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数学沪教版 (五四制)19．7 直角三角形全等的判定精品同步练习题
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这是一份数学沪教版 (五四制)19．7 直角三角形全等的判定精品同步练习题，文件包含197直角三角形全等的判定原卷版docx、197直角三角形全等的判定解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共145页， 欢迎下载使用。
会运用“HL”判定两个直角三角形全等.
知识点一 直角三角形
我们知道,有一个角是直角的三角形叫做直角三角形(right triangle),直角三角形可以用符号“Rt△”表示,如图所示的三角形可记为Rt△ABC
知识点二 直角三角形全等的判定方法: HL
1.判定方法(斜边直角边)
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或“HL”
书写格式
在中，
∴
灵活选择判定方法证明两直角三角形全等
(1)判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等全部适用，至此我们可以根据SSS，SASASA，AAS和HL五种方法来判定两个直角三角形全等
(2)在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备直角相等的条件,所以只需找另外两个条件即可.证明中可根据已知条件灵活选用合适的方法
即学即练1下列条件中，不能保证两个直角三角形一定全等的是（ ）
A．两条直角边分别相等
B．斜边和一条直角边分别相等
C．一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等
D．两个锐角分别相等
即学即练2 如图，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点F为BC延长线上一点，点E在AC上，且AF=BE．
(1)求证：△ACF≌△BCE．
(2)若∠ABE=23°，求∠BAF的度数．
知识点三 判定两个三角形全等常用的思路方法
知识点四 常见全等三角形的基本图形
平移型全等
翻折型全等
旋转型全等
题型1 直角三角形全等判定辨析
例1下列命题中，是假命题的是（ ）
A．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；
B．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
C．每个命题都有逆命题；
D．每个定理都有逆定理．
举一反三1已知下列说法，其中结论正确的个数是（ ）
①等腰三角形一边上的高就是这条边上的中线；②等腰三角形的对称轴就是底边上的中线；③若一条直线上的一点P到线段两端的距离相等，则这条直线是这条线段的垂直平分线；④若两个直角三角形的一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
举一反三2下列语句中，正确的有（ ）个．
①一边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等；
②两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；
③三角形的三个内角中至少有两个锐角；
④三角形的外角大于任何一个内角．
A．1B．2C．3D．4．
题型2 利用直角三角形的全等判定求线段关系
例2已知：如图，点是的边上的一点，过点作，，、为垂足，再过点作，交于点，且．
(1)求证：；
(2)当点是边的中点时，求证：．
举一反三1如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC>CD，AC平分∠BCD，过点A作AE⊥BC，垂足为点E．
(1)求证：CE=CDBE；
(2)如果CE=3BE，求的值．
举一反三2如图，在中，，平分，交于点，于，点在上，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
举一反三3如图，于点E，于点F，若，，
(1)求证：平分；
(2)写出与之间的等量关系，并说明理由．
举一反三4如图，于点E，于点F，若，．
(1)求证：AD平分；
(2)求证：．
题型3 直角三角形的判定证明角平分线或垂直平分线
例3如图，在中，D是的中点，，垂足分别是点E、F，．求证：平分．
举一反三1如图，是的角平分线，于点E，于点F，求证：是的垂直平分线．
举一反三2如图，于E，于F，若．
(1)求证：平分；
(2)已知 ，，求的长．
举一反三3如图，在四边形中，，是的中点，平分．
(1)求证：平分；
(2)线段与有怎样的位置关系？并说明理由；
(3)求证：．
题型4 直角三角形的判定在几何证明中的应用
例4 如图，AB、ED分别垂直于BD，点B、D是垂足，且AB=CD，AC=CE，
求证：△ACE是直角三角形．
举一反三1如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．
求证：（1）Rt△ABF≌Rt△DCE；
（2）OE＝OF．
举一反三2（1）已知，如图，在三角形中，AD是BC边上的高．尺规作图：作的平分线（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）﹔
（2）在已作图形中，若l与AD交于点E，且，求证：．
题型5 直角三角形平移型全等判断
例5如图（1），，，点C是上一点，且，．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由．
(2)如图（2），若把沿直线向左平移，使的顶点C与B重合，此时第（1）问中与的位置关系还成立吗？说明理由．（注意字母的变化）．
举一反三1如图，点A、B、C、D在同一直线上，，作于点C，于点B，且，连接，．
(1)求证：且；
(2)若将沿方向平移得到图2，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？说明理由．
举一反三2已知，如图1，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，点C在直线BD上且与F重合，AC=EF，BC=DE .
