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所属成套资源：2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（沪教版）
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沪教版 (五四制)八年级上册19．9 勾股定理精品第2课时达标测试
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这是一份沪教版 (五四制)八年级上册19．9 勾股定理精品第2课时达标测试，文件包含199第2课时勾股定理的应用与逆定理原卷版docx、199第2课时勾股定理的应用与逆定理解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共92页， 欢迎下载使用。
1.掌握勾股定理的逆定理，会运用其判断一个三角形是不是直角三角形,能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系
2.了解幻股数，会判断三个数是不是一组幻股数
3.通过勾股定理逆定理的探索过程,学会用三角形全等证明勾股定理的逆定理
知识点一 勾股定理的应用
（1）已知直角三角形的两边长求第三边长
（2）已知非直角三角形的边长，通过添加辅助线，把求非直角三角形边的问题转化为求直角三角形边的问题
（3）通过建模，将实际问题转化到直角三角形中，运用勾股定理来解决
即学即练1如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了( )
A．4米B．6米C．8米D．10米
即学即练2如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面半径为4.5cm，内壁高为12cm．若这支铅笔的长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分的长度不可能是( )
A．2cmB．3cmC．4cmD．6cm
即学即练3如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿东偏南60°方向以9节（1节=1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西60°方向以12节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是（ ）
A．9海里B．12海里C．15海里D．30海里
知识点二 勾股定理的逆定理
1.定义
如果三角形的三边长满足,那么这个三角形是直角三角形,我们称它为勾股定理的逆定理
2.运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤
(1)找:确定三角形的最长边；
(2)算:分别计算出最长边的平方与另两边的平方和;
(3)比:通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等；
(4)判:作出结论,若相等,则说明这个三角形是直角三角形,否则不是直角三角形.
(1)如果用勾股定理的逆定理来判定一个三角形是否为直角三角形，则其中最长边所对的角是直角，不能简单地认为边所对的角必是直角.例如:当时,则边所对的角是直角，我们一般记作：大边对大角或者大角对大边，不要简单地用字母对应边.
(2)勾股定理的逆定理在叙述时不能说成“当斜边长的平方等于两条直角边长的平方和时，这个三角形是直角三角形”,在未判定三角形为直角三角形前，不能称最长边为“斜边”较短的两边为“直角边”.
3.股定理与其逆定理的联系与区别
(1)勾股定理和勾股定理的逆定理的题设和结论互换;
(2)勾股定理是直角三角形的性质，而其逆定理是直角三角形的判定
拓展
三角形的三边长分别是(其中是最长边)
(1)若,则这个三角形是直角三角形;
(2)若 ,则这个三角形是钝角三角形;
(3)若,则这个三角形是锐角三角形.
即学即练1下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ ）
A．三个角的比是2：3：5B．三条边a，b，c满足关系a2＝c2﹣b2
C．三条边的比是2：3：5D．三边长为1，2，3
即学即练2根据下列条件，分别判断以a，b，c为三边的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．b2=a2−c2 B．∠A:∠B:∠C=3:4:5
C．∠C=∠A−∠B D．a:b:c=12:13:5
即学即练3根据下列条件，分别判断以a，b，c为边的三角形是不是直角三角形．
(1)a=7，b=8，c=10．
(2)a=35，b=12，c=37．
(3)a=41，b=4，c=5．
(4)a=3n，b=4n，c=5n（n为正整数）
(5)a:b:c=5:12:13．
判定三角形为直角三角形的方法
(1)用角判断:
①两个锐角互余的三角形是直角三角形;
②有一个角是 90°的三角形是直角三角形.
(2)用边判断:如果已知条件与边有关，则可通过勾股定理的逆定理进行判断
知识点三 勾股数
1.勾股数的概念
能够成为直角三角形三条边长的三个,称为勾股数,即中,a,b,c为正整数时,称a,b,c 为一组勾股数【注意：小数（含分数）、无理数就算满足，也不能称为勾股数，因为它们不是正整数.】
2.常见的勾股数
①3,4,5 ;②6,8,10 ;③ 8,15,17 ;④7,24,25 ;⑤ 5,12,13 ;⑥9.12,15 ;⑦9,40,41.这些勾股数同学们请背诵下来，我们熟悉了常见的勾股数之后，将有利于我们快速判断一个三角形是否为直角三角形.
