2024许昌高级中学高一下学期开学考试数学含解析

这是一份2024许昌高级中学高一下学期开学考试数学含解析，共21页。

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知函数，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
2. 若：，：，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知，则以下不等式不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：任意一个大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和，也就是我们所谓的“1+1”问题．它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相当好的成绩．若将14拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为素数的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7. 函数的零点所在区间是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，若方程有四个不同的实数根，则的最小值是（ ）
A. 2B. 3C. 4D.
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）
9. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若非零实数，，满足，，则
C. 若，则
D. 若，，则
10. 某学校为了调查学生一周在生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在内的学生有60人，则下列说法正确的是（ ）

A. 样本中支出在内的频率为0.03
B. 样本中支出不少于40元的人数为132
C. n的值为200
D. 若该校有2000名学生，则定有600人支出在内
11. 下列各对事件中，、是相互独立事件的有（ ）
A. 掷枚质地均匀的骰子一次，事件“出现的点数为奇数”，事件“出现的点数为偶数”
B. 袋中有个红球，个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件“第次摸到红球”，事件“第次摸到红球”
C. 分别抛掷枚相同的硬币，事件“第枚为正面”，事件“两枚结果相同”
D. 一枚硬币掷两次，事件“第一次为正面”，事件“第二次为反面”
12. 已知函数，则（ ）
A. 最小值为2B. ，
C. D.
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分.）
13. 若函数与互为反函数，则单调递减区间是___________．
14. 若函数满足，则在上的值域为______.
15. 已知，，且，则的最小值为______.
16. 已知函数值域为，则实数a的取值范围是______．
四．解答题（共6小题，共70分）
17 设集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
18. 2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨．我市某小区为了防止疫情在小区出现，严防外来人员进入小区，切实保障居民正常生活，设置“特殊值班岗”．现有包含甲、乙在内的4名志愿者参与该工作，每人安排一天，每4天一轮．在一轮的“特殊值班岗”安排中，求：
（1）甲、乙两人相邻值班的概率；
（2）甲或乙被安排在前2天值班的概率．
19. 已知.
（1）若的解集A是集合的真子集，求实数a的取值范围；
（2）若对，均有恒成立，求实数a的取值范围.
20. 设为数列的前项和，已知为等比数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，设，记为数列的前项和，证明：．
21. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，…，，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
（3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
22. 已知函数f(x)＝.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)判断并用定义证明函数f(x)在其定义域上的单调性．
(3)若对任意的t1，不等式f()＋f()<0恒成立，求k的取值范围．
2023-2024学年高一下学期开学检测试题
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知函数，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的定义域，再求出复合函数定义域即得.
【详解】函数中，，解得，即函数的定义域为，
因此在中，，解得，
所以的定义域为.
故选：C
2. 若：，：，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据子集与真子集的定义及充分必要条件的定义可判断结果.
【详解】对于：因为，所以集合M中一定含有元素2，且元素4，5至少有一个，
则集合M可能为三种情况，所以是的充分不必要条件，
故选：A.
3. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对、化简后可得具体的值，对有.
【详解】，故．
故选：D.
4. 已知，则以下不等式不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用不等式的性质逐项判断即得.
【详解】∵，∴，故A正确；
∵，∴，∴，即，故B正确；
由可得，，∴，故C正确；
因为，所以，，所以，即．故D错误.
故选：D．
5. “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：任意一个大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和，也就是我们所谓的“1+1”问题．它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相当好的成绩．若将14拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为素数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】写出所有的等式，计算基本事件的总数，再计算事件拆成的和式中，加数全部为素数所包含的基本事件，即可得到答案；
【详解】，共有13个和式，
其中加数全部为素数为，共3个基本事件，
，
故选：A
6. 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出命题为真时实数的取值范围，即可求出命题为假时实数的取值范围.
【详解】若“，”是真命题，
即判别式，解得：，
所以命题“，”是假命题，
则实数的取值范围为：.
故选：A.
7. 函数的零点所在区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数、幂函数的单调性判断的单调性，再应用零点存在性定理判断零点所在区间即可得解.
【详解】因为的定义域为，
而在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
又，，
所以的零点所在区间是.
故选：C.
8. 已知，若方程有四个不同的实数根，则的最小值是（ ）
A. 2B. 3C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合图像可知，由此可推得，，再利用二次函数的单调性即可得到的范围.
【详解】不妨设，
因为方程的根的个数即为与的交点个数，
由图象可得：若方程有四个不同的实数根，则，
又因为，且，
则，可得，
又因为，即，
可得，
所以当时，取到最小值.
故选：B.
【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法
（1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解；
（2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解．
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）
9. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若非零实数，，满足，，则
C. 若，则
D. 若，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】举反例可否定A；根据条件先判断c的符号，然后可判断B；根据对数函数单调性和真数范围，结合不等式性质可判断C；利用关系，由不等式性质可判断D.
