2023-2024学年湖北省十堰二中八年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省十堰二中八年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列几组线段能组成三角形的是( )
A. 3cm，5cm，8cmB. 2cm，2cm，6cm
C. 1.2cm，1.2cm，1.2cmD. 9cm，15cm，4cm
2.下列图形中，正确画出AC边上的高的是( )
A. B.
C. D.
3.下列说法中错误的是( )
A. 三角形的三条中线交于一点
B. 三角形任意两外角平分线的交点到三边的距离相等
C. 三角形具有稳定性
D. 形状完全相同的两个三角形全等
4.在下列条件中：①∠A=90°−∠B；②∠A=∠B=2∠C；③∠A：∠B：∠C=5：3：2；④∠A+∠B=∠C能确定△ABC为直角三角形的条件有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5.等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则这个三角形的周长为( )
A. 22cmB. 17cm或13cmC. 13cmD. 17cm或22cm
6.如图，AD是△ABC边BC的中线，E、F分别是AD、BE的中点，若△BFD的面积为6，则△ABC的面积等于
( )
A. 18
B. 24
C. 48
D. 36
7.如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=( )
A. 360°
B. 250°
C. 180°
D. 140°
8.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD为△ABC的角平分线，与BC相交于点D.若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是( )
A. 15
B. 30
C. 45
D. 60
9.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点H.已知EH=EB=3，AE=4，则CH长为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
10.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连结EF，EF与AD交于点G.以下结论①EG=GF；②AD⊥EF；③AG=GD；④∠EDA=∠ADF；⑤DE=BE，正确的有个．( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.一个三角形的三边长分别为2，2a−1，5，则a的取值范围是______．
12.如图，△ABC中，AC=BC，∠C=90°，A(0,3)，C(1,0)，则点B的坐标为______．
13.如图，O是△ABC内一点，OD⊥BC于点D，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，且OD=OE=OF，若∠A=70°，则∠BOC= ______．
14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AF交边BC于点D，若CD=2，则D到AB的距离为______．
15.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，BC=10，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面结论：①△ABE的面积=△BCE的面积；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④AD=2.4.其中正确结论的序号是______．
16.如图，AB=5cm，AC=BD=4cm，∠CAB=∠DBA=60°.点E沿线段AB由点A向点B运动，点F沿线段BD由点B向点D运动，E、F同两点时出发，它们的运动时间记为t秒.已知点E的运动速度是1cm/s，如果顶点是A、C、E的三角形与顶点是B、E、F的三角形全等，那么点F的运动速度为______cm/s．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则该多边形的对角线条数是多少？
18.(本小题6分)
如图，点C、F、E、B在一条直线上，∠CFD=∠BEA，CE=BF，DF=AE，求证：CD/​/AB．
19.(本小题7分)
已知：在△ABC中，∠BAC=80°，∠B=60°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，求∠AEC的度数．
20.(本小题7分)
如图，△ABC≌△A′B′C′，AD为△ABC的角平分线，A′D′为△A′B′C′的角平分线．
(1)若∠C=80°，∠BAD=30°，则∠B的度数为______；
(2)求证：AD=A′D′．
21.(本小题8分)
如图，AD，BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．
(1)求证：AC=BD；
(2)∠ABC=20°，求∠CAO的度数．
22.(本小题8分)
如图所示，已知BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF相交于点，BD=CD，连接AD并延长，求证：AD平分∠BAC．
23.(本小题8分)
如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，
求证：(1)AB+CD=AD；
(2)AE⊥DE．
24.(本小题10分)
阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
