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初中数学沪教版 (五四制)八年级上册19．9 勾股定理精品第1课时精练
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这是一份初中数学沪教版 (五四制)八年级上册19．9 勾股定理精品第1课时精练，文件包含199第1课时勾股定理原卷版docx、199第1课时勾股定理解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共83页， 欢迎下载使用。
1.掌握幻股定理，了解利用拼图验证幻股定理的方法
2.会借助勾股定理确定数轴上表示无理数的点理解实数与数轴上的点的一一对应关系.
3.能够从实际问题中抽象出直角三角形并能运用股定理进行有关的计算和证明
知识点一 勾股定理
1.勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,是数学中最著名的定理之一,在图形研究和生活、生产实践中有广泛的应用.
2.符号语言
如果为直角三角形的两条直角边的长,为斜边的长，则.
变式与应用
（1）变式
，
（2）应用
，，
(1)应用勾股定理可以求边长,但当已知的三角形不是直角三角形时常通过作高,构造直角三角形,再利用勾股定理求解；
(2)勾股定理揭示的是直角三角形的三边间的等量关系，只有在直角三角形中才能使用勾股定理
(3)应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在应用时，斜边只能是.若为斜边，则关系式是,若为斜边则关系式是
(3)若没有明确所给直角三角形中边的类型(是直角边还是斜边),要分类讨论，以免漏解
即学即练1已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c．
(1)若a=1，b=2，求c．
(2)若a=15，c=17，求b．
【答案】(1)c=5
(2)b=8
【分析】（1）由于所求边c是斜边，所以利用勾股定理直接可得c=a2+b2，代入a，b的值即可求得c的值；
（2）由于所求边b是直角边，所以利用勾股定理直接可得b=c2−a2，代入a，c的值即可求得b的值．
【详解】（1）根据勾股定理，得c2=a2+b2=12+22=5．
∵c>0，
∴c=a2+b2=5．
（2）根据勾股定理，得b2=c2−a2=172−152=64．
∵b>0，
∴b=c2−a2=8．
【点睛】本题考查利用勾股定理解直角三角形，已知两边求第三边时，关键要注意所求边是直角边，还是斜边．
即学即练2 在图中所示的长方形零件示意图中，根据所给的部分尺寸，求两孔中心A和B的距离（单位：mm）
【答案】130mm
【分析】首先根据题意算出AC和BC的长，再利用勾股定理计算出BA的长即可．
【详解】解：如图所示：
由题意得：AC=90−40=50（mm），BC=160−40=120（mm），
在Rt△AOB中：AB=AC2+BC2=502+1202=130（mm），
答：两孔中心A、B之间的距离为130mm．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
知识点二 勾股定理的应用
勾股定理把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数的关系.其主要应用如下：
(1)已知直角三角形的任意两边求第三边;
(2)已知直角三角形的任意一边和另两边的关系,求出未知的两边；
(3)证明包含平方(算术平方根)关系的几何问题；
(4)构造方程(或方程组)计算有关线段的长度,解决生产、生活中的实际问题.
即学即练1 已知一架5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动多远？
【答案】1米
【分析】根据勾股定理求解即可．
【详解】解：在直角三角形△ABO中，根据勾股定理可得，OA=52−32=4m，
如果梯子的顶度端下滑1米，
则OA′=4−1=3m．
在直角三角形A′B′O中，根据勾股定理得到：OB′=4m，
则梯子滑动的距离就是OB′−OB=4−3=1m．
【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
即学即练2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；
(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；
(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；
(4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高hc；
(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．
【答案】(1)a＝45cm．b＝60cm； (2)540； (3)a＝30，c＝34；(4)63； (5)12．
【详解】试题分析：（1）设a=3x,b=4x,利用勾股定理，可得出x的值，继而得出答案；
（2）设a=15x，c=17x， 利用勾股定理，可得出x的值，继而得出答案；
（3）根据勾股定理可求出c+a，联立c−a=4，可得出a、c.
（4）求出a、b， 根据直角三角形面积的两种表示形式可得出高ℎc；
（5）设a=x−1，b=x，c=x+1， 利用勾股定理解出x的值即可．
试题解析：(1)设a=3x,b=4x,则(3x)2+(4x)2=752，
解得：x=15，故可得：a=45cm，b=60cm；
(2)设a=15x,c=17x,则(17x)2−(15x)2=242，
解得：x=3,则a=45,故△ABC的面积=12×45×24=540；
(3)c2−a2=b2=162,即(c+a)(c−a)=162，
∵c−a=4，
∴c+a=64，
则c−a=4c+a=64，
解得：a=30c=34.
即a=30，c=34；
(4)∵∠A=30∘，c=24，
∴a=12,b=123，
则12ab=12c×ℎc，
解得：ℎc=63；
(5)设a=x−1，b=x，c=x+1，
则可得：(x−1)2+x2=(x+1)2，
解得：x=4，即a=3，b=4，c=5，
故a+b+c=12.
即学即练3 我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）．意思是有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
【答案】水深12尺，芦苇的长度是13尺
【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【详解】解：设水深x尺，芦苇(x+1)尺，1丈=10尺，
由勾股定理：x2+52=(x+1)2，
解得：x=12，
∴x+1=13，
答：水深12尺，芦苇的长度是13尺．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
知识点三 勾股定理的证明
对于勾股定理的证明,现在世界上已找出很多种运用图形的割、移补、拼构造特殊图形,并根据面积之间的关系进行推导的方法,现摘取几种著名的证法
注意：
(1)勾股定理是通过等积法来验证的，同一个图形用不同的方法计算的面积相等.
(2)勾股定理的验证,将“形’的问题转化为“数”的问题，体现了数形结合的思想
即学即练 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b−a，
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=12b2+12ab，S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=12c2+12a(b−a)，
∴12b2+12ab=12c2+12a(b−a)
12b2+12ab=12c2+12ab−12a2
12b2=12c2−12a2
b2=c2−a2
∴a2+b2=c2．
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．
求证：a2+b2=c2．
【答案】见解析
【分析】连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b−a，仿照已知材料中的方法，利用五边形ACBED面积的不同表示方法解答即可．
【详解】
证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b−a．
∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=12ab+12b2+12ab，
又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=12ab+12c2+12ab−a，
∴12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12ab−a，
∴12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12ab−12a2，
12b2=12c2−12a2，
b2=c2−a2，
∴a2+b2=c2．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，正确理解题意、得出五边形ACBED面积的不同表示方法是解题的关键．
知识点四 作长为n(n为大于1的整数)的线段
实数与数轴上的点是一一对应的,有理数在数轴上较易找到与它对应的点，若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难由此,我们可借助勾股定理作出长为(n为大于1的整数)的线段
即学即练 阅读下列材料，并回答问题.
事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理.请利用这个结论，完成下面活动：
(1)一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为_____________；
(2)如图，点A在数轴上表示的数是_____________，并请用类似的方法在右图数轴上画出表示数10的B点（保留作图痕迹）.
【答案】(1)10；
(2)−5，画图见解析
【分析】(1)根据题目中的数据和勾股定理，可以求得这个直角三角形斜边的长；
(2)先根据图形和勾股定理写出点A表示的数，然后仿照点A表示的方法，可以在数轴上表示出点B
【详解】（1）解：∵一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，
∴这个直角三角形斜边长为：62+82=10，
故答案为：10；
（2）解：由图可得，点A表示的数为：−22+12=−5，
∵32+12=10，
∴如下图所示，点B即为所求，
故答案为：−5．
【点睛】本题考查了勾股定理、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识和数形结合的思想解答．
题型一 用勾股定理解三角形
例1将两块等腰直角三角形板如图放置，其中A，B，E三点共线，若AB=BC=32，BE=BD=42，F，G分别是AC，DE的中点，H是FG的中点，则BH的长为（ ）
A．2B．2C．5D．2.5
【答案】D
【分析】连接BF，BG，先证明△FBG为直角三角形，并求得两条直角边的长度，即可求得FG的长度，进而可求得答案．
【详解】解：如图所示，连接BF，BG．
根据题意，得：
AC=AB2+AC2=322+322=6，
DE=BD2+BE2=422+422=8，
∵△ABC为等腰直角三角形，F为底边AC的中点，
∴BF=12AC=3，∠FBC=12∠ABC=45°．
同理可得：
BG=12DE=4，∠DBG=12∠DBE=45°，
∵∠FBG=∠FBC+∠DBG=45°+45°=90°，
∴△FBG为直角三角形．
∴FG=FB2+BG2=32+42=5．
∵H为Rt△FBG斜边FG的中点，
∴BH=12FG=2.5．
故选：D．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质，牢记等腰三角形的性质（三线合一）、勾股定理、直角三角形的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）是解题的关键．
举一反三1如图，四边形ABCD中，若AB=AD=5，BD=8，∠ABD=∠CDB，则△ABC的面积为 ．
【答案】12
【分析】过点A作AE⊥BD交BD于点E，由已知条件可判定AB∥CD，S△ABC=S△ABD，再由AB=AD可判定△ABD是等腰三角形，则BE=4，利用勾股定理可求得AE，从而可求面积．
【详解】解：过点A作AE⊥BD交BD于点E，如图，
∵∠ABD=∠CDB，
∴AB∥CD，
∴S△ABC=S△ABD，
∵AB=AD=5，
∴△ABD是等腰三角形，
∴BE=12BD=4，
∴AE=AB2−BE2=3，
∴S△ABD=12BD⋅AE=12×8×3=12，
∴S△ABC=S△ABD=12．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查三角形的面积，解答的关键是由平行线的之间的距离处处相等得到S△ABC=S△ABD．
举一反三2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，若AC+AB=45，BC=15，则CD的长是（ ）
A．14B．12C．10D．8
【答案】B
【分析】先利用勾股定理和平方差公式求出AB−AC的值，进而求出AB，AC的长，再利用等面积法即可求解．
【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
有AB2=AC2+BC2，
又∵BC=15，
∴AB2−AC2=225，
∴(AB−AC)(AB+AC)=225，
又∵AC+AB=45，
∴AB−AC=5，
解得：AB=25AC=20，
∵CD⊥AB
∴S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴CD=AC⋅BCAB=20×1525=12，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，平方差公式和等面积法，熟练掌握勾股定理，平方差公式和等面积法及数形结合的运用是解题关键．
题型二 已知两点坐标求两点距离
例2在平面直角坐标系内有一点P5,2，点Q与点P关于原点中心对称，则PQ= ．
【答案】6
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得点Q的坐标；然后利用勾股定理求得线段PQ的长度即可．
【详解】解：∵点P5,2，点Q与点P关于原点中心对称，
∴P−5,−2，
∴PQ=−5−52+−2−22=6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、关于原点对称的点的坐标等知识点，关键掌握点的坐标的变化规律是解答本题的关键．
举一反三1如图，在平面直角坐标系中，A(−3,0)，B(0,2)，以点A为圆心，AB为半径画圆，交x轴于点C，D，记点C，D之间距离为d，则数d的大小在哪两个相邻整数之间（ ）
A．5与6之间B．6与7之间C．7与8之间D．12与13之间
【答案】C
【分析】结合已知条件求得OA，OB的长度，然后利用勾股定理求得AB的长度，继而求得CD的长度，然后估算出它在哪两个连续整数之间即可．
【详解】解：由题意可得OA=3，OB=2，∠AOB=90°，
则AB= 32+22 = 13，
那么CD=2AB=2 13，
∵2 13 = 52，49<52<64，
∴7< 52 <8，
即数d的大小在7与8之间，
故选：C．
【点睛】本题考查无理数的估算，直角坐标系及勾股定理，结合已知条件求得CD的长度是解题的关键．
