初中数学沪教版 (五四制)八年级上册19．2 证明举例优秀同步训练题

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1.知道分析证明思路的基本方法
2.通过证明举例的学习和实践,懂得演绎推理的一般规则，初步掌握规范表达的格式
3.会利用平行线、等腰三角形、全等三角形的判定与性质来证明有关线段相等、角相等以及两条直线平行和垂直的简单问题
4.了解添加辅助线的基本方法,会添加几种常见的辅助线
知识点一 证明思路的分析
1.证明思路
要想证明一个命题是否正确,我们在思考时,可以由最后的结论反着向前追溯证明
2.证明思路的分析方法
先定位清楚题目“要证什么？”，然后再罗列出我们“需知什么”也就是要准备哪些条件,由此再考虑“只要证什么”,一直追溯到“已知”而证明的表述
证明逻辑顺序：“已知”→“可知”→“结论”.
3.证明的一般步骤
(1)分清命题的题设和结论;
如果问题与图形有关，要根据条件画出图形，并在图形上标出有关的字母与符号.
注意：无图几何、“射线”或“直线”等几何问题，我们可能还需要进行分类讨论.
(2)结合图形,写出已知求证;
(3)分析因果关系找出证明途径;
(4)有条理地写出证明过程(每一步推理都要有推理的依据).
注意：
在证明的表述中，符号“∵”读作因为，“∴”读作所以.
如果已知中给出图形,给出了已知和求证，这时我们只要写出“证明”这一步即可
即学即练1（2020·八年级校考课时练习）已知：如图，AB=DE，BC=DF，AF=CE．求证：BC∥DF．
【答案】见解析
【分析】由AF=CE，得到AC=EF，然后得到△ABC≌△DEF，则∠ACB=∠EFD，然后即可证明结论成立．
【详解】证明：∵AF=CE，
∴AC=EF，
在△ABC和△DEF中
AC=EF，AB=DE，BC=DF，
∴△ABC≌△DEF
∴∠ACB=∠EFD，
∴∠BCF=∠DFC，
∴BC∥DF；
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
即学即练2（2019·八年级统考课时练习）填写推理的理由．
已知：如图，于点，于点，，交于点，交于点．求证：．
证明：∵，（ ），
∴（ ）．
∴（ ）．
∵（ ），
∴（ ）．
∴（ ）．
∴（ ）．
【答案】（1）已知
（2）如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
（3）两直线平行，同位角相等
（4）已知
（5）等量代换
（6）内错角相等，两直线平行
（6）两直线平行，同位角相等
【分析】根据已知条件，先判定和，然后利用平行线的性质来求证．
【详解】∵，（已知），
∴（如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．
【点睛】此题考查平行线的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
知识点二 几何证明中常用的证明方法
即学即练1（2022秋·八年级单元测试）如图，现有以下三个条件：①②③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．
（1）你构造的是哪几个命题？
（2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例(证明其中的一个命题即可)．
【答案】（1）可构造如下几个命题：如果那么，如果那么，如果，那么；（2）证明见解析．
【分析】（1）分别以其中2句话为条件，第三句话为结论可写出3个命题；
（2）根据平行线的判定与性质对3个命题分别进行证明，判断它们的真假．
【详解】解：（1）有：如果那么；
如果那么；
如果，那么；
（2）如图：
∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠C=∠CDF，
∴CE∥BF，
∴∠E=∠F，
∴如果那么为真命题；
∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∴∠B=∠C，
∴如果那么为真命题；
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠CDF，
∴AB∥CD，
∴如果，那么为真命题．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
即学即练2已知：正方形，，．求证：．
【答案】见解析.