(1)请说明△ABC≌△FDE，并判断AC是否垂直FE？
(2)若将△ABC 沿BD方向平移至如图2的位置时，且其余条件不变，则AC是否垂直FE？请说明为什么？
题型6 旋转问题
例6已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转．
(1)当C转到AB边上点C′位置时，A转到A′，（如图1所示）直线CC′和AA′相交于点D，试判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)将Rt△ABC继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)将Rt△ABC旋转至A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出此时旋转角α的度数．
举一反三1在等腰三角形中，，是由绕点C按顺时针方向旋转角得到，且点A的对应点D恰好落在直线上，如图1．
(1)判断直线与直线的位置关系，并证明；
(2)当时，求的大小；
(3)如图2，点F为线段的中点，点G在线段上且，当点E在线段上时，求证：．
举一反三2定义：若两个等腰三角形的顶角之和等于180°，则称这两个等腰三角形互为“友好三角形”，这两个角的顶点互为“友好点”．
(1)已知与互为“友好三角形”，点B和点E互为“友好点”，且中有一个内角为50°，则________°
(2)已知，在平面直角坐标系中，点，，点P为角平分线上一动点，点C为x轴上一动点，连接．
①如图1，，求证：与互为“友好三角形”；
②在①的条件下，若点P的坐标为，求点C的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，将绕着点O顺时针方向旋转30°（即）得到，连接、、、，为的角平分线，过点P（P点不在点O处）作轴于点E，当点E在线段之间（不包含端点），点C在点E左侧且时，证明：与互为“友好三角形”，并说明，，之间的数量关系．
题型7 翻折问题
例7如图，在中，是的中点，且，将线段沿所在直线翻折，得到线段，作交直线于点．
(1)依题意补全图形；
(2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
举一反三1如图，中，，，过A的直线交于D，设，沿直线翻折得到，连交于E．
(1)求证：；
(2)连，求．
举一反三2平面直角坐标系中，点A，C分别是x轴和y轴上的动点，．
(1)如图1，若，求点B的坐标；
(2)如图2，设交x轴于点D，若平分，求点B的纵坐标；
(3)如图3，当点C运动到原点O时，的平分线交y轴于点为线段上一点，将沿翻折，的对应边的延长线交于点G，H为线段上一点，且，求的值．（用含t的式子表示）
举一反三3如图，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，过点B分别作x轴和y轴的平行线交函数y＝（x＞0）的图象于点A，C．
(1)若点B的坐标为（1，2），求A，C两点的坐标；
(2)若点B是y＝（x＞0）的图象上任意一点，求△ABC的面积．
(3)OC平分OA与x轴正半轴的夹角，将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，求四边形OABC的面积．
举一反三4在探索三角形全等的条件时，老师给出了定长线段，且长度为的边所对的角为 小明和小亮按照所给条件分别画出了图1中的三角形，他们把两个三角形重合在一起（如图2），其中发现它们不全等，但他们对该图形产生了浓厚兴趣，并进行了进一步的探究：
（1）当时（如图2），小明测得，请根据小明的测量结果，求的大小；
（2）当时，将沿翻折，得到（如图3），小明和小亮发现的大小与角度有关，请找出它们的关系，并说明理由；
（3）如图4，在（2）问的基础上，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使得，连接，请判断的形状，并说明理由．
题型8 直角三角形在正方形中的运用
例8已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1（如图所示）把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，求F、C两点的距离
举一反三1如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在正方形ABCD内部，延长AF交CD于点G，请判断线段GF与GC的大小关系．
举一反三2如图，在正方形中，等边三角形的顶点分别在和上，求证：．
举一反三3如图，在ABC中，∠C＝90º，BD是ABC的一条角一平分线，点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形，