举一反三2如图，在直角坐标系中，以点A3,1为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过点B1,1，点C1,3，点D4,4，点E5,2，则∠BAC ∠DAE（填“>”“=”“<”中的一个）．
【答案】=
【分析】连接DE，判断△ABC和△ADE是等腰直角三角形，即可得到∠BAC=∠DAE=45°．
【详解】解：连接DE，如图
∵点A3,1，点B1,1，点C1,3，点D4,4，点E5,2，
由勾股定理与网格问题，则
AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形；
∵AE=DE=22+12=5，AD=32+12=10，
∴AE2+DE2=AD2，
∴∠AED=90°，
∴△ADE是等腰直角三角形；
∴∠BAC=∠DAE=45°；
故答案为：=．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握掌握所学的知识，正确判断△ABC和△ADE是等腰直角三角形．
题型三 勾股树(数) 问题
例3下列各组数中，可以构成勾股数的是（ ）
A．13，16，19B．5，13，15C．18，24，30D．12，20，37
【答案】C
【分析】根据勾股数定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，进行分析即可．
【详解】解：A、132+162≠192，不能构成直角三角形，故此选项错误；
B、132+52≠152，不能构成直角三角形，故此选项错误；
C、182+242=302，能构成直角三角形，故此选项正确；
D、122+202≠372，不能构成直角三角形，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股数，掌握勾股数的定义是解题的关键．
举一反三1观察下列各组勾股数的组成特点，
第1组：3=2×1+1，4=2×1×1+1，5=2×1×1+1+1；
第2组：5=2×2+1，4=2×2×2+1，13=2×2×2+1+1；
第3组：7=2×3+1，24=2×3×3+1，25=2×3×3+1+1；
第4组：9=2×4+1，40=2×4×4+1，41=2×4×4+1+1；
…
第7组：a，b，c．
(1)写出第7组勾股数a，b，c各是多少．
(2)写出第n组勾股数，并证明．
【答案】(1)a=15，b=112，c=113
(2)第n组勾股数是2n+1，2nn+1，2nn+1+1；证明见解析
【分析】（1）根据题目中给出的数字规律得出结果即可；
（2）根据题目中的规律得出第n组勾股数即可，根据勾股数的定义，利用整式混合运算法则进行证明即可．
【详解】（1）解：∵第1组：3=2×1+1，4=2×1×1+1，5=2×1×1+1+1；
第2组：5=2×2+1，12=2×2×2+1，13=2×2×2+1+1；
第3组：7=2×3+1，24=2×3×3+1，25=2×3×3+1+1；
第4组：9=2×4+1，40=2×4×4+1，41=2×4×4+1+1；
∴第7组勾股数是a=2×7+1=15，b=2×7×7+1=112，c=2×7×7+1+1=113，
即第7组勾股数为a=15，b=112，c=113；
（2）解：由（1）的规律可知，第n组勾股数是2n+1，2nn+1，2nn+1+1；
∵2n+12=4n2+4n+1，
2nn+12=2n2+2n2=4n4+4n2+8n3，
2nn+1+12=2nn+12+4nn+1+1=4n4+4n2+8n3+4n2+4n+1，
∴2n+12+2nn+12=2nn+1+12．
∴第n组勾股数是2n+1，2nn+1，2nn+1+1．
【点睛】本题主要考查了数字规律探索，勾股数，整式混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握勾股数的定义，整式混合运算法则，完全平方公式．
举一反三2勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 （结果用含m的式子表示）．
【答案】m2+1
【分析】2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】∵2m为偶数，
∴设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，
解得a=m2-1，
∴弦长为m2+1，
故答案为：m2+1．
【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
题型四 以直角三角形三边为边长的图形面积
例4汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若∠ADE=∠AED，AD=25，则△ADE的面积为（ ）
A．6B．5C．25D．210
【答案】A
【分析】由已知证得AD=AE=AB，进而证得EF=BF=12BE即四个全等的直角三角形长的直角边为短的直角边2倍，进而求得各边长，再由图形面积的割补关系，可得所求三角形的面积为一个直角三角形加半个小正方形的面积，进而可得到答案．
【详解】解：如图，∵∠ADE=∠AED
∴AD=AE=AB
∴∠AEF=∠ABF
∵AF⊥BE
∴EF=BF=12BE
∴GE=AH
∵∠GEM=∠HAM,∠MGE=∠MHA
∴△GEM≅△HAM
∴S△HAM=S△GEM
∴S△ADE=S△ADH+S△DGE
∵AD=25,DH=2AH,AD2=DH2+AH2
∴AH=2,DH=4
∴DG=GE=2
∴S△ADE=12×2×4+12×2×2=6
故选：A．
【点睛】本题考查全等形的证明及性质、勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
举一反三1如图，以Rt△ABC的三边为边长向外作正方形，∠ABC=90°，三个正方形的面积分别为S1、S2、S3，若S1=13、S2=12，则S3的值为（ ）
A．1B．5C．25D．144
【答案】A
【分析】先由正方形的面积公式将S1、S2、S3分别用含AB、BC、AC的式子表示，再根据勾股定理得到AB、BC、AC之间的等式，再转化为S1、S2、S3之间的等式，代入数值，即可求出S3的值．
【详解】解：∵以Rt△ABC的三边为边长向外作正方形的面积分别为S1、S2、S3，
∴S1=AB2，S2=BC2，S3=AC2，
∵∠ACB=90°，
∴BC2+AC2=AB2，
∴S2+S3=S1，
∵S1=13，S2=12，
∴12+S3=13，
∴S3=1，
故选：A．
【点睛】此题考查勾股定理及其应用，解题的关键是将S1、S2、S3分别用含AB、BC、AC的式子表示，根据勾股定理得到S1、S2、S3之间的相等关系，再求出S3的值．
举一反三2如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，分别以四边为边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲、S乙、S丙、S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ）
A．S甲=S丁B．S乙=S丙
C．S甲+S乙=S丙+S丁D．S甲−S乙=S丙−S丁
【答案】C
【分析】连接AC，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，依此即可求解．
【详解】解：连接AC，
由勾股定理得AB2+BC2=AC2，AD2+CD2=AC2，
∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，即S甲+S乙=S丙+S丁．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系．
题型五 勾股定理与网格问题
例5如图是由36个边长为1的小正方形拼成的网格图，请按照下列要求作图．
(1)在图1中画出一个以AB为边的Rt△ABC；
(2)在图2中画出一个以AB为底边的等腰△ABC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据网格的特点和直角三角形的定义求解即可；
（2）根据网格的特点，勾股定理和等腰三角形的定义求解即可；
【详解】（1）解：如图，Rt△ABC即为所求；
（2）解：如图，直角三角形ABC即为所求；
解：如图，
∵BC=32+42=5=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，直角三角形的定义，等腰三角形的定义和勾股定理，和正确利用网格结合勾股定理分析是解题关键．
举一反三1如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：
(1)在图1中画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；
(3)在图3中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数（和图2画的三角形不全等）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）画一个边长3，4，5的三角形即可；
（2）利用勾股定理，找长为2、22、10的线段，画三角形即可．
（3）利用勾股定理作一个边长为5的正方形即可得．
【详解】（1）解：如图1所示，Rt△ABC即为所求；
（2）解：如图所示，Rt△DEF即为所求；
（3）解：如图所示，△OPQ即为所求．
【点睛】此题主要考查了作图与应用作图．本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理即可解决．
举一反三2如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)AB=____________；
(2)请分别在图1，图2的正方形网格内按下列要求画一个格点三角形．
①在图1中，以AB为边画Rt△ABD（D与C不重合），使它与△ABC全等；
②在图2中，以AB为边画Rt△ABE，使它的一个锐角等于∠B，且与△ABC不全等．
【答案】(1)25；
(2)①见解析；②见解析．
【分析】（1）根据勾股定理求出AB的长即可；
（2）①如图1，根据三边对应相等的两个三角形全等作图即可；
②由图可知，△ABC为直角三角形，则求作△ABE必为直角三角形，只需证明所作的三角形与已知三角形对应边长不相等且有一组对边平行即可．
【详解】（1）AB=22+42=25
故答案为：25
（2）如图1，△ABD即为所求，
如图2，△ABE即为所求，理由如下：
由第一个图可知，AE∥BC，
∴∠EAB=∠ABC，
∵AC=2，BC=4，AB=25，
∴△ABC为直角三角形，且∠C=90°，
又∵BE=12+22=5，AE=5，AB=25，
∴AB2+BE2=20+5=25=AE2，
∴△ABE为直角三角形，且∠E=90°，
∴△ABC与△ABE不全等，
∴△ABE即为所求．
【点睛】本题考查了作图—应用与设计作图：应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清楚题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
题型六 勾股定理与折叠问题
例6如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上，则BD等于（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
【答案】D
【分析】先根据勾股定理求出AB，根据折叠的性质可得∠AED=∠ACD=90°，DE=CD，AE=AC，最后利用勾股定理解Rt△DEB即可．
【详解】解：∵ Rt△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，
∴ AB=AC2+BC2=62+82=10cm，
∵将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上，
∴ AE=AC=6cm，
∴ BE=AB−AE=4cm，
设BD=xcm，则CD=BC−BD=8−xcm，
由折叠的性质，可得DE=CD=8−xcm，∠AED=∠ACD=90°，
在Rt△DEB中，DE2+BE2=BD2，
∴ 8−x2+42=x2，
解得x=5，
∴ BD等于5cm．
故选D．
【点睛】本题考查勾股定理与折叠的性质，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等，对应角相等．
举一反三1如图，已知长方形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OP=OF．
(1)求证：△BOP≌△EOF；
(2)求证：CP=BF；
(3)求DF的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)DF=175
【分析】（1）由长方形的性质和折叠性质得∠B=∠E=90°，利用AAS可证△BOP≌△EOF；
（2）由全等三角形的性质得到OE=OB，由OP=OF即可得到EP=BF，又由折叠的性质可得，CP=EP，即可得到结论；
（3）由长方形的性质得到：DC=AB=4，AD=BC=3，由折叠性质可得DE=DC=4，
设BF=EP=CP=x，表示出AF、BP、DF，在Rt△ADF中，由勾股定理列方程，解方程，进一步即可得得到答案．
【详解】（1）解：由长方形性质可得∠A=∠B=∠C=90°，由折叠性质可得∠C=∠E=90°，
∴∠B=∠E=90°，
在△BOP与△EOF中，∠B=∠E∠BOP=∠EOFOP=OF，
∴△BOP≌△EOFAAS；
（2）∵△BOP≌△EOF，
∴OE=OB，
∵OP=OF，
∴OE+OP=OB+OF，
即EP=BF，
由折叠的性质可得，CP=EP
∴CP=BF；
（3）由长方形的性质得到：DC=AB=4，AD=BC=3，
由折叠性质可得DE=DC=4，
∵△BOP≌△EOF，
∴BP=EF，
设BF=EP=CP=x，
则AF=4−x，BP=EF=3−x，DF=DE−EF=4−3−x=x+1，
在Rt△ADF中，AF2+AD2=DF2，即4−x2+9=x+12，
∴x=125，
∴DF=x+1=175．
【点睛】此题考查了折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、长方形的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
举一反三2如图，Rt△ABC中，AB=4，BC=3，∠B=90°，M，N分别是边AC，AB上的两个动点，将△ABC沿直线MN折叠，使得点A的对应点D落在BC边的中点处，则线段BN的长为（ ）
A．5532B．7332C．56D．136
【答案】A
【分析】设BN=x，根据折叠得出DN=AN=4−x，然后在Rt△BDN中，根据勾股定理得出关于x的方程，然后解方程即可．
【详解】解：设BN=x，
∵折叠，AB=4，
∴DN=AN=4−x，
∵D为BC的中点，BC=3，
∴BD=12BC=32，
在Rt△BDN中，∠B=90°，BD=32，BN=x，DN=4−x，
∴4−x2=x2+322，
解得x=5532，
故选：A．
【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质、灵活应用勾股定理是解题的关键．
题型七 利用勾股定理求两条线段的平方和 (差)
例7如图所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2-MB2等于（ ）
A．9B．35C．45D．无法计算
【答案】C
【详解】【分析】由勾股定理求出BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2，再代入可得MC2-MB2=（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2），化简可求得结果.
