67，重庆市垫江县垫江第八中学校2023-2024年九年级上学期第二次月考数学试题

这是一份67，重庆市垫江县垫江第八中学校2023-2024年九年级上学期第二次月考数学试题，共30页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟 总分：150分
参考公式：抛物线的预点坐标为对称轴为直线
注意事项：注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填涂在答题卡的对应位置．
1. 以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】A.既是轴对称图形又是中心对称图形,故该选项符合题意；
B.是轴对称图形，但不是中心对称图形,故该选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，但是中心对称图形,故该选项不符合题意；
D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形,故该选项不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高形的概念是解题的关键．
2. 下列各命题是真命题的是（ ）
A. 平行四边形既是轴对称图形及是中心对称图形
B. 有一个角是直角的平行四边形是正方形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形
D. 对角线互相垂直的四边形是菱形
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方形、矩形和菱形的判定、平行四边形的性质判断即可．
【详解】解：A、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，原命题是假命题；
B、有一个角是直角的菱形是正方形，原命题是假命题；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题；
D、对角线平分且互相垂直的四边形是菱形，原命题是假命题；
故选：C．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3. 2021年是中国共产党成立100周年，某中学发起了“热爱祖国，感恩共产党”说句心里话征集活动．学校学生会主席要求征集活动在微信朋友圈里进行传递，规则为：将征集活动发在自己的朋友图，再邀请n个好友转发征集活动，每个好友转发朋友圈，又邀请n个互不相同的好友转发征集活动，以此类推，已知经过两轮传递后，共有931人参与了传递活动，则方程列为（ ）
A. （1+n）2＝931B. n（n﹣1）＝931C. 1+n+n2＝931D. n+n2＝931
【答案】C
【解析】
【分析】设邀请了n个好友转发朋友圈，第一轮转发了n个人，第二轮转发了n2个人，根据两轮转发后，共有931人参与列出方程即可．
【详解】解：由题意，得
n2+n+1＝931，
故选：C．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，难度一般，根据题意找出相等的量是关键．
4. 如图，已知点、、依次在上，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【详解】解：和都对，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5. 如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若点B'恰好落在BC边上，，则的度数为（ ）
A. 18°B. 20°C. 22°D. 24°
【答案】D
【解析】
【分析】由旋转的性质可得∠C＝∠，AB＝A，由等腰三角形的性质可得∠C＝∠CA，∠B＝∠AB，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．
【详解】解：∵A＝C，
∴∠C＝∠CA，
∴∠AB＝∠C＋∠CA＝2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△A，
∴∠C＝∠，AB＝A，
∴∠B＝∠AB＝2∠C，
∵∠B＋∠C＋∠CAB＝180°，
∴3∠C＝180°−108°，
∴∠C＝24°，
∴∠＝∠C＝24°，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键．
6. 用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）

A. 14B. 20C. 23D. 26
【答案】B
【解析】
【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.
【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，；
第②个图案中有5个圆圈，；
第③个图案中有8个圆圈，；
第④个图案中有11个圆圈，；
…，
所以第⑦个图案中圆圈的个数为；
故选：B.
【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为是解题的关键.
7. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE，DF分别是与的角平分线，AE与OD交于点G，与DF交于点E，连接OE，若，则AG的长为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正方形的性质证得∠OAG=∠ODF，推出△AGO≌△DFO，得到AG=DF，再证明△AEF≌△AED，得到DE=EF，利用直角三角形斜边中线的性质求出DF即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OD，∠OAD=∠ODC=45°，∠AOD=∠DOC=90°,
∵AE，DF分别是与的角平分线，
∴∠DAG=∠OAG=∠OAD，∠ODF=∠ODC，
∴∠OAG=∠ODF，
∴△AGO≌△DFO，
∴AG=DF，
∵∠AGO=∠DGE，
∴∠DEG=∠AOG=90°，即AE⊥DF，