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长
题型9 直角三角形的坐标系问题
例9如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，平分与y轴交于D点，．
(1)求证：；
(2)在（1）中点C的坐标为，点E为上一点，且，如图2，求的长；
(3)在（1）中，过D作于点，点H为上一动点，点G为上一动点，（如图3），当点H在上移动、点G在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．
举一反三1如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为A，轴，垂足为C，点B的坐标为，且满足，过点C作分别交线段，于点E，F，连接．
(1)求点C，B的坐标．
(2)若，求证：．
举一反三2如图1，在平面直角坐标系中，的顶点，点C在x轴正半轴上，点的延长线交于点D．且．
(1)求C点的坐标；
(2)判断与的位置关系，并说明理由；
(3)如图2，求证：平分．
举一反三3【探究证明】（1）如图①，在四边形中，，P是上一点，，．求证：．
【结论应用】（2）如图②，等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，其中，，直接写出点C的坐标为 ．
【联系拓展】（3）如图③，在四边形中，，P是上一点， ，，当，时，求的值．
题型10 利用全等判定求四边形的面积
例10如图，已知，点在上，，垂足分别为，．
(1)求证：．
(2)如果，求四边形的面积．
举一反三1如图，在中，，于点D，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，求四边形的面积．
举一反三2已知点为平分线上一点，于，于，点，分别是射线，上的点，且．
(1)如图①，当点在线段上，点在线段上时，易证得；（要证明）
(2)如图②，当点在线段上，点在线段的延长线上时，（1）中结论是否还成立？如果成立，请你证明，如果不成立，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系______；
(4)如图③，当点在线段的延长线上，点在线段上时，若，且，求四边形的面积．
题型11 利用全等求三角形的面积
例11已知：如图，平分，于E，于F，且．
(1)若，则 ．
(2)若的面积是24，的面积是16，则的面积等于 ．
举一反三1已知：如图，，，E是上的一点，且，．
(1)求证：；
(2)若，试求的面积．
举一反三2如图1，已知直线与相交于点O，平分，点G在射线上，点F在射线上，且，交于点P，若，．
(1)求与的面积之比；
(2)比较与的大小并说明理由；
(3)如图2，当点M在线段上，点N在射线上，且，试问的值是否为定值；如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
举一反三3如图，平面直角坐标系内，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线于点D，交y轴于点E，交x轴于点C，，且．
(1)求证：；
(2)求的面积；
(3)点M为线段上一动点，作，且交于点N，当点M运动时，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
题型12 动点问题
例12 如图，四边形中，，与相交于点，．
(1)求证：垂直平分；
(2)过点作交的延长线于，请根据题意在图中补全图形，若．
①求证：是等边三角形；
②若分别是上的动点，当的值最小时，请确定点的位置，并说明理由，求出此时与的数量关系．
举一反三1如图，，与相交于点，．
(1)求证垂直平分；
(2)过点作交的延长线于，如果；
①求证是等边三角形；
②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系．
举一反三2如图，在中，，于点，于点，，，，动点以的速度从点向终点运动，同时动点以的速度从点向终点运动，当一个点到达终点停止时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为．
(1)__________；
(2)求证：无论取何值，都有；
(3)是否存在的值，使得与全等？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
题型13 规律探究
例13在中，平分交于点D．
(1)如图1，若，求的值；
(2)如图2，点P为延长线上的一点，于点G，当时，求的度数；
