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专题11.3 二项式定理（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）
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这是一份专题11.3 二项式定理（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用），文件包含专题113二项式定理原卷版docx、专题113二项式定理解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。
【核心素养】
1.考查对二项式定理及通项公式的理解与应用，凸显逻辑推理的核心素养．
2．结合求二项展开式中的特定项及二项式系数性质的研究，考查二项式定理的应用，凸显数学运算的核心素养．
知识点一
二项式定理
1. 二项式定理
，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数 ()叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即展开式的第项；.
2．二项展开式形式上的特点
(1)项数为.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为.
(3)字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到.
(4)二项式的系数从，，一直到，.
知识点二
二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，，，.
(2)增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；由对称性知：当时，二项式系数是递减的．
当是偶数时，中间的一项取得最大值．
当是奇数时，中间两项 和相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和
的展开式的各个二项式系数的和等于，即，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即，
知识点三
二项式定理的应用
（1）求某些多项式系数的和；
（2）证明一些简单的组合恒等式；
（3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；
（4）近似计算.当充分小时，我们常用下列公式估计近似值：
①；②；
（5）证明不等式.
知识点四
杨辉三角
杨辉三角的特点
(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即Ceq \\al(r,n＋1)＝Ceq \\al(r－1,n)＋Ceq \\al(r,n)．
常考题型剖析
题型一： 求二项展开式
【典例分析】
例1-1．（2021·广东·统考模拟预测）若，则
A．60B．70C．80D．90
【答案】B
【分析】利用二项展开式化简，即可得到结果.
【详解】
∴
故选：B．
例1-2.（2023·全国·高三专题练习）展开： ．
【答案】
【分析】根据二项式定理，求出二项展开式即可.
【详解】由二项展开式可得，
.
故答案为：
【总结提升】
【变式训练】
变式1-1．（2024·浙江温州·统考一模） .
【答案】82
【分析】用二项式定理展开，注意合并相反项再求和.
【详解】
可得两式和的结果为82，
故答案为：82
变式1-2.（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期中）若（，为有理数），则等于 ．
【答案】5
【分析】将展开，即可求出、的值，即可得解.
【详解】∵，
又∵，为有理数，∴，．∴．
故答案为：
题型二：求展开式的指定项（系数）
【典例分析】
例2-1.（2023北京高考真题）的展开式中的系数为（ ）．
A．B．C．40D．80
【答案】D
【分析】写出的展开式的通项即可
【详解】的展开式的通项为
令得
所以的展开式中的系数为
故选：D
例2-2.（2020·全国·高考真题（理））的展开式中常数项是__________（用数字作答）．
【答案】
【分析】写出二项式展开通项，即可求得常数项.
【详解】
其二项式展开通项：
当，解得
的展开式中常数项是：.
故答案为：.
【总结提升】
二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等；
2.求二项展开式中的特定项的关键点：
①求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)an－rbr(r＝0,1,2，…，n)求通项．
②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．
③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．
【变式训练】
变式2-1.（2019·浙江·高考真题）在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.
【答案】
【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察的幂指数，使问题得解.
【详解】的通项为
可得常数项为，
因系数为有理数，，有共5个项
变式2-2.（2022天津高考真题）在的展开式中，项的系数为 ．
【答案】
【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可.
【详解】展开式的通项公式，
令可得，，
则项的系数为.
故答案为：60.
题型三： 求展开式指定项系数
【典例分析】
例3-1.（2020·全国·统考高考真题）的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5B．10
C．15D．20
【答案】C
【分析】求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.
【详解】展开式的通项公式为（且）
所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：
和
在中，令，可得：，该项中的系数为，
在中，令，可得：，该项中的系数为
所以的系数为
故选：C
例3-2.（2022·全国·统考高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
【答案】-28
【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
【总结提升】
1.求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2；
(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．
2. 求几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题，可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可．
【变式训练】
变式3-1.（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）的展开式中含项的系数为 .
【答案】
【分析】先对第一个括号中选取单项式进行分类，然后再在每一类中分步，结合计数原理以及组合数即可求解.
【详解】要得到的展开式中含有的项，分以下两种情形：
情形一：先在第一个括号中选取“”，然后在后面四个括号中选取3个“”和1个“”，
由分步乘法计数原理可知此时“”的系数为；
情形二：先在第一个括号中选取“”，然后在后面四个括号中选取2个“”和2个“”，
由分步乘法计数原理可知此时“”的系数为.
综上所述：由分类加法计数原理可知的展开式中含项的系数为.
故答案为：.
变式3-2.（2022·河北石家庄·统考二模）在的展开式中的系数为 .
【答案】6
【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数．
【详解】，
展开式中含的项为
故它的展开式中的系数为6，
故答案为：6
题型四： 形如的展开式问题
【典例分析】
例4-1．（2022上·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考阶段练习）的展开式中，共有多少项？（ ）
A．45B．36C．28D．21
【答案】A
【分析】按照展开式项含有字母个数分类，即可求出项数．
【详解】当展开式的项只含有1个字母时，有3项，
当展开式的项只含有2个字母时，有项，
当展开式的项含有3个字母时，有项，
∴的展开式共有45项.
故选:A．
例4-2.（2021上·广东·高三统考阶段练习）的展开式中，项的系数为 ．
【答案】210
【分析】先把用二项展开式写出，再从中寻找含的项.
【详解】因为
所以含有项的为.
所以的展开式中，含项的系数为210.
故答案为：210.