∴∠AED=∠AEF=90°，
∵AE=AE，
∴△AEF≌△AED，
∴DE=EF，
∴DF=2OE=，
故选：B．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形斜边中线的性质，正确理解正方形的性质是解题的关键．
8. 如果关于的方程有正整数解，且关于的函数与轴有交点，那么满足条件的整数的个数为（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点、分式方程的解，根据题意由分式方程的解和函数与轴有交点求得的取值范围，即可得到整数的个数，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．
【详解】解：由方程，得，
∵关于的方程有正整数解，
∴且，
∵关于的函数与轴有交点，
当时，，直线与轴有交点；
当时，，解得；
∴由上可得，且，
∴的整数值是，，，
故选：．
9. 如图，二次函数的图象与x轴的交点坐标为和．给出下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确的个数为（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，根据函数的开口方向确定a的符号，从而判断①；根据对称轴的位置及图象与x轴的交点坐标判断②；根据时对应y的符号判断③；根据二次函数图象落在x轴上方的部分对应的自变量x的取值，判断④．根据图象判断出对称轴的位置是解题的关键．
【详解】解：①图象开口向下，可知，故①错误；
②对称轴在y轴右侧且图象与x轴的交点坐标为和，
则对称轴为：，则有，即，故②正确；
③当时，，则，故③正确；
④由图可知，当，，故④正确．
综上可知正确的有3个，
故选：C．
10. 在多项式中，除首尾项a、外，其余各项都可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”．每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式进行．例如：“闪减操作”为，与同时“闪减操作”为，…，下列说法：
①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；
②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果；
③若可以闪退的三项，，满足：
，则的最小值为．
其中正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】①根据“闪减操作”的定义，举出符合条件的式子进行验证即可；
②先根据“闪减操作”的定义进行运算，再分类讨论去绝对值，即可判断；
③根据“闪减操作”的定义和绝对值的几何意义，求出，，的最小值，即可得出结论．
【详解】①“闪减操作”后的式子为，“闪减操作”后的式子为，对这两个式子作差，得：
，
结果不含与e相关的项，故①正确；
②若每种操作只闪退一项，共有三种不同“闪减操作”：
“闪减操作”结果为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
“闪减操作”结果为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
“闪减操作”结果为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
共有12种不同的结果，故②错误；
③∵，在数轴上表示点与和距离之和，
∴当距离取最小值时，的最小值为，
同理：，在数轴上表示点与和的距离之和，
∴当距离取最小值时，的最小值为，
，在数轴上表示点与和的距离之和，
∴当距离取最小值时，的最小值为，
∴当，，都取最小值时，
，
此时，的最小值为，故③正确；
故选C．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，绝对值的几何意义，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．
11. 计算：______．
【答案】－9
【解析】
【分析】根据负整数指数幂运算、指数幂运算分别计算后，根据有理数减法运算法则直接求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数减法运算，涉及到负整数指数幂运算、指数幂运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
12. 一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________.
【答案】16
【解析】
【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．
【详解】解：解方程x2-10x+21=0得x1=3，x2=7，
∵3＜第三边的边长＜9，
∴第三边的边长为7．
∴这个三角形的周长是3+6+7=16．
故答案为16．
【点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系内的点关于原点对称的规律即可求解．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称点的坐标，掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．
14. 若关于x的方程的一个根是0，则k的值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】将代入原方程，求出k的值即可．
【详解】将代入，得：，
解得：．
当时，原方程为，符合；
当时，原方程为，符合．
故答案为：．
【点睛】本题考查方程的解的定义．掌握方程的解就是使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键．
15. 如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：∵在中，，是边的中线，
∴，，
在中，，，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解答的关键．
