86，2023年北京市石景山区中杉学校中考一模数学试题

这是一份86，2023年北京市石景山区中杉学校中考一模数学试题，共28页。试卷主要包含了4，， 用配方法解方程时，正确的是等内容，欢迎下载使用。

1. 某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这个立体图形是（ ）
A. 三棱柱B. 四棱柱C. 三棱锥
【答案】A
【解析】
【分析】由展开图的底面是正三角形，侧面是三个矩形，即可求解．
【详解】解：因为展开图的底面是正三角形，侧面是三个矩形，因此这个立体图形为三棱柱，
故选：A．
【点睛】考查棱柱的展开与折叠，理解棱柱的展开图的形状是前提
2. “两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”．2023年8月29日，华为搭载自研麒麟芯片的系列低调开售．据统计，截至2023年10月21日，华为系列手机共售出约160万台，将数据1600000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
【详解】解：1600000用科学记数法表示为．
故选：B．
3. 苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的六边形（正六边形），图2是其平面示意图，则的度数为（ ）您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正六边形的内角和公式求出的度数，再根据等腰三角形的性质求的度数，同理可得的度数，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵六边形是正六边形，
∴， ，
∴，
同理，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查正多边形内角和的计算以及三角形公式，n边形的内角和为．
4. 实数a在数轴上的位置如图所示，若，则下列说法不正确的是（ ）
A. a相反数大于2B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是数形结合，得到．
由图得，且，可知，然后逐项判断即可．
【详解】解：由图得，且，
∴，D正确，不符合题意；
∴a的相反数大于2，故A正确，不符合题意；
a的相反数大于2即是，故B不正确，符合题意；
∵，
∴，
∴，故C正确，不符合题意；
故选：B．
5. 如图所示的是反比例函数和一次函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A. 反比例函数的解析式是B. 一次函数的解析式为
C. 当时，最大值为1D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】结合图象，求出两个函数的解析式，再逐一进行判断即可。
【详解】解：A、由图象可知，两个函数图象相交于两个点，其中一个点坐标为，
把代入得，，
，选项错误，不符合题意；
B、当时，，
另一个交点坐标：，
直线解析式为：，分别代入，，得：
，
解得，
，选项错误，不符合题意；
C、由图象可知，当时，随的增大而减小，当时，，选项错误，不符合题意；
D、由图象可知， ，直线在双曲线的下方，，选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点、反比例函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式．解题的关键是待定系数法求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解．
6. 甲、乙两人5次数学考试成绩如下： 则以下判断中正确的是（ ）
A. =，＞B. =，＜
C. ＜，＜D. ＝，=
【答案】A
【解析】
【分析】先求出甲，乙的平均数，再求出甲，乙的数学考试成绩的方差解答即可．
【详解】解：甲平均数：×（84+86+85+83+87）=×425=85，
乙平均数：×（84+85+86+85+85）=×425=85；
S甲2=×[（84-85）2+（86-85）2+（85-85）2+（83-85）2+（87-85）2]，
=×（1+1+0+4+4），
=2，
S乙2=×[（84-85）2+（85-85）2+（86-85）2+（85-85）2+（85-85）2]，
=×（1+0+1+0+0），
=0.4，
∴=，＞，
故选A．
【点睛】本题考查了算术平均数，方差，平均数表示一组数据的平均程度，方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
7. 用配方法解方程时，正确的是（ ）
A. B. 原方程无解
C. D. 原方程无解
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用配方法解一元二次方程．根据配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
∴原方程无解．
故选：B．
8. 匀速地向如图所示的一个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查函数的图象，能根据瓶子的形状判断出水面上升的高度与注水时间的关系是解题的关键．
根据空瓶的形状，对水面高度和注水时间的关系依次进行判断即可解决问题．
【详解】解：由题知，
因为匀速地向空瓶里注水，且空瓶的下半部分是直立圆锥的一部分，
所以在刚开始注水的时候，水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度越来越高．
因为瓶子的上半部分是圆柱，
所以水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度相同，即匀速上升．
故选：A．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9. 二次根式中字母x的取值范围是_______．
【答案】x≤0
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可．
【详解】∵二次根式有意义，
∴﹣5x≥0
∴x≤0，
故答案为：x≤0．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、解一元一次不等式，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解答的关键．
10. 因式分解：=________________．
【答案】-3（b+2a）（b-2a）
【解析】
【分析】直接提取公因式-3，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】解：-3b2+12a2
=-3（b2-4a2）
=-3（b+2a）（b-2a）．
故答案为：-3（b+2a）（b-2a）．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
11. 如图，已知，通过测量、计算得的面积约为___________（结果保留1位小数）

