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数学八年级上册17．2 一元二次方程的解法优秀练习
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这是一份数学八年级上册17．2 一元二次方程的解法优秀练习，文件包含172一元二次方程的解法原卷版docx、172一元二次方程的解法解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
学习目标：1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程；
2.运用开平方法解形如x²=p或(x+n)²=p (p≥0)的方程.
3.了解配方法的概念.
4.掌握解一元二次方程的方法解决有关问题.
5.探索解一元二次方程的方法之间的区别和联系.
重点：掌握解一元二次方程的方法解决有关问题.
难点：1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.
2.探索解一元二次方程的方法之间的区别和联系.
知识点一 直接开平方法解一元二次方程
1.直接开平方法
利用平方根的意义直接开平方来求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.
方程x²=p的根
一般的，对于可化为x2 = p(I) 的方程，
(1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不相等的实数根，；
(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根；
(3)当p<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根.
归纳：利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法
即学即练 利用直接开平方法解下列方程：
用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是常数的形式.
知识点二 配方法解一元二次方程
1.配方法
把一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个常数，进而可用直接开平方法来求解，这种通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.
配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。
2.可化为(x+n)²=p 的形式的一元二次方程的根
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)²=p（Ⅱ）.
①当p>0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根，；
②当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根x1=x2=－n；
③当p<0时，因为对任意实数x，都有 (x + n)²≥0，所以方程（Ⅱ）无实数根.
学生：用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？
老师：移项时需注意改变符号.
1.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
一移：常数项且二次项系数化为 1；
二配：成完全平方公式[配上一次项系数22]；
三写：成(x+n)2=p；
四直：接开平方法解方程.
即学即练1 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5 的值必定大于零.
即学即练2 应用配方法求最值.
(1) 2x2－4x+5的最小值； (2)－3x2 + 6x -7的最大值.
【总结】ax² + bx + c (a，b，c 均为常数) 型代数式求最值或证明恒为正(负)等问题，
都要想到运用配方法，将含字母部分配成 a(x + m)² + n 的形式来解决.
即学即练3 若a，b，c为△ABC的三边长，且，试判断△ABC的形状.
知识点三 因式分解法解一元二次方程
1.因式分解法
通过因式分解把一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
2.用因式分解法解一元二次方程的理论依据
如果两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0,即若ab=0,则a=0或b=0.
3.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤
(1)移项、合并同类项：将方程的右边化为0;
(2)因式分解：将方程的左边化为两个一次式的乘积；
(3)降次转化：令每个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；
(4)一一求解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.
4.几种常见的用因式分解法求解的方程
(1)形如x²+bx=0的一元二次方程，
将左边运用提公因式法因式分解为x(x+b)=0,则x=0或 x+b=0,即x1=0,x2=-b.
形如x²-a²=0的一元二次方程，
将左边用平方差公式因式分解为(x+a)(x-a)=0,则x+a=0或x-a=0,即x1=-a,x2=a.
形如x²±2ax+a²=0的一元二次方程，
将左边用完全平方公式因式分解为(x±a)²=0, 则①x+a=0,即x1=x2=-a;②x-a=0,即x1=x2=a.
形如x²+(a+b)x+ab=0的一元二次方程，
将左边因式分解，则方程化为(x+a)(x+b)=0,所以x+a=0或x+b=0,即x1=-a,x2=-b.
即学即练 用因式分解法解下列方程：
(1)； (2)
知识点四 十字相乘法
1.十字相乘法
整式的乘法
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
两个一次二项式相乘的积 一个二次三项式
反过来，得x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
如果二次三项式 x2 + px + q 中的常数项 q 能分解成两个因数 a、b 的积，而且一次项系数 p 又恰好是 a + b，那么 x2 + px + q 就可以用如上的方法进行因式分解.
2.十字相乘法步骤：
①竖分二次项与常数项②交叉相乘，积相加③检验确定，横写因式
即学即练1 解：分解因式得（x+7）（x-1）=0
∴x+7=0，或x-1=0.