16. 如图，直线与抛物线交于，两点，则关于x的不等式的解集是_______．
【答案】或##或
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式的解集．正确数形结合分析是解题关键．
【详解】∵直线与抛物线交于，两点，
∴关于的不等式的解集是：或．
故答案为：或．
17. 如图，已知正方形的边长为3，、分别是、边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到．若，则的长为____．
【答案】
【解析】
【分析】由旋转可得，为直角，可得出，由，得到为，可得出，再由，利用可得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等可得出；则可得到，正方形的边长为3，用求出的长，再由求出的长，设，可得出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为的长．
【详解】解：逆时针旋转得到，
，
、、三点共线，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设，
，且，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
即，
解得：，
．
故答案：．
【点睛】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
18. 一个四位数的各个数位上的数字均不为0，且满足位十数字是千位数字的2倍，个位数字比百位数字大2．则称这个四位数为“和2倍数”．例如：，因为，，所以2143为“和2倍数”．已知为“和2倍数”，若将的各个数位上的数字重新拆分组合成2个新的两位数，其中的千位与十位数字分别作为2个两位数的十位，的百位与个位数字分别为作为2个两位数的个位，把按照这种方式组成的所有两位数的和记为．①当，则 __________；②当能被7整除时，则满足条件的的最小值为__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】①根据“和2倍数”定义，按要求计算即可得到答案；
②由“和2倍数”的定义设出，结合能被7整除分类讨论即可得到答案．
【详解】解：①当时，的千位数字是，十位数字是；的百位数字，个位数字是；
的千位与十位数字分别作为2个两位数的十位，的百位与个位数字分别为作为2个两位数的个位，
所有组成的两位数是，
所有两位数的和；
②设，则，即的千位数字是，十位数字是；的百位数字，个位数字是；
的千位与十位数字分别作为2个两位数的十位，的百位与个位数字分别为作为2个两位数的个位，
所有组成的两位数是，
所有两位数的和
；
，的千位作为新组成的两位数的十位，
，
， 的百位作为新组成两位数的个位，
，
要求满足条件的的最小值，
千位从小到大、百位从小到大逐次取值，分类讨论如下：
当时，，，不能被7整除，不符合题意；
当时，，，不能被7整除，不符合题意；
当时，，，不能被7整除，不符合题意；
当时，，，不能被7整除，不符合题意；
当时，，，不能被7整除，不符合题意；
当时，，，由于，则能被7整除，符合题意；
满足条件的的最小值为；
故答案为：；．
【点睛】本题考查新定义题型，读懂题意，按要求列式求解是解决问题的关键．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题10分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡对应的位置上．
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先计算乘法，再计算加减，即可求解；
（2）先计算括号内的，再计算除法，即可求解．
【小问1详解】
解：

【小问2详解】
解：


【点睛】本题主要考查了整式的混合运算和分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20. 如图，在平行四边形中，，点E是线段上的一点，连接．
（1）在线段上求作一点F，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，证明：四边形为平行四边形的结论（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后，不写证明理由）．
解：（2）证明：在平行四边形中，
∵，
∴_________________，
∴四边形是矩形，
∴，，，
在和，
，
∴，
∴_____________，，
∴，
∴_____________，
∴四边形为平行四边形（两边分别相等的四边形为平行四边形）．
【答案】（1）图见解析
（2）；；；
【解析】
【分析】（1）以点为圆心，以任意长为半径画弧，交线段、于点、，再以点为圆心，以相同长为半径画弧，交线段于点，再以点为圆心，以线段的长为半径画弧，两弧交于点，连接，并延长交于点；
（2）根据矩形的判定定理，得出四边形是矩形，再根据矩形的性质，得出，，，，再根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据线段之间的数量关系，得出，再根据平行四边形的判定定理，即可得出答案．
【小问1详解】
解：如图，点即为所求；
【小问2详解】
证明：在平行四边形中，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，，，
在和，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
故答案为：；；；
【点睛】本题考查了尺规作图、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定定理，解本题的关键在正确用尺规作相等角，并熟练掌握相关的性质定理．
21. 如图，等腰中，，点D在上，将绕点B沿顺时针方向旋转后，得到，
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质即可得 的度数；
（2）根据勾股定理求出的长，根据，可得和的长，根据旋转的性质可得，再根据勾股定理即可得的长．
【小问1详解】
解：∵为等腰直角三角形，
，
由旋转的性质可知，
∴；
