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江苏省南通市如皋市2023-2024学年高三下学期2月适应性考试（一）数学试卷（Word版附解析）
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2024.02
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知复数满足，则（ ）
A. B.-1 C.1 D.
2.已知全集，集合满足，则下列关系一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.若，则（ ）
A. B. C. D.
4.有5张相同的卡片，分别标有数字，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为奇数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为”，则（ ）
A.与为对立事件 B.与为相互独立事件
C.与为相互独立事件 D.与为互斥事件
5.夹弹珠游戏是儿童特别喜欢的游戏，夹弹珠能有效提高参与者的注意力与协调性，调整逻辑思维判断和空间控制平衡能力，锻炼小肌肉，增强手眼协调，培养敏捷的反应能力，从而提高参与者的适应能力.如图，三个半径都是的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器（不计厚度）中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的表面积（包括容器的内部和外部两部分）是（ ）
A. B. C. D.
6.设数列满足，且，则（ ）
A.1 B. C.10 D.100
7.已知函数的定义域为，对任意，有，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分又不必要条件 D.充要条件
8.离心率为2的双曲线与抛物线有相同的焦点，过的直线与的右支相交于两点.过上的一点作其准线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），且的面积为.则（为的左焦点）内切圆圆心的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知圆，圆分别是圆与圆上的动点，则（ ）
A.若圆与圆无公共点，则
B.当时，两圆公共弦所在直线方程为
C.当时，的取值范围为
D.当时，过点作圆的两条切线，切点分别为，则不可能等于
10.设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A. B.
C. D.
11.已知正四面体的棱长为3，下列说法正确的是（ ）
A.平面与平面夹角的余弦值为
B.若点满足，则的最小值为
.在正四面体内部有一个可任意转动的正四面体，则它的体积可能为
D.点在内，且，则点轨迹的长度为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.的展开式中的系数为__________（用数字作答）
13.某市统计高中学生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格.
现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值经计算，.若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为__________.（用百分数作答，精确到）
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，.
14.在中，角所对的边分别为，若分别在边和上，且把的面积分成相等的两部分，则的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）某设备由相互独立的甲､乙两个部件组成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若有且只有一个部件出现故障，则设备出现异常.在一个生产周期内，甲部件出现故障的概率为，乙部件出现故障的概率为.甲部件出现故障，检修费用为3千元；乙部件出现故障，检修费用为2千元，在一个生产周期内，甲､乙两个部件至多各出现一次故障.
（1）试估算一个生产周期内的平均检修费用；
（2）求在设备出现异常的情况下，甲部件出现故障的概率.
16.（15分）已知等差数列和等差数列的前项和分别为.
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
17.（15分）在五棱锥中，，，平面平面.
（1）求证：；
（2）若，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
18.（17分）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左，右顶点和坐标原点，点为椭圆上异于的一动点，面积的最大值为.
（1）求的方程；
（2）过椭圆的右焦点的直线与交于两点，记的面积为，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为.
①求的取值范围；
②求证：为定值.
19.（17分）若时，函数取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.已知
函数，其中为正实数.
（1）若函数有极值点，求的取值范围；
（2）当和的几何平均数为，算术平均数为.
①判断与和的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明；
②当时，证明：.
2024.02
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知复数满足，则（ ）
A. B.-1 C.1 D.
2.已知全集，集合满足，则下列关系一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.若，则（ ）
A. B. C. D.
4.有5张相同的卡片，分别标有数字，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为奇数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为”，则（ ）
A.与为对立事件 B.与为相互独立事件
C.与为相互独立事件 D.与为互斥事件
5.夹弹珠游戏是儿童特别喜欢的游戏，夹弹珠能有效提高参与者的注意力与协调性，调整逻辑思维判断和空间控制平衡能力，锻炼小肌肉，增强手眼协调，培养敏捷的反应能力，从而提高参与者的适应能力.如图，三个半径都是的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器（不计厚度）中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的表面积（包括容器的内部和外部两部分）是（ ）
A. B. C. D.
6.设数列满足，且，则（ ）
A.1 B. C.10 D.100
7.已知函数的定义域为，对任意，有，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分又不必要条件 D.充要条件
8.离心率为2的双曲线与抛物线有相同的焦点，过的直线与的右支相交于两点.过上的一点作其准线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），且的面积为.则（为的左焦点）内切圆圆心的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知圆，圆分别是圆与圆上的动点，则（ ）
A.若圆与圆无公共点，则
B.当时，两圆公共弦所在直线方程为
C.当时，的取值范围为
D.当时，过点作圆的两条切线，切点分别为，则不可能等于
10.设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A. B.
C. D.
11.已知正四面体的棱长为3，下列说法正确的是（ ）
A.平面与平面夹角的余弦值为
B.若点满足，则的最小值为
.在正四面体内部有一个可任意转动的正四面体，则它的体积可能为
D.点在内，且，则点轨迹的长度为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.的展开式中的系数为__________（用数字作答）
13.某市统计高中学生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格.
现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值经计算，.若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为__________.（用百分数作答，精确到）
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，.
14.在中，角所对的边分别为，若分别在边和上，且把的面积分成相等的两部分，则的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）某设备由相互独立的甲､乙两个部件组成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若有且只有一个部件出现故障，则设备出现异常.在一个生产周期内，甲部件出现故障的概率为，乙部件出现故障的概率为.甲部件出现故障，检修费用为3千元；乙部件出现故障，检修费用为2千元，在一个生产周期内，甲､乙两个部件至多各出现一次故障.
（1）试估算一个生产周期内的平均检修费用；
（2）求在设备出现异常的情况下，甲部件出现故障的概率.
16.（15分）已知等差数列和等差数列的前项和分别为.
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
17.（15分）在五棱锥中，，，平面平面.
（1）求证：；
（2）若，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
18.（17分）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左，右顶点和坐标原点，点为椭圆上异于的一动点，面积的最大值为.
（1）求的方程；
（2）过椭圆的右焦点的直线与交于两点，记的面积为，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为.
①求的取值范围；
②求证：为定值.
19.（17分）若时，函数取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.已知
函数，其中为正实数.
（1）若函数有极值点，求的取值范围；
（2）当和的几何平均数为，算术平均数为.
①判断与和的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明；
②当时，证明：.
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