19.1 命题和几何证明（讲+练，4题型）-八年级数学上册同步讲与练（沪教版）

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19.1 命题和证明1.理解演绎证明的含义及因果关系的表述，体会演绎证明是一种严格的数学证明2.知道定义、命题、真命题、假命题公理定理等概念,体会定义、命题、公理、定理等之间的区别与联系3.了解命题的构成，能初步区分命题的题设和结论,会把命题改写成“如果...,那么...”的形式4.知道证明一个命题的一般过程,知道证明一个命题为假命题只要举一个反例知识点一 演绎证明1演绎证明的概念从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则,推导出某结论为正确的过程叫演绎证明演绎证明不用想的太过复杂，它只是一种严格的数学证明,七年级学习额的平行线、三角形全等证明一样，核心是由因为推出所以，每一句推理有理有据，本书中的演绎证明简称证明注意：①证明中的每一步推理都要有依据,不能想当然②具体问题具体分析，并不是所有真理都可以进行演绎证明2.证明几何问题的方法(1)综合法:由题设逐步推导到结论的一种证明方法(2)分析法:由结论逐步追溯到题设的一种方法提示：①几何证明时,一般先用分析法找到思路,然后改用综合法写出证明过程②在几何证明中,有时需要添加辅助线,添加辅助线的过程要在证明过程中写出来，交代清楚，辅助线通常画虑线即可(3)证明过程中,前一段的“果”为后一段提供了“因”,一连串连贯有序的因果关系组成了完整的证明即学即练1（2022秋·上海闵行·八年级上海市实验学校西校校考期中）如图，点A、F、C、D在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，AF=DC，求证：BC∥EF．  【答案】见解析【分析】由全等三角形的性质判定，则对应角，故证得结论．【详解】解：证明：，，，．在与中，，，，．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．知识点二 定义、命题、真命题及假命题的概念1.定义:能界定某个对象含义的子叫做定义2.命题：判断一件事情的句子叫做命题注意：(1)命题必须是一个完整的句子,通常是一个陈述句或否定句，问句、祈使句、感叹句都不是命题;问句、祈使句、感叹句都不是命题;问句、祈使句、感叹句都不是命题！(2)命题是判断性语句，必须是对某件事情作出肯定或否定的判断3.真命题：判断为正确的命题叫做真命题注意：判断一个命题是真命题,往往需要从命题的题设出发,通过证明步一步推得结论成立.4.假命题:判断为错误的命题叫做假命题5.[补充]反例:符合命题的题设，但不符合命题结论的例子称为反例.判断一个命题是假命题,通常只要举出反例即可如何判断命题真假？判断命题的真假，关键在于题设成立的前提下,看结论是否正确,可先举“特例”验证,特例成立,还不能说明命题为真命题，要将特殊形式转化成一般形式,用推理的方法说明结论正确; 若特例不成立,则命题一定是假命题.即学即练1（2022·北京海淀·人大附中校考模拟预测）用①；②；③三个不等式中的两个作为题设，另一个作为结论的命题中，真命题是：A．若①②，则③ B．若①③，则②C．若②③，则① D．以上都不是真命题【答案】D【分析】根据题意得出三个命题，由不等式的性质再判断真假即可．【详解】解：根据题意，一共有三种命题组合方式：①如果，，那么，当、时，，那么，故①不是真命题；②如果， ，那么，当、都是负数时，如果， ，那么，故②不是真命题；③如果，，那么，当、都是负数时，如果 ，，那么，故③不是真命题，综上所述，三种组合方式都不是真命题．故选：．【点睛】此题考查了命题与定理，解题的关键是掌握不等式及不等式组及其性质．即学即练2（2023秋·上海闵行·八年级统考期中）下列命题中，真命题的是（    ）A．两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直B．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等C．三角形的一个外角等于两个内角的和D．等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形【答案】A【分析】根据平行线的性质可判断A．根据全等三角形的判定方法可判断B，根据三角形的外角的性质可判断C，根据等边三角形的性质可判断D，从而可得答案．【详解】解：两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直，描述正确，真命题，故A符合题意；∵有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等∴有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，假命题，故B不符合题意；∵三角形的一个外角等于和其不相邻的两个内角的和∴三角形的一个外角等于两个内角的和，假命题，故C不符合题意；∵等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形∴等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形，假命题，故D不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的判定，三角形的外角的性质，等边三角形的性质，真假命题的判断，熟记基本概念与图形的性质是解本题的关键． 知识点三 命题的结构数学命题通常由题设和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项这样的命题可以写成“如果…,那么…”的形式.