(3)如图3，平分的外角交的延长线于点M，连，点N是延长线上的一点且，请探究与之间是否存在某种数量关系，写出你的结论并加以证明．
举一反三1阅读下列材料，然后解决问题：截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
(1)如图，平分，，探究、与之间的关系．
解决此问题可以用如下方法：在上截，易证，则，，利用三角形的外角定理及等腰三角形的判定，可以得到、及的数量关系是．（此方法为截长法，当然我们也可以考虑延长）
(2)问题解决：如图，在四边形中，，，、分别是边，边上的两点，且，求证：．
(3)问题拓展：如图，在中，，，平分的外角，交延长线于点，是上一点，且．求证：．
举一反三2已知，如图，在中，的垂直平分线与的角平分线交于点D，
(1)如图1，判断和之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若时，探究线段之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，在（2）的条件下，和的延长线交于点E，点F是上一点且，连接交于点G，若，求的长．
举一反三3（1）阅读理解：如图①，在中，，，，垂足分别为，，且，与交于点．图中与全等的三角形是 ，与全等的三角形是 ；
（2）问题探究：如图②，在中，，，平分，，垂足为．探究线段，，之间的关系，并证明；
（3）问题解决：如图③，在中，，，平分，交的延长线于点．求证：．
一、单选题
1．如图，在中，，为上一点，联结，点在上，过点作，，垂足分别为M、N．下面四个结论：
①如果，那么；
②如果，那么；
③如果，那么；
④如果，那么．
其中正确的有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E．AB＝10cm，则△DEB的周长为（ ）
A．8cmB．10cmC．12cmD．14cm
3．如图，在和中，，，，则（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
4．如图在Rt△ABC=90，如果CD、CM分别是斜边上的高和中线，AC=2，BC=4，那么下列结论中错误的是（ ）
A．∠ACD=∠BB．CM=C．∠B=30D．CD=
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD与CE分别是斜边AB上的高与中线，以下判断中正确的个数有（ ）
①∠DCB=∠A；②∠DCB=∠ACE；③∠ACD=∠BCE；④∠BCE=∠BEC．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
6．如图，在中，，，，平分，于点，则的周长是 ．
7．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在BC上DE⊥AB，点E为垂足，且DC=DE，连接AD，则∠ADB的大小为 ．
8．如图，在中，，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥BA于E，AB＝6 cm，则△DEB的周长是 cm．
10．如图，点A为的平分线上一点，过A任意作一条直线分别与的两边相交于B、C，P为中点，过P作的垂线交射线于点D，若，则的度数为 度．
11．如图，在与中，，，，若，则的度数为 ．
12．如图，已知D是直角三角形ABC中BC边的延长线上的一点，CD＝AC，∠ACB=60°，则BC∶CD=
三、解答题
13．如图，在与中，，，与交于点F，且，
求证：
(1) ；
(2)．
14．如图，，点E是的中点．平分．
(1)求证：是的平分线；
(2)已知，，求四边形的面积．
15．如图，在中，，，，，垂足分别为点D、E，交于点F．
(1)求证：；
(2)若 ，，，则的长______．
16．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
已知对应相等的元素
可选择的判定方法
需寻找的条件
锐角三角形或钝角三角
形
两边(SS)
SSS或SAS
第三边对应相等或两边的夹角对应相等
一边及其邻角
(SA)
SAS或ASA或AAS
已知角的另一邻边对应相等或已知边的另一邻角对应相等或已知边的对角对应相等
一边及其对角(SA)
AAS
另一角对应相等
两角(AA)
ASA或AAS
两角的夹边对应相等或相等一角的对边对应相等
直角
三角
形
一锐角(A)
ASA或AAS
直角与已知锐角的夹边对应相等或锐角(或直角)的对边对应相等
斜边(H)
HL或AAS
一条直角边对应相等或一锐角对应相等
一直角边(L)
HL或ASA或AAS或SAS
斜边对应相等或与已知边相邻的锐角对应相等或与已知边所对的锐角对应相等或另一直角边对应相等
会运用“HL”判定两个直角三角形全等.
