初中沪教版 (五四制)19．10 两点的距离公式精品随堂练习题

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1.理解并初步掌握两点的距离公式
2.会用两点的距离公式解决一些直角坐标平面内的简单问题
知识点一 两点的距离公式
1.两点的距离公式
如果直角坐标平面内有两点，,那么两点的距离.
提示
平面内两点之间的距离与这两个点的坐标有关;
运用直角坐标平面内两点的距离公式计算时,代入要准确，无论还是都可以，只是我们习惯性使用，亦是如此;
.
2.特殊情况
(1)当轴时,;所以;
(2)当轴时,;所以;
(3)当点A或点B为原点时,因为其中一个点的坐标为(0,0),所以
即学即练 阅读与思考，同学们通过“真阅读工程”活动接触到很多课外阅读，其中有一段文章与勾股定理的内容相关：在直角坐标系中，已知两点的坐标是，，求M、N两点之间的距离，可以通过变形为计算．
试根据以上知识解决下列问题：

(1)若点，，则，两点间的距离为______；
(2)若点与的距离为10，求m的值；
(3)若点，，点O是坐标原点，试判断是什么三角形，并说明理由．
【答案】(1)
(2)5或
(3)直角三角形，见解析
【分析】（1）根据题目中两点间的距离公式，可以求出，两点间的距离；
（2）根据题目中的距离公式和点与的距离为10，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（3）先根据两点间的距离公式求出，，，然后根据勾股定理的逆定理说明理由即可．
【详解】（1）∵，，
∴．
故答案为：；
（2）∵点与的距离为10，
∴，
两边平方得，
，
解得或，即m的值是5或
（3）是直角三角形，
理由如下：∵点，，点O是坐标原点，
∴，
则，
同理得：
，
，
∵，
∴是直角三角形．
【点睛】本题考查两点间的距离公式、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，求出相应的距离，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
坐标平面内三角形形状的判断方法：
在直角坐标平面内,已知三点的坐标,判断联结这三点所构成的三角形形状，一般先由两点的距离公式计算三角形的三边长,再从三边之间的关系来判断它的形状,有时还要结合勾股定理的逆定理进行判断.
题型一 选址问题
例1为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，于A，于B．已知，，，试问：图书室E应该建在距点A多少处，才能使它到两所学校的距离相等？

【答案】
【分析】设图书室E应建在距A点x千米处，才能使它到两所学校的距离相等，则千米；由勾股定理建立方程即可求解．
【详解】解：设图书室E应建在距A点x千米处，才能使它到两所学校的距离相等，
则千米；
∵，，
∴，，
∵，
∴，
即，
解得：，
答：图书室E应建在距A点千米处，才能使它到两所学校的距离相等．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理解直角三角形，建立方程解方程，是解决本题的关键．
举一反三1如图，笔直公路上、两点相距千米，、为两居民区，于，于，已知千米，千米，现要在公路段上建一超市，使、两居民区到的距离相等，则超市应建在离处多远处．
【答案】千米
【分析】设千米，则千米，利用勾股定理求出两个直角三角形的斜边长，再利用两个三角形的斜边相等求出的长即可．
【详解】设千米，则千米，
因为，
所以，
解得：千米，
经检验是原方程的解，
故超市应建在离处千米处．
【点睛】考查根据勾股定理确定相应长度，利用两直角三角形斜边相等是解答本题的关键．
举一反三2如图，有两条互相垂直的公路，A厂离公路的距离为2千米，离公路的距离为5千米；B厂离公路的距离为11千米，离公路的距离为4千米；现在要在公路上建造一仓库P，使A厂到P仓库的距离与B厂到P仓库的距离相等，求仓库P的位置．
【答案】仓库P在公路上，且在公路的右侧，离公路的距离为6千米处.
【分析】以直线建立直角坐标系，根据题述可得A厂，B厂所在点的坐标，再设仓库P所在点的坐标为(x,0)，根据“A厂到P仓库的距离与B厂到P仓库的距离相等”列出方程，求解，根据方程的解可得出仓库P的位置．
【详解】解：为两条互相垂直的公路，以建立平面直角坐标系，如下图，
根据题意可知,
设P(x,0)，则
整理得：，
解得．
故仓库P在公路上，且在公路的右侧，离公路的距离为6千米处．
【点睛】本题考查两点之间的距离公式．能建立合适的直角坐标系，并根据“A厂到P仓库的距离与B厂到P仓库的距离相等”列出方程是解决此题的关键．
举一反三3列方程解应用题：
如图，镇在镇的正西方向，两镇相距18千米，某公司位于镇的正南4千米处，从镇到公司的公路，途径、两镇之间的处，如要使镇到处，再到公司的总路程为20千米，那么处距离镇多少千米？
【答案】15
【分析】根据题意设AD=xkm，则BD=(18-x)km，DC=(20-x)km，进而利用勾股定理即可解答．
【详解】解：设AD=xkm，则BD=(18-x)km，DC=(20-x)km，
由题意可得：，
解得：x=15，
答：D处距离A镇15千米．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是读懂题意，表示出BD，CD的距离．
一、单选题
1．如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（ ）
A．20千米B．16千米C．12千米D．无法确定
【答案】B
【分析】设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，利用勾股定理得到，则，解方程即可．
【详解】解：设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，
∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等，
∴，
∴ ，
∴，
解得：x＝16，
则煤栈E应距A点16km．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键．
2．如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，，于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（ ）．

