4点共面，有6种；
第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），
它的4顶点共面，有3种．
以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有种．
故选：A．
例9-2.【多选题】（2023下·新疆喀什·高二校考期末）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
A．若任意选择三门课程，选法总数为
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为
D．若政治必须选，选法总数为
【答案】AC
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理、分类加法计数原理及排列组合，依次判断各选项，即可得解．
【详解】对于A，任意选择三门课程，选法总数为，A正确；
对于B，物理和化学至少选一门，分两类，
第一类：物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的五门中选两门，有种方法，共有种选法；
第二类：物理和化学都选有种方法，其余一门从剩余的五门中选一门，有种方法，共有种选法，
由分类加法计数原理知，选法总数为，B错误；
对于C，物理和历史不能同时选，选法总数为，C正确；
对于D，政治必须选，另两门从余下六门中任选两门，选法总数为，D错误．
故选：AC
【总结提升】
常见有限制条件的组合问题及解法
(1)特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据．
(2)含有“至多、至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解．
(3)分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解．
【变式训练】
变式9-1.（2023上·浙江宁波·高三校考阶段练习）某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（ ）
A．15B．30C．35D．42
【答案】B
【分析】由甲有两个人参加会议需要分两类，含有甲的选法、不含有甲的选法，根据分类计数原理得到结果．
【详解】由于甲有两个人参加会议需要分两类：含有甲的选法有种，不含有甲的选法有种，共有种.
故选：B
变式9-2.（2023·全国·统考高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
【答案】64
【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.
【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种；
（2）当从8门课中选修3门，
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；
综上所述：不同的选课方案共有种.
故答案为：64.
题型十： 分组分配问题
【典例分析】
例10-1.（2023下·江苏宿迁·高二统考期中）2023年3月5号是毛泽东主席提出“向雷锋同志学习”60周年纪念日，某志愿者服务队在该日安排4位志愿者到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排1人，每个志愿者都要参加活动，则不同的分配方法数是（ ）
A．8B．12C．14D．20
【答案】C
【分析】根据分组分配问题，结合排列组合即可求解.
【详解】将4名志愿者分配到两所敬老院，则由以下两种分配方案：
①一所敬老院1名志愿者，另外一所3名，则有种，
②两所敬老院各安排两名志愿者，则有种，
故共有种方案，
故选：C
例10-2.（2023上·重庆渝中·高三统考期中）为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（ ）
A．60种B．150种C．180种D．300种
【答案】B
【分析】对五位同学分3组，有两种情况，然后分类讨论各自情况种数，采用加法原理求解即可．
【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选三门德育校本课程，
每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，
①三组人数为1、1、3，此时有种；
②三组人数为2、2、1，此时有种.
所以不同的报名方法共有60＋90＝150种．
故选：B．
【总结提升】
1.分组、分配问题的求解策略
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种．
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题．
分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
2．相同元素分配问题的建模思想
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有Ceq \\al(m－1,n－1)种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．
【变式训练】
变式10-1.（2023下·云南大理·高二云南省下关第一中学校考期中）将4名学生志愿者分配到A、B、C社区参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社区，每个社区至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
【答案】C
【分析】先分组，再分配，求出分配方案.
【详解】根据题意，分2步进行分析：①将4名大学生分为3组，两组均为1人，一组为2人，
共有种分组方法，
②将分好的3组安排参加3个社区参加志愿活动，有种情况，
则有种分配方案.
故选：C.
变式10-2.（2023上·江苏南京·高三期中）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（ ）
A．120种B．240种C．360种D．720种
【答案】A
【分析】应用“隔板法”即可求解.
【详解】先在编2号,3号的盒内分别放入1个球和2个球，还剩17个小球，
三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，
插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可，共有（种）方法．
故选:A.
题型十一： 排列组合的综合应用问题
【典例分析】
例11-1.（2023·全国·统考高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种B．60种C．120种D．240种
【答案】C
【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.
【详解】首先确定相同得读物，共有种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，
根据分步乘法公式则共有种，
故选：C.
例11-2.（2023下·吉林延边·高二延边二中校考期中）有5名学生志愿者到3个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名学生只去1个小区，每个小区至少安排1名学生，则不同的安排方法为 .
【答案】150
【分析】先分组，然后排列，从而求得正确答案.