∴x1=-7,x2=1.
解方程x2+6x-7=0.
x
x
7
-1
（x+7）（x-1）=0
简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中.
即学即练2 解下列方程：
(1)x2-5x+6=0； (2)x2+4x-5=0；
(3)(x+3)(x-1)=5； (4)2x2-7x+3=0.
用因式分解法解一元二次方程时，要先观察方程结构，看看方程中有没有公因式，提取公因式后能否转化为一边为0,另一边分解成两个一次因式的乘积形式，若能，则采用因式分解法来解答比较简单.
知识点五 公式法解一元二次方程
1.求根公式
解一元二次方程时，先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.
2.公式法
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
注意：：运用公式法解一元二次方程时,首先要将方程化为一般式, 然后当 Δ= b²－4ac≥0时,才可以用求根公式.
3.一元二次方程求根公式的推导
一元二次方程求根公式的推导过程就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程，推导过程如下：
移项，得ax2+bx=－c，二次项系数化为1，得x2+x=，
配方，得x2+x+()2=()2，
即(x+)2=.
当Δ= b2－4ac时，
.
4.用公式法解一元二次方程的一般步骤
1.变形：化已知方程为一般形式；
2.确定系数：用a，b，c写出各项系数；
3.计算：b2－4ac的值；
4.判断：若Δ=b2－4ac≥0，则利用求根公式求出；若Δ=b2－4ac < 0，则方程没有实数根.
b²-4ac（△）的取值与根的个数之间的关系
Δ=b2－4ac >0 有两个不等的实数根
Δ=b2－4ac = 0 有两个相等的实数根
Δ=b2－4ac＜0 没有实数根
即学即练 用公式法解下列方程：
．
．
．
(4)．
一、解法选择基本思路:
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时(ax2+c=0)，应选用直接开平方法；
2.若常数项为0(ax2+bx=0)，应选用因式分解法；
3. 化为一般式(ax2+bx+c=0)后，若一次项系数和常数项都不为 0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法. 系数含根式时也可选公式法.
二、一元二次方程的各种解法及适用类型.
题型一 解一元二次方程直接开平方法
例1（2023春·上海徐汇·八年级上海市西南模范中学校考期末）把二次方程x2−4xy+4y2=4化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是 ．
举一反三1（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考期中）如果关于x的方程ax2−2x2=3有实数解，那么a的取值范围是 ．
举一反三2（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考期中）方程4x4=14的解是 ．
题型二 解一元二次方程配方法
例2（2023秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期末）用配方法解方程：2x2+6x−1=0
举一反三1（2022秋·上海静安·八年级校考期中）用配方法解方程：2x2−4x−1=0
举一反三2（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）用配方法解一元二次方程x2−8x=−2时，在方程两边应同时加上（ ）
A．4B．8C．16D．64
题型三 配方法的应用
例3（2023春·上海杨浦·八年级校考期中）已知x为实数，若x2+1x2−5x+1x+8=0，那么x+1x的值为 ．
举一反三1（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）−13x2−4x+10的最大值为 ．
举一反三2（2022秋·上海杨浦·八年级统考期中）用一根长为20厘米的绳子，围成一个面积为y平方厘米的长方形，则y的值不可能是（ ）
A．30B．20C．16D．10
题型四 公式法解一元二次方程
例4（2023春·上海杨浦·八年级校考期中）解关于x的方程：k2−4x2−5k−2x+6=0．
举一反三1（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）解方程：4xx−1+1=2x.