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：设，则，
由勾股定理得：
在中，
，
在中，
，
由题意可知：，
所以：，
解得：．
所以，应建在距点处．
故选：．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
3．如图，在平面直角坐标系第一象限有一点P，其横坐标为3，在x轴上有一点A（﹣1，0）．已知PA两点间的距离为，则P的纵坐标为（ ）
A．2B．﹣2C．D．1
【答案】A
【分析】设P点的纵坐标为y，则P（3，y），PA=，又PA两点间的距离为2，依此为等量关系列出方程求出y的值，即求出了点P的坐标．
【详解】解：设P点的纵坐标为y（y＞0），则P（3，y），
依题意 得=2，
解得 y=2（舍去负值）．
故选：A．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于利用两点间的距离公式，用y表示出PA的值，找出等量关系，列出方程求解．平面直角坐标系中的两点间的距离公式：如果A点的坐标为（x1，y1）、B点的坐标为（x2，y2），那么AB=．
4．如图，高速公路上有,两点相距，,为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得,两村庄到站的距离相等，则的长是 ．

A．4B．5C．6D．
【答案】A
【分析】根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：设km，则，
在中，
，
在中，
，
由题意可知：，
∴，
解得：．
所以，=．
故选：A
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，根据题意构造方程，是本题的关键．
二、填空题
5．在平面直角坐标系中，已知点、，点在坐标轴上，且，写出满足条件的所有点的坐标 ．
【答案】，，，
【分析】本题考查了勾股定理与两点间距离公式，需要分类讨论：①当点C位于x轴上时，根据线段间的和差关系即可求出点C坐标；②当点C在y轴上时，根据两点间距离公式和勾股定理构成方程式，解答即可
【详解】解：①当点C位于x轴上时，设点C坐标为（x，0），则，解得x=4或x=-4；
②当点C在y轴上时，由勾股定理得，解得y=±3
综上所述，满足条件的所有点C的坐标为（4,0）（-4,0）（0,3）（0，-3）
【点睛】本题的关键是掌握两点间距离公式和勾股定理
6．若A(8，4)和点B(5，)间的距离是5，则＝ ．
【答案】8或0
【分析】根据两点的距离公式解答即可.
【详解】根据两点的距离公式得（8-5）2+（k-4）2=52，解得k=8或0，
故答案为：8或0.
【点睛】此题考查直角坐标系中点与点间距离的计算公式，勾股定理，正确掌握计算公式是解题的关键.
7．已知点A、B都在轴上（点A 在点B的左边），点A(-3，0)，AB=6，则点Ｂ的坐标为 ．
【答案】(3，0)或(-9，0)
【分析】数轴上两点间的距离即是两点间横坐标之间的距离，据此解题即可．
【详解】
xB=3或-9
故答案为：3或-9
【点睛】本题考查两点间的距离、数轴上两点间的距离等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题
8． “三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等．
(1)求市场E应建在距A多少千米处？
(2)此时的形状是 三角形，请直接写出答案，无需证明．
【答案】(1)20
(2)等腰直角
【分析】本题考查了勾股定理的运用；
（1）由得C、D两村庄到市场E的距离相等，可得，根据勾股定理列方程计算即可；
（2）证明即可判断为等腰直角三角形．
【详解】（1）设，则，
∵于A，于B，已知，
∴，，
∵C、D两村庄到市场E的距离相等，
∴，
∴，
解得，即
∴市场应建在距千米处；
（2）∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角．
9．爱思考的明明同学用下面的方法测量出家门前池塘两端A、B两点的距离．他是这样做的：选定一个点P，连接，在上取一点C，恰好有，，，，他立即确定池塘两端A、B两点的距离为．明明同学测量的结果正确吗？为什么？

【答案】明明同学测量的结果正确，理由见解析．
【分析】由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，，得出，再由勾股定理求出即可．
【详解】明明同学测量的结果正确．
理由如下：
∵，，，，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴．
故明明同学测量的结果正确.
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的综合运用；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
10．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．
【知识运用】
(1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 米．
(2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离．
(3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为 ．
【答案】(1)；
(2)P点的位置见解析，的距离为16千米；
(3)15．
【分析】（1）连接，作于点E，根据，得到，，由平行线间的距离处处相等可得千米，千米，求出，然后利用勾股定理求得CD两地之间的距离；
（2）连接，作的垂直平分线交于P，根据线段垂直平分线的性质可得，点P即为所求；设千米，则千米，分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后根据建立方程，解方程即可；
（3）如图3，，，，，，设，
则，然后根据轴对称求最短路线的方法求解即可．
【详解】（1）解：如图1，连接，作于点E，
∵，，
∴，，
∴千米，千米，
∴千米，
∴（千米），
即两个村庄的距离为千米，
故答案为：；
（2）解：如图2，连接，作的垂直平分线交于P，点P即为所求，
设千米，则千米，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
即的距离为16千米；
（3）解：如图3，，，，，，设，
则，
作点C关于的对称点F，连接，过点F作于E，
则是的最小值，即代数式的最小值，
∵，，，
∴代数式最小值为：，
故答案为：15．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，线段垂直平分线的性质，轴对称—最短路线问题等知识，（3）中构造出是解本题的难点．