3.勾股数的求法
(1)如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有 a2=b+c,那么a,b,c为一组勾股数.如3为大于1的奇数，4,5为两个连续自然数,且32=4+5,则3,4,5为一组勾股数,还有 5,12,13 ；7,24,25 ；9,40,41 ；11,60,61 ……
(2)如果a,b,c为一组勾股数,则na,nb,nc也是一组勾股数,其中n(n≥1)为自然数.
例如3,4,5是一组勾股数,那么6,8,10也是一组勾股数,9,12,15 也是一组勾股数.
判断勾股数的方法步骤是什么？
确定三个数是正整数;
确定出最大数与另外两个较小的数,计算最大数的平方与另外两个较小数的平方和;
(3)进行比较,若相等,则是勾股数,否则不是
即学即练1 下列几组数中，为勾股数的是（ ）
A．4，5，6B．12，16，18
C．7，24，25D．0.8，1.5，1.7
即学即练2下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．5，6，7B．3，4，5C．1，2，5D．0.6，0.8，1
题型一 求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
例1一架梯子AC长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙7米，
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
举一反三1如图，斜靠在墙上的一根竹竿，AB=5m，OB=3m．若B端沿地面OB方向外0.5m，则A端沿垂直于地面AC方向下移（ ）
A．等于0.5mB．小于0.5mC．大于0.5mD．不确定
举一反三2如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( )
A．2.2米B．2.3米C．2.4米D．2.5米
题型二 求旗杆高度(勾股定理的应用）
例2学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1）；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为6米（如图2）．
根据以上信息，求旗杆AB的高度．
举一反三1如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦10米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长26米，云梯底部距地面AE=1.5米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多高？
举一反三2如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC=5m，它们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处.已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为xm.
(1)请用含有x的整式表示线段AD的长为 m；
(2)求这棵树高有多少米？
题型三 求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)
例3如图，有两棵垂直于地面的树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（ ）米．
A．6B．8C．10D．12
举一反三1如图，有两只猴子在一棵树CD高6m的点B处，他们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下去到离树12m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线越向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？
举一反三2如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（ ）
A．8米B．9米C．10米D．11米
题型四 求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
例4海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10mB．15mC．18mD．20m
举一反三1一棵大树在离地面6m高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8m处，求大树断裂之前的高度．
举一反三2《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈=10尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部5尺远，则折断处离地面的高度是（ ）
A．53尺B．6.25尺C．4.75尺D．3.75尺
题型五 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
例5如图所示的是一个长方体笔筒，底面的长、宽分别为8cm和6cm，高为10cm，将一支长为18cm的签字笔放入笔筒内，则签字笔露在笔筒外的的长度最少为（ ）
A．10cmB．18−102cmC．8cmD．102cm
举一反三1如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为hcm，则h的取值范围是（ ）
A．5≤h≤12B．12≤h≤19C．11≤h≤12D．12≤h≤13
题型六 解决航海问题(勾股定理的应用）
例6甲船和乙船分别从A港口和B港口同时出发，各沿图中箭头所指的方向航行(如图所示)，现已知甲、乙两船的速度分别为16海里/时和12海里/时，且A，B两港口之间的距离为10海里，则经过 小时甲船和乙船之间的距离最近．
举一反三1如图，一艘轮船位于灯塔B的正西方向A处，且A处与灯塔B相距50海里，轮船沿东北方向匀速航行，到达位于灯塔B的北偏东15°方向上的C处．
(1)求∠ACB的度数；
(2)求灯塔B到C处的距离．（结果保留根号）
举一反三2如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距1003+1海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险﹖请说明理由．（参考数据：2≈1.4，3≈1.7，精确到1海里）
题型七 求河宽(勾股定理的应用)
例7如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得AC=18m,BC=30m．求A，B两点间的距离．
举一反三1某工程队负责挖掘一处通山隧道，为了保证山脚A，B两处出口能够直通，工程队在工程图上留下了一些测量数据（此为山体俯视图，图中测量线拐点处均为直角，数据单位：米）．据此可以求得该隧道预计全长 米．
