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中考数学一轮复习考点梳理+单元突破练习 圆(含答案)
展开这是一份中考数学一轮复习考点梳理+单元突破练习 圆(含答案),共14页。试卷主要包含了圆弧和弦,圆心角和圆周角,内心和外心,下列图形不一定有外接圆的是等内容,欢迎下载使用。
1.圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心,定长称为半径。
2.圆弧和弦:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
3.圆心角和圆周角:顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
4.内心和外心:过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,其圆心称为内心。
知识点2:点与圆的位置关系
圆和点的位置关系:以点P与圆O为例(设P是一点,则PO是点到圆心的距离),
P在⊙O外,PO>r;P在⊙O上,PO=r;P在⊙O内,PO<r。
知识点3:直线与圆的位置关系
直线与圆有3种位置关系:
(1)无公共点为相离;
(2)有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线;
(3)圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。
知识点4:垂径定律定律
垂径定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
知识点5:圆心角定律
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
知识点6:圆周角定律
(1)在同圆或等圆中,同弧等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
(2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
知识点7:圆内接多边形
1.圆内接正三角形形
2.圆内接正四边形形
3.圆内接正六边形形
知识点8:判定定理与切线的性质
1.切线的判定定理:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2.切线的性质:
(1)经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。
(2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
(3)圆的切线垂直于经过切点的半径。
知识点9:扇形、圆柱和圆锥的相关计算
扇形:在圆上,由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
2.圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。
3.圆的计算公式:
圆的周长C=2πR=πd
(2)圆的面积S=πR2
(3)扇形弧长L=nπR/180
(4)扇形面积S=nπR2/180=LR/2
(5)圆柱表面积S表=S侧 +2S底=2πRh+2πR2
(6)圆柱体的体积V=S底h=πR2h
(7)圆锥表面积S表=S侧 +S底=πRr+πr2
(8)圆锥体的体积V=πr2h/3
圆中常用辅助线的添法
在平面几何中,解决与圆有关的问题时,常常需要添加适当的辅助线,架起题设和结论间的桥梁,从而使问题化难为易,顺其自然地得到解决,因此,灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法,对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。
(1)见弦作弦心距
有关弦的问题,常作其弦心距(有时还须作出相应的半径),通过垂径平分定理,来沟通题设与结论间的联系。
(2)见直径作圆周角
在题目中若已知圆的直径,一般是作直径所对的圆周角,利用"直径所对的圆周角是直角"这一特征来证明问题。
(3)见切线作半径
命题的条件中含有圆的切线,往往是连结过切点的半径,利用"切线与半径垂直"这一性质来证明问题。
拓展知识:圆幂定理
(1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。
重要结论:PA•PB=PC•PD
(2)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
重要结论:PA2=PC•PB
《圆》单元检测试卷
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列说法错误的是( )
A.直径是圆中最长的弦
B.长度相等的两条弧是等弧
C.面积相等的两个圆是等圆
D.半径相等的两个半圆是等弧
2.如图,AB是☉O的弦,半径OC⊥AB于点D,若☉O的半径为5,AB=8,则CD的长是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.如图,AB是⊙O的直径,eq \(BC,\s\up8(︵))=eq \(CD,\s\up8(︵))=eq \(DE,\s\up8(︵)),∠COD=34°,则∠AEO的度数是( )