用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论注意：存在一些命题的题设和结论不是很分明，我们可以先把命题改写成“如果…,那么…”的形式,这样就更加清楚地找出命题的题设和结论.即学即练（2022秋·上海·八年级专题练习）请写出“两直线平行，同位角相等”的结论： ．【答案】同位角相等【分析】命题是由题设和结论两部分组成的，将这个命题改写成“如果那么”的形式即可得出答案．【详解】解：将命题改写成“如果那么”的形式为：如果两直线平行，那么同位角相等，则此命题的结论为：同位角相等，故答案为：同位角相等．【点睛】本题考查了命题，熟练掌握命题的概念是解题关键．知识点四 公理和定理的概念1.公理:人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理2.定理:从公理或其他真命题出发,用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.定理是需要证明的.即学即练1（2022秋·八年级课前预习）下面关于公理和定理的联系，说法不正确的是（    ）A．公理和定理都是真命题B．公理就是定理，定理也是公理C．公理和定理都可以作为推理论证的依据D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明【答案】B【解析】略即学即练2（2022秋·八年级课前预习）在证明过程中可以作为推理根据的是（   ）A．命题、定义、公理 B．定理、定义、公理C．命题 D．真命题【答案】B【解析】略题型1判断是否是命题例1（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）下列语句中哪句话是定义（   ）A．联结A、B两点. B．等角的余角相等吗？C．内错角相等，两直线平行. D．整数与分数统称为有理数.【答案】D【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据命题和定义的概念进行判断．【详解】解：A、联结A、B两点，不是定义，不符合题意；B、等角的余角相等吗？不是定义，不符合题意；C、内错角相等，两直线平行，不是定义，不符合题意；D、整数与分数统称为有理数，是定义，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了命题的定义：判断一件事情的语句是命题，一般有“是”，“不是”等判断词，比较简单．举一反三1（2022秋·上海·八年级专题练习）下列语句中，不是命题的是（     ）A．如果，那么、互为相反数B．同旁内角互补C．作等腰三角形底边上的高D．在同一平面内，若，则【答案】C【分析】根据命题的概念对每个选项一一判断正误即可．【详解】A、如果，那么、互为相反数，这句话是命题；B、同旁内角互补，这句话是命题；C、作等腰三角形底边上的高，这句话不是命题；D、在同一平面内，若，则，这句话是命题．故选：C．【点睛】本题主要考查命题的概念，熟记命题的概念是解题关键．举一反三2（2022秋·上海·八年级专题练习）下列语句不是命题的是（   ）A．两条直线相交有且只有一个交点 B．两点之间线段最短C．延长AB到D，使 D．等角的补角相等【答案】C【分析】对事情进行判断真假的陈述句叫做命题，对选项逐个分析即可．【详解】解：A、两条直线相交有且只有一个交点，可以判断是真的陈述句，是命题，不符合题意；B、两点之间线段最短，可以判断是真的陈述句，是命题，不符合题意；C、延长到D，使，不可以判断真假，不是命题，符合题意；D、等角的补角相等，可以判断是真的陈述句，是命题，不符合题意．故选：C【点睛】本题考查了命题的定义，理解其定义是解题的关键．题型2判断命题真假例2（2022秋·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）下列命题是真命题的是（    ）A．同旁内角相等，两直线平行 B．钝角没有余角C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．若，则【答案】B【分析】根据平行线的公理及判定、余角的定义和举反例可逐一判断．【详解】解：A、同旁内角互补，两直线平行，故A是假命题；B、钝角没有余角，故B是真命题；C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故C是假命题；D、，但，故D是假命题；故选：B．【点睛】本题主要考查真假命题的判断，掌握平行线的公理及判定、余角的定义和举反例是关键．举一反三1（2019秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考阶段练习）下列命题是真命题的是（    ）A．顶角相等的两个等腰三角形全等B．底角相等的两个等腰三角形全等C．底角、顶角分别相等的两个等腰三角形全等D．两角一边对应相等的两个等腰三角形全等【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质以及全等三角形的判定定理，根据或可以判断D选项正确，即可求解．【详解】A、顶角相等的两个等腰三角形不一定全等，原命题是假命题；B、底角相等的两个等腰三角形不一定全等，原命题是假命题；C、底角、顶角分别相等的两个等腰三角形不一定全等，原命题是假命题；D、两角一边对应相等的两个等腰三角形全等，原命题是真命题；故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．举一反三2（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）下列命题是真命题的是（  ）A．