【规律方法】
1．求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的方法
2.逐层展开法的求解步骤：
【变式训练】
变式4-1.（2022上·广东深圳·高三校联考阶段练习）下列各式中，不是的展开式中的项是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意多项式展开式中，有一个因式选，有2个因式选，其余的2个因式选，有1个因式选，剩下的3个因式选，分别计算所得项，即可得到结果.
【详解】表示4个因式的乘积，在这4个因式中，有一个因式选，其余的3个因式选，所得的项为，所以是的展开式中的项，在这4个因式中，有2个因式选，其余的2个因式选，所得的项为，所以是的展开式中的项，在这4个因式中，有1个因式选，剩下的3个因式选，所得的项为，所以是的展开式中的项，在这4个因式中，有2个因式选，其余的2个因式中有一个选，剩下的一个因式选，所得的项为，所以不是的展开式中的项.
故选:D.
变式4-2．（2017·辽宁·统考一模）的展开式共（ ）
A．10项B．15项C．20项D．21项
【答案】B
【分析】根据二项式定理的展开式项数即可得出结论.
【详解】∵，
由二项式定理可知，展示式中共有项，
∴的展开式共有项.
故选：B．
题型五： 根据二项展开式的项求值
【典例分析】
例5-1．（2023·四川泸州·统考二模）已知的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【分析】首先写出二项式展开的通式，根据题意存在常数项，可得，进而得到的可能取值.
【详解】二项式的展开式的通项为，
令，即，由于，故必为的倍数，即的可能取值为.
故选：C
例5-2.（2023·全国·模拟预测）的展开式中不含项，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由二项展开式的通项公式求解即可.
【详解】的展开式的通项公式为，因为的展开式中不含项，所以，解得，
故选：C．
【规律方法】
已知展开式的某项或其系数求参数，可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．
【变式训练】
变式5-1.（2023上·北京·高三北京市第十三中学校考期中）已知的展开式中，的系数为80，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】利用二项展开式的通项，由指定项的系数，求的值.
【详解】展开式的通项为，
当，有，则展开式中的系数为，
所以，解得.
故选：B
变式5-2.（2023·全国·模拟预测）若的展开式中含有项，则n的值可以是 （写出满足条件的一个值即可）.
【答案】7（答案不唯一）
【分析】根据二项式定理写出展开式的通项为，然后由已知得出.
【详解】的展开式的第项为.
当时，.
故可取，此时（答案不唯一）.
故答案为：7.
题型六： 二项式系数的和与各项的系数和问题
【典例分析】
例6-1.【多选题】（2023上·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．第6项的二项式系数最大B．第6项的系数最大
C．所有项的二项式系数之和为D．所有项的系数之和为1
【答案】ACD
【分析】由系数和二项式的系数的性质可判断A，B，C；由赋值可判断D.
【详解】通项公式为，，
其二项式系数为，二项式的展开式共项，中间项的二项式系数最大，
故第6项的二项式系数是最大的，故A正确；
二项式系数和为，所以C正确；
令得所有项的系数和为1，故D正确；
因为展开式中第六项的系数为负数，所以第六项的系数不可能为最大，故B选项错误，
故选：ACD.
例6-2.（2023上·广西河池·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）在的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之和为 ．
【答案】729/
【分析】根据二项式系数之和求出n的值，进而设出各项的系数，然后采用赋值法即可求得答案.
【详解】由题意的二项式中，所有的二项式系数之和为64，
即，
设的各项的系数为，
则各项的系数的绝对值之和为，
即为中各项的系数的和，
令，，
即各项的系数的绝对值之和为，
故答案为：729
【规律方法】
赋值法在求各项系数和中的应用
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．
(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)．
①奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝.
②偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
【变式训练】
变式6-1.（2023上·江苏常州·高三常州高级中学校考开学考试）设，已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，且展开式中所有项的系数和为256，则中的系数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得到和，再根据项的取法为1个和1个再计算即可.
【详解】因为的展开式中只有第5项的二项式系数最大，
所以展开式一共有项，即，
令，得展开式中所有项的系数和为，所以，
中项的取法为1个和1个，
所以系数为.
故选：C
变式6-2.（2022下·福建泉州·高二泉州市城东中学校考期中）若，且，则实数的值可以为（ ）
A．1或B．C．或3D．
【答案】A
【分析】利用赋值法，分别令，和，
，
，
再根据，求得的值．
【详解】在中，
令可得，即，
令，可得，
∵，
∴，
∴，
整理得，
解得，或．
故选：A
题型七： 二项式系数的增减性及最值
【典例分析】
例7-1.（2023下·陕西宝鸡·高二统考期末）若的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项
【答案】C
【分析】根据二项展开式可知，计算出，即可知二项式系数最大为，即为第6项.
【详解】由二项式定理可得第3项与第9项的系数分别为和，
即，由二项式系数性质可得；
因此展开式中二项式系数最大的项为，是第6项.
故选：C
例7-2.（2023·全国·高三专题练习）在（）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的值不可能是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【分析】由题意，利用二项式系数的性质，求得的值．
【详解】当时，的展开式有8项，的展开式中二项式系数最大，
即第四项和第五项的二项式系数最大；
当时，的展开式有9项，的展开式中二项式系数最大，
即第五项的二项式系数最大；
当时，的展开式有10项，的展开式中二项式系数最大，
即第五项和第六项的二项式系数最大.
当时，的展开式有11项，的展开式中二项式系数最大，
即第六项的二项式系数最大.