任务：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=120°，以A为顶点的∠EAF=60°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF=BE+DF是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
25.(本小题12分)
(1)模型的发现：
如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，且B、C两点在直线l的同侧，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D，E.请直接写出DE，BD和CE的关系．
(2)模型的迁移1：位置的改变
如图2，在(1)的条件下，若B，C两点在直线l的异侧，(1)的结论还成立吗？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明DE，BD和CE的关系，并证明．
(3)模型的迁移2：角度的改变
如图3，在(1)的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即∠BAC=∠1=∠2=α，其中90°<α<180°，(1)的结论还成立吗？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明DE，BD和CE的关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、3+5=8，不能组成三角形，不符合题意；
B、2+2=4<6，不能组成三角形，不符合题意；
C、1.2+1.2=2.4>1.2，能组成三角形，符合题意；
D、9+4=13<15，不能组成三角形，不符合题意；
故选：C．
解题时一般用两个小边的和与大边作比较，若两个小边的和大于大边，则可组成三角形，否则不能组成三角形．
此题考查了三角形的三边关系，关键是明白能够成三角形的条件．
2.【答案】D
【解析】解：A、图中没有画出AC边上的高，不符合题意；
B、图中没有画出AC边上的高，不符合题意；
C、图中没有画出AC边上的高，不符合题意；
D、图中画出的BE是AC边上的高，符合题意；
故选：D．
根据三角形的高的概念判断即可．
本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
3.【答案】D
【解析】解：A、三角形的三条中线交于一点，故正确，不合题意；
B、三角形任意两外角平分线的交点到三边的距离相等，故正确，不合题意；
C、三角形具有稳定性，故正确，不合题意；
D、大小，形状完全相同的两个三角形全等，故错误，符合题意；
故选：D．
根据三角形的中线，角平分线的性质，三角形的稳定性以及全等三角形的概念分别判断．
本题考查了三角形的中线，角平分线的性质，三角形的稳定性以及全等三角形的概念，属于基础几何知识，熟记各性质是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：①∵∠A=90°−∠B，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=90°，故可确定△ABC为直角三角形；
②∵∠A=∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C+2∠C+∠C=180°，
解得：∠C=36°，
则∠A=∠B=2∠C=72°，故不能确定△ABC为直角三角形；
③∠A：∠B：∠C=5：3：2，
设∠A=5x，则∠B=3x，∠C=2x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴5x+3x+2x=180°，
∴x=18°，
∴∠A=18°×5=90°，故可确定直角三角形；
④∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C=180°，
∴∠C=90°，故可确定直角三角形；
则能确定△ABC为直角三角形的条件有3个，
故选：C．
利用三角形的内角和定理进行推导即可．
本题考查的是直角三角形的判定，解题的关键是找到一个角是90°．
5.【答案】A
【解析】解：分为两种情况：①当等腰三角形的腰为4cm时，三角形的三边是4cm，4cm，9cm，
∵4+4<9，
∴此时不符合三角形的三边关系定理，此时不存在三角形；
②当等腰三角形的腰为9cm时，三角形的三边是4cm，9cm，9cm，
此时符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是4+9+9=22(cm)．
故选：A．
分为两种情况：①当三角形的三边是4cm，4cm，9cm时，②当三角形的三边是4cm，9cm，9cm时，看看是否符合三角形的三边关系定理，符合时求出即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理的应用，注意：要进行分类讨论，题目比较好，难度适中．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了三角形的面积公式，掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．
由于F是BE的中点，BF=EF，那么△EFD和△BFD可看作等底同高的两个三角形，根据三角形的面积公式，得出△EFD和△BFD的面积相等，进而得出△BDE的面积等于△BFD的面积的2倍；同理，由于E是AD的中点，得出△ADB的面积等于△BDE面积的2倍；由于AD是BC边上的中线，得出△ABC的面积等于△ABD面积的2倍，代入求解即可．
【解答】
解：∵F是BE的中点，
∴BF=EF，
∴S△EFD=S△BFD=6，
又∵S△BDE=S△EFD+S△BFD，
∴S△BDE=2S△BFD=2×6=12．
同理，S△ABC=2S△ABD=2×2S△BDE=4×12=48．
7.【答案】B
【解析】【分析】
先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+(∠C+∠3+∠4)，再根据三角形内角和定理即可得出结果．