【答案】
【解析】
【分析】过点作，测量出的长，再根据平行四边形的面积计算公式计算即可．
【详解】如图，过点作，

测量得，，
∴的面积．
故答案是．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的面积就是公式，准确测量出平行四边形的底和高是解题的关键．
12. 为庆祝南开中学84周年校庆，学校安排2位男老师和3位女老师筹备校庆晚会，并从中随机挑选出2位老师担任主持，则选出的2位老师恰好为一男一女的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得到答案．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有20种等可能的情况数，选出的2位老师恰好为一男一女的有12种，
则最后确定的主持人是一男一女的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是画树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13. 列方程组解题：“今有马二、牛一，直金七两；马三、牛二，直金十二两．马、牛各直金几何？”其大意是：2匹马，1头牛，一共价值7两；3匹马，2头牛，一共价值12两，问每匹马、每头牛各价值多少两？设每匹马两，每头牛两．根据题意，可列方程组为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据2匹马，1头牛，一共价值7两；3匹马，2头牛，一共价值12两，列出二元一次方程组即可．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
14. 在平面直角坐标系中有A，B，三个点，点B的坐标是，点A，点关于点B中心对称，若将点A往右平移4个单位，再往上10个单位，则与重合，则点A的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据对称性得到点B为线段中点，由此得到将点B往左平移2个单位，再往下5个单位，则与A重合，即可得到点A的坐标．
【详解】解：∵点A，点关于点B中心对称，
∴点B为线段中点，
∵将点A往右平移4个单位，再往上10个单位，则与重合，
∴将点A往右平移2个单位，再往上5个单位，则与B重合，
∴将点B往左平移2个单位，再往下5个单位，则与A重合，
∴点A的坐标为，即，
故答案为：．
【点睛】此题考查了中心对称的性质，点的平移规律，正确理解中心对称的性质是解题的关键．
15. 如图，的内接四边形中，，则等于______．
【答案】##120度
【解析】
【分析】此题主要考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，正确掌握相关定理是解题关键．根据圆内接四边形的对角互补求得，再根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如图，小明将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若a，b，c分别表示其中的一个数，则的值为_____．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的加法运算，代数式求值，根据题目要求求得字母的值是解决本题的关键．
首先求出每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3，然后根据题意列方程求出，，，然后代数求解即可．
【详解】解：∵，
∴每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3，
∴，，，
∴，，，
∴．
故答案为4．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17. 计算：．
【答案】5
【解析】
【分析】直接利用负整数指数幂运算法则、二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式
．
【点睛】此题主要考查了实数运算，负整数指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值、绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
18. 解不等式组：．
【答案】．
【解析】
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
∴原不等式组的解集是：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
19. 已知实数是的根，不解方程，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，多项式乘以多项式，完全平方公式和合并同类项，根据方程的解的概念求得，根据多项式乘以多项式，完全平方公式和合并同类项法则化简代数式，然后整体代入即可，熟练掌握运算法则和正确理解整体代入思想是解题的关键．
【详解】解：∵实数是的根，
∴，即，
由
，
，
，
∵，
∴原式，
．
20. 我们学习利用尺规作图平分任意一个角，而“利用尺规作图三等分任意一个角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等；与垂直于点，足够长．三分角器的使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点落在边上，半圆与另一边恰好相切，切点为，则，就把三等分了．

根据该操作过程，回答问题：
（1）直线与圆的位置关系是___________，依据是___________；
（2）求证：；
（3）若被测量的，，则的长度至少为___________，才保证该三分角器能够三等分该角．（用含有，的代数式表示）
【答案】（1）相切；是半圆的直径，与垂直于点
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据切线的判定定理，判定即可；
（2）连接，根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据切线长定理，结合“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，进而得出所证结论；
（3）根据题意，得出，再根据正切的定义，即可得出答案．
【小问1详解】
解：直线与圆的位置关系是相切，依据是是半圆的直径，与垂直于点；
故答案为：相切；是半圆的直径，与垂直于点
【小问2详解】
证明：如图，连接，