【详解】A选项：当时，显然，A错误；
B选项：若非零实数，，满足，，则有，所以，B正确；
C选项：若，则，所以，C正确；
D选项：设，则，解得，
因为，所以，
又，所以，即，D正确.
故选：BCD
10. 某学校为了调查学生一周在生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在内的学生有60人，则下列说法正确的是（ ）

A. 样本中支出在内的频率为0.03
B. 样本中支出不少于40元的人数为132
C. n的值为200
D. 若该校有2000名学生，则定有600人支出在内
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，利用频率之和为求解即可；对于C，利用频数除以频率即可得解；对于B，利用频率乘以总数即可得解；对于D，利用统计的意义分析判断即可.
【详解】样本中支出在内的频率为，故A错误；
，故n的值为200，故C正确；
样本中支出不少于40元的人数为，故B正确；
若该校有2000名学生，则可能有人支出在内，故D错误.
故选：BC.
11. 下列各对事件中，、是相互独立事件的有（ ）
A. 掷枚质地均匀的骰子一次，事件“出现的点数为奇数”，事件“出现的点数为偶数”
B. 袋中有个红球，个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件“第次摸到红球”，事件“第次摸到红球”
C. 分别抛掷枚相同的硬币，事件“第枚为正面”，事件“两枚结果相同”
D. 一枚硬币掷两次，事件“第一次为正面”，事件“第二次为反面”
【答案】CD
【解析】
【分析】利用独立事件定义可判断AC选项；利用事件的关系可判断BD选项.
【详解】对于A选项，掷枚质地均匀的骰子一次，事件“出现的点数为奇数”，
事件“出现的点数为偶数”，则事件“出现的点数为奇数且为偶数”，
所以，，又因为，所以，，
所以，、不相互独立，A不满足；
对于B选项，袋中有个红球，个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，
事件“第次摸到红球”，事件“第次摸到红球”，
由题意可知，事件的发生影响事件的发生，故、不相互独立，B不满足；
对于C选项，分别抛掷枚相同的硬币，事件“第枚为正面”，事件“两枚结果相同”，
则事件“两枚硬币都正面向上”，则，
又因为，，则，
所以，、相互独立，C满足；
对于D选项，一枚硬币掷两次，事件“第一次为正面”，事件“第二次为反面”，
第一次为正面对第二次的结果不影响，因此，、相互独立，D满足.
故选：CD.
12. 已知函数，则（ ）
A. 的最小值为2B. ，
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】确定在上单调递减，在上单调递增，函数关于对称，计算最值得到A正确，，B错误，，C正确，，D错误，得到答案.
【详解】，在上单调递减，在上单调递增，
故在上单调递减，在上单调递增，
，函数关于对称，
对选项A：最小值为，正确；
对选项B：，错误；
对选项C：，故，，正确；
对选项D：，故，错误；
故选：AC.
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分.）
13. 若函数与互为反函数，则的单调递减区间是___________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出函数的解析式，然后利用复合函数的单调性即可得解.
【详解】函数与互为反函数，
∴，
，定义域为
当时，单调递增，单调递增；
当时，单调递减，单调递减；
故答案为：．
14. 若函数满足，则在上的值域为______.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出的解析式，即可求出在上的值域.
【详解】解：，
，
又，
在单调递减，
由，
，
函数的值域为.
故答案为：.
15. 已知，，且，则的最小值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】因为，，，
所以，则，
所以，
因为
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以.
故答案为：.
16. 已知函数的值域为，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，令，转化为的值域取遍一切正实数，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.
【详解】由函数，令，
令，可得，
要使得函数的值域为，
则的值域能取遍一切正实数，
当时，则满足，解得；
当时，可得，符合题意；
当时，则满足，此时函数的值域能取遍一切正实数，符合题意，
综上可得，实数的取值范围为.
故答案为：.
四．解答题（共6小题，共70分）
17. 设集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），或
（2）.
【解析】
【分析】（1）代入集合A，由并集和补集的定义求；
（2）由，分和两种类型，列不等式求实数的取值范围.
【小问1详解】
当时，，而，
所以，或.
【小问2详解】
因为，
（i）当时，，解得，此时满足；
（ii）当时，满足，即需满足或，
解得或
综上所述，实数的取值范围为.
18. 2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨．我市某小区为了防止疫情在小区出现，严防外来人员进入小区，切实保障居民正常生活，设置“特殊值班岗”．现有包含甲、乙在内的4名志愿者参与该工作，每人安排一天，每4天一轮．在一轮的“特殊值班岗”安排中，求：
（1）甲、乙两人相邻值班的概率；
（2）甲或乙被安排在前2天值班的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用列举法求解即可；
（2）利用列举法求解即可.