此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．
【解答】
解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，
∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，
即∠1+∠2=∠C+(∠C+∠3+∠4)=70°+180°=250°．
故选：B．
8.【答案】B
【解析】解：过D点作DE⊥AB于E点，如图，
∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC=4，
∴S△ABD=12×15×4=30．
故选：B．
过D点作DE⊥AB于E点，如图，先根据角平分线的性质得到DE=DC=4，然后根据三角形面积公式解决问题．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
9.【答案】A
【解析】解：在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEH=∠ADB=90°；
∵∠EAH+∠EHA=90°，∠DHC+∠BCH=90°，∠EHA=∠DHC(对顶角相等)，
∴∠EAH=∠DCH(等量代换)；
在△BCE和△HAE中，
∠BEC=∠HEA∠BCE=∠HAEBE=HE,
∴△AEH≌△CEB(AAS)；
∴AE=CE；
∵EH=EB=3，AE=4，
∴CH=CE−EH=AE−EH=4−3=1．
故选：A．
本题可先根据AAS判定△AEH≌△CEB，根据全等三角形的性质可得出AE=CE，从而得出CH=CE−EH=4−3=1．
本题考查三角形全等的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA，AAS、HL，要熟练掌握并灵活应用这些方法．
10.【答案】C
【解析】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
AD=ADDE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，
∴AE=AF，
又∵DE=DF，
∴AD垂直平分EF，
∴EG=GF，AD⊥EF；①②正确；
∵AD⊥EF，AE不一定等于ED，
∴AG不一定等于DG；③错误；
∵Rt△AED≌Rt△AFD，
∴∠EDA=∠ADF，④正确；
没有条件可以证明DE=BE，故⑤不正确，
综上，①②④正确，共3个．
故选：C．
根据角平分线性质求出DE=DF，证△AED≌△AFD，推出AE=AF，再逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的判定和性质，角平分线性质的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
11.【答案】2【解析】解：∵三角形的两边长分别为2和5，
∴第三边2a−1的取值范围是：5−2<2a−1<5+2，
解得：2故答案为：2根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围，进而求出x的取值范围．
此题主要考查了三角形三边关系和解不等式组，关键是三角形三边关系的熟练应用．
12.【答案】(4,1)
【解析】解：如图，作BD⊥x轴于D点，
∵BD⊥x轴于D点，
∴∠AOC=∠CDB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠ACO+∠BCD=90°，
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BCD，
在△AOC和△CDB中，
∠AOC=∠CDB∠OAC=∠BCDAC=BC，
∴△AOC≌△CDB，
∴CD=AO，OC=BD，
∵点C(1,0)，A(0,3)，
∴OC=1，BD=1，CD=3，
∴OD=4，
∴点B的坐标为(4,1)．
故答案为：(4,1)．
作BD⊥x轴于D点，易证∠CAO=∠BCD，即可证明△OAC≌△DCB，可得CD=OA，BD=OC，即可解题．
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△OAC≌△DCB是解题的关键．
13.【答案】125°
【解析】解：∵OD⊥BC，OF⊥AC，OF⊥AC，且OD=OE=OF，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB
∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠ACB，
∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=110°，
∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=55°，
∴∠BOC=180°−55°=125°．
故答案为：125°．
根据题意可得OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，进而根据三角形的内角和定理，即可求解．
本题考查了角平分线的判定，三角形内角和定理的应用，掌握角平分线的判定是关键．
14.【答案】2
【解析】解：过D点作DH⊥AB于H，如图，
由题中作法得AD平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DH=DC=2，
即D到AB的距离为2．
故答案为：2．
过D点作DH⊥AB于H，如图，利用基本作图得到AD平分∠BAC，则根据角平分线的性质得到DH=DC=2，由此可得答案．
此题考查的是点到直线的距离，直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
15.【答案】①②③
【解析】解：∵BE 是△ABC的中线，
∴AE=EC，
∴△ABE的面积等于△BCE的面积，
故①正确；
∵∠BAC=90°，AD是△ABC的高，