举一反三2如图，为了测量池塘的宽度DE，在池塘周围的平地上选择了A、B、C三点，且A、D、E、C四点在同一条直线上，∠C=90°，已测得AB=100m，BC=60m，AD=20m，EC=10m，则池塘的宽度DE（ ）
A．80mB．60mC．50mD．40m
题型八 求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)
例8某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元．
举一反三1如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 dm．
举一反三2如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（ ）
A．6B．8C．9D．15
题型九 判断汽车是否超速(勾股定理的应用)
例9如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是 米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是 秒．
举一反三1如图，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明与小亮约好去图书馆（D），一小明行走的路线是A→C→D，小亮行走的路线是B→C→D，已知AB=3km，BC=4km，CD=5km，∠ABC=90°，已知小明骑自行车速度为a km/分钟，小亮走路，速度为0.1km分钟。小亮出发20分钟后小明再出发，若小明在路上遇到小亮，则带上小亮一起去图书馆，为了使小亮能坐上小明的顺风车，则a的取值范围是 。
举一反三2如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，则这辆小汽车的速度是 m/s．
题型十 判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
例10森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大．随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，△ABC区域内是一片森林，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与点A，B的距离分别为600m和800m，又AB=1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．
(1)求△ABC的面积．
(2)着火点C能否受到洒水影响？为什么？
举一反三1如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，∠OPN=30∘，点A处有一所学校．AP=240m．假设汽车在公路MN上行驶时，周围150m以内会受到噪音影响，则学校是否会受到噪音影响？请说明理由．如果受影响，请求出受影响的时间．（已知汽车的速度为18m/秒．）
举一反三2为了积极响应国家新农村建设的号召，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行广播宣传．如图，笔直的公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄到公路MN的距离为600m，假使宣讲车P周围1000m以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶．
(1)村庄能否听到广播宣传?请说明理由．
(2)已知宣讲车的速度是200m/min，如果村庄能听到广播宣传，那么总共能听多长时间?
题型十一 选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)
例11如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
举一反三1如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
举一反三2某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24 m，AB离地面的高度AE=10m，拱顶最高处C离地面的高度CD为18 m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17 m，则MN= m．
题型十二 求最短路径(勾股定理的应用）
例12如图，长方体的长、宽、高分别为6，4，4，点A是上底面中心，点B是棱CD的中点，一只蚂蚁由A处爬到B处，最短路程为 ．
举一反三1如图，圆柱的高为12cm，底面周长为18cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程是 cm．
举一反三2如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为16cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径为 cm．
题型十三 判断三边能否构成直角三角形
例13如图，在△ABC中，CD⊥AB，AB=5，BC=5，CD=2．
(1)求DB的长；
(2)求证：AC⊥BC．
举一反三1下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠B=∠C+∠A B．a2=(b+c)(b−c)
C．∠A:∠B:∠C=3:4:5D．a:b:c=5:12:13
举一反三2已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a−ba2+b2−c2=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
题型十四 在网格中判断直角三角形
例14在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点的三角形叫做格点三角形，现有A，B两个格点，请以AB为边分别画出符合下列要求的格点三角形．
(1)在图甲中画一个面积为4的直角三角形；
(2)在图乙中画一个等腰（非直角）三角形，且这个等腰三角形的腰长为_______________．
举一反三1如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，要求只用一把无刻度的直尺作图．
(1)在图1中作一个以AB为腰的等腰三角形，其顶点都在格点上．
(2)在图2中作所有以AB为一边的直角三角形，其顶点都在格点上．
举一反三2图1与图2均为5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均落在格点上，在图1、图2给定的网格中按要求作图．
(1)在图1的格点中取一点C，使△ABC为等腰直角三角形；
(2)在图2的格点中取一点E，使△ABE是与△ABD面积相等的等腰三角形．
题型十五 利用勾股定理的逆定理求解
例15如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13．
(1)求AC的长．
(2)求四边形ABCD的面积．