A.51° B.56° C.68° D.78°
4.A,B,C是平面内的三点,AB=3,BC=3,AC=6,下列说法正确的是( )
A.可以画一个圆,使A,B,C都在圆上
B.可以画一个圆,使A,B在圆上,C在圆外
C.可以画一个圆,使A,C在圆上,B在圆外
D.可以画一个圆,使B,C在圆上,A在圆内
5.下列图形不一定有外接圆的是( )
A.三角形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形
6.如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,BC与☉O相交于D,连接AD,OD(AC≠AB),则图中∠B的余角(不再添加任何辅助线)有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.如图,点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠BAC=80°,则∠BOC的度数为( )
A.130° B.120° C.100° D.90°
8.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,正六边形的周长是12,则⊙O的半径是( )
A.eq \r(3) B.2 C.2eq \r(2) D.2eq \r(3)
9.若半径为5 cm的一段弧的弧长等于半径为2 cm的圆的周长,则这段弧所对的圆心角为( )
A.18° B.36° C.72° D.144°
10.如图,矩形ABCD的边AB=1,BE平分∠ABC,交AD于点E,若E是AD的中点,以点B为圆心,BE为半径画弧,交BC于点F,则图中阴影部分的面积是( )
A.2﹣eq \f(π,4) B.eq \f(3,2)﹣eq \f(π,4) C.2﹣eq \f(π,8) D.eq \f(3,2)﹣eq \f(π,8)
11.如图,用一个半径为30 cm,面积为300π cm2的扇形铁皮,制作一个无底的圆锥(不计损耗),则圆锥的底面半径r为( )
A.5 cm B.10 cm C.20 cm D.5π cm
12.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,点D在AC边上,且AD=2,动点P在BC边上,将△PDC沿直线PD翻折,点C的对应点为E,则△AEB面积的最小值是( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(5,3) C.2 D.eq \f(5,2)
二、填空题(每空3分,共18分)
13.如图,∠A是☉O的圆周角,∠OBC=55°,则∠A= .
14.如图,点A,B,C,D都在⊙O上,∠ABC=90°,AD=3,CD=2,则⊙O的直径的长是____.
15.如图,某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧),其跨度为24米,拱的半径为13米,则拱高CD为 米.
16.如图,在⊙O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E=________°.
17.如图,将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置,AB=2,AD=4,则阴影部分的面积为________.
18.如图,AB是⊙O的直径且AB=4eq \r(3),点C是OA的中点,过点C作CD⊥AB交⊙O于D点,点E是⊙O上一点,连接DE,AE交DC的延长线于点F,则AE•AF的值为_____.
三、解答题(7个小题,共66分)
19.如图所示,残缺的圆形轮片上,弦AB的垂直平分线CD交圆形轮片于点C,垂足为D,解答下列问题:
(1)用尺规作图找出圆形轮片的圆心O的位置并将圆形轮片所在的圆补全;(要求:保留所有的作图痕迹,不写作法)
(2)若弦AB=8,CD=3,求圆形轮片所在圆的半径.
20.如图,A,P,B,C是圆上的四个点,∠APC=∠CPB=60°,AP,CB的延长线相交于点D.
(1)求证:△ABC是等边三角形;
(2)若∠PAC=90°,AB=2eq \r(3),求PD的长.
21.如图,△ABC中,∠C=90°,☉O是△ABC的内切圆,D,E,F是切点.
(1)求证:四边形ODCE是正方形;
(2)如果AC=6,BC=8,求内切圆☉O的半径.
22.如图,在⊙O中,AB是直径,点D是⊙O上的一点,点C是eq \(AD,\s\up8(︵))的中点,弦CM垂直AB于点F,连接AD,交CF于点P,连接BC,∠DAB=30°.
(1)求∠ABC的度数;
(2)若CM=8eq \r(3),求eq \(AC,\s\up8(︵))的长度.(结果保留π)
23.如图,C,D是半圆O上的三等分点,直径AB=4,连接AD,AC,DE⊥AB,垂足为E,DE交AC于点F.
(1)求∠AFE的度数;
(3)求阴影部分的面积(结果保留π和根号).
24.如图,有一直径是1米的圆形铁皮,圆心为O,要从中剪出一个圆心角是120°的扇形ABC,求:
(1)被剪掉阴影部分的面积;
(2)若用所留的扇形铁皮ABC围成一个圆锥(接缝忽略不计),则该圆锥底面圆的半径是多少?
