1．(2023年常德期中)一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为( )
A．1－ eq \f(C eq \\al(4,90),C eq \\al(4,100))B． eq \f(C eq \\al(0,10)C eq \\al(4,90)＋C eq \\al(1,10)C eq \\al(3,90),C eq \\al(4,100))
C． eq \f(C eq \\al(1,10),C eq \\al(4,100))D． eq \f(C eq \\al(1,10)C eq \\al(3,90),C eq \\al(4,100))
【答案】D 【解析】由超几何分布概率公式可知，所求概率为 eq \f(C eq \\al(1,10)C eq \\al(3,90),C eq \\al(4,100)).
2．某电视台在一次对收看新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了45名电视观众，其中20至40岁的有18人，大于40岁的有27人．用分层随机抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，在这5名观众中再任取2人，则恰有1名观众的年龄在20至40岁的概率为( )
A． eq \f(1,5)B． eq \f(3,5)
C． eq \f(3,10)D． eq \f(1,10)
【答案】B 【解析】由于是分层随机抽样，所以5名观众中，年龄为20至40岁的有 eq \f(18,45)×5＝2(人).设随机变量X表示20至40岁的人数，则P(X＝1)＝ eq \f(C eq \\al(1,2)C eq \\al(1,3),C eq \\al(2,5))＝ eq \f(3,5).
3．现有漫画书、小说共7本(其中漫画书不少于2本)，从中任取2本，至多有1本漫画书的概率是 eq \f(5,7)，则漫画书共有( )
A．2本B．3本
C．4本D．5本
【答案】C 【解析】设漫画书有n本，则小说有(7－n)本(n≥2)，故2本都是漫画书的概率为 eq \f(C eq \\al(2,n)C eq \\al(0,7－n),C eq \\al(2,7))＝ eq \f(2,7)，化简得n2－n－12＝0，解得n＝4(负值已舍去).
4．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球．今从两袋里各取出1个球，设取出的白球个数为X，则下列概率中等于 eq \f(C eq \\al(1,8)C eq \\al(1,6)＋C eq \\al(1,4)C eq \\al(1,6),C eq \\al(1,12)C eq \\al(1,12))的是( )
A．P(X＝0)B．P(X≤2)
C．P(X＝1)D．P(X＝2)
【答案】C 【解析】当X＝1时，有甲袋内取出的是白球，乙袋内取出的是红球或甲袋内取出的是红球，乙袋内取出的是白球两种情况，所以P(X＝1)＝ eq \f(C eq \\al(1,8)C eq \\al(1,6)＋C eq \\al(1,4)C eq \\al(1,6),C eq \\al(1,12)C eq \\al(1,12)).
5．在10个排球中有6个正品，4个次品，从中随机抽取4个，则正品数比次品数少的概率为( )
A． eq \f(5,42)B． eq \f(4,35)
C． eq \f(19,42)D． eq \f(8,21)
【答案】A 【解析】抽取的正品数比次品数少，有两种情况：抽取到0个正品和4个次品；抽取到1个正品和3个次品．
当抽取到0个正品和4个次品时，P1＝ eq \f(C eq \\al(4,4),C eq \\al(4,10))＝ eq \f(1,210)，
当抽取到1个正品和3个次品时，P2＝ eq \f(C eq \\al(1,6)C eq \\al(3,4),C eq \\al(4,10))＝ eq \f(24,210)，
所以抽取的正品数比次品数少的概率为P1＋P2＝ eq \f(1,210)＋ eq \f(24,210)＝ eq \f(5,42).故选A．
6．(多选)袋中有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中任取2个，则( )
A．都不是白球的概率为 eq \f(1,10)B．恰有1个白球的概率为 eq \f(3,10)
C．至少有1个白球概率为 eq \f(9,10)D．至多有1个白球概率为 eq \f(7,10)
【答案】ACD 【解析】P(都不是白球)＝ eq \f(C eq \\al(2,2),C eq \\al(2,5))＝ eq \f(1,10)，P(恰有1个白球)＝ eq \f(C eq \\al(1,3)C eq \\al(1,2),C eq \\al(2,5))＝ eq \f(3,5)，P(至少有1个白球)＝ eq \f(C eq \\al(1,3)C eq \\al(1,2)＋C eq \\al(2,3),C eq \\al(2,5))＝ eq \f(9,10)，P(至多有1个白球)＝ eq \f(C eq \\al(2,2)＋C eq \\al(1,3)C eq \\al(1,2),C eq \\al(2,5))＝ eq \f(7,10).