三角形的外角大于它的任何一个内角B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等C．等腰三角形一边上的中线也是这边上的高D．等边三角形是轴对称图形【答案】D【分析】根据三角形的外角的性质，全等三角形的判定，轴对称图形的定义一一判断即可．【详解】解：A、三角形的外角大于它的任何一个内角，错误，应该是三角形的外角大于它的任何一个和它不相邻的内角，本选项不符合题意；B、有两边及一角对应相等的两个三角形全等，错误，应该是有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；C、等腰三角形一边上的中线也是这边上的高，错误，应该是等腰三角形底边上的中线也是这边上的高，本选项不符合题意；D、等边三角形是轴对称图形，正确，本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．题型3写出命题的题设与结论例3（2023秋·上海普陀·八年级校考期中）把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是 ．【答案】如果两个角相等，那么它们的补角相等【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是它们的补角相等，应放在“那么”的后面，即可作答．【详解】解：题设为：两个角相等，结论为：它们的补角相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角相等，那么它们的补角相等．故答案为：如果两个角相等，那么它们的补角相等．【点睛】本题主要考查了命题的改写，找出命题大条件和结论是关键．举一反三1（2022秋·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）把命题“同角的补角相等”改写为“如果……，那么……”的形式，如果 那么 ．【答案】 两个角是同一个角的补角 这两个角相等【分析】命题由题设和结论两部分组成，命题可以写成“如果，那么”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论，由此即可得．【详解】解：把命题“同角的补角相等”改写为“如果，那么”的形式：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等，故答案为：两个角是同一个角的补角，这两个角相等．【点睛】本题考查了命题，熟练掌握命题的表达形式是解题关键．举一反三2（2020秋·上海普陀·八年级统考期中）把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果...，那么...”的形式： ．【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果...，那么...”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．【详解】解：命题“平行于同一直线的两直线平行”可以改写为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行．故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行．【点睛】任何一个命题都可以写成“如果...，那么...”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意．题型4写出一个命题的已知求证及证明过程例4（2023秋·福建厦门·八年级厦门一中校考阶段练习）证明命题“全等三角形的对应角角平分线相等”是真命题．（请补全图形、填空并证明）  已知：如图________和分别是和的平分线．求证：_________．证明：【答案】，，证明见解析。【分析】根据，可得，，再根据和分别是边的角平分线，可证，即可证明．【详解】解：已知：如图，，AD和分别是∠BAC和的平分线．求证：．故答案为：，，  证明：∵，∴，∵和分别是和的平分线，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明线段相等的问题，基本的思路是转化成三角形全等．举一反三1（2020秋·福建福州·八年级校考期中）求证：等腰三角形两腰上的高相等．(1)画出适合题意的图形，并结合图形写出已知和求证．(2)给出证明．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据题意画出图形，写出已知和求证即可；（2）通过角角边证明两个含高的三角形全等，从而得出对应边（高）相等．【详解】（1）解：已知：如图，中，于点D，于点E．求证：．（2）证明：于点D，于点E，，，∴，∴．【点睛】本题考查全等三角形在证明三角形两腰上的高相等的应用，掌握角角边的证明方法是本题关键．举一反三2（2023秋·浙江·八年级专题练习）证明：平行于同一条直线的两条直线平行．已知：____________．求证：____________．证明：【答案】见解析【分析】写出已知，求证，利用平行线的判定定理证明即可．【详解】已知：如图，直线中，，，  求证：．证明：作直线的截线，交点分别为．  ∵,∴，∵,∴，∴，∴．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．一、单选题1．（2023春·全国·七年级专题练习）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程：①因为（已知）；②因为，（已知）；③所以，（等式的性质）；④所以（等量代换）；⑤所以（等量代换）．