∴∠AFG+∠ACG=90°，∠DCG+∠DGC=90°，
∵CF是△ABC的角平分线，
∴∠ACG=∠DCG，
∴∠AFG=∠DGC，
又∵∠DGC=∠AGF，
∴∠AFG=∠AGF，
故②正确；
∵∠FAG+∠DAC=∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠FAG=∠ACD，
∵∠ACD=∠ACF+∠DCF=2∠ACF，
∴∠FAG=2∠ACF，
故③正确；
∵2S△ABC=AB⋅AC=BC⋅AD，
∴AD=AB⋅ACBC=6×810=4.8，
故④错误；
故答案为：①②③．
根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定△ABE和△BCE的面积关系以及求出AD的长度．
本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，属于中考题型．
16.【答案】85或1
【解析】解：设运动的时间为t s，点F的运动速度是x cm/s，
∵∠CAB=∠DBA=60°，
∴A、C、E三点构成的三角形与B、E、F三点构成的三角形全等，有两种情况：
①AE=BE，AC=BF，
则1×t=5−1×t，
解得：t=52，
则4=52x，
解得：x=85；
②AE=BF，AC=BE，
则1×t=tx，5−1×t=4，
解得：t=1，x=1，
故答案为：85或1．
设运动的时间为t s，点F的运动速度是x cm/s，有两种情况：①AE=BE，AC=BF，②AE=BF，AC=BE，列出方程，求出方程的解即可．
此题考查了全等三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．
17.【答案】解：设这个正多边形的边数是n，则
(n−2)⋅180°=360°×3，
解得：n=8．
则从这个多边形一个顶点可以引5条对角线，
故这个多边形的总条数为8×52=20(条)．
答：该多边形有20条对角线．
【解析】一个多边形的内角和等于外角和的4倍而任何多边形的外角和是360°，因而多边形的内角和等于1080°.n边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出对角线的条数，即可求出答案．
本题主要考查多边形内角与外角、多边形的对角线的知识点，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．从n边形一个顶点可以引(n−3)条对角线．
18.【答案】证明：∵CE=BF，
∴CE−EF=BF−EF，
即：CF=BE，
在△CDF和△BAE中，
CF=BE∠CFD=∠BEADF=AE，
∴△CDF≌△BAE(SAS)，
∴∠C=∠B，
∴CD/​/AB．
【解析】证明△CDF≌△BAE(SAS)，由全等三角形的性质即可得出结论．
本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
19.【答案】解：如图所示：

在△ABC中，∠BAC=80°，∠B=60°，
∴∠C=180°−(∠BAC+∠B)=180°−(80°+60°)=40°，
∵AD⊥BC于D，
∴△ACD均为直角三角形，
∴∠DAC=90°−∠C=90°−40°=50°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠CAE=12∠DAC=12×50°=25°，
在Rt△ACE中，
∠AEC=180°−(∠C+∠CAE)=180°−(40°+25°)=115°．
【解析】首先由三角形的内角和定理求出∠C=40°，再根据AD⊥BC求出∠DAC=50°，然后根据角平分线的定义求出∠CAE=25°，最后再根据三角形的内角和定理即可求出∠AEC的度数．
此题主要考查了三角形的内角和定理，垂直的定义，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握三角形的内角和定理，垂直的定义及角平分线的定义是解决问题的关键．
20.【答案】40°
【解析】(1)解：∵AD为△ABC的角平分线，∠BAD=30°，
∴∠BAC=60°，
∵∠C=80°，
∴∠B=180°−∠BAC−∠C=180°−60°−80°=40°，
故答案为：40°．
(2)证明：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′，AB=A′B′，
AD是△ABC的一条角平分线A′D′是△A′B′C′的一条角平分线，
∴∠BAD=12∠BAC，∠B′A′D′=12∠B′A′C′，
∴∠BAD=∠B′A′D′，
在△BAD和△B′A′D′中
∠B=∠B′AB=A′B′∠BAD=∠B′A′D′，
∴△BAD≌△B′A′D′(ASA)，
∴AD=A′D′．
(1)首先根据角平分线的性质和∠BAD的度数求得∠BAC的度数，然后利用三角形内角和定理求解即可；
(2)根据全等三角形性质得出∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′，AB=A′B′，求出∠BAD=∠B′A′D′，证△BAD≌△B′A′D′，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的性质和判定和角平分线定义的应用，主要考查学生的推理能力．
21.【答案】(1)证明：在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AB=BAAD=BC，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，
∴AC=BD．
(2)解：∵∠C=90°，∠ABC=20°，
∴∠BAC=90°−∠ABC=90°−20°=70°，
∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠BAD=∠ABC=20°，
∴∠CAO=∠BAC−∠BAD=70°−20°=50°，
∴∠CAO的度数是50°．