知识点一 直角三角形
我们知道,有一个角是直角的三角形叫做直角三角形(right triangle),直角三角形可以用符号“Rt△”表示,如图所示的三角形可记为Rt△ABC
知识点二 直角三角形全等的判定方法: HL
1.判定方法(斜边直角边)
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或“HL”
书写格式
在中，
∴
灵活选择判定方法证明两直角三角形全等
(1)判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等全部适用，至此我们可以根据SSS，SASASA，AAS和HL五种方法来判定两个直角三角形全等
(2)在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备直角相等的条件,所以只需找另外两个条件即可.证明中可根据已知条件灵活选用合适的方法
即学即练1下列条件中，不能保证两个直角三角形一定全等的是（ ）
A．两条直角边分别相等
B．斜边和一条直角边分别相等
C．一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等
D．两个锐角分别相等
即学即练2 如图，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点F为BC延长线上一点，点E在AC上，且AF=BE．
(1)求证：△ACF≌△BCE．
(2)若∠ABE=23°，求∠BAF的度数．
知识点三 判定两个三角形全等常用的思路方法
知识点四 常见全等三角形的基本图形
平移型全等
翻折型全等
旋转型全等
题型1 直角三角形全等判定辨析
例1下列命题中，是假命题的是（ ）
A．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；
B．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
C．每个命题都有逆命题；
D．每个定理都有逆定理．
举一反三1已知下列说法，其中结论正确的个数是（ ）
①等腰三角形一边上的高就是这条边上的中线；②等腰三角形的对称轴就是底边上的中线；③若一条直线上的一点P到线段两端的距离相等，则这条直线是这条线段的垂直平分线；④若两个直角三角形的一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
举一反三2下列语句中，正确的有（ ）个．
①一边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等；
②两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；
③三角形的三个内角中至少有两个锐角；
④三角形的外角大于任何一个内角．
A．1B．2C．3D．4．
题型2 利用直角三角形的全等判定求线段关系
例2已知：如图，点是的边上的一点，过点作，，、为垂足，再过点作，交于点，且．
(1)求证：；
(2)当点是边的中点时，求证：．
举一反三1如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC>CD，AC平分∠BCD，过点A作AE⊥BC，垂足为点E．
(1)求证：CE=CDBE；
(2)如果CE=3BE，求的值．
举一反三2如图，在中，，平分，交于点，于，点在上，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
举一反三3如图，于点E，于点F，若，，
(1)求证：平分；
(2)写出与之间的等量关系，并说明理由．
举一反三4如图，于点E，于点F，若，．
(1)求证：AD平分；
(2)求证：．
题型3 直角三角形的判定证明角平分线或垂直平分线
例3如图，在中，D是的中点，，垂足分别是点E、F，．求证：平分．
举一反三1如图，是的角平分线，于点E，于点F，求证：是的垂直平分线．
举一反三2如图，于E，于F，若．
(1)求证：平分；
(2)已知 ，，求的长．
举一反三3如图，在四边形中，，是的中点，平分．
(1)求证：平分；
(2)线段与有怎样的位置关系？并说明理由；
(3)求证：．
题型4 直角三角形的判定在几何证明中的应用
例4 如图，AB、ED分别垂直于BD，点B、D是垂足，且AB=CD，AC=CE，
求证：△ACE是直角三角形．
举一反三1如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．
求证：（1）Rt△ABF≌Rt△DCE；
（2）OE＝OF．
举一反三2（1）已知，如图，在三角形中，AD是BC边上的高．尺规作图：作的平分线（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）﹔
（2）在已作图形中，若l与AD交于点E，且，求证：．
题型5 直角三角形平移型全等判断
例5如图（1），，，点C是上一点，且，．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由．
(2)如图（2），若把沿直线向左平移，使的顶点C与B重合，此时第（1）问中与的位置关系还成立吗？说明理由．（注意字母的变化）．
举一反三1如图，点A、B、C、D在同一直线上，，作于点C，于点B，且，连接，．
(1)求证：且；
(2)若将沿方向平移得到图2，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？说明理由．
举一反三2已知，如图1，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，点C在直线BD上且与F重合，AC=EF，BC=DE .