【详解】若分组为，则方法数有;
若分组为，则方法数有；
所以不同的安排方法为种.
故答案为：
【总结提升】
1.排列、组合综合问题应遵循“16字方针”即：分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合：
(1)一般思路：“先选后排”，也就是把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．
(2)注意点：①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，元素无序是组合问题，元素有序是排列问题．
②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法．
2.常用方法技巧：
①相邻问题捆绑法； ②不相邻问题插空法；
③多排问题单排法； ④定序问题倍缩法；
⑤定位问题优先法； ⑥有序分配问题分步法；
⑦多元问题分类法； ⑧交叉问题集合法；
⑨至少(或至多)问题间接法； ⑩选排问题先取后排法；
⑪局部与整体问题排除法； ⑫复杂问题转化法．
【变式训练】
变式11-1.（2023·西藏日喀则·统考一模）某国际高峰论坛会议中，组委会要从5个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，每个媒体团提问一次，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）
A．150B．90C．48D．36
【答案】A
【分析】根据题意，分2种情况讨论：①选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，②选出的3个媒体团中有两个国内媒体团，由加法原理计算可得答案．
【详解】根据题意，要求提问的三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，分2种情况讨论：
选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，有种不同的提问方式；
②选出的3个媒体团中有两个国内媒体团，则国外媒体要在中间位置发言，则有种不同的提问方式．
综上，共有种不同的提问方式，
故选：A
变式11-2.（2023·山东泰安·统考二模）用数字1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个.（用数字作答）
【答案】312
【分析】分两种情况，结合排列数和组合数公式求解.
【详解】偶数包含2，4，6，奇数包含1，3，5，7，
1.若四位数没有偶数，则都是奇数，有个；
2.若四位数有一个偶数，三个奇数，有个，
综上可知，共有个.
故答案为：312
.
一、选择题
1.（2021·全国·统考高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种B．120种C．240种D．480种
【答案】C
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C.
2.（2023上·河北邢台·高三校联考期中）现有红色、黄色、蓝色的小球各4个，每个小球上都标有不同的编号.从中任取3个小球，若这3个小球颜色不全相同，且至少有一个红色小球，不同取法有（ ）
A．160种B．220种C．256种D．472种
【答案】A
【分析】分取出的球中有1个红球、取出的球中有2个红球两种情况计算即可.
【详解】若取出的球中有1个红球，不同的取法有种；
若取出的球中有2个红球，不同的取法有种.
故不同取法有种.
故选：A.
3.（2020·山东·统考高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ）
A．12B．120C．1440D．17280
【答案】C
【分析】首先选3名男生和2名女生，再全排列，共有种不同安排方法.
【详解】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有种情况，
再分别担任5门不同学科的课代表，共有种情况.
所以共有种不同安排方法.
故选：C
4．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）5名同学到甲、乙、丙、丁四个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆且所有同学都被安排完，每个场馆至少安排1名同学，则不同的安排方法共有（ ）
A．12种B．60种C．120种D．240种
【答案】D
【分析】先分组，再分配，根据分步计数原理和组合数的运算公式，即可求解.
【详解】第一步：将5个同学分为4组，即2,1,1,1，共有种分法，
第二步：将4组分配给4个场馆，共有种分法，
所以共有种.
故选：D.
二、多选题
5.（2021下·重庆南岸·高二重庆市南坪中学校校考期中）A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ）
A．若A、B两人站在一起有48种方法
B．若A、B不相邻共有12种方法
C．若A在B左边有60种排法
D．若A不站在最左边，B不站最右边，有72种方法
【答案】AC
【分析】对于A：利用捆绑法，结合排列数运算求解；对于B：利用间接法，在总体中排除A、B两人站在一起的情况；对于C：根据对称性分析求解；对于D：利用间接法，结合组合数运算求解.
【详解】对于选项A：若A、B两人站在一起，则有种方法，故A正确；
对于选项B：A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则有种方法，
所以A、B不相邻共有种方法，故B错误；
对于选项C：根据对称可知A在B左边有种排法，故C正确；
对于选项D：A站在最左边，则有种方法，
B站最右边，则有种方法，
A站在最左边，B站最右边，则有种方法，
所以A不站在最左边，B不站最右边，有种方法，故D错误.
