江苏省南京大学附属中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题(学生版+解析)

这是一份江苏省南京大学附属中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题(学生版+解析)，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 若直线经过，两点，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2. 若直线与直线互相平行，则实数( )
A. B. C. D.
3. 若等差数列的前项和为，且，则的值为( )
A. B. C. D.
4. 若直线与圆交于，两点，且，关于直线对称，则实数的值为( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
5. 数列满足，，，则数列的前10项和为( )
A. 51B. 56C. 83D. 88
6. 已知为双曲线的右焦点，为的左顶点，过点且斜率为的直线与交于另一点，且垂直于轴．则的离心率为( )
A. B. 2C. D. 3
7. 已知等差数列前项和为，公差是与的等比中项，则下列选项不正确的是( )
A. B.
C. 当，时，取得最大值D. 当时，的最大值为21
8. 已知函数满足：，，则不等式的解集为
A B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，只有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9. 下列求导运算正确的是( )
A
B.
C.
D. ，则
10. 在平面直角坐标系中，已知双曲线，则( )
A. 离心率为2
B. 渐近线方程为
C. 实轴长为2
D. 右焦点到渐近线的距离为
11. 设数列的前项和为，且，则( )
A. 数列等比数列B.
C. D. 的前项和为
12. 已知函数的图象在处切线的斜率为9，则下列说法正确的是( )
A.
B. 在上单调递减
C.
D. 的图象关于原点中心对称
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.
13. 等比数列中，则__.
14. 已知，则__.
15. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______．
16. 函数有两个零点，则的取值范围是 __.
四.解答题(共6小题)
17. 已知圆圆心原点，且与直线相切，直线l过点．
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线l被圆所截得的弦长为，求直线l的方程．
18. 已知等差数列满足.
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)记数列的前项和为，若,求的最小值.
19. 已知：函数.
(1)若，求的单调性；
(2)若在上是增函数，求实数取值范围.
20. 已知数列是公比为2的等比数列，，，成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设数列的前n项和，求证：．
21. 已知函数，其中.
(1)当时，求曲线在点处切线的方程；
(2)试讨论函数的单调区间.
22. 已知椭圆过点，且焦距为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过直线(不经过点交椭圆于点，，试问直线与直线的斜率之和为，求证：过定点.
南大附中2022-2023学年第一学期期末考试高二数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1. 若直线经过，两点，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用两点坐标求出直线的斜率，再求对应的倾斜角即可．
【详解】由直线经过，两点，可得直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则有，
又，所以.
故选：A.
2. 若直线与直线互相平行，则实数( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判断不合题意，再根据直线的平行列出相应的比例式，即可求得答案.
【详解】当时，直线，直线与不平行，
当时，，
，解得，
故选：A.
3. 若等差数列的前项和为，且，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】根据结合即可求解.
【详解】等差数列的前项和为，且，
由等差数列的基本性质，得，
.
故选：C.
4. 若直线与圆交于，两点，且，关于直线对称，则实数的值为( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】先对圆的方程配方，求出圆心，再根据两直线以及圆之间的关系求解.
【详解】由圆的方程： 得： ，
圆心坐标为 ，
直线与圆交于，两点，且，关于直线对称，
则直线必定经过圆心，，，
又根据垂径定理：直线与直线垂直，可得，即，
所以，故；
故选：A.
5. 数列满足，，，则数列的前10项和为( )
A. 51B. 56C. 83D. 88
【答案】A
【解析】
【分析】按照已知条件可以发现奇、偶项分别成等差和等比数列，一一列举前10项求和即可.
【详解】数列满足，，，
不难发现，奇数项是等差数列，公差为2，偶数项是等比数列，公比为2，
所以数列的前10项和为：.
故选：.
6. 已知为双曲线的右焦点，为的左顶点，过点且斜率为的直线与交于另一点，且垂直于轴．则的离心率为( )
A. B. 2C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意先求出，，再根据可得到关于，的关系式，进而即可得到双曲线的离心率．
【详解】联立，解得，所以，
依题可得，，即，
整理得，所以双曲线的离心率为．
故选：B．
7. 已知等差数列前项和为，公差是与的等比中项，则下列选项不正确的是( )
A. B.
C. 当，时，取得最大值D. 当时，的最大值为21
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式，结合等比中项的定义、等差数列的前项进行求解即可.
【详解】因为是与的等比中项，
所以，
由，有，
，
当，时，取得最大值，
，的最大值为，
故选：D
8. 已知函数满足：，，则不等式的解集为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】是减函数，由得：
故选A.
点睛：用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造；如构造；如构造；如构造等.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，只有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9. 下列求导运算正确的是( )
A.
B.
C.
D. ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用导数计算公式分析各选项可得答案.
【详解】A选项，，故A正确；
B选项，，故B错误；
C选项，，故C正确；
D选项，，则，D正确.
故选：.
10. 在平面直角坐标系中，已知双曲线，则( )
A. 离心率为2
B. 渐近线方程为
C. 实轴长为2
D. 右焦点到渐近线的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据双曲线方程确定的值，即可一一判断各选项，即得答案.
【详解】由双曲线的方程可得，，，，
所以，，，实轴长，离心率，所以A正确，C不正确，
所以，渐近线方程为，所以B正确，
因为右焦点为，不妨取渐近线，即，
则到渐近线距离为，所以D正确.
故选：ABD.
11. 设数列的前项和为，且，则( )
A. 数列是等比数列B.
C. D. 的前项和为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由已知可得数列是，2为公比的等比数列，从而可得通项公式，可判断A、B，进而可以求的值判断C，也易求得的前项和判断D.
【详解】由已知，当时，可得
选项A，，可得数列是，2为公比的等比数列，故A正确；
选项B，由选项A可得解得，故B错误；
选项 C，数列是以1为首项，4为公比的等比数列，所以 ，故C正确；
选项D，因为，故D正确.