【详解】在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2=AB2-AD2，CD2=AC2-AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2，
∴MC2-MB2=（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2）
=AC2-AB2
=45．
故选C
【点睛】本题考核知识点：勾股定理.解题关键点：灵活运用勾股定理.
举一反三1如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝2，AB＝3，下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF＝BD＝17；④△COF的面积是32．其中正确的结论为（ ）
A．①②④B．①④C．②③D．①③④
【答案】A
【分析】①根据正方形的性质和平角的定义可求得∠COD；
②根据正方形的性质求得OE的长，再根据线段的和差解得AE的长；
③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，根据含45°的直角三角形的性质可求FG的长，根据勾股定理可求得CF，BD的长，据此解答；
④根据三角形面积公式即可解答．
【详解】解：①∵∠AOC=90°,∠DOE=45°
∴∠COD=180°−∠AOC−∠DOE=45°
故①正确；
②∵EF=2
∴OE=2
∵AO=AB=3
∴AE=AO+OE=2+3=5
故②正确；
③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，则FG=1
∴CF=FG2+CG2=12+(3+1)2=17
BH=3−1=2
DH=3+1=4
BD=BH2+DH2=22+42=25
故③错误；
④S△COF=12×3×1=32，
故④正确，
即正确的结论为：①②④
故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质、含45°的直角三角形的性质、三角形面积、勾股定理、平角的定义等知识，综合性较强，掌握相关知识是解题关键．
举一反三2如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=1，AC=4，点A在y轴上，点C在x轴上，则点A在移动过程中，BO的最大值是 ．
【答案】2+5
【分析】取AC的中点M，连接OM，BM，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，解得OM=12AC=2，在Rt△ABM中，由勾股定理解得BM的值，再由三角形三边关系解得OB≤2+5，据此解题．
【详解】解：如图，取AC的中点M，连接OM，BM，
∵∠AOC=90°，AM=CM，AC=4，
∴OM=12AC=2，
在Rt△ABM中，
∵∠BAM=90°，AB=1，AM=2，
∴BM=12+22=5，
∵OB≤BM+OM，
∴OB≤2+5，
∴OB的最大值为2+5，
故答案为：2+5．
【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质、勾股定理、三角形三边关系等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
题型八 利用勾股定理证明线段平方关系
例8定义：如图，点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB，若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M,N是线段AB的勾股分割点．
(1)已知M,N把线段AB分割成AM,MN,NB，若AM=1，MN=2，BN=3，则点M,N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
(2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=12，AM=5，求BN的长．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)127或377
【分析】（1）N是线段AB的勾股分割点，结合勾股分割点，由已知条件得到AM2=1，MN2=4，BN2=3，从而根据AM2+BN2=MN2，即可得证；
（2）点M,N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，分两种情况，利用勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：N是线段AB的勾股分割点，
理由如下：
∵AM=1，MN=2，BN=3，
∴ AM2=1，MN2=4，BN2=3，
∴AM2+BN2=MN2，
∴以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴根据勾股分割点定义，M,N是线段AB的勾股分割点；
（2）解：∵点M,N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，有两种情况：
①MN为斜边时，有AM2+BN2=MN2，
设BN=x，则52+x2=7−x2，
∴x=127；
②BN为斜边时，有BN2=AM2+MN2，
设BN=x，则52+7−x2=x2，
∴x=377；
综上所述，BN的长为127或377．
【点睛】本题考查新定义问题，读懂题意，按照勾股分割点定义，结合勾股定理求解是解决问题的关键．
举一反三1如图，已知△ACB和△ECF中，∠ACB=∠ECF=90°，AC=BC，CE=CF，连接AE．BF交于点O．
(1)求证：△ACE≌△BCF；
(2)求∠AOB的度数；
(3)连接BE，AF，求证BE2+AF2=2AC2+CE2
【答案】(1)见解析
(2)90°
(3)见解析
【分析】（1）根据SAS证明△ACE≌△BCF即可．
（2）设EC交BF于点K．利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）连接BE，利用勾股定理解决问题即可．
【详解】（1）解：证明：∵∠ACB=∠ECF=90°，
∴∠ACE=∠BCF，
∵CA=CB，CE=CF，
∴△ACE≌△BCF(SAS)．
（2）设EC交BF于点K．
∵△ACE≌△BCF，
∴∠OEK=∠KFC，
∵∠CFK+∠CKF=90°，∠CKF=∠OKE，
∴∠OEK+∠OKE=90°，
∴∠EOK=90°，
∴∠AOB=90°．
（3）证明：连接BE．
∵∠BOE=∠AOF=90°，
∴BE2=OB2+OE2，AF2=OA2+OF2，
∵2AC2+EC2=AB2+EF2，
∴BE2+AF2=OB2+OE2+OA2+OF2=AB2+EF2=2AC2+CE2．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
举一反三2如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，E、F为AB上两点（E左F右），且∠ECF＝45°，求证：AE2+BF2=EF2．
【答案】见解析
【分析】由于∠ACB＝90°，∠ECF＝45°，所以∠ACE＋∠BCF＝45°，若将∠ACE和∠BCF合在一起则为一特殊角45°，于是想到将△ACE旋转到△BCF的右外侧合并，或将△BCF绕C点旋转到△ACE的左外侧合并，旋转后的BF边与AE边组成一个直角，联想勾股定理即可证明．
【详解】解：AE2+BF2=EF2，理由如下：
如图，将△BCF绕点C旋转得△ACF′，使△BCF的BC与AC边重合，
即△ACF′≌△BCF，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAF′＝∠B＝45°，
∴∠EAF′＝90°，
∵∠ECF＝45°，
∴∠ACE＋∠BCF＝45°，
∵∠ACF′＝∠BCF，
∴∠ECF′＝45°，
在△ECF和△ECF′中
CE=CE∠ECF′=∠ECF=45°CF=CF′
∴△ECF≌△ECF′（SAS），
∴EF＝EF′，
在Rt△AEF′中，AE2+F′A2=F′E2，
∴AE2+BF2=EF2．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、图形的旋转、勾股定理．解题的关键是综合运用相关知识解题．
题型九 勾股定理的证明方法
例9如图，直线l上有三个边长分别为a，b，c的正方形，则有a2+c2 b2（填“＞”或“＜”或“=”）
【答案】=
【分析】证△EFG≌△GMH，推出FG=MH=b，GM=EF=a，则EF2=a2，HM2=b2，再证EG2=EF2+FG2=EF2+HM2，代入求出即可．
【详解】解：如图，
∵正方形a，c的边长分别为a和c，
∴EF=a，MH=c，
由正方形的性质得：∠EFG=∠EGH=∠GMH=90°，EG=GH，
∵∠FEG+∠EGF=90°，∠EGF+∠MGH=90°，
∴∠FEG=∠MGH，
在△EFG和△GMH中，∠EFG=∠GMH∠FEG=∠MGHEG=GH，
∴△EFG≌△GMH(AAS)，
∴FG=MH=b，GM=EF=a，
∴EF2=a2，HM2=b2，
∴正方形b的面积为EG2=EF2+FG2=EF2+HM2，
即a2+c2=b2，
故答案为：=．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，证明△EFG≌△GMH是解题的关键．
举一反三1勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面四幅几何图形中，不能用于证明勾股定理的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．
【详解】解：A、大正方形的面积为：c2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：12ab×4＋(b−a)2＝a2＋b2，
∴a2＋b2＝c2，故能证明勾股定理．
B、大正方形的面积为：（a＋b）2；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2＋b2＋2ab，
∴（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab，
∴不能证明勾股定理．
C、大正方形的面积为：（a＋b）2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：12ab×4＋c2＝2ab＋c2，
∴（a＋b）2＝2ab＋c2，
∴a2＋b2＝c2，故能证明勾股定理．
D、图形的面积两种求法：①2个直角三角形+一个大正方形：2ab＋c2
②两个正方形+两个直角三角形：a2＋b2+2ab；
∴2ab＋c2＝a2＋b2+2ab，
∴a2＋b2＝c2，故能证明勾股定理．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．
举一反三2勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用如图证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）求证：a2+b2＝c2．
【答案】见解析
【分析】利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式．
【详解】证明：如图，连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a，
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝12b2+12ab，
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝12c2+12a（b﹣a），
∴12b2+12ab＝12c2+12a（b﹣a），
12b2+12ab=12c2+12ab−12a2，
即a2+b2＝c2．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．
题型十 以弦图为背景的计算题
例10早在公元前100年，我国古算书《周髀算经》就记载了历史上第一个把数与形联系起来的定理——勾股定理．如图，分别以Rt△ABC的各边为边在BC的上方作正方形．已知AB=m（m为大于0的常数），BC=2，若图中的两个阴影三角形全等，则m2的值为（ ）
A．34B．43C．54D．45
【答案】D
【分析】先证明△BEF≌△CBDASA，再由两个阴影三角形全等即可求出BD的长，由DC⋅AB=BC⋅BD求出AB的长，即可求出答案．
【详解】解：∵四边形EBCG是正方形，
∴∠DBC=∠E=90°，BE=BC，
∴∠EBF+∠ABC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ABC=90°，
∴∠EBF=∠ACB，
∴△BEF≌△CBDASA，
∴BD=EF，
∵两个阴影三角形全等，
∴BD=FG，
∴EF=FG，
∵EG=BC=2
∴BD=EF=1，
∴DC=BD2+BC2=12+22=5，
∵ DC⋅AB=BC⋅BD，
∴5AB=2×1，
∴AB=255，
∴m2=AB2=45．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
举一反三1“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图，其直角三角形的两条直角边的长分别是1和2，则小正方形与大正方形的面积之比为 ．
【答案】15/1:5
【分析】根据题意求得小正方形的边长，根据勾股定理求出大正方形的边长，由正方形的面积公式即可得出结果．
【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别是1和2，
∴小正方形的边长为1，
根据勾股定理得：大正方形的边长＝12+22=5，
∴小正方形面积大正方形面积=12(5)2=15．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了勾股定理和正方形的面积．本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．
举一反三2如图是由八个全等的直角三角形拼接而成，图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若EF=3，则S1+S2+S3的值是（ ）
A．27B．28C．30D．36
【答案】A
【分析】设八个全等的直角三角形的面积都是a，根据题意得S1−S2=4a，S2−S3=4a，进而可得S1+S3=2S2，由已知条件求出S2，进一步即可求出答案.