【小问2详解】
解：，，
，
，
，，
由旋转的性质可知：,
．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形，解题的关键是掌握旋转的性质．
22. 目前重庆市正全面开展生活垃圾分类工作，为了进一步提高垃圾分类的准确度，某社区对甲、乙两个小区的居民进行了有关垃圾分类常识的测试，并从甲、乙两小区各随机抽双20名居民的测试成绩进行整理分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：
甲小区20名居民测试成绩：13，15，16，19，20，21，22，23，24，25，25，26，27，27，28，28，28，29，30，30．
乙小区20名居民测试成绩在C组中的数据是：20，23，21，24，22，21．
甲、乙两小区被抽取居民的测试成绩统计表
乙小区被抽取居民的测试成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝______，b＝______，c＝_______；
（2）根据以上数据，你认为甲、乙小区中哪个小区垃圾分类的准确度更高？说明理由（一条理由即可）
（3）若甲、乙两个小区居民共3600人，估计两个小区测试成绩优秀（）的居民人数是多少？
【答案】（1）40，22.5，28
（2）甲，甲小区垃圾分类的平均数及中位数均大于乙小区，所以甲社区的平均成绩高且高分人数多；
（3）1710人
【解析】
【分析】（1）先求出乙社区C组人数，再根据百分比之和为1求出a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值；
（2）从平均数和中位数的意义分析可知哪个社区更好；
（3）用总人数乘以样本中成绩优秀的人数和占甲、乙社区人数之和的比例即可．
【小问1详解】
解：乙小区20名居民测试成绩在C组中的数据所占百分比为6÷20×100%＝30%，
∴a＝100﹣10﹣20﹣30＝40，
A、B组数据的个数为20×（10%＋20%）＝6，
其中位数为 ＝22.5，即b＝22.5；
甲小区20名居民测试成绩中出现次数最多的是28，
c=28．
故答案为：40，22.5，28．
【小问2详解】
解：根据以上数据，认为甲小区垃圾分类的准确度更高，
理由如下：
甲小区垃圾分类的平均数及中位数均大于乙小区，
所以甲社区的平均成绩高且高分人数多，
故答案为：甲，甲小区垃圾分类的平均数及中位数均大于乙小区，所以甲社区的平均成绩高且高分人数多．
【小问3详解】
解：估计两个小区测试成绩优秀（x≥25）的居民人数是:
3600×＝1710（人）．
【点睛】本题主要考查了中位数、平均数、众数的定义及样本估计总体的知识，熟练运用统计的知识是解决问题的关键．
23. 如图，是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线方向运动，点F沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．

（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t值．
【答案】（1）当时，；当时，；
（2）图象见解析，当时，y随x的增大而增大
（3）t的值为3或
【解析】
【分析】（1）分两种情况：当时，根据等边三角形的性质解答；当时，利用周长减去即可；
（2）在直角坐标系中描点连线即可；
（3）利用分别求解即可．
【小问1详解】
解：当时，
连接，

由题意得，，
∴是等边三角形，
∴；
当时，；
【小问2详解】
函数图象如图：

当时，y随t的增大而增大；
【小问3详解】
当时，即；
当时，即，解得，
故t的值为3或．
【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，解一元一次方程，正确理解动点问题是解题的关键．
24. 某“5A”景区决定在“10.1”国庆节期间推出优惠套餐，预售“亲子两人游”套票和“家庭三人行”套票，预售中的“家庭三人行”套票的价格是“亲子两人游”套票的2倍．
（1）若“亲子两人游”套票的预售额为27000元，“家庭三人行”套票的预售额为18000元，且“亲子两人游”套票的销售量比“家庭三人行”套票的销售量多400套，求“亲子两人游”套票和“家庭三人行”套票的价格；
（2）套票在出售当天计划推出“亲子两人游”套票1600张，“家庭三人行”套票600张，由于预售的火爆，景区决定将“亲子两人游”套票的价格在（1）中价格的基础上增加a元，而“家庭三人行”套票在（1）中价格的基础上增加a元，结果“亲子两人游”套票的销量比计划少20a套，“家庭三人行”套票的销售量与计划保持一致，最终实际销售额比计划销售额多12000元，求a的值．（票价均为整数）
【答案】（1）“亲子两人游”套票和“家庭三人行”套票的价格各是45元和90元
（2）15
【解析】
【分析】（1）设“亲子两人游”套票价格为x元，则“家庭三人行”套票的价格是2x元，利用销售数量＝销售额÷销售单价，结合“亲子两人游”套票的销售量比“家庭三人行”套票的销售量多400套得出分式方程，解之检验即可；
（2）利用销售额＝销售单价×销售数量，结合最终实际销售额比计划销售额多12000元得出关于的一元二次方程，求解即可．
【小问1详解】
解：设“亲子两人游”套票价格为x元，则“家庭三人行”套票的价格是2x元，
根据题意得，
解得x=45，
经检验，x=45是原方程的解，且符合题意，
所以2x=90，
即“亲子两人游”套票和“家庭三人行”套票的价格各是45元和90元；
【小问2详解】
根据题意可得
，
化简得，
解得，，
票价均为整数，为整数，
，
a的值为15．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25. 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．
（1）求b，c的值；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标m．当m为何值时，△PBC的面积最大？并求出这个面积的最大值．
（3）如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）﹣，；
（3）存在，M坐标为（1，4）或（﹣3，）或（﹣﹣3，﹣）或（﹣，）