(1)请说明△ABC≌△FDE，并判断AC是否垂直FE？
(2)若将△ABC 沿BD方向平移至如图2的位置时，且其余条件不变，则AC是否垂直FE？请说明为什么？
题型6 旋转问题
例6已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转．
(1)当C转到AB边上点C′位置时，A转到A′，（如图1所示）直线CC′和AA′相交于点D，试判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)将Rt△ABC继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)将Rt△ABC旋转至A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出此时旋转角α的度数．
举一反三1在等腰三角形中，，是由绕点C按顺时针方向旋转角得到，且点A的对应点D恰好落在直线上，如图1．
(1)判断直线与直线的位置关系，并证明；
(2)当时，求的大小；
(3)如图2，点F为线段的中点，点G在线段上且，当点E在线段上时，求证：．
举一反三2定义：若两个等腰三角形的顶角之和等于180°，则称这两个等腰三角形互为“友好三角形”，这两个角的顶点互为“友好点”．
(1)已知与互为“友好三角形”，点B和点E互为“友好点”，且中有一个内角为50°，则________°
(2)已知，在平面直角坐标系中，点，，点P为角平分线上一动点，点C为x轴上一动点，连接．
①如图1，，求证：与互为“友好三角形”；
②在①的条件下，若点P的坐标为，求点C的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，将绕着点O顺时针方向旋转30°（即）得到，连接、、、，为的角平分线，过点P（P点不在点O处）作轴于点E，当点E在线段之间（不包含端点），点C在点E左侧且时，证明：与互为“友好三角形”，并说明，，之间的数量关系．
题型7 翻折问题
例7如图，在中，是的中点，且，将线段沿所在直线翻折，得到线段，作交直线于点．
(1)依题意补全图形；
(2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
举一反三1如图，中，，，过A的直线交于D，设，沿直线翻折得到，连交于E．
(1)求证：；
(2)连，求．
举一反三2平面直角坐标系中，点A，C分别是x轴和y轴上的动点，．
(1)如图1，若，求点B的坐标；
(2)如图2，设交x轴于点D，若平分，求点B的纵坐标；
(3)如图3，当点C运动到原点O时，的平分线交y轴于点为线段上一点，将沿翻折，的对应边的延长线交于点G，H为线段上一点，且，求的值．（用含t的式子表示）
举一反三3如图，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，过点B分别作x轴和y轴的平行线交函数y＝（x＞0）的图象于点A，C．
(1)若点B的坐标为（1，2），求A，C两点的坐标；
(2)若点B是y＝（x＞0）的图象上任意一点，求△ABC的面积．
(3)OC平分OA与x轴正半轴的夹角，将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，求四边形OABC的面积．
举一反三4在探索三角形全等的条件时，老师给出了定长线段，且长度为的边所对的角为 小明和小亮按照所给条件分别画出了图1中的三角形，他们把两个三角形重合在一起（如图2），其中发现它们不全等，但他们对该图形产生了浓厚兴趣，并进行了进一步的探究：
（1）当时（如图2），小明测得，请根据小明的测量结果，求的大小；
（2）当时，将沿翻折，得到（如图3），小明和小亮发现的大小与角度有关，请找出它们的关系，并说明理由；
（3）如图4，在（2）问的基础上，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使得，连接，请判断的形状，并说明理由．
题型8 直角三角形在正方形中的运用
例8已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1（如图所示）把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，求F、C两点的距离
举一反三1如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在正方形ABCD内部，延长AF交CD于点G，请判断线段GF与GC的大小关系．
举一反三2如图，在正方形中，等边三角形的顶点分别在和上，求证：．
举一反三3如图，在ABC中，∠C＝90º，BD是ABC的一条角一平分线，点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形，