故选：D．
【总结提升】
1．二项式系数最大项的确定方法
(1)如果n是偶数，则中间一项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n,2)＋1项))的二项式系数最大；
(2)如果n是奇数，则中间两项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n＋1,2)项与第\f(n＋1,2)＋1项))的二项式系数相等并最大．
2．展开式系数最大值的两种求解思路
(1)由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ak≥ak－1，,ak≥ak＋1))即可求得答案．
(2)由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值．
【变式训练】
变式7-1.（2023·四川雅安·统考一模）的展开式中，系数最小的项是（ ）
A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项
【答案】C
【分析】利用二项式定理求得的展开通项公式，结合二项式系数的性质即可得解.
【详解】依题意，的展开通项公式为，其系数为，
当为奇数时，才能取得最小值，
又由二项式系数的性质可知，是的最大项，
所以当时，取得最小值，即第6项的系数最小.
故选：C．
变式7-2.（2023上·海南儋州·高三海南省洋浦中学校考阶段练习）若的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的项为 .
【答案】
【分析】由只有第5项的二项式系数最大得，再利用通项求解展开式中的项即可.
【详解】由题意，只有第5项的二项式系数最大知，
展开式中有共项，则，
所以的展开式的通项为
，
令，解得，
故展开式中的项为.
故答案为：.
题型八： 比较一些数值的大小
【典例分析】
例8-1.（2023下·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）已知，，，则下列排序正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先直接计算得的值，构造函数，利用导数研究其单调性得到，再利用二项式定理求得的值，从而得解.
【详解】因为，，
令，则，
故在上单调递减，
所以，即，故，
因为
，
所以，即.
故选：A.
例8-2.（2022上·江苏苏州·高三校联考阶段练习）设，（e是自然对数的底数），则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先构造函数得到，判断出.由二项式定理判断出，比较出a、b；对于a、c，构造函数，利用单调性证明出.
即可得到答案.
【详解】记，则，所以在上单调递减，所以，所以在上，所以.
又单调递增，所以
所以，即.
而由二项式定理得：.
对于a、c，由，.
记，则，
所以在上单调递增，所以.所以，所以.
综上所述：.
故选：C
【总结提升】
比较大小：
（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；
（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较；
（3）根据式子结构，构造新函数，利用导数判断单调性，比较大小.
【变式训练】
变式8-1.（2023·湖南株洲·统考一模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对数运算以及作差法，整理代数式，构造函数，利用函数单调性，可得的大小关系；根据二项式定理以及中间值法，整理，可得答案.
【详解】由，，则，
令，，
当时，，则单调递增，即，
故，可得，即；
由，
且，则，即.
综上，.
故选：C.
变式8-2.（2023·全国·校联考模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通过将，变形，构造函数比较，，将泰勒展开，再与进行比较即可.
【详解】由已知，，，
设，，
则，
其中，
令，则，
当时，，∴在上单调递减，，
∴当时，，， 在上单调递增，
∴，即，∴有.
对于与，，
将泰勒展开，得，
，
∴.
综上所述，，，的大小关系为.
故选：C.
题型九： 二项式定理的其它应用
【典例分析】
例9-1.（2023·北京西城·统考二模）某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据二项式定理即可估算近似值.
【详解】由题意可知
故选：C
例9-2.（2023上·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）若的展开式中第4项是常数项，则除以9的余数为 ．
【答案】1
【分析】利用二项定理可得答案.
【详解】由题知，，
因第4项为常数项，所以当时，，所以，
则
，
所以除以9的余数为，
而
，
1除以9的余数为1，所以被9除余1．
故答案为：1.
【总结提升】
1.二项式定理应用的常见题型及求解策略
（1）逆用二项式定理的关键是根据所给式的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．
（2）利用二项式定理解决整除问题的思路：①观察除式与被除式间的关系；②将被除式拆成二项式；③结合二项式定理得出结论．
（3） 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.
2.特别提醒:
（1）分清是第项，而不是第项.
（2）在通项公式中，含有、、、、、这六个参数，只有、、、是独立的，在未知、的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出、,然后代入通项公式求解.
（3）求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出，再求所需的某项；有时则需先求,计算时要注意和的取值范围以及 它们之间的大小关系.
（4）在中，就是该项的二项式系数，它与，的值无关；而项的系数是指化简后字母外的数．
（5）在应用通项公式时，要注意以下几点：
①它表示二项展开式的任意项，只要与确定，该项就随之确定；
②是展开式中的第项，而不是第项；
③公式中，，的指数和为且，不能随便颠倒位置；
④对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题．
= 5 \* GB3 ⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．
【变式训练】
变式9-1.（2023上·广东广州·高三统考阶段练习）已知，若，则T被6除所得的余数为 .
【答案】5
【分析】赋值法求得，应用二项式定理展开式即可判断T被6除所得的余数.
【详解】令，则，
而，
所以部分可被6整除，且，
所以T被6除所得的余数为5.
故答案为：5
变式9-2.（2022·江苏连云港·统考二模）某公司2021年实现利润100万元，计划在以后5年中每年比一年利润增长8%，则2026年的利润是 万元.（结果精确到1万元）
【答案】147
【分析】根据题意得出含指数的利润表达式，利用二项式定理求近似值即可，
【详解】由题意可知， (万元)，即2026年的利润大约是147万元.