举一反三2（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）在实数范围内分解因式：2x2−x−2= ．
题型五 因式分解法解一元二次方程
例5（2023春·上海虹口·八年级上外附中校考期末）方程x2=27x3的实数解为 ．
举一反三1（2023秋·上海青浦·八年级校考期末）解方程：x−12=5−5x．
举一反三2（2023春·上海黄浦·八年级统考期末）方程x4﹣16＝0的根是 ．
题型六 换元法解一元二次方程
例6（2023春·上海浦东新·八年级校考期末）用换元法解方程x2−12x−4xx2−1=1时，如果设x2−1x=y，那么所得到的关于y的整式方程为 ．
举一反三1（2023春·上海闵行·八年级统考期末）用换元法解方程xx+1−x+1x+3=0时，如果设xx+1=y，那么原方程可化为（ ）
A．y2+3y−1=0B．y2−3y+1=0
C．y2+y−3=0D．y2−y+3=0．
举一反三2（2023春·上海长宁·八年级统考期末）已知方程xx2−1+x2−1x=3，如果设y=xx2−1，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ．
题型七 一元二次方程的根与系数的关系
例7（2023秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期末）若方程x2−3x+m=0有一根是1，则另一根是（ ）
A．1B．2C．-1D．-2
举一反三1（2022秋·上海嘉定·八年级统考期末）阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca.根据该材料填空：已知x1、x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，则x12+x22的值为 ．
举一反三2（2022秋·上海杨浦·八年级校考期中）已知α，β是方程x2−7x+8=0的两个根，α>β，不解方程，利用根与系数的关系求2α+3β2的值．
单选题
1.（2017秋·上海浦东新·八年级统考期中）用配方法解方程x2+4x+2=0，下列配方正确的是（ ）
A．x−22=2B．x+22=2C．x−22=−2D．x−22=6
2．（2022秋·上海奉贤·八年级校联考期中）关于的一元二次方程x2+(a−1)x+a2−1=0的一个根是0，则a的值是（ ）
A．1或−1B．−1C．1D．12
3．（2019秋·上海徐汇·八年级上海市西南模范中学校考期中）方程4x−12=1的根为（ ）
A．x1=x2=14B．x1=x2=12C．x1=0，x2=12D．x1=−12，x2=0
二、填空题
1.（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）方程−1+1−2x2=0的解是 ．
2．（2021秋·上海金山·八年级校考期中）一元二次方程x2﹣6x＋9＝0的实数根是 ．
3．（2022秋·上海静安·八年级上海市市西中学校考期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程成为“差1方程”．例如x2+x=0是“差1方程”．若关于x的方程ax2+bx+1=0(a，b是常数，a>0)是“差1方程”设t=10a−b2，t的最大值为 ．
4．（2019秋·上海·七年级上海市张江集团中学校考期中）已知a，b，c满足a−b=8，ab+c2+16=0，则2a+b+c的值是
三、解答题
1.（2023秋·上海青浦·八年级校考期末）用配方法解方程：x2−42x−2=0．
2．（2022秋·上海·八年级校考期中）阅读下列材料并完成练习题：
已知一元一次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根分别为x1和x2
∵ax2+bx+c=ax−x1x−x2
∴ax2+bx+c=ax2−ax1+x2x+ax1x2
对比系数可得：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca
类比上面的证明方法：
(1)如果一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0a≠0的两个实数根分别为x1，x2，x3，x1+x2+x3=______，x1x2x3=______，x1x2+x1x3+x2x3=______．
(2)已知方程2x3−x2−3x+1=0，求值：x12+x22+x32=______．
3．（2021秋·上海杨浦·八年级上海同济大学附属存志学校校考期中）若α＝1+52为一元二次方程x2﹣x+t＝0的根；
（1）则方程的另外一个根β＝ ，t＝ ；
（2）求α6+8β的值．
（3）求作一个关于y的一元二次方程，二次项系数为1，且两根分别为α2，β2．
类别
解题策略
1.完全平方式中的求参
如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.
2.求最值或证明代数式的值恒为正(或负)
对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.
3.利用配方构成非负式的和的形式
对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负式的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0，则a2＋(b－2)2=0，即a=0，b=2.
公式法
内容
根的判别式
Δ=b2－4ac，注意务必将方程化为一般形式
求根公式
步骤
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（b2－4ac值）；
四判（方程根的情况）；
五代（代求根公式计算）
一元二次方程的解法
适用的方程类型
直接开平方法
(ax + m)2 = n (a≠0，n≥0)
配方法
x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0)
公式法
ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0)
因式分解
(ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0)
学习目标：1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程；
2.运用开平方法解形如x²=p或(x+n)²=p (p≥0)的方程.