【分析】延长CD到M，使DM＝BE，连接AM，证△ABE≌△ADM，推出∠DAM＝∠BAE，AE＝AM，求出∠FAM＝∠EAF，证△EAF≌△MAF，推出EF＝MF，S△EAF＝S△MAF，根据三角形面积公式求出即可．
【详解】证明：延长CD到M，使DM＝BE，连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠ADF＝∠ADM＝∠BAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE＋∠DAF＝45°，
在△ABE和△ADM中，，
∴△ABE≌△ADM，
∴∠DAM＝∠BAE，AE＝AM，
∴∠FAM＝∠DAF＋∠DAM＝∠DAF＋∠BAE＝45°＝∠EAF，
在△EAF和△MAF中，，
∴△EAF≌△MAF，
∴EF＝MF，S△EAF＝S△MAF，
∴EF×AH＝MF×AD，
∴.
【点睛】本题考查了对全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解题的关键是证明△ABE≌△ADM和△EAF≌△MAF，主要考查学生的推理能力，题目比较好，有一定的难度．
题型1添加辅助线举例
例1（2022秋·山东泰安·七年级统考期末）如图，在中，已知是边上的中线，是上一点，且，延长交于点，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】延长AD到点G，使得，连接，结合D是BC的中点，易证△ADC和△GDB全等，利用全等三角形性质以及等量代换，得到△AEF中的两个角相等，再根据等角对等边证得AE=EF.
【详解】如图，延长到点，延长AD到点G，使得，连接．
∵是边上的中线，
∴．
在和中，
（对顶角相等），
∴≌（SAS）．
∴，．
又，
∴．
∴．
∵
∴，即
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形是解答本题的关键.
举一反三1已知：如图所示，AD平分，M是BC的中点，MF//AD，分别交CA延长线，AB于F、E．
求证：BE=CF．
【答案】见解析.
【分析】过B作BN∥AC交EM延长线于N点，易证△BMN≌△CMF，可得CF＝BN，然后由MF//AD，AD平分∠BAC可得∠F＝∠DAC=∠BAD＝∠BEM，∠BEM＝∠N，所以BE＝BN＝CF.
【详解】证明：过B作BN∥AC交EM延长线于N点，
∵BN∥AC，BM＝CM，
∴∠BMN＝∠CMF，∠N＝∠F，
∴△BMN≌△CMF，
∴CF＝BN，
又∵MF//AD，AD平分∠BAC，
∴∠F＝∠DAC=∠BAD＝∠BEM，
∴∠BEM＝∠N，
∴BE＝BN＝CF.
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．
举一反三2如图所示，在中，AB=AC，，BE平分，交AC于D，于E点，
求证：．
【答案】见解析.
【分析】延长CE与BA交于点F，首先证明△BAD≌△CAF，根据全等三角形的性质可得BD＝CF，再证明△BEF≌△BEC可得CE＝EF，进而可得.
【详解】证明：延长CE与BA交于点F，
∵∠BAC＝90°，CE⊥BE，
∴∠BAC＝∠DEC，
∵∠ADB＝∠CDE，
∴∠ABD＝∠DCE，
在△BAD和△CAF中，，
∴△BAD≌△CAF（ASA），
∴BD＝CF，
∵BE平分∠ABC，CE⊥BE，
∴∠FBE＝∠CBE，
在△BEF和△BEC中，，
∴△BEF≌△BEC（ASA），
∴CE＝EF，
∴BD＝CF=2CE，即.
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法以及全等三角形的对应边相等．
题型2证明线的和差倍关系
例2如图所示，已知中，，BD、CE分别平分和，BD、CE交于点O．
求证：BE+CD=BC．
【答案】见解析.
【分析】在BC上取点G使得CG＝CD，可证△COD≌△COG，得∠BOG＝∠BOE，然后证△BOE≌△BOG，得BE＝BG，可以求得BE＋CD＝BC．
【详解】解：在BC上取点G使得CG＝CD，
∵∠BOC＝180°−（∠ABC＋∠ACB）＝180°−（180°−60°）＝120°，
∴∠BOE＝∠COD＝60°，
∵在△COD和△COG中，，
∴△COD≌△COG（SAS），
∴∠COG＝∠COD＝60°，
∴∠BOG＝120°−60°＝60°＝∠BOE，
∵在△BOE和△BOG中，，
∴△BOE≌△BOG（ASA），
∴BE＝BG，
∴BE＋CD＝BG＋CG＝BC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证CD＝CG和BE＝BG是解题的关键．
举一反三1如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD和∠ADC，求证：AD=AB+CD．
【答案】见解析.