故答案为：147
题型十： 杨辉三角及其应用
【典例分析】
例10-1.【多选题】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ）
A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：
B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：
C．由“第行所有数之和为”猜想：
D．由“，，”猜想
【答案】ABC
【解析】
由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A、B、C正确；
，故D错误.
故选：ABC.
例10-2.（2023·安徽黄山·统考二模）如图给出的三角形数阵，图中虚线上的数、、、、，依次构成数列，则 .
【答案】
【分析】由杨辉三角与二项系数的关系可得出，再利用裂项相消法可求得所求代数式的值.
【详解】由杨辉三角与二项式系数的关系可知，，，，
所以，，所以，
所以，.
故答案为：.
【总结提升】
1.分组、分配问题的求解策略
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种．
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题．
分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
2．相同元素分配问题的建模思想
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有Ceq \\al(m－1,n－1)种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．
【变式训练】
变式10-1.【多选题】（2023·海南·海南中学校考三模）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲发现早年左右.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第行的为第行中两个的和.则下列命题中正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是
B．由“第行所有数之和为”猜想：
C．
D．存在，使得为等差数列
【答案】BCD
【分析】根据杨辉三角的特征即可判断A，根据二项式系数和的性质即可判断B，根据组合数的性质即可求解C，根据等差数列的定义即可求解D.
【详解】对于A，在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是，A错；
对于B，由二项式系数的性质知，B对；
对于C，由于故C正确；
对于D，取，则，
因为，所以数列为公差为的等差数列，D对.
故选：BCD.
变式10-2.（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为 （用最简分数表示）.
【答案】
【分析】第行从左至右依次为，由二项式系数性质可得答案.
【详解】观察知第行从左至右依次为，
由二项式系数的性质可得最大，其次为，
所以第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为.
故答案为：.
.
一、选择题
1.（2020·北京·统考高考真题）在的展开式中，的系数为（ ）．
A．B．5C．D．10
【答案】C
【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.
【详解】展开式的通项公式为：，
令可得：，则的系数为：.
故选：C.
2．（2022·北京·统考高考真题）若，则（ ）
A．40B．41C．D．
【答案】B
【分析】利用赋值法可求的值.
【详解】令，则，
令，则，
故，
故选：B.
3．（2023·全国·模拟预测）若的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则的展开式中的常数项为（ ）
A．6B．8C．28D．56
【答案】C
【分析】根据的展开式中所有项的二项式系数之和求出n的值，从而写出的展开式的通项公式，再令x的指数为0，即可求解常数项．
【详解】由的展开式中所有项的二项式系数之和为16，得，所以，
则二项式的展开式的通项公式为（且），
令，解得，
所以，故的展开式中的常数项为28，
故选：C．
4．（2023·河南郑州·统考模拟预测）的展开式中的常数项与展开式中的常数项相等，则的值为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【分析】计算出两个二项式的常数项，从而得到关于的方程，解出即可.
【详解】的展开式中的常数项为，
展开式中的常数项,
所以,即,
故选：D.
5.（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的项的系数为（ ）
A．―4B．84C．―280D．560
【答案】B
【分析】根据二项式系数的性质求得，再根据二项式展开的通项即可求得指定项的系数.
【详解】因为的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以．则
又因为的展开式的通项公式为，
令，所以展开式中的项的系数为．
故选：B.
6．（2023上·浙江·高三浙江省富阳中学校联考阶段练习）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中所选数1，构成的数列的第项，则的值为（ ）
A．252B．426C．462D．924
【答案】C
【分析】根据题意，结合数字的构成规律，得到即第11行的第项，结合二项展开式的二项式系数的性质，即可求解.
【详解】由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中所选数，构成的数列的第项，
根据数字的构成规律，可得数列的奇数项为每行数列的项，偶数项为每行的第项，
则即第11行的第项，
结合二项展开式的二项式系数的性质，可得.
故选：C.
二、多选题
7.（2023下·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项是B．各项系数和为
C．第5项二项式系数最大D．奇数项二项式系数和为32
【答案】BD
【分析】根据二项式理及二项式系数的性质逐项判断即可.
【详解】二项式的展开式的通项为
当时，得常数项为，故A不正确；
当时，可得展开式各项系数和为，故B正确；
由于，则二项式系数最大为为展开式的第4项，故C不正确；
奇数项二项式系数和为，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
8.（2022·浙江·统考高考真题）已知多项式，则 ， ．
【答案】
【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令求出，再令即可得出答案．
【详解】含的项为：，故；
令，即，
令，即，
∴，
故答案为：；．
9.（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）的展开式的第4项是 .
【答案】
【分析】利用二项式的通项公式写出第4项即可.
【详解】由题设，二项式展开式通项为，
第4项为.
故答案为：
10．（2023·全国·模拟预测）在的展开式中，第7项为常数，则 ，最大的二项式系数是 ．
【答案】 8 70
【分析】根据通项公式，结合第7项为常数可解得n，然后由二项式系数的性质可得.
【详解】，
∴，解得．∴最大的二项式系数为．
故答案为：8；70
11．（2023上·重庆·高三重庆一中校考开学考试）已知，则 .
【答案】
【分析】先利用二项式展开式的通项求出，然后利用二项式系数的性质即可求解.
【详解】由于，
所以展开式的通项为，
又，
所以，
所以由二项式系数的对称性知，
所以.
故答案为：.
四、解答题
12．（2023·全国·高三专题练习）求证：.
【答案】证明见解析
【分析】运用二项式的展开式，结合组合数公式，利用放缩法、裂项相消法进行证明即可.