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长
题型9 直角三角形的坐标系问题
例9如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，平分与y轴交于D点，．
(1)求证：；
(2)在（1）中点C的坐标为，点E为上一点，且，如图2，求的长；
(3)在（1）中，过D作于点，点H为上一动点，点G为上一动点，（如图3），当点H在上移动、点G在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．
举一反三1如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为A，轴，垂足为C，点B的坐标为，且满足，过点C作分别交线段，于点E，F，连接．
(1)求点C，B的坐标．
(2)若，求证：．
举一反三2如图1，在平面直角坐标系中，的顶点，点C在x轴正半轴上，点的延长线交于点D．且．
(1)求C点的坐标；
(2)判断与的位置关系，并说明理由；
(3)如图2，求证：平分．
举一反三3【探究证明】（1）如图①，在四边形中，，P是上一点，，．求证：．
【结论应用】（2）如图②，等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，其中，，直接写出点C的坐标为 ．
【联系拓展】（3）如图③，在四边形中，，P是上一点， ，，当，时，求的值．
题型10 利用全等判定求四边形的面积
例10如图，已知，点在上，，垂足分别为，．
(1)求证：．
(2)如果，求四边形的面积．
举一反三1如图，在中，，于点D，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，求四边形的面积．
举一反三2已知点为平分线上一点，于，于，点，分别是射线，上的点，且．
(1)如图①，当点在线段上，点在线段上时，易证得；（要证明）
(2)如图②，当点在线段上，点在线段的延长线上时，（1）中结论是否还成立？如果成立，请你证明，如果不成立，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系______；
(4)如图③，当点在线段的延长线上，点在线段上时，若，且，求四边形的面积．
题型11 利用全等求三角形的面积
例11已知：如图，平分，于E，于F，且．
(1)若，则 ．
(2)若的面积是24，的面积是16，则的面积等于 ．
举一反三1已知：如图，，，E是上的一点，且，．
(1)求证：；
(2)若，试求的面积．
举一反三2如图1，已知直线与相交于点O，平分，点G在射线上，点F在射线上，且，交于点P，若，．
(1)求与的面积之比；
(2)比较与的大小并说明理由；
(3)如图2，当点M在线段上，点N在射线上，且，试问的值是否为定值；如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
举一反三3如图，平面直角坐标系内，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线于点D，交y轴于点E，交x轴于点C，，且．
(1)求证：；
(2)求的面积；
(3)点M为线段上一动点，作，且交于点N，当点M运动时，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
题型12 动点问题
例12 如图，四边形中，，与相交于点，．
(1)求证：垂直平分；
(2)过点作交的延长线于，请根据题意在图中补全图形，若．
①求证：是等边三角形；
②若分别是上的动点，当的值最小时，请确定点的位置，并说明理由，求出此时与的数量关系．
举一反三1如图，，与相交于点，．
(1)求证垂直平分；
(2)过点作交的延长线于，如果；
①求证是等边三角形；
②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系．
举一反三2如图，在中，，于点，于点，，，，动点以的速度从点向终点运动，同时动点以的速度从点向终点运动，当一个点到达终点停止时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为．
(1)__________；
(2)求证：无论取何值，都有；
(3)是否存在的值，使得与全等？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
题型13 规律探究
例13在中，平分交于点D．
(1)如图1，若，求的值；
(2)如图2，点P为延长线上的一点，于点G，当时，求的度数；
(3)如图3，平分的外角交的延长线于点M，连，点N是延长线上的一点且，请探究与之间是否存在某种数量关系，写出你的结论并加以证明．