【小问1详解】
由题意，设4名志愿者为甲，乙，丙，丁，4天一轮的值班安排所有可能的结果是：
（甲，乙，丙，丁），（甲，乙，丁，丙），（甲，丙，乙，丁），（甲，丙，丁，乙），
（甲，丁，乙，丙），（甲，丁，丙，乙），（乙，甲，丙，丁），（乙，甲丁，丙），
（乙，丙，甲，丁），（乙，丙，丁，甲），（乙，丁，甲，丙），（乙，丁，丙，甲），
（丙，甲，乙，丁），（丙，甲，丁，乙），（丙，乙，甲，丁），（丙，乙，丁，甲），
（丙，丁，乙，甲），（丙，丁，甲，乙），（丁，甲，乙，丙），（丁，甲，丙，乙），
（丁，乙，甲，丙），（丁，乙，丙，甲），（丁，丙，乙，甲），（丁，丙，甲，乙），
共24个样本点
设甲乙相邻为事件A，则事件A包含：（甲，乙，丙，丁），（甲，乙，丁，丙），
（乙，甲，丙，丁），（乙，甲，丁，丙），（丙，甲，乙，丁），（丙，乙，甲，丁），（丙，丁，乙，甲），
（丙，丁，甲，乙），（丁，甲，乙，丙），（丁，乙，甲，丙），（丁，丙，乙，甲），（丁，丙，甲，乙），
共12个样本点，故
【小问2详解】
设甲或乙被安排在前两天值班的为事件B．
则事件B包含：（甲，乙，丙，丁），（甲，乙，丁，丙），（甲，丙，乙，丁），（甲，丙，丁，乙），
（甲，丁，乙，丙），（甲，丁，丙，乙），（乙，甲，丙，丁），（乙，甲，丁，丙），（乙，丙，甲，丁），
（乙，丙，丁，甲），（乙，丁，甲，丙），（乙，丁，丙，甲），（丙，甲，乙，丁），（丙，甲，丁，乙），
（丙，乙，甲，丁），（丙，乙，丁，甲），（丁，甲，乙，丙），（丁，甲，丙，乙），（丁，乙，甲，丙），
（丁，乙，丙，甲），
共20个样本点，故.
19. 已知.
（1）若的解集A是集合的真子集，求实数a的取值范围；
（2）若对，均有恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）不等式化为，再分，，讨论求解，再根据真子集的概念求解；
（2）将对一切的实数，均有恒成立，转化为对一切的实数，恒成立，由求解.
【小问1详解】
解：由，可得，
当时，不等式的解集为，
因为集合A是集合的真子集，可得，∴；
当时，不等式的解集为，，满足题意；
当时，不等式的解集为，
因为集合A是集合的真子集，可得，∴，
综上所述，实数a的取值范围是
【小问2详解】
对一切的实数，均有恒成立，
即对一切的实数，恒成立，
即对一切的实数，恒成立，
即，因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以，
故实数a的取值范围是.
20. 设为数列的前项和，已知为等比数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，设，记为数列的前项和，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由，得，等比数列的首项为1公比为2，可得通项；
（2）由与的关系，求出的通项，通过放缩法证明不等式.
【小问1详解】
为数列的前项和，，
则有，所以，等比数列的公比为2，
又，所以；
【小问2详解】
证明：由（1）知，，当时，，
所以，所以，
则，
因此．
21. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，…，，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
（3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
【答案】（1）
（2）84 （3），
【解析】
【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解；
（2）由频率分布直方图求第百分位数的计算公式即可求解；
（3）根据平均数和方差计算公式即可求解.
【小问1详解】
解：∵每组小矩形的面积之和为1，
∴，
∴.
【小问2详解】
解：成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第75百分位数为m，
由，得，故第75百分位数为84；
【小问3详解】
解：由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
故.
设成绩在中10人的分数分别为，，，…，；成绩在中20人的分数分别为，，，…，，
则由题意可得，，
所以，，
所以，
所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37.
22. 已知函数f(x)＝.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)判断并用定义证明函数f(x)在其定义域上的单调性．
(3)若对任意的t1，不等式f()＋f()<0恒成立，求k的取值范围．
【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）根据奇偶性的判定方法求解即可；（2）根据“取值、作差、变形、定号、结论”的步骤证明即可；（3）根据函数的单调性和奇偶性，将不等式转化为对任意t1恒成立求解，通过换元法并结合分离参数求出函数的最值后可得所求的范围．
【详解】(1)∵2x＋1≠0，
∴函数的定义域为R，关于原点对称．
∵，
∴函数为奇函数．
（3）函数在定义域上为增函数．证明如下：
设，且，
则，
∵y＝2x在上是增函数，且，
∴，
∴，
∴，
∴函数在定义域内是增函数．
（3）∵，
∴．
∵函数是奇函数，
∴．
又函数在定义域内是增函数，
∴对任意1恒成立，
∴对任意t1恒成立．
令,，则，
∵函数在上是增函数，
∴，
∴，
∴实数的取值范围为．
【点睛】（1）解答本题时注意函数奇偶性和单调性的定义的利用，解题时不要忽视了函数的定义域；
（2）解答第三问的关键在于转化，但此时容易出现符号上的错误．解决恒成立问题的常用方法是分离参数法，即将参数分离后转化成求函数最值的问题处理，利用单调性求最值是常用的方法．