故选：AC
三、填空题
6．（2023·全国·模拟预测）2023年暑假，5位老师去某风景区游玩，现有“垂云通天河”、“严子陵钓台”这两处风景供选择，若每位老师只能选取其中的一处风景且每处风景最多被3位老师选择，则不同的选择方案共有 种（用数字作答）．
【答案】20
【分析】根据题意，先分组再分配，结合排列数，组合数，代入计算，即可得到结果.
【详解】依题意得，5位教师中有3位选取其中的一处风景游玩，另两位教师选择另一处风景游玩．
故可分两步：
第一步：将5位老师分为两组，一组3人，一组2人，共有种不同的分法；
第二步：将两组分配到两处风景，共有种不同的方法．
根据分步乘法计数原理，得共有种不同的选择方案．
故答案为：
7．（2023上·河南·高三河南省实验中学校考期中）若将5名志愿者安排到三个学校进行志愿服务，每人只去一个学校，每个学校至少去一人，则不同的分配方案共有 种．（用数字作答）
【答案】150
【分析】分三个学校可分得的志愿者人数分别为或两种情况，求出对应的方案数，相加即可.
【详解】由题意得，三个学校可分得的志愿者人数分别为或，
当三个学校可分得的志愿者人数分别为时，分配方案有种，
当三个学校可分得的志愿者人数分别为时，分配方案有种，
综上，不同的分配方案有种.
故答案为：150
8.（2023上·湖南·高三邵阳市第二中学校联考阶段练习）国庆节期间，四位游客自驾游来到张家界，入住某民宿，该民宿老板随机将标有数字的7张门卡中的4张分给这四位游客，每人发一张，则至多有一位游客拿到的门卡标有偶数数字的分配方案一共有 种.（用数字作答）
【答案】312
【分析】根据题意分四位游客都没有拿到偶数数字门卡和四位游客中一个拿到偶数数字门卡，三个拿到奇数数字门卡求解，然后利用加法原理可求得结果.
【详解】门卡标有偶数数字包含，奇数数字包含，
若四位游客都没有拿到偶数数字门卡共有种；
若四位游客中一个拿到偶数数字门卡，三个拿到奇数数字门卡，有种.
故共有种.
故答案为：312
9．（2022下·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）用数字1，2，3，4，5，6组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的三位数，这样的三位数一共有 个.（用数字作答）
【答案】60
【分析】分只有一个数字为偶数和没有偶数两种情况求解求和即可
【详解】分两种情况，只有一个数字为偶数有个，没有偶数有个，所以共有个．
故答案为：60
四、解答题
10.（2023·全国·高三专题练习）5个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：
(1)甲在乙前；
(2)甲在乙前，并且乙在丙前．
【答案】(1)60
(2)20
【分析】（1）根据题意，由整体法求解，即可得到结果；
（2）根据题意，由整体法求解，即可得到结果；
【详解】（1）∵5个人站成一排有种不同的排列，而甲和乙有种不同的排列，
∴在个排列中，每个排列里有1个排列，甲和乙是依照这样的顺序的．
∴由倍数映射知甲排在乙前共有种排法．
（2）∵甲、乙、丙有种不同的排列，
∴在个排列中，每个排列里有1个排列，甲、乙、丙是依照这样的顺序的．
∴由倍数映射知甲在乙前且乙在丙前的排法有种．
11.（2022·全国·高三专题练习）30030能被多少个不同偶数整除？
【答案】32
【分析】首先将分解质因数，依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，根据组合数公式计算可得；
【详解】解：先把30030分解成质因数的形式：；
依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，
所有的偶因数为个．
12．（2023·全国·高三对口高考）从10个人中选5个人分别担任5种不同的工作．
(1)甲、乙、丙三人必须当选有多少种选法？
(2)甲、乙、丙三人不能当选有多少种选法？
【答案】(1)2520
(2)2520
【分析】（1）先从剩下的人中选出人，再全排列；
（2）从除甲、乙、丙三人外的人种选出人安排到种不同的工作，即可得解.
【详解】（1）依题意，先从剩下的人中选出人，有种选法，
再将人安排到种不同的工作，则有种选法；
（2）依题意，直接从除甲、乙、丙三人外的人种选出人安排到种不同的工作，
则有种选法.