举一反三1如图所示，AB⊥BC，AB=23，CD=5，AD=3，BC=2，则∠A=（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
举一反三2如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，AB=3m，AD=4m，CD=12m，BC=13m，又已知∠A=90°．求这块土地的面积．
题型十六 勾股定理逆定理的实际应用
例16如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm,AD=4cm,BC=13cm,CD=12cm,∠A=90°，求四边形ABCD的面积．
举一反三1如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米．
(1)△ABC是直角三角形吗？为什么？
(2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
举一反三2如图，AB⊥BC,AB=4,BC=3,DC=12,AD=13．请你连结AC．
(1)求线段AC的长；
(2)求四边形ABCD的面积
题型十七 勾股定理逆定理的拓展问题
例17如图，在笔直的公路AB旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路AB上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为9km，与公路上另一停靠站B的直线距离为12km，公路AB的长度为15km，且CD⊥AB．
(1)求证：AC⊥BC；
(2)求修建的桥梁CD的长．
举一反三1如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上．
(1)直接写出线段AC、CD、AD的长；
(2)求∠ACD的度数；
(3)求四边形ABCD的面积．
举一反三2定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割．
(1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若AM=1.5，MN=2.5，BN=2.0，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=30，AM=5，求BN的长．
一、单选题
1．（2022上·上海宝山·八年级校考期末）下列四组数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．、、B．、、C．、、D．、、（）
2．（2021上·上海普陀·八年级校联考期末）用下列几组边长构成的三角形中哪一组不是直角三角形（ ）
A．8，15，17B．，2，
C．，，D．1，2，
3．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，在单位为1的正方形网格图中有四条线段，从中任取三条线段所构成的三角形中恰好是直角三角形的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．若一个三角形的三边分别是7，24，25，则它的面积是( )
A．84B．87.5C．168D．300
6．如果a，b，c是三角形的三边并且满足：，则三角形的面积是（ ）
A．24B．48C．12D．6
二、填空题
7．三角形的三边长为，则它最长边上的高为 ．
8．（2021上·上海长宁·八年级校考期末）已知一个三角形三边的长分别为，则这个三角形的面积是 ．
9．（2022上·上海宝山·八年级校考期末）如图，在中，，，，点P为边上一点，点P关于直线的对称点为点Q，联结、，与边交于点D．当时，则 ．
10．一个三角形花坛的三边长为，，，则这个花坛的面积是 ．
三、解答题
11．（2023上·上海·八年级校考阶段练习）已知：如图，在四边形中，，，，．
(1)求的度数．
(2)求四边形的面积．
12．（2022上·上海金山·八年级校联考期末）已知直角坐标平面内两点，．
(1)利用无刻度直尺、圆规在轴上求作点，使（不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论）；
(2)求出点的坐标（写出计算过程）；
(3)求出的面积．
13．如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．求此绿地的面积．
1.掌握勾股定理的逆定理，会运用其判断一个三角形是不是直角三角形,能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系
2.了解幻股数，会判断三个数是不是一组幻股数
3.通过勾股定理逆定理的探索过程,学会用三角形全等证明勾股定理的逆定理
知识点一 勾股定理的应用
（1）已知直角三角形的两边长求第三边长
（2）已知非直角三角形的边长，通过添加辅助线，把求非直角三角形边的问题转化为求直角三角形边的问题
（3）通过建模，将实际问题转化到直角三角形中，运用勾股定理来解决
即学即练1如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了( )
A．4米B．6米C．8米D．10米
即学即练2如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面半径为4.5cm，内壁高为12cm．若这支铅笔的长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分的长度不可能是( )
A．2cmB．3cmC．4cmD．6cm
即学即练3如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿东偏南60°方向以9节（1节=1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西60°方向以12节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是（ ）
A．9海里B．12海里C．15海里D．30海里
知识点二 勾股定理的逆定理
1.定义
如果三角形的三边长满足,那么这个三角形是直角三角形,我们称它为勾股定理的逆定理
2.运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤
(1)找:确定三角形的最长边；
(2)算:分别计算出最长边的平方与另两边的平方和;
(3)比:通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等；
(4)判:作出结论,若相等,则说明这个三角形是直角三角形,否则不是直角三角形.
(1)如果用勾股定理的逆定理来判定一个三角形是否为直角三角形，则其中最长边所对的角是直角，不能简单地认为边所对的角必是直角.例如:当时,则边所对的角是直角，我们一般记作：大边对大角或者大角对大边，不要简单地用字母对应边.
(2)勾股定理的逆定理在叙述时不能说成“当斜边长的平方等于两条直角边长的平方和时，这个三角形是直角三角形”,在未判定三角形为直角三角形前，不能称最长边为“斜边”较短的两边为“直角边”.