【详解】证明：对任意的且，
有
，
又因为，故，从而有.
【核心素养】
1.考查对二项式定理及通项公式的理解与应用，凸显逻辑推理的核心素养．
2．结合求二项展开式中的特定项及二项式系数性质的研究，考查二项式定理的应用，凸显数学运算的核心素养．
知识点一
二项式定理
1. 二项式定理
，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数 ()叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即展开式的第项；.
2．二项展开式形式上的特点
(1)项数为.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为.
(3)字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到.
(4)二项式的系数从，，一直到，.
知识点二
二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，，，.
(2)增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；由对称性知：当时，二项式系数是递减的．
当是偶数时，中间的一项取得最大值．
当是奇数时，中间两项 和相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和
的展开式的各个二项式系数的和等于，即，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即，
知识点三
二项式定理的应用
（1）求某些多项式系数的和；
（2）证明一些简单的组合恒等式；
（3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；
（4）近似计算.当充分小时，我们常用下列公式估计近似值：
①；②；
（5）证明不等式.
知识点四
杨辉三角
杨辉三角的特点
(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即Ceq \\al(r,n＋1)＝Ceq \\al(r－1,n)＋Ceq \\al(r,n)．
常考题型剖析
题型一： 求二项展开式
【典例分析】
例1-1．（2021·广东·统考模拟预测）若，则
A．60B．70C．80D．90
【答案】B
【分析】利用二项展开式化简，即可得到结果.
【详解】
∴
故选：B．
例1-2.（2023·全国·高三专题练习）展开： ．
【答案】
【分析】根据二项式定理，求出二项展开式即可.
【详解】由二项展开式可得，
.
故答案为：
【总结提升】
【变式训练】
变式1-1．（2024·浙江温州·统考一模） .
【答案】82
【分析】用二项式定理展开，注意合并相反项再求和.
【详解】
可得两式和的结果为82，
故答案为：82
变式1-2.（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期中）若（，为有理数），则等于 ．
【答案】5
【分析】将展开，即可求出、的值，即可得解.
【详解】∵，
又∵，为有理数，∴，．∴．
故答案为：
题型二：求展开式的指定项（系数）
【典例分析】
例2-1.（2023北京高考真题）的展开式中的系数为（ ）．
A．B．C．40D．80
【答案】D
【分析】写出的展开式的通项即可
【详解】的展开式的通项为
令得
所以的展开式中的系数为
故选：D
例2-2.（2020·全国·高考真题（理））的展开式中常数项是__________（用数字作答）．
【答案】
【分析】写出二项式展开通项，即可求得常数项.
【详解】
其二项式展开通项：
当，解得
的展开式中常数项是：.
故答案为：.
【总结提升】
二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等；
2.求二项展开式中的特定项的关键点：
①求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)an－rbr(r＝0,1,2，…，n)求通项．
②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．
③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．
【变式训练】
变式2-1.（2019·浙江·高考真题）在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.
【答案】
【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察的幂指数，使问题得解.
【详解】的通项为
可得常数项为，
因系数为有理数，，有共5个项
变式2-2.（2022天津高考真题）在的展开式中，项的系数为 ．
【答案】
【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可.
【详解】展开式的通项公式，
令可得，，
则项的系数为.
故答案为：60.
题型三： 求展开式指定项系数
【典例分析】
例3-1.（2020·全国·统考高考真题）的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5B．10
C．15D．20
【答案】C
【分析】求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.
【详解】展开式的通项公式为（且）
所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：
和
在中，令，可得：，该项中的系数为，
在中，令，可得：，该项中的系数为
所以的系数为
故选：C
例3-2.（2022·全国·统考高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
【答案】-28
【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
【总结提升】
1.求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2；
(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．
2. 求几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题，可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可．
【变式训练】
变式3-1.（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）的展开式中含项的系数为 .
【答案】
【分析】先对第一个括号中选取单项式进行分类，然后再在每一类中分步，结合计数原理以及组合数即可求解.
【详解】要得到的展开式中含有的项，分以下两种情形：
情形一：先在第一个括号中选取“”，然后在后面四个括号中选取3个“”和1个“”，
由分步乘法计数原理可知此时“”的系数为；
情形二：先在第一个括号中选取“”，然后在后面四个括号中选取2个“”和2个“”，
由分步乘法计数原理可知此时“”的系数为.
综上所述：由分类加法计数原理可知的展开式中含项的系数为.
故答案为：.
变式3-2.（2022·河北石家庄·统考二模）在的展开式中的系数为 .
【答案】6
【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数．
【详解】，
展开式中含的项为
故它的展开式中的系数为6，
故答案为：6
题型四： 形如的展开式问题
【典例分析】
例4-1．（2022上·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考阶段练习）的展开式中，共有多少项？（ ）
A．45B．36C．28D．21
【答案】A
【分析】按照展开式项含有字母个数分类，即可求出项数．
【详解】当展开式的项只含有1个字母时，有3项，
当展开式的项只含有2个字母时，有项，
当展开式的项含有3个字母时，有项，
∴的展开式共有45项.
故选:A．
例4-2.（2021上·广东·高三统考阶段练习）的展开式中，项的系数为 ．
【答案】210
【分析】先把用二项展开式写出，再从中寻找含的项.
【详解】因为
所以含有项的为.
所以的展开式中，含项的系数为210.
故答案为：210.