7．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任取3个，那么至少有一个是一等品的概率是( )
A． eq \f(C eq \\al(1,16)C eq \\al(2,4),C eq \\al(3,20))B． eq \f(C eq \\al(2,16)C eq \\al(2,4),C eq \\al(3,20))
C． eq \f(C eq \\al(2,16)C eq \\al(1,4)＋C eq \\al(3,16),C eq \\al(3,20))D．以上均不对
【答案】D 【解析】至少有一个是一等品的概率是 eq \f(C eq \\al(1,16)C eq \\al(2,4)＋C eq \\al(2,16)C eq \\al(1,4)＋C eq \\al(3,16)C eq \\al(0,4),C eq \\al(3,20))或1－ eq \f(C eq \\al(3,4),C eq \\al(3,20)).
8．某导游团有外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，则有两人会说日语的概率为________．
【答案】 eq \f(3,7) 【解析】设选出4人中，会说日语的人数为X，则有两人会说日语的概率为P(X＝2)＝ eq \f(C eq \\al(2,6)C eq \\al(2,4),C eq \\al(4,10))＝ eq \f(3,7).
9．在3名女生和2名男生中任选2人参加一项交流活动，其中至少有1名男生的概率为________.
【答案】0.7 【解析】5名学生中抽取2人的方法有C eq \\al(2,5)种，至少有1名男生参加的可能结果有(C eq \\al(1,2)C eq \\al(1,3)＋C eq \\al(2,2))种，所以概率为 eq \f(C eq \\al(1,2)C eq \\al(1,3)＋C eq \\al(2,2),C eq \\al(2,5))＝0.7.
10．(2023年呼和浩特期末)某商场庆“五一”举行促销活动，活动期间凡在商场购物满88元的顾客，凭发票都有一次摸奖机会，摸奖规则如下：准备了10个相同的球，其中有5个球上印有“奖”字，另外5个球上无任何标志，摸奖前在盒子里摇匀，然后由摸奖者随机地从中摸出5个球，奖品按摸出的球中含有带“奖”字球个数规定如表：
(1)若某人凭发票摸奖一次，求中奖的概率；
(2)若某人凭发票摸奖一次，求奖品为电饭煲的概率．
解：(1)设X为摸取5个球中印有“奖”字的球的个数，则X的可能取值为0，1，2，3，4，5，
X的分布列为P(X＝k)＝ eq \f(C eq \\al(k,5)C eq \\al(5-k,5),C eq \\al(5,10))(k＝0，1，2，3，4，5).
若要获得奖品，只需X≥2，
则P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－ eq \f(C eq \\al(0,5)C eq \\al(5,5),C eq \\al(5,10))－ eq \f(C eq \\al(1,5)C eq \\al(4,5),C eq \\al(5,10))＝ eq \f(113,126).
(2)若要获得电饭煲，必须X＝5，则P(X＝5)＝ eq \f(C eq \\al(5,5)C eq \\al(0,5),C eq \\al(5,10))＝ eq \f(1,252).