3.了解配方法的概念.
4.掌握解一元二次方程的方法解决有关问题.
5.探索解一元二次方程的方法之间的区别和联系.
重点：掌握解一元二次方程的方法解决有关问题.
难点：1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.
2.探索解一元二次方程的方法之间的区别和联系.
知识点一 直接开平方法解一元二次方程
1.直接开平方法
利用平方根的意义直接开平方来求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.
方程x²=p的根
一般的，对于可化为x2 = p(I) 的方程，
(1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不相等的实数根，；
(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根；
(3)当p<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根.
归纳：利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法
即学即练 利用直接开平方法解下列方程：
用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是常数的形式.
知识点二 配方法解一元二次方程
1.配方法
把一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个常数，进而可用直接开平方法来求解，这种通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.
配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。
2.可化为(x+n)²=p 的形式的一元二次方程的根
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)²=p（Ⅱ）.
①当p>0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根，；
②当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根x1=x2=－n；
③当p<0时，因为对任意实数x，都有 (x + n)²≥0，所以方程（Ⅱ）无实数根.
学生：用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？
老师：移项时需注意改变符号.
1.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
一移：常数项且二次项系数化为 1；
二配：成完全平方公式[配上一次项系数22]；
三写：成(x+n)2=p；
四直：接开平方法解方程.
即学即练1 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5 的值必定大于零.
即学即练2 应用配方法求最值.
(1) 2x2－4x+5的最小值； (2)－3x2 + 6x -7的最大值.
【总结】ax² + bx + c (a，b，c 均为常数) 型代数式求最值或证明恒为正(负)等问题，
都要想到运用配方法，将含字母部分配成 a(x + m)² + n 的形式来解决.
即学即练3 若a，b，c为△ABC的三边长，且，试判断△ABC的形状.
知识点三 因式分解法解一元二次方程
1.因式分解法
通过因式分解把一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
2.用因式分解法解一元二次方程的理论依据
如果两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0,即若ab=0,则a=0或b=0.
3.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤
(1)移项、合并同类项：将方程的右边化为0;
(2)因式分解：将方程的左边化为两个一次式的乘积；
(3)降次转化：令每个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；
(4)一一求解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.
4.几种常见的用因式分解法求解的方程
(1)形如x²+bx=0的一元二次方程，
将左边运用提公因式法因式分解为x(x+b)=0,则x=0或 x+b=0,即x1=0,x2=-b.
形如x²-a²=0的一元二次方程，
将左边用平方差公式因式分解为(x+a)(x-a)=0,则x+a=0或x-a=0,即x1=-a,x2=a.
形如x²±2ax+a²=0的一元二次方程，
将左边用完全平方公式因式分解为(x±a)²=0, 则①x+a=0,即x1=x2=-a;②x-a=0,即x1=x2=a.
形如x²+(a+b)x+ab=0的一元二次方程，
将左边因式分解，则方程化为(x+a)(x+b)=0,所以x+a=0或x+b=0,即x1=-a,x2=-b.
即学即练 用因式分解法解下列方程：
(1)； (2)
知识点四 十字相乘法
1.十字相乘法
整式的乘法
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
两个一次二项式相乘的积 一个二次三项式
反过来，得x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
如果二次三项式 x2 + px + q 中的常数项 q 能分解成两个因数 a、b 的积，而且一次项系数 p 又恰好是 a + b，那么 x2 + px + q 就可以用如上的方法进行因式分解.
2.十字相乘法步骤：
①竖分二次项与常数项②交叉相乘，积相加③检验确定，横写因式
即学即练1 解：分解因式得（x+7）（x-1）=0
∴x+7=0，或x-1=0.
∴x1=-7,x2=1.
解方程x2+6x-7=0.
x
x
7
-1
（x+7）（x-1）=0
简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中.
