河北省唐山市十县一中联盟2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题(学生版+解析)
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这是一份河北省唐山市十县一中联盟2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题(学生版+解析),共23页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容,欢迎下载使用。
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡相应位置上,将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”.
2.作答选择时,选出每小顾答案后,用2B铅竿将答顾卡对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案涂在试卷上一律无效.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上:如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 直线l:斜率和在x轴上的截距分别为( )
A. ,3B. ,C. ,3D. ,
2. 已知点、分别为点在坐标平面和内的射影,则( )
A. B. C. D.
3. 直线:,直线:,则与之间的距离为( )
A. B. 2C. D. 4
4. 已知空间三点O(0,0,0),A(1,,2),B(,-1,2),则以OA,OB为邻边平行四边形的面积为( )
A. 8B. 4C. D.
5. 已知圆的半径为且圆心在轴上,圆与圆相交于两点,若直线的方程为,则( )
A. ,B. ,
C ,D. ,
6. 已知直线与直线关于轴对称,且直线过点,则( )
A. B. C. D.
7. 在棱长为的正四面体中,,,则( )
A. B. C. D.
8. 已知是圆上一动点,,为线段的中点,为坐标原点,则( )
A. 为定值B. 为定值
C. 为定值D. 为定值
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9. 已知平行六面体,则下列各式运算结果是的为( )
A. B.
C. D.
10. 直线,则( )
A. 点在上B. 的倾斜角为
C. 的图象不过第一象限D. 的方向向量为
11. 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,P,Q分别为棱A1D1,B1B,AB,D1D的中点,则( )
A. B. 直线MN与直线BQ相交
C. 点Q到直线MN的距离为D. 点D到平面MNP的距离为
12. 已知、,为圆上一动点,则( )
A. 的最大值为B. 的最大值为
C. 到直线距离的最大值为D.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13 已知向量,,,则__________.
14. 设直线:,直线:,若∥,则实数a=____________.
15. 已知圆锥PO(P为圆锥顶点,O为底面圆心)的轴截面是边长为2的等边三角形,A,B,C为底面圆周上三点,空间一动点Q,满足,则的最小值为____________.
16. 设直线l:与圆C:交于两点,则 的取值范围是___________.
四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知三个顶点的坐标分别为、、,求:
(1)边上的中线所在直线的方程;
(2)边上的高所在直线的方程;
(3)的平分线所在直线的方程.
18. 已知长方体中,,,,点M,N分别在棱CD,上,且,.
(1)若,求;
(2)若平面,求.
19. 在正三棱柱中,AB=2,AA1=,点M为BB1的中点.
(1)求AB与平面MAC所成角的正弦值;
(2)证明:平面MA1C1⊥平面MAC.
20. 已知圆O:与圆C:相外切.
(1)求m值;
(2)若直线l与圆O和圆C都相切,求满足条件的所有l的方程.
21. 如图,四边形为正方形,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且二面角为直二面角,为棱上一点.
(1)求直线与所成角;
(2)当为何值时,平面与平面夹角的余弦值为?
22. 已知圆C:,四点P1(1,1),P2(0,2),P3(1,),P4(1,-)中恰有三点在圆C上.
(1)求圆C的方程;
(2)设以k为斜率的直线l经过点Q(4,-2),但不经过点P2,若l与圆C相交于不同两点A,B.
①求k的取值范围;
②证明:直线P2A与直线P2B的斜率之和为定值.
唐山市十县一中联盟2022-2023学年度第一学期期中考试
高二数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡相应位置上,将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”.
2.作答选择时,选出每小顾答案后,用2B铅竿将答顾卡对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案涂在试卷上一律无效.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上:如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 直线l:的斜率和在x轴上的截距分别为( )
A. ,3B. ,C. ,3D. ,
【答案】B
【解析】
【分析】由可得,据此可得答案.
【详解】,则直线斜率为,
又令,则,故直线在x轴上的截距分别为.