B级——能力提升练
11．(多选)(2022年徐州期末)某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从这批产品中任意抽取4个，则其中恰好有1个二等品的概率为( )
A．1－ eq \f(C eq \\al(4,10)＋C eq \\al(2,2)C eq \\al(2,10),C eq \\al(4,12))B． eq \f(C eq \\al(0,2)C eq \\al(4,10)＋C eq \\al(1,2)C eq \\al(3,10),C eq \\al(4,12))
C．1－ eq \f(C eq \\al(1,2),C eq \\al(4,12))D． eq \f(C eq \\al(1,2)C eq \\al(3,10),C eq \\al(4,12))
【答案】AD 【解析】任意抽取4个产品有C eq \\al(4,12)种不同的抽取方法，其中恰好有1个二等品的抽取方法有C eq \\al(1,2)C eq \\al(3,10)种，故所求事件的概率为 eq \f(C eq \\al(1,2)C eq \\al(3,10),C eq \\al(4,12)).“恰好有1个二等品”的对立事件是“没有二等品”或“有2个二等品”，故A选项也对．
12．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机抽取4个，那么 eq \f(3,10)等于( )
A．恰有1个是坏的概率B．恰有2个是好的概率
C．4个全是好的概率D．至多有2个是坏的概率
【答案】B 【解析】A中“恰有1个是坏的概率”为p1＝ eq \f(C eq \\al(1,3)C eq \\al(3,7),C eq \\al(4,10))＝ eq \f(1,2)；B中“恰有2个是好的概率”为p2＝ eq \f(C eq \\al(2,7)C eq \\al(2,3),C eq \\al(4,10))＝ eq \f(3,10)；C中“4个全是好的概率”为p3＝ eq \f(C eq \\al(4,7),C eq \\al(4,10))＝ eq \f(1,6)；D中“至多有2个是坏的概率”为p4＝p1＋p2＋p3＝ eq \f(29,30).故选B．
13．一个袋中装有10个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是 eq \f(7,9)，则袋中的白球个数为________；若从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝__________．
【答案】5 eq \f(3,2) 【解析】依题意，设白球个数为x，至少得到一个白球的概率是 eq \f(7,9)，则不含白球的概率为 eq \f(2,9)，可得 eq \f(C eq \\al(2,10－x),C eq \\al(2,10))＝ eq \f(2,9)，即(10－x)(9－x)＝20，解得x＝5.依题意，P(ξ＝0)＝ eq \f(C eq \\al(3,5),C eq \\al(3,10))＝ eq \f(1,12)，P(ξ＝1)＝ eq \f(C eq \\al(1,5)C eq \\al(2,5),C eq \\al(3,10))＝ eq \f(5,12)，P(ξ＝2)＝ eq \f(C eq \\al(2,5)C eq \\al(1,5),C eq \\al(3,10))＝ eq \f(5,12)，P(ξ＝3)＝ eq \f(C eq \\al(3,5),C eq \\al(3,10))＝ eq \f(1,12)，所以E(ξ)＝0× eq \f(1,12)＋1× eq \f(5,12)＋2× eq \f(5,12)＋3× eq \f(1,12)＝ eq \f(3,2).
14．一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽两件，则其中出现次品的概率为________．
【答案】 eq \f(47,245) 【解析】设抽到次品的件数为X，则P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝ eq \f(C eq \\al(1,5)C eq \\al(1,45),C eq \\al(2,50))＋ eq \f(C eq \\al(2,5)C eq \\al(0,45),C eq \\al(2,50))＝ eq \f(9,49)＋ eq \f(2,245)＝ eq \f(47,245) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或p＝1－\f(C eq \\al(2,45),C eq \\al(2,50))＝\f(47,245))).
15．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化．某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．
(1)若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；
(2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望．
解：(1)设“随机抽取2名，其中男、女各一名，至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则 eq \x\t(A)表示事件“随机抽取2名，其中男、女各一名，都倾向于选择网购”，则P(A)＝1－P( eq \x\t(A))＝1－ eq \f(C eq \\al(1,3)C eq \\al(1,2),C eq \\al(1,5)C eq \\al(1,5))＝ eq \f(19,25).
(2)X所有可能的取值为0，1，2，3，
且P(X＝k)＝ eq \f(C eq \\al(k,3)C eq \\al(3-k,7),C eq \\al(3,10)).
则P(X＝0)＝ eq \f(7,24)，P(X＝1)＝ eq \f(21,40)，P(X＝2)＝ eq \f(7,40)，P(X＝3)＝ eq \f(1,120).
所以X的分布列为
E(X)＝0× eq \f(7,24)＋1× eq \f(21,40)＋2× eq \f(7,40)＋3× eq \f(1,120)＝ eq \f(9,10).摸出的5个球中带“奖”字球的个数
奖品
0
无
1
无
2
肥皂一块
3
洗衣粉一袋
4
雨伞一把
5
电饭煲一台
X
0
1
2
3
P
eq \f(7,24)
eq \f(21,40)
eq \f(7,40)
eq \f(1,120)