【规律方法】
1．求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的方法
2.逐层展开法的求解步骤：
【变式训练】
变式4-1.（2022上·广东深圳·高三校联考阶段练习）下列各式中，不是的展开式中的项是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意多项式展开式中，有一个因式选，有2个因式选，其余的2个因式选，有1个因式选，剩下的3个因式选，分别计算所得项，即可得到结果.
【详解】表示4个因式的乘积，在这4个因式中，有一个因式选，其余的3个因式选，所得的项为，所以是的展开式中的项，在这4个因式中，有2个因式选，其余的2个因式选，所得的项为，所以是的展开式中的项，在这4个因式中，有1个因式选，剩下的3个因式选，所得的项为，所以是的展开式中的项，在这4个因式中，有2个因式选，其余的2个因式中有一个选，剩下的一个因式选，所得的项为，所以不是的展开式中的项.
故选:D.
变式4-2．（2017·辽宁·统考一模）的展开式共（ ）
A．10项B．15项C．20项D．21项
【答案】B
【分析】根据二项式定理的展开式项数即可得出结论.
【详解】∵，
由二项式定理可知，展示式中共有项，
∴的展开式共有项.
故选：B．
题型五： 根据二项展开式的项求值
【典例分析】
例5-1．（2023·四川泸州·统考二模）已知的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【分析】首先写出二项式展开的通式，根据题意存在常数项，可得，进而得到的可能取值.
【详解】二项式的展开式的通项为，
令，即，由于，故必为的倍数，即的可能取值为.
故选：C
例5-2.（2023·全国·模拟预测）的展开式中不含项，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由二项展开式的通项公式求解即可.
【详解】的展开式的通项公式为，因为的展开式中不含项，所以，解得，
故选：C．
【规律方法】
已知展开式的某项或其系数求参数，可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．
【变式训练】
变式5-1.（2023上·北京·高三北京市第十三中学校考期中）已知的展开式中，的系数为80，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】利用二项展开式的通项，由指定项的系数，求的值.
【详解】展开式的通项为，
当，有，则展开式中的系数为，
所以，解得.
故选：B
变式5-2.（2023·全国·模拟预测）若的展开式中含有项，则n的值可以是 （写出满足条件的一个值即可）.
【答案】7（答案不唯一）
【分析】根据二项式定理写出展开式的通项为，然后由已知得出.
【详解】的展开式的第项为.
当时，.
故可取，此时（答案不唯一）.
故答案为：7.
题型六： 二项式系数的和与各项的系数和问题
【典例分析】
例6-1.【多选题】（2023上·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．第6项的二项式系数最大B．第6项的系数最大
C．所有项的二项式系数之和为D．所有项的系数之和为1
【答案】ACD
【分析】由系数和二项式的系数的性质可判断A，B，C；由赋值可判断D.
【详解】通项公式为，，
其二项式系数为，二项式的展开式共项，中间项的二项式系数最大，
故第6项的二项式系数是最大的，故A正确；
二项式系数和为，所以C正确；
令得所有项的系数和为1，故D正确；
因为展开式中第六项的系数为负数，所以第六项的系数不可能为最大，故B选项错误，
故选：ACD.
例6-2.（2023上·广西河池·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）在的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之和为 ．
【答案】729/
【分析】根据二项式系数之和求出n的值，进而设出各项的系数，然后采用赋值法即可求得答案.
【详解】由题意的二项式中，所有的二项式系数之和为64，
即，
设的各项的系数为，
则各项的系数的绝对值之和为，
即为中各项的系数的和，
令，，
即各项的系数的绝对值之和为，
故答案为：729
【规律方法】
赋值法在求各项系数和中的应用
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．
(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)．
①奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝.
②偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
【变式训练】
变式6-1.（2023上·江苏常州·高三常州高级中学校考开学考试）设，已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，且展开式中所有项的系数和为256，则中的系数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得到和，再根据项的取法为1个和1个再计算即可.
【详解】因为的展开式中只有第5项的二项式系数最大，
所以展开式一共有项，即，
令，得展开式中所有项的系数和为，所以，
中项的取法为1个和1个，
所以系数为.
故选：C
变式6-2.（2022下·福建泉州·高二泉州市城东中学校考期中）若，且，则实数的值可以为（ ）
A．1或B．C．或3D．
【答案】A
【分析】利用赋值法，分别令，和，
，
，
再根据，求得的值．
【详解】在中，
令可得，即，
令，可得，
∵，
∴，
∴，
整理得，
解得，或．
故选：A
题型七： 二项式系数的增减性及最值
【典例分析】
例7-1.（2023下·陕西宝鸡·高二统考期末）若的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项
【答案】C
【分析】根据二项展开式可知，计算出，即可知二项式系数最大为，即为第6项.
【详解】由二项式定理可得第3项与第9项的系数分别为和，
即，由二项式系数性质可得；
因此展开式中二项式系数最大的项为，是第6项.
故选：C
例7-2.（2023·全国·高三专题练习）在（）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的值不可能是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【分析】由题意，利用二项式系数的性质，求得的值．
【详解】当时，的展开式有8项，的展开式中二项式系数最大，
即第四项和第五项的二项式系数最大；
当时，的展开式有9项，的展开式中二项式系数最大，
即第五项的二项式系数最大；
当时，的展开式有10项，的展开式中二项式系数最大，
即第五项和第六项的二项式系数最大.
当时，的展开式有11项，的展开式中二项式系数最大，
即第六项的二项式系数最大.