故选:B
2. 已知点、分别为点在坐标平面和内的射影,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出点、的坐标,利用空间中两点间的距离公式可求得的值.
【详解】因为点、分别为点在坐标平面和内的射影,则、,
因此,.
故选:A.
3. 直线:,直线:,则与之间的距离为( )
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的距离公式求解即可.
【详解】,
故选:C.
4. 已知空间三点O(0,0,0),A(1,,2),B(,-1,2),则以OA,OB为邻边的平行四边形的面积为( )
A. 8B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出OA,OB长度和夹角,再用面积公式求出的面积进而求得四边形的面积.
【详解】因为O(0,0,0),A(1,,2),B(,-1,2),
所以,,
,
所以,
以OA,OB为邻边的平行四边形的面积为.
故选:D.
5. 已知圆的半径为且圆心在轴上,圆与圆相交于两点,若直线的方程为,则( )
A. ,B. ,
C ,D. ,
【答案】C
【解析】
【分析】分析可知圆心在直线上,可求得,求出圆心的坐标,可求得圆心到直线的距离,利用勾股定理可求得的值.
【详解】圆的标准方程为,圆心为,半径为,
易知点在直线上,所以,,
因为圆心在直线上,则圆心为线段的中点,
易知过圆心且与直线垂直的直线的方程为,该直线交轴于点,
点到直线的距离为,.
故选:C.
6. 已知直线与直线关于轴对称,且直线过点,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析可知,直线经过点关于轴的对称点,由此可求得实数的值.
【详解】点关于轴的对称点的坐标为,
由题意可知,直线过点,则,解得.
故选:A.
7. 在棱长为的正四面体中,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将用、、表示,利用空间向量数量积的运算性质可求得.
【详解】因为,所以,,
又因为,则,所以,,
所以,,
由空间向量的数量积可得,
因此,
.
故选:B.
8. 已知是圆上一动点,,为线段的中点,为坐标原点,则( )
A. 为定值B. 为定值
C. 为定值D. 为定值
【答案】B
【解析】
【分析】设点,可得,求出点的坐标,利用平面两点间的距离公式化简可得出合适的选项.
【详解】设点,则,可得,则点.
圆的圆心为,半径为.
对于A选项,
不是定值,A错;
对于B选项,
,B对;
对于C选项,
不是定值,C错;
对于D选项,
不是定值,D错.
故选:B.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9. 已知平行六面体,则下列各式运算结果是的为( )
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用空间向量的加法化简可得出合适的选项.
【详解】如下图所示:
对于A选项,,A对;
对于B选项,,B对;
对于C选项,,C对;
对于D选项,,D错.
故选:ABC.
10. 直线,则( )
A. 点在上B. 的倾斜角为
C. 的图象不过第一象限D. 的方向向量为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用点与直线的位置关系可判断A选项;求出直线的斜率,可得出直线的倾斜角,可判断B选项;作出直线的图象可判断C选项;求出直线的方向向量,可判断D选项.
【详解】对于A选项,,所以,点不在上,A错;
对于B选项,直线的斜率为,故的倾斜角为,B对;
对于C选项,直线交轴于点,交轴于点,如下图所示:
由图可知,直线不过第一象限,C对;
对于D选项,直线的一个方向向量为,而向量与这里不共线,D错.
故选:BC.
11. 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,P,Q分别为棱A1D1,B1B,AB,D1D的中点,则( )
A. B. 直线MN与直线BQ相交
C. 点Q到直线MN的距离为D. 点D到平面MNP的距离为
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项:用勾股定理可求出长度;B选项:作的平行线与相交,则可判断是否为异面直线;C选项:求出三边长度,即可求出结果;D选项:过点做,利用线面平行将点到平面的距离转化为点到平面的距离,等体积转化得到,求体积和面积计算距离.