【详解】解：设八个全等的直角三角形的面积都是a，根据题意得：
S1−S2=4a，S2−S3=4a，
∴S1−S2=S2−S3，即S1+S3=2S2，
∵S2=EF2=9，
∴S1+S3=18，
∴S1+S2+S3=18+9=27；
故选：A.
【点睛】本题考查了勾股定理的弦图背景和全等三角形的性质，解题的关键是抓住弦图内外四个直角三角形的的面积与三个正方形的面积之间的和差关系.
题型十一 用勾股定理构造图形解决问题
例11为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB=2.4米，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.8米的市民CD正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即BC=0.8米），测温仪自动显示体温（ ）
A．1.0米B．1.2米C．1.25米D．1.5米
【答案】A
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB=2.4米，BE=CD=1.8米，
∴AE=AB−BE=2.4−1.8=0.6（米），
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：
AD=AE2+DE=0.82+(0.6)2=1.0（米），
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度．
举一反三1《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C′处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是 尺．
【答案】12
【分析】根据题意，可知EC′的长为10尺，则C′B=5尺，设芦苇长AC=AC′=x尺，表示出水深AB，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【详解】解：依题意画出图形，
设芦苇长AC=AC′=x尺，
则水深AB=(x−1)尺，
∵C′E=10尺，
∴C′B=5尺，
在Rt△AC'B中，根据勾股定理得，
52+(x−1)2=x2，
25+x2−2x+1=x2
解得x=13，
即芦苇长13尺，
∴水深为12尺，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，构造直角三角形，掌握勾股定理．
举一反三2如图所示，将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则h的取值范围是（ ）
A．ℎ≤17cmB．ℎ≥8cm
C．15cm≤ℎ≤16cmD．7cm≤ℎ≤16cm
【答案】D
【分析】当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，当筷子的底端在D点时，筷子露在外面的长度最长，然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出ℎ的取值范围．
【详解】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在外面的长度最长，
∴ℎ=24−8=16cm，
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD=15，BD=8，
∴AB=AD2+BD2=17，
此时ℎ=24−17=7cm，
所以ℎ取值范围是7cm≤ℎ≤16cm，
故选：D．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．
题型十二 勾股定理与无理数
例12（1）在图1中，用尺规作AB边的中垂线，交BC于点P（保留作图痕迹）
（2）如图2，是由边长为1的小正方形拼成的网格，画一个以格点为顶点，斜边长为10的直角三角形（各边均为无理数）．
【答案】（1）见详解；（2）见解析
【分析】（1）利用尺规，根据要求作出AB边的中垂线图形即可；
（2）画一个直角边为5，斜边为10的等腰直角三角形即可．
【详解】解：（1）如图，直线PQ即为所求作．
（2）解：EF=12+32=10,DE=DF=12+22=5
如下图，△DEF即为所求．
【点睛】本题考查线段的垂直平分线作图-基本作图、勾股定理以及无理数在方格中的构造等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
举一反三1如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的实数为（ ）
A．2.5B．5C．10D．10−1
【答案】D
【分析】先利用勾股定理求出AC，根据AC=AM，求出OM，由此即可解决问题，
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵AB=3，AD=BC=1，
∴AC=AB2+BC2=32+12=10，
∵AM=AC=10，A为-1，
∴OM=10−1，
∴点M表示点数为10−1．
故选：D．
【点睛】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出AC、AM的长．
举一反三2如图 ，点 A 表示的实数是（ ）
A．−2B．2C．1−2D．2−1
【答案】C
【分析】根据勾股定理、实数和数轴的知识进行解答即可．
【详解】解：点 A 表示的实数是1-12+12=1−2．
故答案为C．
【点睛】本题考查了勾股定理、实数和数轴等知识，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
一、单选题
1．（2021上·上海虹口·八年级统考期末）直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么这个三角形的斜边上的中线长为（ ）
A．6B．6.5C．10D．13
【答案】B
【分析】根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：∵直角三角形两直角边长为5和12，
∴斜边＝，
∴此直角三角形斜边上的中线的长＝＝6.5．
故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理及直角三角形斜边中线定理是解题的关键．
2．（2022上·上海青浦·八年级校考期末）如图，在中，，，平分，，则以下结论错误的是（ ）
A．点C到直线的距离为1B．点D到直线的距离为1
C．点A到直线的距离为D．点B到直线的距离为
【答案】A
【分析】根据，，易证，得到，根据三角形的内角和得到，根据角平分线的定义得到，过点作于，点C到直线的距离为，过作于，求得点到的距离为1，，点B到直线的距离为，过作交的延长线于，得到点到的距离为．
【详解】解：过作于，∵平分，
∴，，
∴，则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
过点作于，
∵，，
∴，则，
∴，则，
∴点C到直线的距离为，故A选项结论错误；
过作于，
∴，
∴点到的距离为1，故选项B结论正确；
，
∴点B到直线的距离为，故选项D结论正确；
过作交的延长线于，
∴，
∴点到的距离为，故选项C结论正确．
故选：A．
【点睛】本题考查的是含的直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，多次利用含的直角三角形求边的长度是解决问题的关键．
3．（2021上·上海普陀·八年级校联考期末）用下列几组边长构成的三角形中哪一组不是直角三角形（ ）
A．8，15，17B．，2，
C．，，D．1，2，
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
【详解】解：A、∵，∴此三角形为直角三角形，故选项不符合题意；
B、∵，∴此三角形不是直角三角形，故选项符合题意；
C、∵，∴此三角形是直角三角形，故选项不符合题意；
D、∵，∴此三角形为直角三角形，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4．（2021下·上海静安·七年级上海市市北初级中学校考期中）如图，线段将边长为1个单位长度的正方形分割为两个等腰直角三角形，以A为圆心，的长为半径画弧交数轴于点C，那么点C在数轴上所对应的数是（ ）．
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，然后根据题意，得到即可得出选项．
【详解】解：∵线段将边长为1个单位长度的正方形分割为两个等腰直角三角形，
∴，
∵以A为圆心，的长为半径画弧交数轴于点C，
∴，
∴，
∵点C在原点左边，
∴点表示的数是：，
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴和实数，勾股定理的应用，能读懂图象是解此题的关键．
5．（2021上·上海浦东新·八年级统考期末）在中，，，，AD平分交BC于点D，那么点D到AB的距离是（ ）
A．4.8B．4C．3D．
【答案】C
【分析】如图，过作于，先证明：再证明：，再利用面积比证明：，再求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，过作于，
AD平分，
故选：
【点睛】本题考查的是勾股定理逆定理的应用，角平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题
6．（2022上·上海·八年级上海市民办上宝中学校考期中）是斜边上的高，若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据，设，则，在中根据勾股定理可求出的值，根据等面积法即可求解．
【详解】解：如图所示，
已知是直角三角形，，，，，
设，则，
在中，，即，解得，，
∴，，
∵，且，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，运用等面积法求高，掌握以上知识的运用是解题的关键．
7．（2021上·上海青浦·八年级校考期末）如图，在中，，平分，，，那么的长是 ．
【答案】
【分析】过点D作于点E，在中根据勾股定理可求得，根据角平分线的性质得到，进而证得，因此，
设，则，在中，根据勾股定理有，从而构造方程求解即可解答．
【详解】过点D作于点E，
∵，，，
∴在中，，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
设，则，
∵在中，
∴
解得，
即．
故答案为：
【点睛】本题考查勾股定理，三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8．（2022下·上海青浦·八年级校考期末）已知梯形，，，，当时，对角线 ．
【答案】
【分析】过点作于，根据直角三角形的性质求出，进而求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：过点作于，
在中，，
则，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是梯形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键．
9．（2022上·上海青浦·八年级校考期末）如图，在中，，点D为上一点，连接，，则 ．
【答案】
【分析】先利用勾股定理得逆定理推出，则，设，则，则中利用勾股定理得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理得逆定理，证明是解题的关键．
10．（2023下·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考阶段练习）已知直角三角形的一条直角边长度为6，另一条直角边长比斜边小2；那么这个直角三角形的周长为 ．
【答案】24
【分析】设直角三角形的斜边长是，则另一条直角边长是，再根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设直角三角形的斜边长是，则另一条直角边长是．
根据勾股定理，得 ，解得：，
则斜边长是，另一条直角边为．
所以直角三角形的周长为
故答案为：24
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理正确列出方程求解是解题关键．
三、解答题
11．（2023上·上海·八年级校考阶段练习）已知：如图，在四边形中，，，，．
(1)求的度数．
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】对于（1），连接，根据勾股定理求出及，再根据勾股定理逆定理说明是直角三角形，即可求出答案；
对于（2），根据两个三角形的面积和求出答案即可．
【详解】（1）连接，如图所示．
∵，，
∴，
根据勾股定理得，
在中，，
∴是直角三角形，且，
∴；
（2）．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及逆定理的应用，求四边形的面积，将不规则四边形转化为两个直角三角形是解题的关键．
12．（2023下·上海嘉定·八年级校考开学考试）如图，已知中，，是的角平分线，，，求的值．
【答案】
【分析】在上截取，连接，则，由角平分线可知，即，然后证明，可得，然后利用勾股定理解题即可．
【详解】解：在上截取，连接，
∵，
∴,
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
13．（2021上·上海青浦·八年级校考期末）如图，在中，，，D是边的中点，交于点E．
(1)求的度数；
(2)过点C作垂直于，垂足为点F，如果．求的长．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由中， D是斜边的中点，可得，从而，由外角的，再由得到，从而；
（2）根据D是斜边的中点可得，在中，，根据“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”，得到，进而根据勾股定理得到，因此．
【详解】（1）∵在中，， D是边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）
∵，
∴，
∵，，
∴，
，
∴．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
方法
图形
证明
赵爽“勾股圆方图”(“赵爽弦图”)
因为大正方形的边长为 c,所以大正方形的面积为S=c2，又大正方形的面积S=4×12ab+（a−b）2=a2+b2，所以a2+b2=c2
刘徽“青朱出入图”
设大正方形的面积为S,则S=c2.根据“出入相补,以盈补虚”的原理,又有S=a2+b2,所以a2+b2=c2
加菲尔德总统拼图
如图：
利用整体法，梯形的面积为S=12(a+b)(a+b)=ab+12(a2+b2)，利用分割法，梯形的面积为S=12ab+12c⋅c+12ab=ab+12c2，所以a2+b2=c2
毕达哥拉斯拼图
图1中拼成的正方形与图2中拼成的正方形面积相等，通过面积相等可以得到：a2+b2+4×12ab=c2+4×12ab，整理得a2+b2=c2．
欧几里得证法
画长为的线段
当直角三角形的两直角边长分别为 ,时斜边长为,即 ;当两直角边长分别为,时,斜边长为,即.依此规律可以画出长为,,，…的线段.
在数轴上表示
构造两条直角边长都是的直角三角形,使用勾股定理得到斜为,再用圆规截取的方法在数轴上画出表示的点;构造两直角边长分别为，的直角三角形,用勾股定理得到斜边长为,再用圆规截取的方法在数轴上画出表示点.依此规律可以画出长为,,，…的点.