【分析】延长DE交AB的延长线于H．首先证明AE⊥DH，然后证明ED＝EH，△CED≌△BEH，可得CD＝BH，由此即可解决问题．
【详解】证明：延长DE交AB的延长线于H．
∵AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD和∠ADC，
∴∠ADC＋∠DAB＝180°，∠CDE＝∠H＝∠ADE，∠DAE＝∠DAB，
∠ADE＝∠ADC，
∴∠DAE＋∠ADE＝90°，AD= AH，
∴∠AED＝90°，
∴AE⊥DH，
∴ED＝EH，
在△CED和△BEH中，，
∴△CED≌△BEH(AAS)，
∴CD＝BH，
∴AD= AH =AB＋BH＝AB＋CD．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
举一反三2如图，AB=CD，E为BC的中点，∠BAC=∠BCA，求证：AD=2AE．
【答案】见解析.
【分析】延长AE至点F，使得EF=AE，连接BF，易证△AEC≌△FEB（SAS），得到BF=AC，∠FBE=∠ACE=∠BAC，可得∠ABF=∠DCA，然后通过SAS证明△ABF≌△△DCA即可.
【详解】证明：延长AE至点F，使得EF=AE，连接BF，
∵∠BEF=∠CEA，BE=CE，
∴△AEC≌△FEB（SAS），
∴BF=AC，∠FBE=∠ACE=∠BAC，
∴∠ABF=∠FBE+∠ABE=∠BAC+∠ABC=∠DCA，
在△ABF和△DCA中，，
∴△ABF≌△△DCA（SAS) ，
∴AD=FA=2AE.
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键，一般的中线辅助线都是用的倍长中线.
题型3证明角的和差倍问题
例3已知：如图所示，AB=CD，．
求证：．
【答案】见解析.
【分析】过点E作EF⊥OB于F，EG⊥OD于点G，由可得EF=EG，然后根据HL证明Rt△OEF≌Rt△OEG，即可得到∠EOF=∠EOG，问题得证.
【详解】证明：过点E作EF⊥OB于F，EG⊥OD于点G，
∵AB=CD，，
∴，
∴EF=EG，
在Rt△OEF和Rt△OEG中，，
∴Rt△OEF≌Rt△OEG，
∴∠EOF=∠EOG，即.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据面积相等求得EF=EG是解题关键.
举一反三1如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，
求证：∠ADC+∠B=180º
【答案】见解析.
【分析】延长AD过C作CF垂直AD于F，由条件可证△AFC≌△AEC，得到CF＝CE．再由条件AD＋AB＝2AE可证BE＝DF，所以△CDF≌△CEB，由全等的性质可得∠B＝∠FDC，问题得证．
【详解】证明：延长AD过C作CF垂直AD于F，
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC＝∠EAC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AFC＝∠AEC＝90°，AC=AC，
∴△AFC≌△AEC(AAS)，
∴AF＝AE，CF＝CE，
∵AD+AB=2AE，
又∵AD＝AF−DF，AB＝AE＋BE，AF＝AE，
∴2AE＝AE＋BE＋AE−DF，
∴BE＝DF，
在△CDF和△CBE中，，
∴△CDF≌△CBE（SAS），
∴∠B＝∠FDC，
∵∠ADC＋∠FDC＝180°，
∴∠ADC+∠B=180º．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是牢记三角形全等的判定定理．
举一反三2如图，于点、是上一点，于点，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】如图，根据平行线的判定可知EF∥CD，则易证，结合已知条件可以判定内错角，则DG∥BC，故同位角∠AGD=∠ACB．
【详解】∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】此题考查平行线的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
题型4证明线的位置关系
例4已知：如图，AC=BD，1=2．求证：AD∥BC．
【答案】见解析
【分析】根据等角对等边求出OB=OC,再利用已知条件求得AO=OD,进一步利用等腰三角形性质得：∠OAD=∠ODA,再利用内角和定理可得:1=∠ODA,即可得到平行.