【解析】
【分析】（1 ）将点A（1，0）和点B（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解析式；
（2 ）求出直线BC的解析式y＝x+3，过P点作PQ⊥x轴交BC于Q，由已知可得P（m，﹣m2﹣2m+3），则Q（m，m+3），则S△PBC＝﹣（m+）2+，当m＝﹣时，S△PBC有最大值，此时P（﹣，）；
（3 ）平移后抛物线解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣5，联立﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣6x﹣5，求出D（﹣2，3），则BD＝，设M（t，t+3），分三种情况：当四边形BDMN为菱形时，由DB＝DM，得10＝（t+2）2+t2，求出M（1，4）；当四边形BDNM为菱形时，由BD＝BM，得10＝（t+3）2+（t+3）2，求出M（﹣3，）或M（﹣﹣3，﹣）；当四边形BMDN为菱形时，设BD的中点为G，则G（﹣，），由勾股定理得BM2＝BG2+GM2，即2（t+3）2＝（）2+（t+）2+（t+）2，求出M（﹣，）．
【小问1详解】
解：将点A（1，0）和点B（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝﹣x2﹣2x+3；
【小问2详解】
解：令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
则有，
解得，
∴y＝x+3，
过P点作PQ⊥x轴交BC于Q，
由已知可得P（m，﹣m2﹣2m+3），则Q（m，m+3），
∴S△PBC＝×3×（﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3）＝（﹣m2﹣3m）＝﹣（m+）2+，
∵－3＜m＜0，－＜0，
∴当m＝﹣时，S△PBC有最大值，
此时P（﹣，）；
【小问3详解】
解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
将抛物线向左平移2个单位长度，则y＝﹣（x+3）2+4＝﹣x2﹣6x﹣5，
联立得：﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣6x﹣5，
∴x＝﹣2，
∴D（﹣2，3），
∵B（﹣3，0），
∴BD＝，
∵M点在直线BC上，
设M（t，t+3），
当四边形BDMN菱形时，如图1，
∴DB＝DM，
∴10＝（t+2）2+t2，
∴t＝1或t＝﹣3（舍），
∴M（1，4）；
当四边形BDNM为菱形时，如图2，
∴BD＝BM，
∴10＝（t+3）2+（t+3）2，
∴t＝﹣3或t＝﹣﹣3，
∴M（﹣3，）或M（﹣﹣3，﹣）；
当四边形BMDN为菱形时，如图3，
设BD的中点为G，则G（﹣，），
∵GM⊥BD，
∴BM2＝BG2+GM2，
∴2（t+3）2＝（）2+（t+）2+（t+）2，
∴t＝﹣，
∴M（﹣，）；
综上所述：M点的坐标为（1，4）或（﹣3，）或（﹣﹣3，﹣）或（﹣，）．
【点睛】本题考查几何图形与二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形、二次函数图象的平移、菱形的性质、三角形的面积公式、勾股定理、解一元二次方程等知识，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用分类讨论和数形结合思想求解是解答的关键．
26. 如图，在中，，，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：；
（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使的值最小．当的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）先证△BAD≌△CAE，可得∠ABD＝∠ACE＝45°，可求∠BCE＝90°，由直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得结论；
（2）连接AF，由（1）得，，，推出，然后根据现有条件说明
在中，，点A，D，C，E四点共圆，F为圆心，则，在中，推出，即可得出答案；
（3）在△ABC内取一点P，连接AP、BP、CP，将三角形ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBD，证明点P位于线段CE上，同理得到点P位于线段BF上，证明∠BPC=120°，进而得到，设PD，
得出，，得出，解出a，根据即可得出答案．
【详解】解：（1）证明如下：∵，
∴，
∵，，
∴在和中，
∴，
∴，
∴，
在中，F为DE中点（同时），，
∴，即为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
（2）连接AF，由（1）得，，，
∴，
在中，，
∵F为DE中点，
∴，
在四边形ADCE中，有，，
∴点A，D，C，E四点共圆，
∵F为DE中点，
∴F为圆心，则，
在中，
∵，
∴F为CG中点，即，
∴，
即；
（3）如图1，在△ABC内取一点P，连接AP、BP、CP，将三角形ABP绕点B逆时针旋转60°得到△EBD，得到△BPD为等边三角形，所以PD=BP，
∴AP+BP+CP=DE+DP+CP，
∴当的值取得最小值时，点P位于线段CE上；
如图2，将三角形ACP绕点C顺时针旋转60°得到△FCG，得到△PCG为等边三角形，所以PC=GP，
∴AP+BP+CP=GF+GP+BP，
∴当的值取得最小值时，点P位于线段BF上；
综上所述：如图3，以AB、AC为边向外做等边三角形ABE和等边三角形ACF，连接CE、BF，则交点P为求作的点，
∴△AEC≌△ABF，
∴∠AEC=∠ABF，
∴∠EPB=EAB=60°，
∴∠BPC=120°，
如图4，同理可得，，

∴，
设PD为，
∴，
又，
∴，
又
∴．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用所学知识是解本题的关键．平均数
中位数
众数
方差
甲小区
23.8
25
c
25.75
乙小区
23.8
b
27
26.34