3.股定理与其逆定理的联系与区别
(1)勾股定理和勾股定理的逆定理的题设和结论互换;
(2)勾股定理是直角三角形的性质，而其逆定理是直角三角形的判定
拓展
三角形的三边长分别是(其中是最长边)
(1)若,则这个三角形是直角三角形;
(2)若 ,则这个三角形是钝角三角形;
(3)若,则这个三角形是锐角三角形.
即学即练1下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ ）
A．三个角的比是2：3：5B．三条边a，b，c满足关系a2＝c2﹣b2
C．三条边的比是2：3：5D．三边长为1，2，3
即学即练2根据下列条件，分别判断以a，b，c为三边的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．b2=a2−c2 B．∠A:∠B:∠C=3:4:5
C．∠C=∠A−∠B D．a:b:c=12:13:5
即学即练3根据下列条件，分别判断以a，b，c为边的三角形是不是直角三角形．
(1)a=7，b=8，c=10．
(2)a=35，b=12，c=37．
(3)a=41，b=4，c=5．
(4)a=3n，b=4n，c=5n（n为正整数）
(5)a:b:c=5:12:13．
判定三角形为直角三角形的方法
(1)用角判断:
①两个锐角互余的三角形是直角三角形;
②有一个角是 90°的三角形是直角三角形.
(2)用边判断:如果已知条件与边有关，则可通过勾股定理的逆定理进行判断
知识点三 勾股数
1.勾股数的概念
能够成为直角三角形三条边长的三个,称为勾股数,即中,a,b,c为正整数时,称a,b,c 为一组勾股数【注意：小数（含分数）、无理数就算满足，也不能称为勾股数，因为它们不是正整数.】
2.常见的勾股数
①3,4,5 ;②6,8,10 ;③ 8,15,17 ;④7,24,25 ;⑤ 5,12,13 ;⑥9.12,15 ;⑦9,40,41.这些勾股数同学们请背诵下来，我们熟悉了常见的勾股数之后，将有利于我们快速判断一个三角形是否为直角三角形.
3.勾股数的求法
(1)如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有 a2=b+c,那么a,b,c为一组勾股数.如3为大于1的奇数，4,5为两个连续自然数,且32=4+5,则3,4,5为一组勾股数,还有 5,12,13 ；7,24,25 ；9,40,41 ；11,60,61 ……
(2)如果a,b,c为一组勾股数,则na,nb,nc也是一组勾股数,其中n(n≥1)为自然数.
例如3,4,5是一组勾股数,那么6,8,10也是一组勾股数,9,12,15 也是一组勾股数.
判断勾股数的方法步骤是什么？
确定三个数是正整数;
确定出最大数与另外两个较小的数,计算最大数的平方与另外两个较小数的平方和;
(3)进行比较,若相等,则是勾股数,否则不是
即学即练1 下列几组数中，为勾股数的是（ ）
A．4，5，6B．12，16，18
C．7，24，25D．0.8，1.5，1.7
即学即练2下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．5，6，7B．3，4，5C．1，2，5D．0.6，0.8，1
题型一 求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
例1一架梯子AC长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙7米，
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
举一反三1如图，斜靠在墙上的一根竹竿，AB=5m，OB=3m．若B端沿地面OB方向外0.5m，则A端沿垂直于地面AC方向下移（ ）
A．等于0.5mB．小于0.5mC．大于0.5mD．不确定
举一反三2如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( )
A．2.2米B．2.3米C．2.4米D．2.5米
题型二 求旗杆高度(勾股定理的应用）
例2学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1）；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为6米（如图2）．
根据以上信息，求旗杆AB的高度．
举一反三1如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦10米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长26米，云梯底部距地面AE=1.5米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多高？
举一反三2如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC=5m，它们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处.已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为xm.