【详解】证明:
因为1=2．
所以OB=OC．
因为AC=BD．
所以OA=OD．
所以∠OAD=∠ODA．
因为1+2+∠BOC=180°．
∠OAD+∠ODA+∠AOD=180°．
∠BOC=∠AOD．
所以1+2=∠OAD+∠ODA．
所以21=2∠ODA．
即1=∠ODA．
所以AD∥BC．
【点睛】本题利用等腰三角形的性质与判定得到边与角的关系,本题关键找到角与角的关系．
举一反三1如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，
求证：（1）BE=DC
（2）BE⊥DC．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）由AB⊥AC，AD⊥AE，且AB=AC，AD=AE，利用SAS可判定△DAC≌△EAB，继而可证得BE＝DC；
（2）由△DAC≌△EAB，可得∠ADC＝∠AEB，然后根据∠ADC＋∠APD＝90°，通过等量代换可证得∠EQP＝90°，问题得解．
【详解】证明：（1）∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠DAC＝∠EAB，
在△DAC和△EAB中，，
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴BE＝DC；
（2）∵△DAC≌△EAB，
∴∠ADC＝∠AEB，
∵∠ADC＋∠APD＝90°，∠APD=∠EPQ，
∴∠AEB＋∠EPQ＝90°，
∴∠EQP＝90°，
即BE⊥DC．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
举一反三2如图，直线、被所截，且，、分别是、的平分线，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据平行线的性质由AB∥CD得到，再根据角平分线的定义得到，，则，然后根据平行线的判定即可得到结论．
【详解】∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等）．
又、分别是、的平分线（已知），
∴（角平分线定义），
（角平分线定义）．
∴（等量代换），
即（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】此题考查平行线的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
题型5开放性证明问题
例5（2022秋·八年级单元测试）如图，直线、均被直线、所截，且与相交，给定以下三个条件：
①；②；③；请从这三个条件中选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并进行证明
已知：
求证：
证明：
【答案】已知：，； 求证：，证明见解析
【分析】如果选择①②两个作为条件，③作为结论可组成一个真命题．首先根据平行线的判定定理，可得，由，可得，然后，根据直角三角形的两个锐角互余及对顶角的性质，即可证明．
【详解】已知：，，求证：．
证明：，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，直角三角形两锐角互余，对顶角的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．
举一反三1（2021秋·湖南衡阳·八年级衡阳市实验中学校考期中）如图所示，相交于点，连接，①，②，③．以这三个式子中的两个作为命题的条件，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②③；①③②；②③①．
（1）在构成的三个命题中，真命题有________个；
（2）请选择其中一个真命题加以证明．
【答案】（1）2；（2）选择①②③，见解析.
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理AAS，ASA即可判断；
（2）选择①②③，根据全等三角形的判定定理AAS，得到，然后即可得到.
【详解】解：（1）①②③，满足全等三角形判定定理AAS，是真命题；
①③②，满足全等三角形判定定理ASA，是真命题；
②③①，是SSA，不能证明三角形全等，故不能得到①成立，是假命题；
故答案为2；
（2）选择①②③．
证明：在和中，
∴．
∴（全等三角形的对应边相等）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，掌握、熟练运用全等三角形的证明方法证明全等是解题的关键.