【解析】(1)由AB=BA，AD=BD，根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△BAD，得AC=BD；
(2)由∠C=90°，∠ABC=20°，求得∠BAC=70°，由全等三角形的性质得∠BAD=∠ABC=20°，则∠CAO=∠BAC−∠BAD=50°．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，证明Rt△ABC≌Rt△BAD是解题的关键．
22.【答案】证明：∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BFD=∠CED=90°，
在△BFD和△CED中，∠BFD=∠CED∠BDF=∠CDEBD=CD，
∴△BFD≌△CED(AAS)，
∴DF=DE，
又∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴AD平分∠BAC．
【解析】利用“角角边”证明△BFD和△CED全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=DE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
23.【答案】证明：法一、(1)延长DE交AB的延长线城于点F．
∵∠ABC=∠C=90°，
∴DC/​/AB．
∴∠CDF=∠F．
∵点E是BC中点，
∴CE=BE
在△CDE和△BFE中，
∠CDE=∠F∠DEC=∠BEFCE=BE，
∴△CDE≌△BFE(AAS)．
∴CD=BF．
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE．
∴∠ADE=∠F．
∴AD=AF=AB+BF=AB+CD．
(2)由(1)知△CDE≌△BFE，
∴DE=FE．
由(1)知AD=AF．
∴AE⊥DE．
法二、(1)过点E作EM⊥AD于M．
∵∠ADE=∠CDE，EM⊥AD，DC⊥CB，
∴EC=EM．
∵CE=BE，
∴EM=BE．
在Rt△CDE和Rt△MDE中，
ME=CEDE=DE，
∴Rt△CDE≌Rt△MDE(HL)．
∴DC=DM．
在Rt△MEA和Rt△BEA中，
AE=AEEM=BE，
∴Rt△MEA≌Rt△BEA(HL)．
∴AB=AM．
∴AD=AM+DM=AB+CD．
(2)由(1)可证Rt△ABE≌Rt△AME(HL)，
∴∠DAE=∠BAE=12∠DAB．
∵∠ADE=∠CDE=12∠ADC，
∴∠DAE+∠ADE=12(∠DAB+∠ADC)=90°．
∴AE⊥DE．
【解析】(1)延长DE交AB的延长线城于点F.通过证明△CDE与△BEF全等，说明CD与BF的关系，再利用等腰三角形的性质得结论；
(2)利用等腰三角形的三线合一得结论．
本题考查了三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法、性质及等腰三角形的性质是解决本题的关键．
24.【答案】解：成立．
证明：将△ADF绕点A顺时针旋转120°得到△ABM，

∴△ABM≌△ADF，∠ABM=∠D=90°，∠MAB=∠FAD，AM=AF，MB=DF，
∴∠MBE=∠ABM+∠ABE=180°，
∴M、B、E三点共线，
∴∠MAE=∠MAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=∠BAD−∠EAF=60°，
∴∠MAE=∠FAE，
∵AE=AE，AM=AF，
∴△MAE≌△FAE(SAS)，
∴ME=EF，
∴EF=ME=MB+BE=DF+BE．
【解析】根据旋转的性质得到△ABM≌△ADF，∠ABM=∠D=90°，∠MAB=∠FAD，AM=AF，MB=DF，推出M、B、E三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
25.【答案】解：(1)DE=BD+CE，
理由如下：∵∠DAC=∠AEC+∠ACE，∠BAC=∠AEC=90°，
∴∠DAB=∠ECA，
在△DAB和△ECA中，
∠DAB=∠ECA∠ADB=∠CEAAB=CA，
∴△DAB≌△ECA(AAS)，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AD+AE=BD+CE；
(2)(1)的结论不成立，BD=DE+CE，
证明如下：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵CE⊥直线l，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠ACE，
在△BAD和△ACE中，
∠BAD=∠ACE∠ADB=∠CEABA=AC,
∴△BAD≌△ACE(AAS)，
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD=AE=AD+DE=DE+CE；
(3)(1)的结论成立，
理由如下：∵∠DAC=∠2+∠ACE，∠BAC=∠2，
∴∠DAB=∠ECA，
在△DAB和△ECA中，
∠BAD=∠ACE∠1=∠2BA=AC，
∴△DAB≌△ECA(AAS)，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AD+AE=BD+CE．
【解析】(1)证明△DAB≌△ECA，根据全等三角形的性质得到AE=BD，AD=CE，结合图形得出结论；
(2)仿照(1)的方法证明；
(3)仿照(1)的方法证明．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如：
如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF=45°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点.易证得EF=BE+FD．
大致证明思路：如图2，将延长CB至点H，使BH=DF，连AH，可证△ADF≌△ABH，再证△AEF≌△AEH，故EF=BE+DF．