故选：ACD.
12. 已知函数的图象在处切线的斜率为9，则下列说法正确的是( )
A.
B. 在上单调递减
C.
D. 的图象关于原点中心对称
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据导数的几何意义求得的值，即可判断A；根据函数单调性与导数的关系，即可判断B；由导数的定义可判断C；由函数的对称性即可判断D.
【详解】，则，
因为函数的图象在处切线的斜率为9，
所以，解得，故A正确；
，则，
令，可得，所以在上单调递减，故B正确；
由于，故C正确；
函数，则，
所以，则的图象关于点中心对称，故D不正确.
故选：ABC.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.
13. 等比数列中，则__.
【答案】4
【解析】
【分析】利用等比数列性质可得，结合条件即可得答案.
【详解】由题可得，，
所以.
故答案为：4.
14. 已知，则__.
【答案】
【解析】
【分析】根据导数运算求得正确答案.
【详解】，则，
将代入可得，，解得，
故，，
所以.
故答案为：.
15. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】设点，求得点，由已知条件得出，求出正数的值，即可得出抛物线的准线方程.
【详解】抛物线的焦点，
为上一点，轴，所以，将代入抛物线的方程可得，
不妨设，因为为轴上一点，且，所以在的右侧．
又，得，即点，所以，，
因为，所以，，，
所以抛物线的准线方程为．
故答案为：．
16. 函数有两个零点，则的取值范围是 __.
【答案】
【解析】
【分析】函数有两个零点，即方程有两个根，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，从而可画出函数的大致图像，根据图象即可得解.
【详解】函数有两个零点，方程有两个根，
即方程有两个根，
设，则函数与的图像有两个交点，
，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
函数在时，取得最大值，
又当时，；当时，且，
函数的大致图像，如图所示，
由图像可知，，
的取值范围是.
故答案为：.
四.解答题(共6小题)
17. 已知圆圆心为原点，且与直线相切，直线l过点．
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线l被圆所截得的弦长为，求直线l的方程．
【答案】(1)；
(2)或
【解析】
【分析】(1)直接由圆心到直线的距离求出半径，即可求出圆的方程；
(2)先由弦长公式求出，斜率不存在时符合题意，斜率存在时，设出直线方程，由解出直线斜率，即可求解.
【小问1详解】
设圆的半径为，则，故圆的标准方程为；
【小问2详解】
设圆心到直线到的距离为，则，解得；当直线l斜率不存在时，易得，此时圆心到的距离，符合题意；
当直线l斜率存在时，设，即，则，解得，即，
故直线l的方程为或.
18. 已知等差数列满足.
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)记数列的前项和为，若,求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)利用等差数列的通项公式及前项和公式即可求解；
(2)利用(1)的结论及裂项相消法求数列的前项和，结合不等式的解法即可求解.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，则
因为，
所以，即，解得.
所以数列的通项公式为，
所以数列的通项公式及前项和为.
【小问2详解】
由(1)知，，
所以，
所以数列的前项和为 .
因为，
所以，即，于是有，解得，
因为，
所以的最小值为.
19. 已知：函数.
(1)若，求的单调性；
(2)若在上是增函数，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【解析】
【分析】(1)求出导函数，利用，求出值，解不等式，即可求出的单调性；(2)利用函数在区间上是单调增函数，导数大于等于0恒成立，推出关系式，求出实数的取值范围.
【小问1详解】
，，
，，.
将代入得，令得或.
在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
方法1：在上是增函数，
在上恒成立，
，
当时，是增函数，其最小值为，
.实数的取值范围是.
方法2：在上是增函数，
在上恒成立，
，.
实数的取值范围是.
20. 已知数列是公比为2的等比数列，，，成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设数列的前n项和，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据等差中项的性质和等比数列定义求解；(2)利用错位相减法求和即可证明.
小问1详解】
因为，，成等差数列，所以，
又因为数列的公比为2，所以，
即，解得，所以．
【小问2详解】
由(1)知，则，
所以， ①
， ②
①②得
．
所以．
又因为，
所以是递增数列，所以，所以．
21. 已知函数，其中.
(1)当时，求曲线在点处切线的方程；
(2)试讨论函数的单调区间.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【解析】
【分析】(1)利用导数几何意义结合条件即得；
(2)求函数的导函数,得到导函数的零点,讨论的范围，由导函数的零点对函数定义域分段,利用导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性.
【小问1详解】
当时，,则，
，又，
在点处切线的方程为；
【小问2详解】
由题可得，
令，解得或，
若，，当变化时，，的变化情况如表：
的单调增区间为和,，单调减区间为；
②若，，当变化时，，的变化情况如表：
单调增区间为和，单调减区间为；
③若，则，函数的单调增区间为；
综上，当时，单调增区间为和,，单调减区间为；当时，的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为.
22. 已知椭圆过点，且焦距为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过直线(不经过点交椭圆于点，，试问直线与直线的斜率之和为，求证：过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.
(2)根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，根据化简求得定点坐标.
【小问1详解】
由题意可得，解得，
椭圆的方程：.
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，设其方程为，且，
则，
所以，
解得(舍去)，
所以直线的斜率存在.
设直线的方程为，其中，
联立方程，消去得：，
设，
则，，
所以
，
整理得，直线的方程为，
所以直线恒过定点.
【点睛】根据已知条件求解椭圆的方程，关键点在于列方程组来求得，要注意“隐藏条件”.求解直线过定点问题，可先设出直线方程，然后根据已知条件列方程，求得直线方程中参数的关系，从而求得定点的坐标.3
0
0
,
0
0
增函数
减函数
增函数
,
0
0
增函数
减函数
增函数