主要应用
画出长为无理数的线段,在数轴上画出表示无理数的点.
1.掌握幻股定理，了解利用拼图验证幻股定理的方法
2.会借助勾股定理确定数轴上表示无理数的点理解实数与数轴上的点的一一对应关系.
3.能够从实际问题中抽象出直角三角形并能运用股定理进行有关的计算和证明
知识点一 勾股定理
1.勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,是数学中最著名的定理之一,在图形研究和生活、生产实践中有广泛的应用.
2.符号语言
如果为直角三角形的两条直角边的长,为斜边的长，则.
变式与应用
（1）变式
，
（2）应用
，，
(1)应用勾股定理可以求边长,但当已知的三角形不是直角三角形时常通过作高,构造直角三角形,再利用勾股定理求解；
(2)勾股定理揭示的是直角三角形的三边间的等量关系，只有在直角三角形中才能使用勾股定理
(3)应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在应用时，斜边只能是.若为斜边，则关系式是,若为斜边则关系式是
(3)若没有明确所给直角三角形中边的类型(是直角边还是斜边),要分类讨论，以免漏解
即学即练1已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c．
(1)若a=1，b=2，求c．
(2)若a=15，c=17，求b．
【答案】(1)c=5
(2)b=8
【分析】（1）由于所求边c是斜边，所以利用勾股定理直接可得c=a2+b2，代入a，b的值即可求得c的值；
（2）由于所求边b是直角边，所以利用勾股定理直接可得b=c2−a2，代入a，c的值即可求得b的值．
【详解】（1）根据勾股定理，得c2=a2+b2=12+22=5．
∵c>0，
∴c=a2+b2=5．
（2）根据勾股定理，得b2=c2−a2=172−152=64．
∵b>0，
∴b=c2−a2=8．
【点睛】本题考查利用勾股定理解直角三角形，已知两边求第三边时，关键要注意所求边是直角边，还是斜边．
即学即练2 在图中所示的长方形零件示意图中，根据所给的部分尺寸，求两孔中心A和B的距离（单位：mm）
【答案】130mm
【分析】首先根据题意算出AC和BC的长，再利用勾股定理计算出BA的长即可．
【详解】解：如图所示：
由题意得：AC=90−40=50（mm），BC=160−40=120（mm），
在Rt△AOB中：AB=AC2+BC2=502+1202=130（mm），
答：两孔中心A、B之间的距离为130mm．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
知识点二 勾股定理的应用
勾股定理把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数的关系.其主要应用如下：
(1)已知直角三角形的任意两边求第三边;
(2)已知直角三角形的任意一边和另两边的关系,求出未知的两边；
(3)证明包含平方(算术平方根)关系的几何问题；
(4)构造方程(或方程组)计算有关线段的长度,解决生产、生活中的实际问题.
即学即练1 已知一架5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动多远？
【答案】1米
【分析】根据勾股定理求解即可．
【详解】解：在直角三角形△ABO中，根据勾股定理可得，OA=52−32=4m，
如果梯子的顶度端下滑1米，
则OA′=4−1=3m．
在直角三角形A′B′O中，根据勾股定理得到：OB′=4m，
则梯子滑动的距离就是OB′−OB=4−3=1m．
【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
即学即练2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；
(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；
(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；
(4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高hc；
(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．
【答案】(1)a＝45cm．b＝60cm； (2)540； (3)a＝30，c＝34；(4)63； (5)12．
【详解】试题分析：（1）设a=3x,b=4x,利用勾股定理，可得出x的值，继而得出答案；
（2）设a=15x，c=17x， 利用勾股定理，可得出x的值，继而得出答案；
（3）根据勾股定理可求出c+a，联立c−a=4，可得出a、c.
（4）求出a、b， 根据直角三角形面积的两种表示形式可得出高ℎc；
（5）设a=x−1，b=x，c=x+1， 利用勾股定理解出x的值即可．
试题解析：(1)设a=3x,b=4x,则(3x)2+(4x)2=752，
解得：x=15，故可得：a=45cm，b=60cm；
(2)设a=15x,c=17x,则(17x)2−(15x)2=242，
解得：x=3,则a=45,故△ABC的面积=12×45×24=540；
(3)c2−a2=b2=162,即(c+a)(c−a)=162，
∵c−a=4，
∴c+a=64，
则c−a=4c+a=64，
解得：a=30c=34.
即a=30，c=34；
(4)∵∠A=30∘，c=24，
∴a=12,b=123，
则12ab=12c×ℎc，
解得：ℎc=63；
(5)设a=x−1，b=x，c=x+1，
则可得：(x−1)2+x2=(x+1)2，
解得：x=4，即a=3，b=4，c=5，
故a+b+c=12.
即学即练3 我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）．意思是有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
【答案】水深12尺，芦苇的长度是13尺
【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【详解】解：设水深x尺，芦苇(x+1)尺，1丈=10尺，
由勾股定理：x2+52=(x+1)2，
解得：x=12，
∴x+1=13，
答：水深12尺，芦苇的长度是13尺．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
知识点三 勾股定理的证明
对于勾股定理的证明,现在世界上已找出很多种运用图形的割、移补、拼构造特殊图形,并根据面积之间的关系进行推导的方法,现摘取几种著名的证法
注意：
(1)勾股定理是通过等积法来验证的，同一个图形用不同的方法计算的面积相等.
(2)勾股定理的验证,将“形’的问题转化为“数”的问题，体现了数形结合的思想
即学即练 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b−a，
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=12b2+12ab，S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=12c2+12a(b−a)，
∴12b2+12ab=12c2+12a(b−a)
12b2+12ab=12c2+12ab−12a2
12b2=12c2−12a2
b2=c2−a2
∴a2+b2=c2．
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．
求证：a2+b2=c2．
【答案】见解析
【分析】连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b−a，仿照已知材料中的方法，利用五边形ACBED面积的不同表示方法解答即可．
【详解】
证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b−a．
∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=12ab+12b2+12ab，
又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=12ab+12c2+12ab−a，
∴12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12ab−a，
∴12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12ab−12a2，
12b2=12c2−12a2，
b2=c2−a2，
∴a2+b2=c2．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，正确理解题意、得出五边形ACBED面积的不同表示方法是解题的关键．
知识点四 作长为n(n为大于1的整数)的线段
实数与数轴上的点是一一对应的,有理数在数轴上较易找到与它对应的点，若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难由此,我们可借助勾股定理作出长为(n为大于1的整数)的线段
即学即练 阅读下列材料，并回答问题.
事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理.请利用这个结论，完成下面活动：
(1)一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为_____________；
(2)如图，点A在数轴上表示的数是_____________，并请用类似的方法在右图数轴上画出表示数10的B点（保留作图痕迹）.
【答案】(1)10；
(2)−5，画图见解析
【分析】(1)根据题目中的数据和勾股定理，可以求得这个直角三角形斜边的长；
(2)先根据图形和勾股定理写出点A表示的数，然后仿照点A表示的方法，可以在数轴上表示出点B
【详解】（1）解：∵一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，
∴这个直角三角形斜边长为：62+82=10，
故答案为：10；
（2）解：由图可得，点A表示的数为：−22+12=−5，
∵32+12=10，
∴如下图所示，点B即为所求，
故答案为：−5．
【点睛】本题考查了勾股定理、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识和数形结合的思想解答．
题型一 用勾股定理解三角形
例1将两块等腰直角三角形板如图放置，其中A，B，E三点共线，若AB=BC=32，BE=BD=42，F，G分别是AC，DE的中点，H是FG的中点，则BH的长为（ ）
A．2B．2C．5D．2.5
【答案】D
【分析】连接BF，BG，先证明△FBG为直角三角形，并求得两条直角边的长度，即可求得FG的长度，进而可求得答案．
【详解】解：如图所示，连接BF，BG．
根据题意，得：
AC=AB2+AC2=322+322=6，
DE=BD2+BE2=422+422=8，
∵△ABC为等腰直角三角形，F为底边AC的中点，
∴BF=12AC=3，∠FBC=12∠ABC=45°．
同理可得：
BG=12DE=4，∠DBG=12∠DBE=45°，
∵∠FBG=∠FBC+∠DBG=45°+45°=90°，
∴△FBG为直角三角形．
∴FG=FB2+BG2=32+42=5．
∵H为Rt△FBG斜边FG的中点，
∴BH=12FG=2.5．
故选：D．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质，牢记等腰三角形的性质（三线合一）、勾股定理、直角三角形的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）是解题的关键．
举一反三1如图，四边形ABCD中，若AB=AD=5，BD=8，∠ABD=∠CDB，则△ABC的面积为 ．
【答案】12
【分析】过点A作AE⊥BD交BD于点E，由已知条件可判定AB∥CD，S△ABC=S△ABD，再由AB=AD可判定△ABD是等腰三角形，则BE=4，利用勾股定理可求得AE，从而可求面积．
【详解】解：过点A作AE⊥BD交BD于点E，如图，
∵∠ABD=∠CDB，
∴AB∥CD，
∴S△ABC=S△ABD，
∵AB=AD=5，
∴△ABD是等腰三角形，
∴BE=12BD=4，
∴AE=AB2−BE2=3，
∴S△ABD=12BD⋅AE=12×8×3=12，
∴S△ABC=S△ABD=12．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查三角形的面积，解答的关键是由平行线的之间的距离处处相等得到S△ABC=S△ABD．
举一反三2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，若AC+AB=45，BC=15，则CD的长是（ ）
A．14B．12C．10D．8
【答案】B
【分析】先利用勾股定理和平方差公式求出AB−AC的值，进而求出AB，AC的长，再利用等面积法即可求解．
【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
有AB2=AC2+BC2，
又∵BC=15，
∴AB2−AC2=225，
∴(AB−AC)(AB+AC)=225，
又∵AC+AB=45，
∴AB−AC=5，
解得：AB=25AC=20，
∵CD⊥AB
∴S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴CD=AC⋅BCAB=20×1525=12，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，平方差公式和等面积法，熟练掌握勾股定理，平方差公式和等面积法及数形结合的运用是解题关键．
题型二 已知两点坐标求两点距离
例2在平面直角坐标系内有一点P5,2，点Q与点P关于原点中心对称，则PQ= ．
【答案】6
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得点Q的坐标；然后利用勾股定理求得线段PQ的长度即可．
【详解】解：∵点P5,2，点Q与点P关于原点中心对称，
∴P−5,−2，
∴PQ=−5−52+−2−22=6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、关于原点对称的点的坐标等知识点，关键掌握点的坐标的变化规律是解答本题的关键．
举一反三1如图，在平面直角坐标系中，A(−3,0)，B(0,2)，以点A为圆心，AB为半径画圆，交x轴于点C，D，记点C，D之间距离为d，则数d的大小在哪两个相邻整数之间（ ）
A．5与6之间B．6与7之间C．7与8之间D．12与13之间
【答案】C
【分析】结合已知条件求得OA，OB的长度，然后利用勾股定理求得AB的长度，继而求得CD的长度，然后估算出它在哪两个连续整数之间即可．
【详解】解：由题意可得OA=3，OB=2，∠AOB=90°，
则AB= 32+22 = 13，
那么CD=2AB=2 13，
∵2 13 = 52，49<52<64，
∴7< 52 <8，
即数d的大小在7与8之间，
故选：C．
【点睛】本题考查无理数的估算，直角坐标系及勾股定理，结合已知条件求得CD的长度是解题的关键．
举一反三2如图，在直角坐标系中，以点A3,1为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过点B1,1，点C1,3，点D4,4，点E5,2，则∠BAC ∠DAE（填“>”“=”“<”中的一个）．
【答案】=