【详解】A选项:,故A正确;
B选项:连接,则与相交,,则与为异面直线,故B错误;
C选项:连接,则,,,由勾股定理可知:,所以到直线的距离即为,故C正确;
D选项:过点做,平面,平面,则平面,所以点到平面的距离等于点到平面的距离,点到直线的距离为,,又点到平面的距离为2,
所以,
又,,,,所以,设点到平面的距离为,则有,所以,故D错误.
故选:AC
12. 已知、,为圆上一动点,则( )
A. 的最大值为B. 的最大值为
C. 到直线距离的最大值为D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出点到直线的最大距离,结合三角形的面积公式可判断A选项;求出的最大值,可得出到直线距离的最大值,可判断C选项;利用平面两点间的距离公式结合圆的方程可判断D选项;利用圆的几何性质可判断B选项.
【详解】对于A选项,圆上的一点到直线的最大距离为圆的半径,故的最大值为,A对;
对于C选项,如下图所示:
点到直线的距离为,
圆的圆心为原点,当直线与圆相切时,此时最大,则点到直线的距离取最大值,
连接,则,则,故,
因此,点到直线的距离为,C错;
对于D选项,设点,则,
所以,
,D对;
对于B选项,,
当且仅当点为直线与圆的交点,且点在线段上时,等号成立,
所以,的最大值为,B对.
故选:ABD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 已知向量,,,则__________.
【答案】
【解析】
【分析】分析可得,利用空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.
【详解】因为,则,解得.
故答案为:.
14. 设直线:,直线:,若∥,则实数a=____________.
【答案】2
【解析】
【分析】由两直线与平行,可得,由此列式求出的值,然后再检验即可.
【详解】若∥,则,解得或,
当时,直线:,直线:,符合题意;
当时,直线:,直线:,两直线重合,不符合题意.
故答案为:2.
15. 已知圆锥PO(P为圆锥顶点,O为底面圆心)的轴截面是边长为2的等边三角形,A,B,C为底面圆周上三点,空间一动点Q,满足,则的最小值为____________.
【答案】
【解析】
【分析】化简向量关系式证明四点共面,结合轴截面特征可求的最小值.
【详解】因为,
所以,
,
所以共面,
又A,B,C为底面圆周上三点,
所以点为平面上一点,
由已知平面,
所以,
又圆锥PO的轴截面是边长为2的等边三角形,所以,
所以的最小值为,
故答案为:,
16. 设直线l:与圆C:交于两点,则 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由直线系方程求得直线所过定点,求出圆心到定点的距离,再确定弦长最短和最长时的位置,求得弦长,即可得到的取值范围.
【详解】直线l:即为,
由 ,解得,可得直线l过定点,
圆C:的圆心坐标为,半径,
由于,故在圆C:内,
,则当直线时,最小,,
的最大值即为圆的直径,
∴的取值范围是
故答案为: .
四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知三个顶点坐标分别为、、,求:
(1)边上的中线所在直线的方程;
(2)边上的高所在直线的方程;
(3)的平分线所在直线的方程.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】(1)求出线段的中点坐标,利用两点式可得出边上的中线所在直线的方程;
(2)求出直线的斜率,可得出边上的高所在直线的斜率,利用点斜式可得出所求直线的方程;
(3)分析可得,数形结合可得出的平分线所在直线的方程.
【小问1详解】
解:的中点为,所以边上的中线所在直线的方程为,
整理可得.
【小问2详解】
解:,则边上的高所在直线的斜率为,
所以边上的高所在直线的方程为,整理可得.
【小问3详解】
解:,,所以,
所以,的平分线所在直线的方程为.
18. 已知长方体中,,,,点M,N分别在棱CD,上,且,.
(1)若,求;
(2)若平面,求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】以A为原点,以,,为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
(1)得出与的坐标,由已知得出,即可列式解出答案;
(2)得出与的坐标,求出平面的法向量,即可根据已知平面,列式求解得出答案.
