中考数学一轮复习考点梳理+单元突破练习 一元二次方程（含答案）

这是一份中考数学一轮复习考点梳理+单元突破练习 一元二次方程（含答案），共11页。试卷主要包含了一元二次方程，一元二次方程的一般形式．，解下列方程等内容，欢迎下载使用。

1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
2.一元二次方程的一般形式．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
知识点2：一元二次方程的解法
（1）开平方法：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
（2）配方法：解一元二次方程的一般步骤是现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．
介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。
（3）公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x= SKIPIF 1 < 0 就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。
知识点3：解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。
第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。
第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。
第6步：答。
理解韦达定理
韦达定理就是研究一元二次方程根与系数的关系的理论。
如果方程 SKIPIF 1 < 0 的两个实数根是 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
《一元二次方程》单元检测试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1.方程2(x＋3)(x－4)=x2－10的一般形式为( )
A.x2－2x－14=0 B.x2＋2x＋14=0 C.x2＋2x－14=0 D.x2－2x＋14=0
2.关于x的方程(a2﹣1)x2﹣3x+2=0是一元二次方程，则( )
A.a≠1 B.a＞1 C.a≠0 D.a≠±1
3.已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋b=0有一个非零根－b，则a－b的值为( )
A.－1 B.0 C.1 D.－2
4.下表是满足二次函数y=ax2+bx+c的五组数据，x1是方程ax2+bx+c=0的一个解，则下列选项的正确是( )
A.1.6＜x＜1.8 B.1.8＜x＜2.0 C.2.0＜x＜2.2 D.2.2＜x＜2.4
5.已知方程x2﹣6x＋q＝0可以配方成(x﹣p)2＝7的形式，则x2﹣6x＋q＝2可以配方成( )
A.(x﹣p)2＝5 B.(x﹣p)2＝9
C.(x﹣p＋2)2＝9 D.(x﹣p＋2)2＝5
6.解下列方程：
①2x2﹣18=0；②9x2﹣12x﹣1=0；③3x2＋10x＋2=0；④2(5x﹣1)2=2(5x﹣1)．
用较简便的方法依次是( )
A.①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法
B.①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法
C.①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法
D.①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法
7.若关于x的一元二次方程x(x＋1)＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为( )
A.﹣1 B.1 C.﹣2或2 D.﹣3或1
8.关于x的一元二次方程x2＋2(m﹣1)x＋m2＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1＋x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是( )
A.m≤eq \f(1,2) B.m≤eq \f(1,2)且m≠0 C.m＜1 D.m＜1且m≠0
9.如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是( )
A.(32﹣2x)(20﹣x)＝570 B.32x＋2×20x＝32×20﹣570
C.(32﹣x)(20﹣x)＝32×20﹣570 D.32x＋2×20x﹣2x2＝570
10.《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为( )
A.x2－6＝(10－x)2 B.x2－62＝(10－x)2
C.x2＋6＝(10－x)2 D.x2＋62＝(10－x)2
11.已知关于x的一元二次方程(a＋1)x2＋2bx＋(a＋1)＝0有两个相等的实数根，下列判断正确的是( )
A.1一定不是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根
B.0一定不是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根
C.1和﹣1都是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根
D.1和﹣1不都是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根
12.若0＜m＜2，则关于x的一元二次方程﹣(x＋m)(x＋3m)＝3mx＋37根的情况是( )
A.无实数根
B.有两个正根
C.有两个根，且都大于﹣3m
D.有两个根，其中一根大于﹣m
二、填空题（每空3分，共18分）
13.关于x的一元二次方程3x(x﹣2)=4的一般形式是______.
14.若2n(n≠0)是关于x的方程x2﹣2mx＋2n＝0的根，则m﹣n的值为________.
15.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有实数根，则k的取值范围是 .
16.若(2m＋n)2＋2(2m＋n)＋1=0，则2m＋n的值是________．
17.对于实数 m，n 定义运算“※”：m※n＝mn(m＋n)，例如：4※2＝4×2(4＋2)＝48，若x1、x2是关于 x 的一元二次方程x2﹣5x＋3＝0的两个实数根，则x1※x2＝ .
18.如图是我市将要开发的一块长方形的土地，长为xkm，宽为3km，建筑开发商将这块土地分为甲、乙、丙三部分，其中甲和乙均为正方形，现计划甲地建住宅区，乙地建商业区，丙地开辟成小区公园，若已知丙地的面积为2km2，则x的值为 .
三、解答题（9个小题，共66分）
19.用配方法解方程：2x2＋6x＋1＝0.
20.用配方法解方程：(x﹣3)(x＋7)=﹣9
21.用公式法解方程：y(4y＋6)＝1.
22.解方程：(1﹣2x)2＝4x﹣2.(因式分解法)
23.对于实数m、n，定义一种运算“※”为：m※n＝mn＋n.