故选：D．
【总结提升】
1．二项式系数最大项的确定方法
(1)如果n是偶数，则中间一项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n,2)＋1项))的二项式系数最大；
(2)如果n是奇数，则中间两项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n＋1,2)项与第\f(n＋1,2)＋1项))的二项式系数相等并最大．
2．展开式系数最大值的两种求解思路
(1)由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ak≥ak－1，,ak≥ak＋1))即可求得答案．
(2)由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值．
【变式训练】
变式7-1.（2023·四川雅安·统考一模）的展开式中，系数最小的项是（ ）
A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项
【答案】C
【分析】利用二项式定理求得的展开通项公式，结合二项式系数的性质即可得解.
【详解】依题意，的展开通项公式为，其系数为，
当为奇数时，才能取得最小值，
又由二项式系数的性质可知，是的最大项，
所以当时，取得最小值，即第6项的系数最小.
故选：C．
变式7-2.（2023上·海南儋州·高三海南省洋浦中学校考阶段练习）若的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的项为 .
【答案】
【分析】由只有第5项的二项式系数最大得，再利用通项求解展开式中的项即可.
【详解】由题意，只有第5项的二项式系数最大知，
展开式中有共项，则，
所以的展开式的通项为
，
令，解得，
故展开式中的项为.
故答案为：.
题型八： 比较一些数值的大小
【典例分析】
例8-1.（2023下·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）已知，，，则下列排序正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先直接计算得的值，构造函数，利用导数研究其单调性得到，再利用二项式定理求得的值，从而得解.
【详解】因为，，
令，则，
故在上单调递减，
所以，即，故，
因为
，
所以，即.
故选：A.
例8-2.（2022上·江苏苏州·高三校联考阶段练习）设，（e是自然对数的底数），则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先构造函数得到，判断出.由二项式定理判断出，比较出a、b；对于a、c，构造函数，利用单调性证明出.
即可得到答案.
【详解】记，则，所以在上单调递减，所以，所以在上，所以.
又单调递增，所以
所以，即.
而由二项式定理得：.
对于a、c，由，.
记，则，
所以在上单调递增，所以.所以，所以.
综上所述：.
故选：C
【总结提升】
比较大小：
（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；
（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较；
（3）根据式子结构，构造新函数，利用导数判断单调性，比较大小.
【变式训练】
变式8-1.（2023·湖南株洲·统考一模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对数运算以及作差法，整理代数式，构造函数，利用函数单调性，可得的大小关系；根据二项式定理以及中间值法，整理，可得答案.
【详解】由，，则，
令，，
当时，，则单调递增，即，
故，可得，即；
由，
且，则，即.
综上，.
故选：C.
变式8-2.（2023·全国·校联考模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通过将，变形，构造函数比较，，将泰勒展开，再与进行比较即可.
【详解】由已知，，，
设，，
则，
其中，
令，则，
当时，，∴在上单调递减，，
∴当时，，， 在上单调递增，
∴，即，∴有.
对于与，，
将泰勒展开，得，
，
∴.
综上所述，，，的大小关系为.
故选：C.
题型九： 二项式定理的其它应用
【典例分析】
例9-1.（2023·北京西城·统考二模）某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据二项式定理即可估算近似值.
【详解】由题意可知
故选：C
例9-2.（2023上·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）若的展开式中第4项是常数项，则除以9的余数为 ．
【答案】1
【分析】利用二项定理可得答案.
【详解】由题知，，
因第4项为常数项，所以当时，，所以，
则
，
所以除以9的余数为，
而
，
1除以9的余数为1，所以被9除余1．
故答案为：1.
【总结提升】
1.二项式定理应用的常见题型及求解策略
（1）逆用二项式定理的关键是根据所给式的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．
（2）利用二项式定理解决整除问题的思路：①观察除式与被除式间的关系；②将被除式拆成二项式；③结合二项式定理得出结论．
（3） 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.
2.特别提醒:
（1）分清是第项，而不是第项.
（2）在通项公式中，含有、、、、、这六个参数，只有、、、是独立的，在未知、的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出、,然后代入通项公式求解.
（3）求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出，再求所需的某项；有时则需先求,计算时要注意和的取值范围以及 它们之间的大小关系.
（4）在中，就是该项的二项式系数，它与，的值无关；而项的系数是指化简后字母外的数．
（5）在应用通项公式时，要注意以下几点：
①它表示二项展开式的任意项，只要与确定，该项就随之确定；
②是展开式中的第项，而不是第项；
③公式中，，的指数和为且，不能随便颠倒位置；
④对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题．
= 5 \* GB3 ⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．
【变式训练】
变式9-1.（2023上·广东广州·高三统考阶段练习）已知，若，则T被6除所得的余数为 .
【答案】5
【分析】赋值法求得，应用二项式定理展开式即可判断T被6除所得的余数.
【详解】令，则，
而，
所以部分可被6整除，且，
所以T被6除所得的余数为5.
故答案为：5
变式9-2.（2022·江苏连云港·统考二模）某公司2021年实现利润100万元，计划在以后5年中每年比一年利润增长8%，则2026年的利润是 万元.（结果精确到1万元）
【答案】147
【分析】根据题意得出含指数的利润表达式，利用二项式定理求近似值即可，
【详解】由题意可知， (万元)，即2026年的利润大约是147万元.
故答案为：147
题型十： 杨辉三角及其应用
【典例分析】
例10-1.【多选题】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ）
A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：
B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：
C．由“第行所有数之和为”猜想：
D．由“，，”猜想
【答案】ABC
【解析】
由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A、B、C正确；
，故D错误.