(1)请用含有x的整式表示线段AD的长为 m；
(2)求这棵树高有多少米？
题型三 求小鸟飞行距离(勾股定理的应用)
例3如图，有两棵垂直于地面的树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（ ）米．
A．6B．8C．10D．12
举一反三1如图，有两只猴子在一棵树CD高6m的点B处，他们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下去到离树12m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线越向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？
举一反三2如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（ ）
A．8米B．9米C．10米D．11米
题型四 求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
例4海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10mB．15mC．18mD．20m
举一反三1一棵大树在离地面6m高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8m处，求大树断裂之前的高度．
举一反三2《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈=10尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部5尺远，则折断处离地面的高度是（ ）
A．53尺B．6.25尺C．4.75尺D．3.75尺
题型五 解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)
例5如图所示的是一个长方体笔筒，底面的长、宽分别为8cm和6cm，高为10cm，将一支长为18cm的签字笔放入笔筒内，则签字笔露在笔筒外的的长度最少为（ ）
A．10cmB．18−102cmC．8cmD．102cm
举一反三1如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为hcm，则h的取值范围是（ ）
A．5≤h≤12B．12≤h≤19C．11≤h≤12D．12≤h≤13
题型六 解决航海问题(勾股定理的应用）
例6甲船和乙船分别从A港口和B港口同时出发，各沿图中箭头所指的方向航行(如图所示)，现已知甲、乙两船的速度分别为16海里/时和12海里/时，且A，B两港口之间的距离为10海里，则经过 小时甲船和乙船之间的距离最近．
举一反三1如图，一艘轮船位于灯塔B的正西方向A处，且A处与灯塔B相距50海里，轮船沿东北方向匀速航行，到达位于灯塔B的北偏东15°方向上的C处．
(1)求∠ACB的度数；
(2)求灯塔B到C处的距离．（结果保留根号）
举一反三2如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距1003+1海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险﹖请说明理由．（参考数据：2≈1.4，3≈1.7，精确到1海里）
题型七 求河宽(勾股定理的应用)
例7如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得AC=18m,BC=30m．求A，B两点间的距离．
举一反三1某工程队负责挖掘一处通山隧道，为了保证山脚A，B两处出口能够直通，工程队在工程图上留下了一些测量数据（此为山体俯视图，图中测量线拐点处均为直角，数据单位：米）．据此可以求得该隧道预计全长 米．
举一反三2如图，为了测量池塘的宽度DE，在池塘周围的平地上选择了A、B、C三点，且A、D、E、C四点在同一条直线上，∠C=90°，已测得AB=100m，BC=60m，AD=20m，EC=10m，则池塘的宽度DE（ ）
A．80mB．60mC．50mD．40m
题型八 求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)
例8某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元．
举一反三1如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 dm．
举一反三2如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（ ）
A．6B．8C．9D．15
题型九 判断汽车是否超速(勾股定理的应用)
例9如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是 米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是 秒．
举一反三1如图，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明与小亮约好去图书馆（D），一小明行走的路线是A→C→D，小亮行走的路线是B→C→D，已知AB=3km，BC=4km，CD=5km，∠ABC=90°，已知小明骑自行车速度为a km/分钟，小亮走路，速度为0.1km分钟。小亮出发20分钟后小明再出发，若小明在路上遇到小亮，则带上小亮一起去图书馆，为了使小亮能坐上小明的顺风车，则a的取值范围是 。
举一反三2如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，则这辆小汽车的速度是 m/s．
题型十 判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
例10森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大．随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，△ABC区域内是一片森林，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与点A，B的距离分别为600m和800m，又AB=1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．
(1)求△ABC的面积．
(2)着火点C能否受到洒水影响？为什么？
举一反三1如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，∠OPN=30∘，点A处有一所学校．AP=240m．假设汽车在公路MN上行驶时，周围150m以内会受到噪音影响，则学校是否会受到噪音影响？请说明理由．如果受影响，请求出受影响的时间．（已知汽车的速度为18m/秒．）
举一反三2为了积极响应国家新农村建设的号召，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行广播宣传．如图，笔直的公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄到公路MN的距离为600m，假使宣讲车P周围1000m以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶．
(1)村庄能否听到广播宣传?请说明理由．
(2)已知宣讲车的速度是200m/min，如果村庄能听到广播宣传，那么总共能听多长时间?