(1)求2※5与2※(﹣5)的值；
(2)如果关于x的方程x※(a※x)＝﹣eq \f(1,4)有两个相等的实数根，求实数a的值.
24.已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k＋1)x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求实数k的取值范围.
(2)是否存在实数k，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.
25.如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为14米)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门.
(1)设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为 米；
(2)若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽.
26.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件.
(1)若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
(2)设每件商品降价x元，则商场日销售量增加 件，每件商品，盈利 元(用含x的代数式表示)；
(3)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
27.某电器商社从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B 型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同.
(1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？
(2)在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎.为了增大B型空气净化器的销量，电器商社决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天电器商社销售B型空气净化器的利润为3200元，请问电器商社应将B型空气净化器的售价定为多少元？
答案
1.A
2.D.
3.C.
4.C
5.B
6.D
7.A
8.B.
9.A
10.D
11.D
12.A.
13.答案为：3x2﹣6x﹣4=0.
14.答案为：eq \f(1,2).
15.答案为：k≥﹣1.
16.答案为：－1
17.答案为：15.
18.答案为：4km或5km
19.解：2x2＋6x＝﹣1，x2＋3x＝﹣eq \f(1,2)，
x2＋3x＋(eq \f(3,2))2＝﹣eq \f(1,2)＋(eq \f(3,2))2，
∴(x＋eq \f(3,2))2＝eq \f(7,4)，∴x＋eq \f(3,2)＝±eq \f(\r(7),2)，
∴x1＝eq \f(－3＋\r(7),2)，x2＝eq \f(－3－\r(7),2).
20.解：x1=﹣6，x2=2.
21.解：原方程可化为4y2＋6y＋1＝0.
∵a＝4，b＝6，c＝1，∴b2﹣4ac＝20，
∴y＝eq \f(－6±\r(20),2×4)＝eq \f(－6±2\r(5),8)，
∴y1＝eq \f(－3＋\r(5),4)，y2＝eq \f(－3－\r(5),4).
22.解：∵(1﹣2x)2＋2(1﹣2x)＝0，
∴(1﹣2x)(3﹣2x)＝0，
则1﹣2x＝0或3﹣2x＝0，
解得：x＝eq \f(1,2)或x＝eq \f(3,2).
23.解：(1)2※5＝2×5＋5＝15；
2※(﹣5)＝2×(﹣5)＋(﹣5)＝﹣15.
(2)x※(a※x)＝x※[(a＋1)x]＝x(x＋1)(a＋1)＝﹣eq \f(1,4)，
整理得：4(a＋1)x2＋4(a＋1)x＋1＝0.
∵关于x的方程x※(a※x)＝﹣eq \f(1,4)有两个相等的实数根，
∴，
∴a＝0.
24.解：(1)根据题意得△＝(2k＋1)2﹣4(k2＋2k)≥0，
解得k≤eq \f(1,4)；
(2)根据题意得x1＋x2＝2k＋1，x1x2＝k2＋2k，
∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16.
∴x1x2﹣[(x1＋x2)2﹣2x1x2]＝﹣16，
即﹣(x1＋x2)2＋3x1•x2＝﹣16，
∴﹣(2k＋1)2＋3(k2＋2k)＝﹣16，
整理得k2﹣2k﹣15＝0，解得k1＝5(舍去)，k2＝﹣3.
∴k＝﹣3.
25.解：(1)设宽AB为x，则长AD＝BC＝22﹣3x＋2＝(24﹣3x)米；
(2)由题意可得：(22﹣3x＋2)x＝45，解得：x1＝3；x2＝5，
∴当AB＝3时，BC＝15＞14，不符合题意舍去，
当AB＝5时，BC＝9，满足题意.
答：花圃的长为9米，宽为5米.
26.解：(1)当天盈利：(50﹣3)×(30＋2×3)＝1692(元).
答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元.
(2)∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利(50﹣x)元.
故答案为：2x；50﹣x.
(3)根据题意，得：(50﹣x)×(30＋2x)＝2000，
整理，得：x2﹣35x＋250＝0，解得：x1＝10，x2＝25，
∵商城要尽快减少库存，
∴x＝25.
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元.
27.解：(1)设每台B型空气净化器的进价为x元，则每台A型净化器的进价为(x+300)元，
根据题意得：=，解得：x=1200，
经检验，x=1200是原方程的根，
∴x+300=1500.
答：每台B型空气净化器的进价为1200元，每台A型空气净化器的进价为1500元.
(2)设B型空气净化器的售价为x元，
根据题意得：(x﹣1200)(4+)=3200，
整理得：(x﹣1600)2=0，解得：x1=x2=1600.
答：电器商社应将B型空气净化器的售价定为1600元.x
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
y
﹣0.80
﹣0.54
﹣0.20
0.22
0.72