正确的顺序是(   )A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④【答案】C【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可．【详解】证明：因为，（已知），所以，（等式的性质）；因为（已知），所以（等量代换）．所以（等量代换）．∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④．故选C．【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键．2．（2023春·上海·八年级上外附中校考期末）下列命题中正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】根据不等式的性质和二次根式的性质，逐项判断即可得到答案．【详解】解：A．若，，则，故A选项不符合题意；B．若，，为负数，则，但，故B选项不符合题意；C．若，则，故C选项不符合题意；D．若，则，，故，故D选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了判断命题的真假，不等式的性质，二次根式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．3．（2023春·上海浦东新·七年级校考期末）下列命题错误的是（    ）A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等B．一条斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等C．底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等D．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等【答案】B【分析】根据三角形全等的判断定理进行逐项判断即可．【详解】解：A、两条直角边对应相等的两个直角三角形，可以用来证明这两个直角三角形全等，选项不符合题意；B、两个锐角对应相等的两个直角三角形，不能用来证明这两个直角三角形全等，选项符合题意；C、顶角和底边对应相等的两个等腰三角形，可以用来证明这两个等腰三角形全等，选项不符合题意；D、一边一锐角对应相等的两个直角三角形，可以用或来证明这两个直角三角形全等选，选项不符合题意；故答案为：B．【点睛】本题考查了命题真假判定，三角形全等的判定，掌握三角形全等的判断定理：、、、、是解题的关键．4．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）下列命题中真命题是（    ）A．有一个角对应相等的两个等腰三角形是全等三角形B．有三个角对应相等的两个三角形全等C．有一个角和一腰对应相等的两个等腰三角形全等D．顶角和底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定，逐个判断即可得到答案．【详解】解：由题意可得，有一个角对应相等的两个等腰三角形不一定是全等三角形，如两块大小不同的等腰直角三角板就不是全等三角形，故A是假命题，不符合题意；有三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如边长为1与边长为2的两个等边三角形就不全等，故B是假命题，不符合题意；有一个角和一腰对应相等的两个等腰三角形不一定全等，不能判定全等，故C是假命题，不符合题意； 顶角和底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等是真命题；故选D．【点睛】本题考查真假命题的判断，全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，说明命题是假命题关键是举出反例．5．（2022秋·上海虹口·八年级校考期中）下列命题中，真命题是（    ）A．面积相等的两个三角形全等B．三角形外角大于三角形的内角C．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直D．等腰三角形两边上的中线相等【答案】C【分析】根据全等三角形的概念、三角形的外角的性质、平行线的性质、等腰三角形的定义，对选项一一进行分析，即可得出答案．【详解】解：A、面积相等的两个三角形不一定全等，∵形状和大小完全相同的两个三角形是全等三角形，而面积相等只能说明底和高的乘积相等，故该命题为假命题，不符合题意；B、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，不是大于所有的内角，故该命题为假命题，不符合题意；C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直，∵两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，∴同旁内角的平分线与截线的夹角就互余，即同旁内角的平分线互相垂直，故该命题为真命题，符合题意；D、等腰三角形两边上的中线不一定相等，∵腰上的中线与底边上的中线不一定相等，故该命题为假命题，不符合题意．故选：C【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解本题的关键在熟练掌握全等三角形的概念、三角形的外角的性质、平行线的性质、等腰三角形的定义等知识．二、填空题6．（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）把命题“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是 ．