【小问1详解】
以A为原点,以,,为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,
所以,,
,
,即,解得;
【小问2详解】
由(1)得,
,,,
设平面的法向量为,
则,取
由平面,得,解得.
19. 在正三棱柱中,AB=2,AA1=,点M为BB1的中点.
(1)求AB与平面MAC所成角的正弦值;
(2)证明:平面MA1C1⊥平面MAC.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系,利用线面角公式即可算出答案;
利用两个平面的法向量的数量积为零,即可证明.
【小问1详解】
解:取AC的中点O,则,以O为原点.以,为x,y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
即O(0,0,0),A(1,0,0),C(-1,0,0),B(0,,0),M(0,,)
所以,,
设平面MAC的法向量为,
则取
所以
故AB与平面MAC所成角的正弦值为
【小问2详解】
解:由(1)得A1(1,0,),C1(-1,0,),
则
设平面的法向量为,则取
所以,即,
故平面MA1C1⊥平面MAC.
20. 已知圆O:与圆C:相外切.
(1)求m的值;
(2)若直线l与圆O和圆C都相切,求满足条件的所有l的方程.
【答案】(1)
(2)或或
【解析】
【分析】(1)把两圆相外切转化圆心间距离等于半径和,计算求解即可.
(2)先设直线再满足直线和圆相切即圆心到直线距离等于半径,计算得解.
【小问1详解】
圆O的圆心为O(0,0),半径
由圆C:得,.
所以圆C的圆心C(3,4),半径
因为两圆相外切,所以,,即,解得
【小问2详解】
由(1)得圆C:
①当直线l的斜率不存在时,设l的方程为
依题意,解得,即l的方程为
②当直线l的斜率存在时,设l的方程为,
依题意,所以
当时,,代入上式可得,
解得,即
所以此时l的方程为
当时,代入上式可得,
解得即
所以此时l的方程为
故满足题设的l的方程为或或.
21. 如图,四边形为正方形,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且二面角为直二面角,为棱上一点.
(1)求直线与所成角;
(2)当为何值时,平面与平面夹角的余弦值为?
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)连接、,设,推导出底面,然后以为原点,以、、为、、轴的正方向建立如图空间直角坐标系,设,利用空间向量法可求得直线与所成角;
(2)设,其中,利用空间向量法可得出关于的等式,解之即可得出结论.
【小问1详解】
解:连接、,设,则为的中点,
由已知,,则,,
所以为二面角的平面角,所以,因此,
因为,、平面,故底面.
以为原点,以、、为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设.
则、、、,
,,
所以,故直线与所成角为.
【小问2详解】
解:设平面的法向量为,,,
则,取,可得,
设,其中,
,,
设平面的法向量为,
则,取,可得,
由题意可得,
因为,解得,则,故,
因此,当时,平面与平面夹角的余弦值为.
22. 已知圆C:,四点P1(1,1),P2(0,2),P3(1,),P4(1,-)中恰有三点在圆C上.
(1)求圆C的方程;
(2)设以k为斜率的直线l经过点Q(4,-2),但不经过点P2,若l与圆C相交于不同两点A,B.
①求k的取值范围;
②证明:直线P2A与直线P2B的斜率之和为定值.
【答案】(1)
(2)①或 ;②证明见解析
【解析】
【分析】(1)先判断出,,在圆C上,然后通过列方程组的方法求得,从而求得圆的方程.
(2)①将直线的方程代入圆的方程,化简后利用求得的取值范围.
②利用根与系数关系证得为定值.
【小问1详解】
显然圆C关于x轴对称,(1,),(1,)关于x轴对称,所以、在圆C上,
因此不在圆C上,即,,在圆C上,代入圆的方程可得:
,解得.
所以圆C的方程为.
【小问2详解】
直线l:,.
①将直线l:代入圆C的方程得.
,解得,
又,所以或,
②设A(x1,y1),B(x2,y2),则,,
,,,,
所以,
圆直线P2A与直线P2B的斜率之和为定值.
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