【分析】连接DE，判断△ABC和△ADE是等腰直角三角形，即可得到∠BAC=∠DAE=45°．
【详解】解：连接DE，如图
∵点A3,1，点B1,1，点C1,3，点D4,4，点E5,2，
由勾股定理与网格问题，则
AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形；
∵AE=DE=22+12=5，AD=32+12=10，
∴AE2+DE2=AD2，
∴∠AED=90°，
∴△ADE是等腰直角三角形；
∴∠BAC=∠DAE=45°；
故答案为：=．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握掌握所学的知识，正确判断△ABC和△ADE是等腰直角三角形．
题型三 勾股树(数) 问题
例3下列各组数中，可以构成勾股数的是（ ）
A．13，16，19B．5，13，15C．18，24，30D．12，20，37
【答案】C
【分析】根据勾股数定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，进行分析即可．
【详解】解：A、132+162≠192，不能构成直角三角形，故此选项错误；
B、132+52≠152，不能构成直角三角形，故此选项错误；
C、182+242=302，能构成直角三角形，故此选项正确；
D、122+202≠372，不能构成直角三角形，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股数，掌握勾股数的定义是解题的关键．
举一反三1观察下列各组勾股数的组成特点，
第1组：3=2×1+1，4=2×1×1+1，5=2×1×1+1+1；
第2组：5=2×2+1，4=2×2×2+1，13=2×2×2+1+1；
第3组：7=2×3+1，24=2×3×3+1，25=2×3×3+1+1；
第4组：9=2×4+1，40=2×4×4+1，41=2×4×4+1+1；
…
第7组：a，b，c．
(1)写出第7组勾股数a，b，c各是多少．
(2)写出第n组勾股数，并证明．
【答案】(1)a=15，b=112，c=113
(2)第n组勾股数是2n+1，2nn+1，2nn+1+1；证明见解析
【分析】（1）根据题目中给出的数字规律得出结果即可；
（2）根据题目中的规律得出第n组勾股数即可，根据勾股数的定义，利用整式混合运算法则进行证明即可．
【详解】（1）解：∵第1组：3=2×1+1，4=2×1×1+1，5=2×1×1+1+1；
第2组：5=2×2+1，12=2×2×2+1，13=2×2×2+1+1；
第3组：7=2×3+1，24=2×3×3+1，25=2×3×3+1+1；
第4组：9=2×4+1，40=2×4×4+1，41=2×4×4+1+1；
∴第7组勾股数是a=2×7+1=15，b=2×7×7+1=112，c=2×7×7+1+1=113，
即第7组勾股数为a=15，b=112，c=113；
（2）解：由（1）的规律可知，第n组勾股数是2n+1，2nn+1，2nn+1+1；
∵2n+12=4n2+4n+1，
2nn+12=2n2+2n2=4n4+4n2+8n3，
2nn+1+12=2nn+12+4nn+1+1=4n4+4n2+8n3+4n2+4n+1，
∴2n+12+2nn+12=2nn+1+12．
∴第n组勾股数是2n+1，2nn+1，2nn+1+1．
【点睛】本题主要考查了数字规律探索，勾股数，整式混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握勾股数的定义，整式混合运算法则，完全平方公式．
举一反三2勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 （结果用含m的式子表示）．
【答案】m2+1
【分析】2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】∵2m为偶数，
∴设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，
解得a=m2-1，
∴弦长为m2+1，
故答案为：m2+1．
【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
题型四 以直角三角形三边为边长的图形面积
例4汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若∠ADE=∠AED，AD=25，则△ADE的面积为（ ）
A．6B．5C．25D．210
【答案】A
【分析】由已知证得AD=AE=AB，进而证得EF=BF=12BE即四个全等的直角三角形长的直角边为短的直角边2倍，进而求得各边长，再由图形面积的割补关系，可得所求三角形的面积为一个直角三角形加半个小正方形的面积，进而可得到答案．
【详解】解：如图，∵∠ADE=∠AED
∴AD=AE=AB
∴∠AEF=∠ABF
∵AF⊥BE
∴EF=BF=12BE
∴GE=AH
∵∠GEM=∠HAM,∠MGE=∠MHA
∴△GEM≅△HAM
∴S△HAM=S△GEM
∴S△ADE=S△ADH+S△DGE
∵AD=25,DH=2AH,AD2=DH2+AH2
∴AH=2,DH=4
∴DG=GE=2
∴S△ADE=12×2×4+12×2×2=6
故选：A．
【点睛】本题考查全等形的证明及性质、勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
举一反三1如图，以Rt△ABC的三边为边长向外作正方形，∠ABC=90°，三个正方形的面积分别为S1、S2、S3，若S1=13、S2=12，则S3的值为（ ）
A．1B．5C．25D．144
【答案】A
【分析】先由正方形的面积公式将S1、S2、S3分别用含AB、BC、AC的式子表示，再根据勾股定理得到AB、BC、AC之间的等式，再转化为S1、S2、S3之间的等式，代入数值，即可求出S3的值．
【详解】解：∵以Rt△ABC的三边为边长向外作正方形的面积分别为S1、S2、S3，
∴S1=AB2，S2=BC2，S3=AC2，
∵∠ACB=90°，
∴BC2+AC2=AB2，
∴S2+S3=S1，
∵S1=13，S2=12，
∴12+S3=13，
∴S3=1，
故选：A．
【点睛】此题考查勾股定理及其应用，解题的关键是将S1、S2、S3分别用含AB、BC、AC的式子表示，根据勾股定理得到S1、S2、S3之间的相等关系，再求出S3的值．
举一反三2如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，分别以四边为边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲、S乙、S丙、S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ）
A．S甲=S丁B．S乙=S丙
C．S甲+S乙=S丙+S丁D．S甲−S乙=S丙−S丁
【答案】C
【分析】连接AC，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，依此即可求解．
【详解】解：连接AC，
由勾股定理得AB2+BC2=AC2，AD2+CD2=AC2，
∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，即S甲+S乙=S丙+S丁．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系．
题型五 勾股定理与网格问题
例5如图是由36个边长为1的小正方形拼成的网格图，请按照下列要求作图．
(1)在图1中画出一个以AB为边的Rt△ABC；
(2)在图2中画出一个以AB为底边的等腰△ABC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据网格的特点和直角三角形的定义求解即可；
（2）根据网格的特点，勾股定理和等腰三角形的定义求解即可；
【详解】（1）解：如图，Rt△ABC即为所求；
（2）解：如图，直角三角形ABC即为所求；
解：如图，
∵BC=32+42=5=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，直角三角形的定义，等腰三角形的定义和勾股定理，和正确利用网格结合勾股定理分析是解题关键．
举一反三1如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：
(1)在图1中画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；
(3)在图3中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数（和图2画的三角形不全等）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）画一个边长3，4，5的三角形即可；
（2）利用勾股定理，找长为2、22、10的线段，画三角形即可．
（3）利用勾股定理作一个边长为5的正方形即可得．
【详解】（1）解：如图1所示，Rt△ABC即为所求；
（2）解：如图所示，Rt△DEF即为所求；
（3）解：如图所示，△OPQ即为所求．
【点睛】此题主要考查了作图与应用作图．本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理即可解决．
举一反三2如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)AB=____________；
(2)请分别在图1，图2的正方形网格内按下列要求画一个格点三角形．
①在图1中，以AB为边画Rt△ABD（D与C不重合），使它与△ABC全等；
②在图2中，以AB为边画Rt△ABE，使它的一个锐角等于∠B，且与△ABC不全等．
【答案】(1)25；
(2)①见解析；②见解析．
【分析】（1）根据勾股定理求出AB的长即可；
（2）①如图1，根据三边对应相等的两个三角形全等作图即可；
②由图可知，△ABC为直角三角形，则求作△ABE必为直角三角形，只需证明所作的三角形与已知三角形对应边长不相等且有一组对边平行即可．
【详解】（1）AB=22+42=25
故答案为：25
（2）如图1，△ABD即为所求，
如图2，△ABE即为所求，理由如下：
由第一个图可知，AE∥BC，
∴∠EAB=∠ABC，
∵AC=2，BC=4，AB=25，
∴△ABC为直角三角形，且∠C=90°，
又∵BE=12+22=5，AE=5，AB=25，
∴AB2+BE2=20+5=25=AE2，
∴△ABE为直角三角形，且∠E=90°，
∴△ABC与△ABE不全等，
∴△ABE即为所求．
【点睛】本题考查了作图—应用与设计作图：应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清楚题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
题型六 勾股定理与折叠问题
例6如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上，则BD等于（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
【答案】D
【分析】先根据勾股定理求出AB，根据折叠的性质可得∠AED=∠ACD=90°，DE=CD，AE=AC，最后利用勾股定理解Rt△DEB即可．
【详解】解：∵ Rt△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，
∴ AB=AC2+BC2=62+82=10cm，
∵将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上，
∴ AE=AC=6cm，
∴ BE=AB−AE=4cm，
设BD=xcm，则CD=BC−BD=8−xcm，
由折叠的性质，可得DE=CD=8−xcm，∠AED=∠ACD=90°，
在Rt△DEB中，DE2+BE2=BD2，
∴ 8−x2+42=x2，
解得x=5，
∴ BD等于5cm．
故选D．
【点睛】本题考查勾股定理与折叠的性质，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等，对应角相等．
举一反三1如图，已知长方形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OP=OF．
(1)求证：△BOP≌△EOF；
(2)求证：CP=BF；
(3)求DF的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)DF=175
【分析】（1）由长方形的性质和折叠性质得∠B=∠E=90°，利用AAS可证△BOP≌△EOF；
（2）由全等三角形的性质得到OE=OB，由OP=OF即可得到EP=BF，又由折叠的性质可得，CP=EP，即可得到结论；
（3）由长方形的性质得到：DC=AB=4，AD=BC=3，由折叠性质可得DE=DC=4，
设BF=EP=CP=x，表示出AF、BP、DF，在Rt△ADF中，由勾股定理列方程，解方程，进一步即可得得到答案．
【详解】（1）解：由长方形性质可得∠A=∠B=∠C=90°，由折叠性质可得∠C=∠E=90°，
∴∠B=∠E=90°，
在△BOP与△EOF中，∠B=∠E∠BOP=∠EOFOP=OF，
∴△BOP≌△EOFAAS；
（2）∵△BOP≌△EOF，
∴OE=OB，
∵OP=OF，
∴OE+OP=OB+OF，
即EP=BF，
由折叠的性质可得，CP=EP
∴CP=BF；
（3）由长方形的性质得到：DC=AB=4，AD=BC=3，
由折叠性质可得DE=DC=4，
∵△BOP≌△EOF，
∴BP=EF，
设BF=EP=CP=x，
则AF=4−x，BP=EF=3−x，DF=DE−EF=4−3−x=x+1，
在Rt△ADF中，AF2+AD2=DF2，即4−x2+9=x+12，
∴x=125，
∴DF=x+1=175．
【点睛】此题考查了折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、长方形的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
举一反三2如图，Rt△ABC中，AB=4，BC=3，∠B=90°，M，N分别是边AC，AB上的两个动点，将△ABC沿直线MN折叠，使得点A的对应点D落在BC边的中点处，则线段BN的长为（ ）
A．5532B．7332C．56D．136
【答案】A
【分析】设BN=x，根据折叠得出DN=AN=4−x，然后在Rt△BDN中，根据勾股定理得出关于x的方程，然后解方程即可．
【详解】解：设BN=x，
∵折叠，AB=4，
∴DN=AN=4−x，
∵D为BC的中点，BC=3，
∴BD=12BC=32，
在Rt△BDN中，∠B=90°，BD=32，BN=x，DN=4−x，
∴4−x2=x2+322，
解得x=5532，
故选：A．
【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质、灵活应用勾股定理是解题的关键．
题型七 利用勾股定理求两条线段的平方和 (差)
例7如图所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2-MB2等于（ ）
A．9B．35C．45D．无法计算
【答案】C
【详解】【分析】由勾股定理求出BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2，再代入可得MC2-MB2=（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2），化简可求得结果.