故选：ABC.
例10-2.（2023·安徽黄山·统考二模）如图给出的三角形数阵，图中虚线上的数、、、、，依次构成数列，则 .
【答案】
【分析】由杨辉三角与二项系数的关系可得出，再利用裂项相消法可求得所求代数式的值.
【详解】由杨辉三角与二项式系数的关系可知，，，，
所以，，所以，
所以，.
故答案为：.
【总结提升】
1.分组、分配问题的求解策略
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种．
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题．
分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
2．相同元素分配问题的建模思想
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有Ceq \\al(m－1,n－1)种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．
【变式训练】
变式10-1.【多选题】（2023·海南·海南中学校考三模）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲发现早年左右.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第行的为第行中两个的和.则下列命题中正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是
B．由“第行所有数之和为”猜想：
C．
D．存在，使得为等差数列
【答案】BCD
【分析】根据杨辉三角的特征即可判断A，根据二项式系数和的性质即可判断B，根据组合数的性质即可求解C，根据等差数列的定义即可求解D.
【详解】对于A，在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是，A错；
对于B，由二项式系数的性质知，B对；
对于C，由于故C正确；
对于D，取，则，
因为，所以数列为公差为的等差数列，D对.
故选：BCD.
变式10-2.（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为 （用最简分数表示）.
【答案】
【分析】第行从左至右依次为，由二项式系数性质可得答案.
【详解】观察知第行从左至右依次为，
由二项式系数的性质可得最大，其次为，
所以第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为.
故答案为：.
.
一、选择题
1.（2020·北京·统考高考真题）在的展开式中，的系数为（ ）．
A．B．5C．D．10
【答案】C
【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.
【详解】展开式的通项公式为：，
令可得：，则的系数为：.
故选：C.
2．（2022·北京·统考高考真题）若，则（ ）
A．40B．41C．D．
【答案】B
【分析】利用赋值法可求的值.
【详解】令，则，
令，则，
故，
故选：B.
3．（2023·全国·模拟预测）若的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则的展开式中的常数项为（ ）
A．6B．8C．28D．56
【答案】C
【分析】根据的展开式中所有项的二项式系数之和求出n的值，从而写出的展开式的通项公式，再令x的指数为0，即可求解常数项．
【详解】由的展开式中所有项的二项式系数之和为16，得，所以，
则二项式的展开式的通项公式为（且），
令，解得，
所以，故的展开式中的常数项为28，
故选：C．
4．（2023·河南郑州·统考模拟预测）的展开式中的常数项与展开式中的常数项相等，则的值为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【分析】计算出两个二项式的常数项，从而得到关于的方程，解出即可.
【详解】的展开式中的常数项为，
展开式中的常数项,
所以,即,
故选：D.
5.（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的项的系数为（ ）
A．―4B．84C．―280D．560
【答案】B
【分析】根据二项式系数的性质求得，再根据二项式展开的通项即可求得指定项的系数.
【详解】因为的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以．则
又因为的展开式的通项公式为，
令，所以展开式中的项的系数为．
故选：B.
6．（2023上·浙江·高三浙江省富阳中学校联考阶段练习）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中所选数1，构成的数列的第项，则的值为（ ）
A．252B．426C．462D．924
【答案】C
【分析】根据题意，结合数字的构成规律，得到即第11行的第项，结合二项展开式的二项式系数的性质，即可求解.
【详解】由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中所选数，构成的数列的第项，
根据数字的构成规律，可得数列的奇数项为每行数列的项，偶数项为每行的第项，
则即第11行的第项，
结合二项展开式的二项式系数的性质，可得.
故选：C.
二、多选题
7.（2023下·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项是B．各项系数和为
C．第5项二项式系数最大D．奇数项二项式系数和为32
【答案】BD
【分析】根据二项式理及二项式系数的性质逐项判断即可.
【详解】二项式的展开式的通项为
当时，得常数项为，故A不正确；
当时，可得展开式各项系数和为，故B正确；
由于，则二项式系数最大为为展开式的第4项，故C不正确；
奇数项二项式系数和为，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
8.（2022·浙江·统考高考真题）已知多项式，则 ， ．
【答案】
【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令求出，再令即可得出答案．
【详解】含的项为：，故；
令，即，
令，即，
∴，
故答案为：；．
9.（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）的展开式的第4项是 .
【答案】
【分析】利用二项式的通项公式写出第4项即可.
【详解】由题设，二项式展开式通项为，
第4项为.
故答案为：
10．（2023·全国·模拟预测）在的展开式中，第7项为常数，则 ，最大的二项式系数是 ．
【答案】 8 70
【分析】根据通项公式，结合第7项为常数可解得n，然后由二项式系数的性质可得.
【详解】，
∴，解得．∴最大的二项式系数为．
故答案为：8；70
11．（2023上·重庆·高三重庆一中校考开学考试）已知，则 .
【答案】
【分析】先利用二项式展开式的通项求出，然后利用二项式系数的性质即可求解.
【详解】由于，
所以展开式的通项为，
又，
所以，
所以由二项式系数的对称性知，
所以.
故答案为：.
四、解答题
12．（2023·全国·高三专题练习）求证：.
【答案】证明见解析
【分析】运用二项式的展开式，结合组合数公式，利用放缩法、裂项相消法进行证明即可.
【详解】证明：对任意的且，
有
，
又因为，故，从而有.
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