举一反三2（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，现有以下3个论断：；；．
（1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？
（2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）分别以其中两个作为条件，第三个作为结论依次交换写出即可；
（2）根据平行线的判定和性质对（1）题的3个命题进行证明即可判断其真假．
【详解】解：（1）由，，得到；
由，，得到；
由，，得到；
故能组成3个命题．
（2）由，，得到，是真命题．理由如下：
，．
，∴，
，．
由，，得到，是真命题．理由如下：
，．
，，
．
由，，得到，是真命题．理由如下：
∵，，．
，，
．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识和平行线的判定与性质，属于基础题型，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
题型6探究类证明举例
例6（2021春·上海·七年级上海市久隆模范中学校考期末）已知四边形中，，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E、F．
(1)当 绕B点旋转到时（如图1），求证：．
(2)当绕B点旋转到时，在图2种情况下，求证：．
(3)当绕B点旋转到时，在图3种情况下上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)不成立，
【分析】（1）首先利用证明，得，再证明是等边三角形，且，得可证明结论；
（2）将顺时针旋转120°，得，利用证明，得，可得结论；
（3）将顺时针旋转120°，得，同理利用证明，得，可得结论．
【详解】（1）∵
∴,
在与中，
，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴为等边三角形，
∴
∴
∴
（2）如图，将顺时针旋转120°，得，
∴
∵
∴点A与点C重合，
∵
∴
∴点G、C、F三点共线，
∵
∴
在与中，
，
∴
∴
∴；
（3）不成立，，理由如下：
如图，将顺时针旋转120°，得，
∴，
由（2）同理得，点C、F、G三点共线，
∵
∴点A与点C重合，
∴
∵
∴
∵
∴
在与中，
，
∴，
∴
∴
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握半角模型的处理策略是解题的关键．
举一反三1（2022秋·八年级单元测试）在中，，，直线经过点，且于点，于点．
（1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：
①≌；
②．
（2）当直线绕点旋转到图（2）、图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）．
【分析】（1）①利用垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，根据互余得∠DAC+∠ACD=90°，再根据等角的余角相等得到∠DAC=∠BCE，然后根据“AAS”可判断△ADC≌△CEB，
②由（1）得，CD=BE，AD=CE，再利用等量代换得到DE=AD+BE；
（2）进行分类讨论，证明△ADC≌△CEB，则CD=BE，AD=CE，根据位置不同可得结论．
【详解】（1）①∵，，
∴．
∵，
∴，．
∴．
在和中，
，
∴≌（AAS）．
②由（1）知：≌，
∴，．
∵，
∴．
（2）．
绕点旋转到图（2）的位置时，．
绕点旋转到图（3）的位置时，．
绕点旋转垂直于时，，
综合以上得．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．
举一反三2如图，在中，，M是AB中点，，
（1）在AE、EF、FB中是否总有最大的线段？若有，是哪一条？
（2）AE、EF、FB能否构成直角三角形？若能，请加以证明．
【答案】（1）在AE、EF、FB中总有最大的线段，最大的线段是EF；（2）AE、EF、FB能构成直角三角形.
【分析】（1）过点A作AN∥BC，交FM延长线于点N，连接EN、EF，通过证明△AMN≌△BMF得到NA=FB，NM=FM，结合可得EN=EF，在Rt△AEN中即可说明最大的线段是EF；
（2）由（1）可得△AEN为直角三角形且NA=FB，EN=EF，问题得解.
【详解】解：（1）在AE、EF、FB中总有最大的线段，最大的线段是EF；
理由：过点A作AN∥BC，交FM延长线于点N，连接EN、EF，
∵AN∥BC，
∴∠NAE=∠ACB=90°，∠NAM=∠B，
在△AMN和△BMF中，，
∴△AMN≌△BMF（ASA），
∴NA=FB，NM=FM，
∵，
∴EN=EF，
∴在Rt△AEN中，斜边EN最长，即在AE、EF、FB中，总有最大的线段EF；
（2）AE、EF、FB能构成直角三角形；
证明：由（1）可知△AEN为直角三角形且NA=FB，EN=EF，
∴AE、EF、FB能构成直角三角形.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质以及线段垂直平分线的性质，通过作辅助线得到NA=FB，EN=EF，将AE、EF、FB转化到同一个直角三角形中是解题关键.
一、作图题
1．已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD．
求证：BE=AD．
【答案】见解析.