题型十一 选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)
例11如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
举一反三1如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
举一反三2某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24 m，AB离地面的高度AE=10m，拱顶最高处C离地面的高度CD为18 m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17 m，则MN= m．
题型十二 求最短路径(勾股定理的应用）
例12如图，长方体的长、宽、高分别为6，4，4，点A是上底面中心，点B是棱CD的中点，一只蚂蚁由A处爬到B处，最短路程为 ．
举一反三1如图，圆柱的高为12cm，底面周长为18cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程是 cm．
举一反三2如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为16cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径为 cm．
题型十三 判断三边能否构成直角三角形
例13如图，在△ABC中，CD⊥AB，AB=5，BC=5，CD=2．
(1)求DB的长；
(2)求证：AC⊥BC．
举一反三1下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠B=∠C+∠A B．a2=(b+c)(b−c)
C．∠A:∠B:∠C=3:4:5D．a:b:c=5:12:13
举一反三2已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a−ba2+b2−c2=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
题型十四 在网格中判断直角三角形
例14在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点的三角形叫做格点三角形，现有A，B两个格点，请以AB为边分别画出符合下列要求的格点三角形．
(1)在图甲中画一个面积为4的直角三角形；
(2)在图乙中画一个等腰（非直角）三角形，且这个等腰三角形的腰长为_______________．
举一反三1如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，要求只用一把无刻度的直尺作图．
(1)在图1中作一个以AB为腰的等腰三角形，其顶点都在格点上．
(2)在图2中作所有以AB为一边的直角三角形，其顶点都在格点上．
举一反三2图1与图2均为5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均落在格点上，在图1、图2给定的网格中按要求作图．
(1)在图1的格点中取一点C，使△ABC为等腰直角三角形；
(2)在图2的格点中取一点E，使△ABE是与△ABD面积相等的等腰三角形．
题型十五 利用勾股定理的逆定理求解
例15如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13．
(1)求AC的长．
(2)求四边形ABCD的面积．
举一反三1如图所示，AB⊥BC，AB=23，CD=5，AD=3，BC=2，则∠A=（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
举一反三2如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，AB=3m，AD=4m，CD=12m，BC=13m，又已知∠A=90°．求这块土地的面积．
题型十六 勾股定理逆定理的实际应用
例16如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm,AD=4cm,BC=13cm,CD=12cm,∠A=90°，求四边形ABCD的面积．
举一反三1如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米．
(1)△ABC是直角三角形吗？为什么？
(2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
举一反三2如图，AB⊥BC,AB=4,BC=3,DC=12,AD=13．请你连结AC．
(1)求线段AC的长；
(2)求四边形ABCD的面积
题型十七 勾股定理逆定理的拓展问题
例17如图，在笔直的公路AB旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路AB上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为9km，与公路上另一停靠站B的直线距离为12km，公路AB的长度为15km，且CD⊥AB．
(1)求证：AC⊥BC；
(2)求修建的桥梁CD的长．
举一反三1如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上．
(1)直接写出线段AC、CD、AD的长；
(2)求∠ACD的度数；
(3)求四边形ABCD的面积．
举一反三2定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割．
(1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若AM=1.5，MN=2.5，BN=2.0，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=30，AM=5，求BN的长．
一、单选题
1．（2022上·上海宝山·八年级校考期末）下列四组数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．、、B．、、C．、、D．、、（）
2．（2021上·上海普陀·八年级校联考期末）用下列几组边长构成的三角形中哪一组不是直角三角形（ ）
A．8，15，17B．，2，
C．，，D．1，2，
3．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，在单位为1的正方形网格图中有四条线段，从中任取三条线段所构成的三角形中恰好是直角三角形的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．若一个三角形的三边分别是7，24，25，则它的面积是( )
A．84B．87.5C．168D．300
6．如果a，b，c是三角形的三边并且满足：，则三角形的面积是（ ）
A．24B．48C．12D．6
二、填空题
7．三角形的三边长为，则它最长边上的高为 ．
8．（2021上·上海长宁·八年级校考期末）已知一个三角形三边的长分别为，则这个三角形的面积是 ．
9．（2022上·上海宝山·八年级校考期末）如图，在中，，，，点P为边上一点，点P关于直线的对称点为点Q，联结、，与边交于点D．当时，则 ．
10．一个三角形花坛的三边长为，，，则这个花坛的面积是 ．
三、解答题
11．（2023上·上海·八年级校考阶段练习）已知：如图，在四边形中，，，，．
(1)求的度数．
(2)求四边形的面积．
12．（2022上·上海金山·八年级校联考期末）已知直角坐标平面内两点，．
(1)利用无刻度直尺、圆规在轴上求作点，使（不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论）；
(2)求出点的坐标（写出计算过程）；
(3)求出的面积．
13．如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．求此绿地的面积．
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