举一反三1阅读下列材料，然后解决问题：截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
(1)如图，平分，，探究、与之间的关系．
解决此问题可以用如下方法：在上截，易证，则，，利用三角形的外角定理及等腰三角形的判定，可以得到、及的数量关系是．（此方法为截长法，当然我们也可以考虑延长）
(2)问题解决：如图，在四边形中，，，、分别是边，边上的两点，且，求证：．
(3)问题拓展：如图，在中，，，平分的外角，交延长线于点，是上一点，且．求证：．
举一反三2已知，如图，在中，的垂直平分线与的角平分线交于点D，
(1)如图1，判断和之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若时，探究线段之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，在（2）的条件下，和的延长线交于点E，点F是上一点且，连接交于点G，若，求的长．
举一反三3（1）阅读理解：如图①，在中，，，，垂足分别为，，且，与交于点．图中与全等的三角形是 ，与全等的三角形是 ；
（2）问题探究：如图②，在中，，，平分，，垂足为．探究线段，，之间的关系，并证明；
（3）问题解决：如图③，在中，，，平分，交的延长线于点．求证：．
一、单选题
1．如图，在中，，为上一点，联结，点在上，过点作，，垂足分别为M、N．下面四个结论：
①如果，那么；
②如果，那么；
③如果，那么；
④如果，那么．
其中正确的有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E．AB＝10cm，则△DEB的周长为（ ）
A．8cmB．10cmC．12cmD．14cm
3．如图，在和中，，，，则（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
4．如图在Rt△ABC=90，如果CD、CM分别是斜边上的高和中线，AC=2，BC=4，那么下列结论中错误的是（ ）
A．∠ACD=∠BB．CM=C．∠B=30D．CD=
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD与CE分别是斜边AB上的高与中线，以下判断中正确的个数有（ ）
①∠DCB=∠A；②∠DCB=∠ACE；③∠ACD=∠BCE；④∠BCE=∠BEC．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
6．如图，在中，，，，平分，于点，则的周长是 ．
7．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在BC上DE⊥AB，点E为垂足，且DC=DE，连接AD，则∠ADB的大小为 ．
8．如图，在中，，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥BA于E，AB＝6 cm，则△DEB的周长是 cm．
10．如图，点A为的平分线上一点，过A任意作一条直线分别与的两边相交于B、C，P为中点，过P作的垂线交射线于点D，若，则的度数为 度．
11．如图，在与中，，，，若，则的度数为 ．
12．如图，已知D是直角三角形ABC中BC边的延长线上的一点，CD＝AC，∠ACB=60°，则BC∶CD=
三、解答题
13．如图，在与中，，，与交于点F，且，
求证：
(1) ；
(2)．
14．如图，，点E是的中点．平分．
(1)求证：是的平分线；
(2)已知，，求四边形的面积．
15．如图，在中，，，，，垂足分别为点D、E，交于点F．
(1)求证：；
(2)若 ，，，则的长______．
16．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
已知对应相等的元素
可选择的判定方法
需寻找的条件
锐角三角形或钝角三角
形
两边(SS)
SSS或SAS
第三边对应相等或两边的夹角对应相等
一边及其邻角
(SA)
SAS或ASA或AAS
已知角的另一邻边对应相等或已知边的另一邻角对应相等或已知边的对角对应相等
一边及其对角(SA)
AAS
另一角对应相等
两角(AA)
ASA或AAS
两角的夹边对应相等或相等一角的对边对应相等
直角
三角
形
一锐角(A)
ASA或AAS
直角与已知锐角的夹边对应相等或锐角(或直角)的对边对应相等
斜边(H)
HL或AAS
一条直角边对应相等或一锐角对应相等
一直角边(L)
HL或ASA或AAS或SAS
斜边对应相等或与已知边相邻的锐角对应相等或与已知边所对的锐角对应相等或另一直角边对应相等
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