【详解】在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2=AB2-AD2，CD2=AC2-AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2，
∴MC2-MB2=（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2）
=AC2-AB2
=45．
故选C
【点睛】本题考核知识点：勾股定理.解题关键点：灵活运用勾股定理.
举一反三1如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝2，AB＝3，下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF＝BD＝17；④△COF的面积是32．其中正确的结论为（ ）
A．①②④B．①④C．②③D．①③④
【答案】A
【分析】①根据正方形的性质和平角的定义可求得∠COD；
②根据正方形的性质求得OE的长，再根据线段的和差解得AE的长；
③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，根据含45°的直角三角形的性质可求FG的长，根据勾股定理可求得CF，BD的长，据此解答；
④根据三角形面积公式即可解答．
【详解】解：①∵∠AOC=90°,∠DOE=45°
∴∠COD=180°−∠AOC−∠DOE=45°
故①正确；
②∵EF=2
∴OE=2
∵AO=AB=3
∴AE=AO+OE=2+3=5
故②正确；
③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，则FG=1
∴CF=FG2+CG2=12+(3+1)2=17
BH=3−1=2
DH=3+1=4
BD=BH2+DH2=22+42=25
故③错误；
④S△COF=12×3×1=32，
故④正确，
即正确的结论为：①②④
故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质、含45°的直角三角形的性质、三角形面积、勾股定理、平角的定义等知识，综合性较强，掌握相关知识是解题关键．
举一反三2如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=1，AC=4，点A在y轴上，点C在x轴上，则点A在移动过程中，BO的最大值是 ．
【答案】2+5
【分析】取AC的中点M，连接OM，BM，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，解得OM=12AC=2，在Rt△ABM中，由勾股定理解得BM的值，再由三角形三边关系解得OB≤2+5，据此解题．
【详解】解：如图，取AC的中点M，连接OM，BM，
∵∠AOC=90°，AM=CM，AC=4，
∴OM=12AC=2，
在Rt△ABM中，
∵∠BAM=90°，AB=1，AM=2，
∴BM=12+22=5，
∵OB≤BM+OM，
∴OB≤2+5，
∴OB的最大值为2+5，
故答案为：2+5．
【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质、勾股定理、三角形三边关系等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
题型八 利用勾股定理证明线段平方关系
例8定义：如图，点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB，若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M,N是线段AB的勾股分割点．
(1)已知M,N把线段AB分割成AM,MN,NB，若AM=1，MN=2，BN=3，则点M,N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
(2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=12，AM=5，求BN的长．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)127或377
【分析】（1）N是线段AB的勾股分割点，结合勾股分割点，由已知条件得到AM2=1，MN2=4，BN2=3，从而根据AM2+BN2=MN2，即可得证；
（2）点M,N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，分两种情况，利用勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：N是线段AB的勾股分割点，
理由如下：
∵AM=1，MN=2，BN=3，
∴ AM2=1，MN2=4，BN2=3，
∴AM2+BN2=MN2，
∴以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴根据勾股分割点定义，M,N是线段AB的勾股分割点；
（2）解：∵点M,N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，有两种情况：
①MN为斜边时，有AM2+BN2=MN2，
设BN=x，则52+x2=7−x2，
∴x=127；
②BN为斜边时，有BN2=AM2+MN2，
设BN=x，则52+7−x2=x2，
∴x=377；
综上所述，BN的长为127或377．
【点睛】本题考查新定义问题，读懂题意，按照勾股分割点定义，结合勾股定理求解是解决问题的关键．
举一反三1如图，已知△ACB和△ECF中，∠ACB=∠ECF=90°，AC=BC，CE=CF，连接AE．BF交于点O．
(1)求证：△ACE≌△BCF；
(2)求∠AOB的度数；
(3)连接BE，AF，求证BE2+AF2=2AC2+CE2
【答案】(1)见解析
(2)90°
(3)见解析
【分析】（1）根据SAS证明△ACE≌△BCF即可．
（2）设EC交BF于点K．利用全等三角形的性质解决问题即可．
（3）连接BE，利用勾股定理解决问题即可．
【详解】（1）解：证明：∵∠ACB=∠ECF=90°，
∴∠ACE=∠BCF，
∵CA=CB，CE=CF，
∴△ACE≌△BCF(SAS)．
（2）设EC交BF于点K．
∵△ACE≌△BCF，
∴∠OEK=∠KFC，
∵∠CFK+∠CKF=90°，∠CKF=∠OKE，
∴∠OEK+∠OKE=90°，
∴∠EOK=90°，
∴∠AOB=90°．
（3）证明：连接BE．
∵∠BOE=∠AOF=90°，
∴BE2=OB2+OE2，AF2=OA2+OF2，
∵2AC2+EC2=AB2+EF2，
∴BE2+AF2=OB2+OE2+OA2+OF2=AB2+EF2=2AC2+CE2．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
举一反三2如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，E、F为AB上两点（E左F右），且∠ECF＝45°，求证：AE2+BF2=EF2．
【答案】见解析
【分析】由于∠ACB＝90°，∠ECF＝45°，所以∠ACE＋∠BCF＝45°，若将∠ACE和∠BCF合在一起则为一特殊角45°，于是想到将△ACE旋转到△BCF的右外侧合并，或将△BCF绕C点旋转到△ACE的左外侧合并，旋转后的BF边与AE边组成一个直角，联想勾股定理即可证明．
【详解】解：AE2+BF2=EF2，理由如下：
如图，将△BCF绕点C旋转得△ACF′，使△BCF的BC与AC边重合，
即△ACF′≌△BCF，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAF′＝∠B＝45°，
∴∠EAF′＝90°，
∵∠ECF＝45°，
∴∠ACE＋∠BCF＝45°，
∵∠ACF′＝∠BCF，
∴∠ECF′＝45°，
在△ECF和△ECF′中
CE=CE∠ECF′=∠ECF=45°CF=CF′
∴△ECF≌△ECF′（SAS），
∴EF＝EF′，
在Rt△AEF′中，AE2+F′A2=F′E2，
∴AE2+BF2=EF2．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、图形的旋转、勾股定理．解题的关键是综合运用相关知识解题．
题型九 勾股定理的证明方法
例9如图，直线l上有三个边长分别为a，b，c的正方形，则有a2+c2 b2（填“＞”或“＜”或“=”）
【答案】=
【分析】证△EFG≌△GMH，推出FG=MH=b，GM=EF=a，则EF2=a2，HM2=b2，再证EG2=EF2+FG2=EF2+HM2，代入求出即可．
【详解】解：如图，
∵正方形a，c的边长分别为a和c，
∴EF=a，MH=c，
由正方形的性质得：∠EFG=∠EGH=∠GMH=90°，EG=GH，
∵∠FEG+∠EGF=90°，∠EGF+∠MGH=90°，
∴∠FEG=∠MGH，
在△EFG和△GMH中，∠EFG=∠GMH∠FEG=∠MGHEG=GH，
∴△EFG≌△GMH(AAS)，
∴FG=MH=b，GM=EF=a，
∴EF2=a2，HM2=b2，
∴正方形b的面积为EG2=EF2+FG2=EF2+HM2，
即a2+c2=b2，
故答案为：=．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，证明△EFG≌△GMH是解题的关键．
举一反三1勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面四幅几何图形中，不能用于证明勾股定理的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．
【详解】解：A、大正方形的面积为：c2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：12ab×4＋(b−a)2＝a2＋b2，
∴a2＋b2＝c2，故能证明勾股定理．
B、大正方形的面积为：（a＋b）2；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2＋b2＋2ab，
∴（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab，
∴不能证明勾股定理．
C、大正方形的面积为：（a＋b）2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：12ab×4＋c2＝2ab＋c2，
∴（a＋b）2＝2ab＋c2，
∴a2＋b2＝c2，故能证明勾股定理．
D、图形的面积两种求法：①2个直角三角形+一个大正方形：2ab＋c2
②两个正方形+两个直角三角形：a2＋b2+2ab；
∴2ab＋c2＝a2＋b2+2ab，
∴a2＋b2＝c2，故能证明勾股定理．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．
举一反三2勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用如图证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）求证：a2+b2＝c2．
【答案】见解析
【分析】利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式．
【详解】证明：如图，连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a，
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝12b2+12ab，
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝12c2+12a（b﹣a），
∴12b2+12ab＝12c2+12a（b﹣a），
12b2+12ab=12c2+12ab−12a2，
即a2+b2＝c2．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．
题型十 以弦图为背景的计算题
例10早在公元前100年，我国古算书《周髀算经》就记载了历史上第一个把数与形联系起来的定理——勾股定理．如图，分别以Rt△ABC的各边为边在BC的上方作正方形．已知AB=m（m为大于0的常数），BC=2，若图中的两个阴影三角形全等，则m2的值为（ ）
A．34B．43C．54D．45
【答案】D
【分析】先证明△BEF≌△CBDASA，再由两个阴影三角形全等即可求出BD的长，由DC⋅AB=BC⋅BD求出AB的长，即可求出答案．
【详解】解：∵四边形EBCG是正方形，
∴∠DBC=∠E=90°，BE=BC，
∴∠EBF+∠ABC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ABC=90°，
∴∠EBF=∠ACB，
∴△BEF≌△CBDASA，
∴BD=EF，
∵两个阴影三角形全等，
∴BD=FG，
∴EF=FG，
∵EG=BC=2
∴BD=EF=1，
∴DC=BD2+BC2=12+22=5，
∵ DC⋅AB=BC⋅BD，
∴5AB=2×1，
∴AB=255，
∴m2=AB2=45．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
举一反三1“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图，其直角三角形的两条直角边的长分别是1和2，则小正方形与大正方形的面积之比为 ．
【答案】15/1:5
【分析】根据题意求得小正方形的边长，根据勾股定理求出大正方形的边长，由正方形的面积公式即可得出结果．
【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别是1和2，
∴小正方形的边长为1，
根据勾股定理得：大正方形的边长＝12+22=5，
∴小正方形面积大正方形面积=12(5)2=15．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了勾股定理和正方形的面积．本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．
举一反三2如图是由八个全等的直角三角形拼接而成，图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若EF=3，则S1+S2+S3的值是（ ）
A．27B．28C．30D．36
【答案】A
【分析】设八个全等的直角三角形的面积都是a，根据题意得S1−S2=4a，S2−S3=4a，进而可得S1+S3=2S2，由已知条件求出S2，进一步即可求出答案.
