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    河北省承德县第一中学等校2023-2024学年高二下学期开学联考数学试卷(含答案)

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    这是一份河北省承德县第一中学等校2023-2024学年高二下学期开学联考数学试卷(含答案),共14页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    一、选择题
    1.已知集合,集合,,则( ).
    A.B.
    C.D.
    2.若复数z满足,则z的虚部为( ).
    A.B.C.D.
    3.下列函数中,表示同一函数的是( )
    A.,B.,
    C.,D.,
    4.若是抛物线位于第一象限的点,F是抛物线的焦点,,则直线MF的斜率为( )
    A.B.C.D.
    5.已知等差数列的公差和首项都不为0,且,,成等比数列,则( )
    A.1B.2C.3D.5
    6.如图,在四面体中,点E,F分别是AB,CD的中点,点G是线段EF上靠近点E的一个三等分点,令,,,则( )
    A.B.C.D.
    7.甲,乙两人独立地破译一份密码,破译的概率分别为,,则密码被破译的概率为( )
    A.B.C.D.
    8.已知F为双曲线的一个焦点,C上的A,B两点关于原点对称,且,,则C的离心率是( )
    A.B.C.D.
    二、多项选择题
    9.已知,且,则( )
    A.B.
    C.D.
    10.已知等差数列的首项,公差,在中每相邻两项之间都插入个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列,以下说法正确的是( )
    A.
    B.当时,
    C.当时,不是数列中的项
    D.若是数列中的项,则k的值可能为7
    11.在正方体中,点P满足,则( )
    A.若,则AP与BD所成角为B.若,则
    C.平面D.
    三、填空题
    12.函数的值域为________.
    13.已知数列满足,,则________,________.
    14.二面角为,A,B是棱l上的两点,AC,BD分别在半平面,内,,,且,,则CD的长为________.
    四、解答题
    15.某学校高一名学生参加数学考试,成绩均在40分到100分之间,学生成绩的频率分布直方图如下图:
    (1)估计这名学生分数的中位数与平均数;(精确到0.1)
    (2)某老师抽取了10名学生的分数:,,,…,,已知这10个分数的平均数,标准差,若剔除其中的100和80两个分数,求剩余8个分数的平均数与标准差.
    (参考公式:)
    16.已知点,点P在圆上运动.
    (1)求过点B且与圆E相切的直线方程;
    (2)已知,,求的最值.
    17.如图,在棱长为4的正方体中,点M是BC的中点.
    (1)求证:;
    (2)求二面角的大小.
    18.已知数列,满足,,,.
    (1)证明:数列为等差数列,并求数列的通项公式;
    (2)记数列的前n项和为,求,并证明:.
    19.已知,B,M是椭圆C上的三点,其中A,B两点关于原点O对称,直线MA和MB的斜率满足.
    (1)求椭圆C的标准方程;
    (2)点Q是椭圆C长轴上的不同于左右顶点的任意一点,过点Q作斜率不为0的直线l,l与椭圆的两个交点分别为P,N,若为定值,则称点Q为“稳定点”,问:是否存在这样的稳定点?若有,试求出所有的“稳定点”,并说明理由;若没有,也请说明理由.
    参考答案
    1.答案:D
    解析:因为,或,
    所以A不是B的子集,故A错误;
    ,故B错误;
    或,故C错误;
    ,故D正确;
    故选:D
    2.答案:C
    解析:因为,
    所以,
    所以复数z的虚部为,
    故选:C.
    3.答案:C
    解析:对于A项,,与的对应法则不同,故不是同一函数,A项错误;
    对于B项,的定义域为,的定义域为,
    故两函数定义域不同,故与不是同一函数,B项错误;
    对于C项,与的定义域相同,对应法则也相同,C项正确;
    对于项,,,与的对应法则不同,故不是同一函数,D项错误.
    故选:C.
    4.答案:C
    解析:由题知,,抛物线的准线方程为,设,
    由抛物线的定义知,,即,所以,
    所以,
    又因为M位于第一象限,所以,
    所以,
    所以.
    故选:C.
    5.答案:C
    解析:设等差数列的首项为,公差为,
    由,,成等比数列得,即:,
    解得:,.
    故选:C.
    6.答案:A
    解析:连接EC,ED,
    .