【分析】延长AC、BE交于F，首先由ASA证明△AEF≌△AEB，得到BE=BF，然后再次通过ASA证明△ACD≌△BCF，得到AD=BF，问题得解.
【详解】证明：延长AC、BE交于F，
∵∠1=∠3，BE⊥AE，
在△AEF和△AEB中，，
∴△AEF≌△AEB(ASA)，
∴FE=BE，
∴BE=BF，
∵∠ACD=∠BED=90°，∠ADC=∠BDE，
∴∠1=∠2，
在△ACD和△BCF中，，
∴△ACD≌△BCF（ASA），
∴AD=BF，
∴BE=AD.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，两次证明全等是解题关键，也考查学生的推理能力，题目比较好，有一定的难度．
2．如图，在中，，点，、分别在边、、上，，，是的中点，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】连结、，根据等腰三角形得到，利用SAS证明△BEF与△CFG全等，最后利用等腰三角形”三线合一”的性质证明即可.
【详解】
证明：连接、
∵
∴．
在与中，
，
∴≌（SAS）．
∴．
∵是的中点，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形和等腰三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定方法是解答本题的关键.
3．将两块全等的直角三角形如图（1）摆放，其中，．

（1） （2）
（1）求证：；
（2）将图中的绕点顺时针旋转得到图（2），、交于点，、交于，求证：．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】（1）根据直角三角形的性质，可得∠A＋∠ABC＝90°，根据余角的性质，可得∠D＋∠ABC＝90°，∠D＋∠DBF＝90°，即可证明；
（2）△ECM和△BCN，根据全等三角形的性质，可证明．
【详解】（1）如图延长交于点，
∵，，∴．∴．
∵，∴．∴．∴．
（2）∵，，∴．
在和中，，
∴≌（ASA）．∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了余角的性质，直角三角形的判定，全等三角形的判定与性质．
4．已知等边三角形，为外一点，，．射线与直线相交于点，射线与直线相交于点，

（1）当点、在边、上，且时，直接写出、、之间的数量关系．
（2）当点、在边、上，且时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明．
（3）当点、在边、的延长线上时，请画出图形，并写出、、之间的数量关系．
【答案】（1）、、之间的数量关系．（2）猜想：结论仍然成立．（3））．
【分析】（1）由DM=DN，∠MD=60°，即△MDN是等边三角形，又△ABC是等边三角形，则CD=BD，易证得Rt△BDM和Rt△CDN全等，即可求得BM，NC、MN之间的数关系；
（2）在CN的延长线上截取CM1≠BM，连接DM1.可证△DBM ≌△DCM，即DM=DM，∠CDN-∠MDN=60°，易证△MDN≌△MIDN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；
③首先在CN上截取CM1=BM，连接DM，可证△DBM≌△DCM，即DM=DM，∠CDN-∠MDN=60°，易证△MDN≌△MIDN，则可得NC-BM=MN.
【详解】（1）、、之间的数量关系．
（2）猜想：结论仍然成立．
证明：在的反向延长线上截取，连接．
∵，，
∴≌．
∴，，．
∵，，
∴．
∴≌．
∴．
（3）在上截取，连接．
易证≌，
∴．
∴，
∴≌．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形、直角三角形、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，考查知识点较多，做辅助线构造全等三角形是解答本题的关键.
证明类型
证明方法
证明两直线平行
利用平行线性质判定定理和公理
证明两线段相等
证法1：如果两线段分别在两个三角形中可证两个三角形全等
证法2：如果两线段在一个三角形中，可证它们所对的角
证法3：可以借助一条线段证明两线段都等于第二条
证明两角相等
证法1:利用平行线的性质证两角相等;
证法2：如果两角分别在两个三角形中,可证这两个三角形全等;
证法3：如果两角在一个三角形中，可证它们所对的边相等(等腰三角形的性质)
证明两直线互相垂直
证法1：利用垂直定义;
证法2：利用等腰三角形“三线合一”