∵与垂直于点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵半圆与另一边恰好相切，切点为，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵，就把三等分，，
∴，
又∵，
∴，
∴的长度至少为时，才保证该三分角器能够三等分该角．
故答案为：
【点睛】本题考查了切线的判定定理、全等三角形的判定与性质、切线长定理、锐角三角函数，解本题的关键在理解题意，并熟练掌握相关知识点．
21. 如图，在中，，于点D，延长到点E，使．过点E作交的延长线于点F，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）过点E作于点G，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用和，使用证明，从而得到，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据等腰三角形的三线合一性质可知，，再由求出，采用勾股定理求出的长，即的长，再用等面积法求出的长．
【小问1详解】
证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形平行四边形．
【小问2详解】
过点E作于点G
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，即
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，利用等面积法求高是本题的解题技巧，掌握平行四边的判定与性质是解题的关键．
22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）将代入中求出反比例函数解析式，进而求出，再用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）通过观察图象中直线在曲线上方的x的取值范围求解．
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图象经过点，
∴．
∴反比例函数的表达式为
又∵点在反比例函数的图象上．
∴，即．
∵一次函数的图象经过两点．
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为；
【小问2详解】
观察图象，关于x的不等式的解集是或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程及不等式的关系．
23. 如图①，是的外接圆，点在上，延长至点，使得．

（1）求证：为的切线；
（2）若的角平分线交线段于点，交于点，连接，如图②，其中，，求．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质，同角的余角相等得出，再根据切线的判定方法进行判断即可；
（2）通过证明，可得，从而得到，在中，由勾股定理可得，再根据圆周角定理以及相似三角形的性质得出，代入计算即可．
【小问1详解】
证明：连接，如图，
，
，
，
，
，
是直径，
，即，
，
，
是的直径；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
，
在中，，
，
即，
，
为的角平分线，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，直角三角形的边角关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定方法，相似三角形的判定和性质，是解题的关键．
24. 社会消费品零售总额按消费类型可划分为商品零售和餐饮收入，它是表现国内消费需求最直接的数据，也是研究国内零售市场变动情况、反映经济景气程度的重要指标．如图是我国2019年1-2月—2023年1-2月按消费类型分零售额同比增速以及社会消费品零售总额的统计图．