即学即练2 解下列方程：
(1)x2-5x+6=0； (2)x2+4x-5=0；
(3)(x+3)(x-1)=5； (4)2x2-7x+3=0.
用因式分解法解一元二次方程时，要先观察方程结构，看看方程中有没有公因式，提取公因式后能否转化为一边为0,另一边分解成两个一次因式的乘积形式，若能，则采用因式分解法来解答比较简单.
知识点五 公式法解一元二次方程
1.求根公式
解一元二次方程时，先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.
2.公式法
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
注意：：运用公式法解一元二次方程时,首先要将方程化为一般式, 然后当 Δ= b²－4ac≥0时,才可以用求根公式.
3.一元二次方程求根公式的推导
一元二次方程求根公式的推导过程就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程，推导过程如下：
移项，得ax2+bx=－c，二次项系数化为1，得x2+x=，
配方，得x2+x+()2=()2，
即(x+)2=.
当Δ= b2－4ac时，
.
4.用公式法解一元二次方程的一般步骤
1.变形：化已知方程为一般形式；
2.确定系数：用a，b，c写出各项系数；
3.计算：b2－4ac的值；
4.判断：若Δ=b2－4ac≥0，则利用求根公式求出；若Δ=b2－4ac < 0，则方程没有实数根.
b²-4ac（△）的取值与根的个数之间的关系
Δ=b2－4ac >0 有两个不等的实数根
Δ=b2－4ac = 0 有两个相等的实数根
Δ=b2－4ac＜0 没有实数根
即学即练 用公式法解下列方程：
．
．
．
(4)．
一、解法选择基本思路:
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时(ax2+c=0)，应选用直接开平方法；
2.若常数项为0(ax2+bx=0)，应选用因式分解法；
3. 化为一般式(ax2+bx+c=0)后，若一次项系数和常数项都不为 0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法. 系数含根式时也可选公式法.
二、一元二次方程的各种解法及适用类型.
题型一 解一元二次方程直接开平方法
例1（2023春·上海徐汇·八年级上海市西南模范中学校考期末）把二次方程x2−4xy+4y2=4化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是 ．
举一反三1（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考期中）如果关于x的方程ax2−2x2=3有实数解，那么a的取值范围是 ．
举一反三2（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考期中）方程4x4=14的解是 ．
题型二 解一元二次方程配方法
例2（2023秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期末）用配方法解方程：2x2+6x−1=0
举一反三1（2022秋·上海静安·八年级校考期中）用配方法解方程：2x2−4x−1=0
举一反三2（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）用配方法解一元二次方程x2−8x=−2时，在方程两边应同时加上（ ）
A．4B．8C．16D．64
题型三 配方法的应用
例3（2023春·上海杨浦·八年级校考期中）已知x为实数，若x2+1x2−5x+1x+8=0，那么x+1x的值为 ．
举一反三1（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）−13x2−4x+10的最大值为 ．
举一反三2（2022秋·上海杨浦·八年级统考期中）用一根长为20厘米的绳子，围成一个面积为y平方厘米的长方形，则y的值不可能是（ ）
A．30B．20C．16D．10
题型四 公式法解一元二次方程
例4（2023春·上海杨浦·八年级校考期中）解关于x的方程：k2−4x2−5k−2x+6=0．
举一反三1（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）解方程：4xx−1+1=2x.