【详解】解：设八个全等的直角三角形的面积都是a，根据题意得：
S1−S2=4a，S2−S3=4a，
∴S1−S2=S2−S3，即S1+S3=2S2，
∵S2=EF2=9，
∴S1+S3=18，
∴S1+S2+S3=18+9=27；
故选：A.
【点睛】本题考查了勾股定理的弦图背景和全等三角形的性质，解题的关键是抓住弦图内外四个直角三角形的的面积与三个正方形的面积之间的和差关系.
题型十一 用勾股定理构造图形解决问题
例11为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB=2.4米，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.8米的市民CD正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即BC=0.8米），测温仪自动显示体温（ ）
A．1.0米B．1.2米C．1.25米D．1.5米
【答案】A
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB=2.4米，BE=CD=1.8米，
∴AE=AB−BE=2.4−1.8=0.6（米），
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：
AD=AE2+DE=0.82+(0.6)2=1.0（米），
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度．
举一反三1《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C′处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是 尺．
【答案】12
【分析】根据题意，可知EC′的长为10尺，则C′B=5尺，设芦苇长AC=AC′=x尺，表示出水深AB，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【详解】解：依题意画出图形，
设芦苇长AC=AC′=x尺，
则水深AB=(x−1)尺，
∵C′E=10尺，
∴C′B=5尺，
在Rt△AC'B中，根据勾股定理得，
52+(x−1)2=x2，
25+x2−2x+1=x2
解得x=13，
即芦苇长13尺，
∴水深为12尺，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，构造直角三角形，掌握勾股定理．
举一反三2如图所示，将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则h的取值范围是（ ）
A．ℎ≤17cmB．ℎ≥8cm
C．15cm≤ℎ≤16cmD．7cm≤ℎ≤16cm
【答案】D
【分析】当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，当筷子的底端在D点时，筷子露在外面的长度最长，然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出ℎ的取值范围．
【详解】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在外面的长度最长，
∴ℎ=24−8=16cm，
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD=15，BD=8，
∴AB=AD2+BD2=17，
此时ℎ=24−17=7cm，
所以ℎ取值范围是7cm≤ℎ≤16cm，
故选：D．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．
题型十二 勾股定理与无理数
例12（1）在图1中，用尺规作AB边的中垂线，交BC于点P（保留作图痕迹）
（2）如图2，是由边长为1的小正方形拼成的网格，画一个以格点为顶点，斜边长为10的直角三角形（各边均为无理数）．
【答案】（1）见详解；（2）见解析
【分析】（1）利用尺规，根据要求作出AB边的中垂线图形即可；
（2）画一个直角边为5，斜边为10的等腰直角三角形即可．
【详解】解：（1）如图，直线PQ即为所求作．
（2）解：EF=12+32=10,DE=DF=12+22=5
如下图，△DEF即为所求．
【点睛】本题考查线段的垂直平分线作图-基本作图、勾股定理以及无理数在方格中的构造等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
举一反三1如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的实数为（ ）
A．2.5B．5C．10D．10−1
【答案】D
【分析】先利用勾股定理求出AC，根据AC=AM，求出OM，由此即可解决问题，
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵AB=3，AD=BC=1，
∴AC=AB2+BC2=32+12=10，
∵AM=AC=10，A为-1，
∴OM=10−1，
∴点M表示点数为10−1．
故选：D．
【点睛】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出AC、AM的长．
举一反三2如图 ，点 A 表示的实数是（ ）
A．−2B．2C．1−2D．2−1
【答案】C
【分析】根据勾股定理、实数和数轴的知识进行解答即可．
【详解】解：点 A 表示的实数是1-12+12=1−2．
故答案为C．
【点睛】本题考查了勾股定理、实数和数轴等知识，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
一、单选题
1．（2021上·上海虹口·八年级统考期末）直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么这个三角形的斜边上的中线长为（ ）
A．6B．6.5C．10D．13
【答案】B
【分析】根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：∵直角三角形两直角边长为5和12，
∴斜边＝，
∴此直角三角形斜边上的中线的长＝＝6.5．
故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理及直角三角形斜边中线定理是解题的关键．
2．（2022上·上海青浦·八年级校考期末）如图，在中，，，平分，，则以下结论错误的是（ ）
A．点C到直线的距离为1B．点D到直线的距离为1
C．点A到直线的距离为D．点B到直线的距离为
【答案】A
【分析】根据，，易证，得到，根据三角形的内角和得到，根据角平分线的定义得到，过点作于，点C到直线的距离为，过作于，求得点到的距离为1，，点B到直线的距离为，过作交的延长线于，得到点到的距离为．
【详解】解：过作于，∵平分，
∴，，
∴，则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
过点作于，
∵，，
∴，则，
∴，则，
∴点C到直线的距离为，故A选项结论错误；
过作于，
∴，
∴点到的距离为1，故选项B结论正确；
，
∴点B到直线的距离为，故选项D结论正确；
过作交的延长线于，
∴，
∴点到的距离为，故选项C结论正确．
故选：A．
【点睛】本题考查的是含的直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，多次利用含的直角三角形求边的长度是解决问题的关键．
3．（2021上·上海普陀·八年级校联考期末）用下列几组边长构成的三角形中哪一组不是直角三角形（ ）
A．8，15，17B．，2，
C．，，D．1，2，
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
【详解】解：A、∵，∴此三角形为直角三角形，故选项不符合题意；
B、∵，∴此三角形不是直角三角形，故选项符合题意；
C、∵，∴此三角形是直角三角形，故选项不符合题意；
D、∵，∴此三角形为直角三角形，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4．（2021下·上海静安·七年级上海市市北初级中学校考期中）如图，线段将边长为1个单位长度的正方形分割为两个等腰直角三角形，以A为圆心，的长为半径画弧交数轴于点C，那么点C在数轴上所对应的数是（ ）．
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，然后根据题意，得到即可得出选项．
【详解】解：∵线段将边长为1个单位长度的正方形分割为两个等腰直角三角形，
∴，
∵以A为圆心，的长为半径画弧交数轴于点C，
∴，
∴，
∵点C在原点左边，
∴点表示的数是：，
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴和实数，勾股定理的应用，能读懂图象是解此题的关键．
5．（2021上·上海浦东新·八年级统考期末）在中，，，，AD平分交BC于点D，那么点D到AB的距离是（ ）
A．4.8B．4C．3D．
【答案】C
【分析】如图，过作于，先证明：再证明：，再利用面积比证明：，再求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，过作于，
AD平分，
故选：
【点睛】本题考查的是勾股定理逆定理的应用，角平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题
6．（2022上·上海·八年级上海市民办上宝中学校考期中）是斜边上的高，若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据，设，则，在中根据勾股定理可求出的值，根据等面积法即可求解．
【详解】解：如图所示，
已知是直角三角形，，，，，
设，则，
在中，，即，解得，，
∴，，
∵，且，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，运用等面积法求高，掌握以上知识的运用是解题的关键．
7．（2021上·上海青浦·八年级校考期末）如图，在中，，平分，，，那么的长是 ．
【答案】
【分析】过点D作于点E，在中根据勾股定理可求得，根据角平分线的性质得到，进而证得，因此，
设，则，在中，根据勾股定理有，从而构造方程求解即可解答．
【详解】过点D作于点E，
∵，，，
∴在中，，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
设，则，
∵在中，
∴
解得，
即．
故答案为：
【点睛】本题考查勾股定理，三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8．（2022下·上海青浦·八年级校考期末）已知梯形，，，，当时，对角线 ．
【答案】
【分析】过点作于，根据直角三角形的性质求出，进而求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：过点作于，
在中，，
则，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是梯形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键．
9．（2022上·上海青浦·八年级校考期末）如图，在中，，点D为上一点，连接，，则 ．
【答案】
【分析】先利用勾股定理得逆定理推出，则，设，则，则中利用勾股定理得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理得逆定理，证明是解题的关键．
10．（2023下·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考阶段练习）已知直角三角形的一条直角边长度为6，另一条直角边长比斜边小2；那么这个直角三角形的周长为 ．
【答案】24
【分析】设直角三角形的斜边长是，则另一条直角边长是，再根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设直角三角形的斜边长是，则另一条直角边长是．
根据勾股定理，得 ，解得：，
则斜边长是，另一条直角边为．
所以直角三角形的周长为
故答案为：24
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理正确列出方程求解是解题关键．
三、解答题
11．（2023上·上海·八年级校考阶段练习）已知：如图，在四边形中，，，，．
(1)求的度数．
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】对于（1），连接，根据勾股定理求出及，再根据勾股定理逆定理说明是直角三角形，即可求出答案；
对于（2），根据两个三角形的面积和求出答案即可．
【详解】（1）连接，如图所示．
∵，，
∴，
根据勾股定理得，
在中，，
∴是直角三角形，且，
∴；
（2）．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及逆定理的应用，求四边形的面积，将不规则四边形转化为两个直角三角形是解题的关键．
12．（2023下·上海嘉定·八年级校考开学考试）如图，已知中，，是的角平分线，，，求的值．
【答案】
【分析】在上截取，连接，则，由角平分线可知，即，然后证明，可得，然后利用勾股定理解题即可．
【详解】解：在上截取，连接，
∵，
∴,
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
13．（2021上·上海青浦·八年级校考期末）如图，在中，，，D是边的中点，交于点E．
(1)求的度数；
(2)过点C作垂直于，垂足为点F，如果．求的长．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由中， D是斜边的中点，可得，从而，由外角的，再由得到，从而；
（2）根据D是斜边的中点可得，在中，，根据“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”，得到，进而根据勾股定理得到，因此．
【详解】（1）∵在中，， D是边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）
∵，
∴，
∵，，
∴，
，
∴．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
方法
图形
证明
赵爽“勾股圆方图”(“赵爽弦图”)
因为大正方形的边长为 c,所以大正方形的面积为S=c2，又大正方形的面积S=4×12ab+（a−b）2=a2+b2，所以a2+b2=c2
刘徽“青朱出入图”
设大正方形的面积为S,则S=c2.根据“出入相补,以盈补虚”的原理,又有S=a2+b2,所以a2+b2=c2
加菲尔德总统拼图
如图：
利用整体法，梯形的面积为S=12(a+b)(a+b)=ab+12(a2+b2)，利用分割法，梯形的面积为S=12ab+12c⋅c+12ab=ab+12c2，所以a2+b2=c2
毕达哥拉斯拼图
图1中拼成的正方形与图2中拼成的正方形面积相等，通过面积相等可以得到：a2+b2+4×12ab=c2+4×12ab，整理得a2+b2=c2．
欧几里得证法
画长为的线段
当直角三角形的两直角边长分别为 ,时斜边长为,即 ;当两直角边长分别为,时,斜边长为,即.依此规律可以画出长为,,，…的线段.
在数轴上表示
构造两条直角边长都是的直角三角形,使用勾股定理得到斜为,再用圆规截取的方法在数轴上画出表示的点;构造两直角边长分别为，的直角三角形,用勾股定理得到斜边长为,再用圆规截取的方法在数轴上画出表示点.依此规律可以画出长为,,，…的点.
主要应用
画出长为无理数的线段,在数轴上画出表示无理数的点.
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