    故选:A.
    7.答案:B
    解析:设“甲独立地破译一份密码”为事件A,“乙独立地破译一份密码”为事件B,
    则,,,,
    设“密码被破译”为事件C,
    则,
    故选:B.
    8.答案:D
    解析:不妨设F,分别为双曲线的左右焦点,连接,,
    因为A,B两点关于原点对称,所以为平行四边形,所以,
    因为,,
    所以,.
    因为,所以;
    在中,由余弦定理可得,
    因为,所以,即.
    故选:D
    9.答案:ABD
    解析:AB选项,两边平方得,,
    即,所以,B正确,
    因为,所以,故,所以,A正确;
    CD选项,,
    因为,,所以,
    故,C错误,D正确.
    故选:ABD
    10.答案:ABD
    解析:对于A,由题意得,A正确;
    对于B,新数列的首项为2,公差为2,故,B正确;
    对于C,由B选项知,令,则,即是数列的第8项,C错误;
    对于D,插入k个数,则,,,,…,
    则等差数列中的项在新的等差数列中对应的下标是以1为首项,为公差的等差数列,
    于是,而是数列的项,令,当时,,D正确.
    故选:ABD
    11.答案:BCD
    解析:对选项A:时P与重合,与BD所成角为与所成角,为等边三角形,则AP与BD所成角为,错误;
    对选项B:如图建立空间直角坐标系,令,,,,,,,正确;
    对选项C:,平面,平面,故平面,同理可得平面,,故面面,平面,平面,正确;
    对选项D:,,,正确.
    故选:BCD
    12.答案:或
    解析:当时,在上单调递减,
    所以;
    当时,在上单调递减,
    所以;
    所以函数的值域为,
    故答案为:
    13.答案:,
    解析:因为,,所以,,故;
    由,可知,两边取倒数得:
    故数列是以1为首项,1为公差的等差数列,则,
    .
    故答案为:;.
    14.答案:4
    解析:由题意,二面角为,,,与夹角为,
    与夹角为,
    ,
    ,即CD的长为4.
    故答案为:4.
    15.答案:(1)中位数为71.4,平均数为71.0
    (2)平均数为90,标准差为
    解析:(1),,
    中位数位于之间,设中位数为m,
    则,解得:,即中位数为;
    平均数为.
    (2)剩余8个分数的平均值为;
    ,,
    剩余8个分数的标准差为.
    16.答案:(1)或
    (2)最大值为88,最小值为72
    解析:(1)当过点B的直线斜率存在时,
    设切线的方程为,即,
    则圆心到切线的距离为,解得,
    所以切线方程为,即,
    当过点的直线斜率不存在时,切线方程为,此时直线与圆M相切.
    综上,切线方程为或.
    (2)设P点坐标为,则,所以
    .
    因为,所以,
    即的最大值为88,最小值为72.
    17.答案:(1)证明见解析
    (2)
    解析:(1)因为,,且,AB,平面,
    所以平面.又平面,
    所以
    又因为正方形,则,,,平面,
    所以平面.
    因为平面,
    所以.
    (2)如图,以点D为原点,以向量,,所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
    则,,,,.
    ,.
    设平面的一个法向量为,
    则,令,则,
    故平面的法向量可取为.
    由(1)可知,平面,所以平面的法向量可取,
    设二面角的大小为,由图可知为钝角,
    则,因,
    则,即二面角的大小为.
    18.答案:(1)证明见解析,
    (2),证明见解析
    解析:(1)因为,,则,
    等式两边同时乘以可得,
    即,所以,数列是等差数列.
    且,,等差数列公差为,
    所以,,故.
    (2)数列的前n项和为,且,
    则,
    所以,,
    两式相减可得
    ,
    所以.
    又,即为单调递增数列,
    所以,即.
    19.答案:(1)
    (2)存在,,理由见解析
    解析:(1)设,易知,
    由,得,
    化简得,故椭圆C的标准方程为.
    (2)点是椭圆C长轴上的不同于A,B的任意一点,
    故可设直线PN的方程为,,,
    由,得,
    ,,恒成立.
    又,,
    ,
    ,
    要使其值为定值,则,
    故当,即时,.
    综上,存在这样的稳定点.
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