举一反三2（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）在实数范围内分解因式：2x2−x−2= ．
题型五 因式分解法解一元二次方程
例5（2023春·上海虹口·八年级上外附中校考期末）方程x2=27x3的实数解为 ．
举一反三1（2023秋·上海青浦·八年级校考期末）解方程：x−12=5−5x．
举一反三2（2023春·上海黄浦·八年级统考期末）方程x4﹣16＝0的根是 ．
题型六 换元法解一元二次方程
例6（2023春·上海浦东新·八年级校考期末）用换元法解方程x2−12x−4xx2−1=1时，如果设x2−1x=y，那么所得到的关于y的整式方程为 ．
举一反三1（2023春·上海闵行·八年级统考期末）用换元法解方程xx+1−x+1x+3=0时，如果设xx+1=y，那么原方程可化为（ ）
A．y2+3y−1=0B．y2−3y+1=0
C．y2+y−3=0D．y2−y+3=0．
举一反三2（2023春·上海长宁·八年级统考期末）已知方程xx2−1+x2−1x=3，如果设y=xx2−1，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ．
题型七 一元二次方程的根与系数的关系
例7（2023秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期末）若方程x2−3x+m=0有一根是1，则另一根是（ ）
A．1B．2C．-1D．-2
举一反三1（2022秋·上海嘉定·八年级统考期末）阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca.根据该材料填空：已知x1、x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，则x12+x22的值为 ．
举一反三2（2022秋·上海杨浦·八年级校考期中）已知α，β是方程x2−7x+8=0的两个根，α>β，不解方程，利用根与系数的关系求2α+3β2的值．
单选题
1.（2017秋·上海浦东新·八年级统考期中）用配方法解方程x2+4x+2=0，下列配方正确的是（ ）
A．x−22=2B．x+22=2C．x−22=−2D．x−22=6
2．（2022秋·上海奉贤·八年级校联考期中）关于的一元二次方程x2+(a−1)x+a2−1=0的一个根是0，则a的值是（ ）
A．1或−1B．−1C．1D．12
3．（2019秋·上海徐汇·八年级上海市西南模范中学校考期中）方程4x−12=1的根为（ ）
A．x1=x2=14B．x1=x2=12C．x1=0，x2=12D．x1=−12，x2=0
二、填空题
1.（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）方程−1+1−2x2=0的解是 ．
2．（2021秋·上海金山·八年级校考期中）一元二次方程x2﹣6x＋9＝0的实数根是 ．
3．（2022秋·上海静安·八年级上海市市西中学校考期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程成为“差1方程”．例如x2+x=0是“差1方程”．若关于x的方程ax2+bx+1=0(a，b是常数，a>0)是“差1方程”设t=10a−b2，t的最大值为 ．
4．（2019秋·上海·七年级上海市张江集团中学校考期中）已知a，b，c满足a−b=8，ab+c2+16=0，则2a+b+c的值是
三、解答题
1.（2023秋·上海青浦·八年级校考期末）用配方法解方程：x2−42x−2=0．
2．（2022秋·上海·八年级校考期中）阅读下列材料并完成练习题：
已知一元一次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根分别为x1和x2
∵ax2+bx+c=ax−x1x−x2
∴ax2+bx+c=ax2−ax1+x2x+ax1x2
对比系数可得：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca
类比上面的证明方法：
(1)如果一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0a≠0的两个实数根分别为x1，x2，x3，x1+x2+x3=______，x1x2x3=______，x1x2+x1x3+x2x3=______．
(2)已知方程2x3−x2−3x+1=0，求值：x12+x22+x32=______．
3．（2021秋·上海杨浦·八年级上海同济大学附属存志学校校考期中）若α＝1+52为一元二次方程x2﹣x+t＝0的根；
（1）则方程的另外一个根β＝ ，t＝ ；
（2）求α6+8β的值．
（3）求作一个关于y的一元二次方程，二次项系数为1，且两根分别为α2，β2．
类别
解题策略
1.完全平方式中的求参
如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.
2.求最值或证明代数式的值恒为正(或负)
对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.
3.利用配方构成非负式的和的形式
对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负式的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0，则a2＋(b－2)2=0，即a=0，b=2.
公式法
内容
根的判别式
Δ=b2－4ac，注意务必将方程化为一般形式
求根公式
步骤
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（b2－4ac值）；
四判（方程根的情况）；
五代（代求根公式计算）
一元二次方程的解法
适用的方程类型
直接开平方法
(ax + m)2 = n (a≠0，n≥0)
配方法
x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0)
公式法
ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0)
因式分解
(ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0)
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