【答案】如果两个角是两个相等的角的余角，那么这两个角相等【分析】命题有题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．【详解】解：根据命题可得：“如果两个角是两个相等的角的余角，那么这两个角相等．” 故答案为：如果两个角是两个相等的角的余角，那么这两个角相等．【点睛】本题考查命题的定义，根据命题的定义，命题有题设和结论两部分组成．7．（2022秋·上海普陀·八年级统考期中）命题全等三角形的对应角相等改写成如果…那么…的形式是 ．【答案】如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．【分析】根据如果的后面是条件，那么的后面是结论，即可求解．【详解】∵原命题的条件是：两个三角形是全等三角形，结论是：对应角相等，∴命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．故答案为：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．【点睛】本题主要考查了命题的“如果…那么…”形式，解题的关键是熟练掌握如果的后面是条件，那么的后面是结论．8．（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）将命题“两个全等三角形的周长相等”改写成“如果…那么…”的形式 ．【答案】如果两个三角形全等，那么它们的周长相等【分析】根据如果的后面是条件，那么的后面是结论，即可求解．【详解】解：将命题“两个全等三角形的周长相等”改写成“如果…，那么…”的形式：如果两个三角形全等，那么它们的周长相等，故答案为：如果两个三角形全等，那么它们的周长相等．【点睛】本题主要考查了命题的“如果…那么…”形式，熟练掌握如果的后面是条件，那么的后面是结论是解题的关键．9．（2022秋·上海·七年级专题练习）可以作为“两个无理数的和仍为无理数”的反例的是 ．【答案】【分析】根据无理数的加法运算法则，如果两个无理数互为相反数时则这两个无理数的和就不是无理数，从而举出反例．【详解】解：如果两个无理数互为相反数，则这两个无理数的和就不是无理数，如，而0是有理数，故答案为：．（答案不唯一）．【点睛】此题考查了举反例法，解题的关键是掌握要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．10．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）命题“同旁内角相等，两直线平行”是 （填“真”或“假”）命题﹒【答案】假【分析】利用平行线的判定对命题进行判断即可确定答案．【详解】同旁内角互补，两直线平行是真命题．故答案为∶假﹒【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质，难度比较小．三、证明题11．（2023秋·浙江·八年级专题练习）证明：直角三角形的两个锐角互余．（在下列方框内画出图形）  已知：求证：证明：【答案】见解析【分析】画出图形，利用三角形的内角和定理可求解．【详解】解：如图，  已知：在中，．求证：与互余．证明：∵，，∴，∴与互余．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练运用三角形内角和定理是本题的关键．12．（2023春·七年级课时练习）推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F．求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°．证明：∵∠B＝∠CGF（已知），∴ABCD（ ）．∵∠BGC＝∠F（已知），∴CDEF（ ）．∴ABEF（ ）．∴∠B＋∠F＝180°（ ）．又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ），∠BGC＝∠F（已知），∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）．【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可．【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）；∴ABCD（同位角相等，两直线平行），∵∠BGC＝∠F（已知）；∴CDEF（同位角相等，两直线平行），∴ABEF（平行公理的推论）∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义），∠BGC＝∠F（已知），∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）．【点睛】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理．13．（2022秋·上海虹口·八年级校考期中）命题：“在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等”对于此命题作出图形，写出已知和求证，并证明之．已知：____________________________________求证：________________________作图：证明：【答案】见解析【分析】先写出已知，求证，画出图形，再证明，即可．【详解】已知：如图，是的平分线，点P为上任意一点，且，垂足分别为E，F．求证：．作图：证明：∵是的平分线，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形全等．