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）2019年1-2月—2023年1-2月我国社会消费品零售总额的中位数是______亿元；
（2）根据国家统计局数据显示，2022年1-2月我国商品零售66708亿元，则2023年1-2月我国的餐饮收入为______亿元；（结果保留整数）
（3）写出一条关于我国2019年1-2月—2023年1-2月期间我国社会消费品零售总额变化趋势的信息．
【答案】（1）69737
（2）8428 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数的定义求解即可；
（2）先求得2022年1-2月的餐饮收入，再乘以增长率即可得到答案；
（3）根据统计图进行分析即可．
【小问1详解】
解：将我国社会消费品零售总额按从小到大的顺序排列为52130，66064，69737，74426，77067，则最中间的数据为第3个数据，即中位数是69737亿元，
故答案为：69737；
小问2详解】
解：由图②可知，2022年1-2月社会消费品总额74426亿元，
2022年1-2月我国商品零售66708亿元，
2022年1-2月我国餐饮收入为：亿元，
由图①可知，2023年1-2月餐饮收入增长率为9.2%，
2023年1-2月我国的餐饮收入为：亿元，
故答案为：8428；
【小问3详解】
解：2019年1-2月—2020年1-2月我国社会消费品零售总额有所降低，之后几年都在增高．（答案不唯一，合理即可）
【点睛】本题考查了折线统计图，条形统计图，中位数，正确从图表中获取信息是解题的关键．
25. 如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6m的点E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱顶部点O离水面的距离；
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式；
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，设其中一条彩带与支柱OH的水平距离为dm，当这条彩带的长度小于m时，求d的取值范围．
【答案】（1）6m （2）①；②
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，然后结合二次函数图象上点的坐标特征计算求解；
（2）①由图象分析右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），然后利用待定系数法求函数解析式；
②根据题意，列式，然后解不等式即可．
【小问1详解】
根据题意可知点的坐标为（6，），
可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：，
将（6，）代入有：，
解得，
∴，
当时，，
∴桥拱顶部离水面高度为6m；
【小问2详解】
①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其表达式为，
将（0，4）代入其表达式有：，求得，
∴右边钢缆所在抛物线表达式为：，
同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为：，
②设彩带的长度为m，
则，
∵这条彩带的长度小于m，
∴，
解得．
∴的取值范围．
【点睛】本题考查了利用二次函数解决实际问题，解决此类型题一般先根据题意设出适当的二次函数表达式（一般式、顶点式或交点式），再结合实际和二次函数的图象与性质进行求解．
26. 在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上．
（1）若，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由．
【答案】（1）；（2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）由题意易得点和点，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可；
（2）由题意可分当时和当时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可．
【详解】解：（1）当时，则有点和点，代入二次函数得：
，解得：，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为；
（2）由题意得：抛物线始终过定点，则由可得：
①当时，由抛物线始终过定点可得此时的抛物线开口向下，即，与矛盾；
②当时，
∵抛物线始终过定点，
∴此时抛物线的对称轴的范围为，
∵点在该抛物线上，
∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为，
∵，开口向上，
∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
27. 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足，点是第一象限内的点，，．
（1）分别求出点、、的坐标．
（2）如果在第二象限内有一点，是否存在点，使得的面积等于的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）在平面直角坐标系是否存在点，使与全等，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，
（2）
（3），或
【解析】
【分析】（1）根据可得，，从而得到，，
再根据，构造全等三角形，即可得到点C的坐标；
（2）根据三个顶点坐标可求，则，又因为，即可求点P 的坐标；
（3）根据三角形全等画出符合题意的图形，确定点E，由（1）求点C的坐标的方法可求出点坐标，点与点关于点A对称，点C与点关于点B对称，即可得到点E的三个坐标．
【小问1详解】
解：∵，
∴
∴，，
∴，，
∴，
过点作轴于点，则
∵，
∴，
在中，，
∴
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∵点在第一象限内，
∴．
【小问2详解】
存在．过点作轴于点，则
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
【小问3详解】
，或
理由：如图所示，
当，且点在第一象限时，
由（1）同理得
当，且点在第二象限时，
点与点关于点A对称
∴
当，且点在第二象限时，
点C与点关于点B对称
∴
综上所述，，或
故答案为：，或
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角坐标系中求三角形的面积以及点之间的对称问题，解题的关键是熟悉掌握运用全等三角形的性质与判定．
28. 在平面直角坐标系中，O为原点，对于两个图形和直线，若在图形X上存在点A，在图形Y上存在点B，使得点A和点B关于直线对称，就称图形X和Y互为m关联图形．
（1）已知点P的坐标为，
①点P与点Q互为关联图形，则点Q的坐标为 ；
②若的半径为1，点P与互为m关联图形，则m的值为 ；
（2）已知点，射线OA与线段l：互为t关联图形，求t的取值范围．
（3）已知⊙O的半径为2，直线与x轴，y轴分别交于C，D，若关于对称的图形S与点C互为2m关联图形，直接写出m的值及点D与图形S的位置关系．
【答案】（1）①；②1或2；
（2）；
（3），，D在S上，，D在S内部．
【解析】
【分析】本题考查了轴对称的性质，与圆有关的位置关系等知识，解决问题的关键是理解题意，求对称点．
（1）①求出点P关于的对称点即可；②求点P和以及点P和对称得m的值；
（2）求出和点对称时的 t的值，以及和对称时t的值，从而确定范围；
（3）圆心O关于的对称点是，设图形S上的点J与C点关于对称，设，由得，将代入得，求出m的值，进而求出D个图形S的位置关系．
【小问1详解】
解：①如图1，
∵，
∴，
②如图2，
∵，，
∴或1．
【小问2详解】
解：如图3，
由题意得，
∵，
∴直线的解析式是：，
∴当时，，
∵， ，
∴．
【小问3详解】
解：如图4，
圆心O关于的对称点是，设图形S上的点J与C点关于对称，
设，由得，
，
由得，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∵，
∴，
∴D在S上，
当时，，
∴，
∴D在S内部．甲
84
86
85
83
87
乙
84
85
86
85
85