25.如图,已知在半径我4的⊙O中,AB、CD是两条直径,M我OB的中点,CM的延长线交⊙O于点E,且EM>MC,连接DE,DE=eq \r(15).
(1)求证:△AMC∽△EMB;
(2)求EM的长;
(3)求sin∠EOB的值.
答案
1.B.
2.A.
3.A.
4.B.
5.C.
6.C
7.A.
8.B.
9.D.
10.B.
11.B
12.A.
13.答案为:35°.
14.答案为:eq \r(13).
15.答案为:8.
16.答案为:215°.
17.答案为:eq \f(8,3)π﹣2 eq \r(3).
18.答案为:12.
19.解:(1)如图(1)所示.(2)如图(2),连接OA,
因为CD是弦AB的垂直平分线,所以AD=eq \f(1,2)AB=4.
设圆的半径是r.在直角△ADO中,AO=r,AD=4,DO=r﹣3.
根据勾股定理得r2=16+(r﹣3)2,解得r=eq \f(25,6).
即圆形轮片所在圆的半径为eq \f(25,6).
20.解:(1)证明:∵A,P,B,C是圆上的四个点,
∴∠ABC=∠APC,∠CPB=∠BAC.
∵∠APC=∠CPB=60°,
∴∠ABC=∠BAC=60°.
∴∠ACB=60°.
∴△ABC是等边三角形.
(2)∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,AC=AB=BC=2eq \r(3).
∵∠PAC=90°,
∴∠DAB=∠D=30°.
∴BD=AB=2eq \r(3).
∵四边形APBC是圆内接四边形,∠PAC=90°,
∴∠PBC=∠PBD=90°.
在Rt△PBD中,PD=4.
21.解:(1)证明:因为☉O是△ABC的内切圆,
所以OD⊥BC,OE⊥AC,
所以∠ODC=∠OEC=90°,
因为∠C=90°,
所以四边形ODCE是矩形.
因为OD=OE,
所以四边形ODCE是正方形.
(2)因为∠C=90°,AC=6,BC=8,
所以AB=10.
由切线长定理得AF=AE,BD=BF,CD=CE,
所以CD+CE=BC+AC-BD-AE=BC+AC-AB=4,则CE=2,
即☉O的半径为2.
22.解:(1)连接BD,∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∵∠DAB=30°,
∴∠ABD=90°-30°=60°.
∵C是eq \(AD,\s\up8(︵))的中点,
∴∠ABC=∠DBC=eq \f(1,2)∠ABD=30°
(2)连接OC,则∠AOC=2∠ABC=60°,
∵CM⊥直径AB于点F,
∴CF=eq \f(1,2)CM=4eq \r(3),
∴在Rt△COF中,CO=eq \f(2\r(3),3)CF=eq \f(2\r(3),3)×4eq \r(3)=8,
∴eq \(AC,\s\up8(︵))的长度为eq \f(60π×8,180)=eq \f(8π,3).
23.解:(1)连接OD,OC,∵C,D是半圆O上的三等分点,
∴eq \(AD,\s\up8(︵))=eq \(CD,\s\up8(︵))=eq \(BC,\s\up8(︵)),
∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°,
∴∠CAB=30°.
∵DE⊥AB,
∴∠AEF=90°,
∴∠AFE=90°﹣30°=60°.
(2)由(1)知∠AOD=60°.∵OA=OD,AB=4,
∴△AOD是等边三角形,OA=2.
∵DE⊥AO,∴DE=eq \r(3),
∴S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD=eq \f(60×π×22,360)﹣eq \f(1,2)×2 eq \r(3)=eq \f(2,3)π﹣eq \r(3).
24.解:(1)连接OA,OB.
由∠BAC=120°,可知AB=eq \f(1,2)米,点O在扇形ABC的eq \(BC,\s\up8(︵))上,
∴扇形ABC的面积为eq \f(120,360)π×(eq \f(1,2))2=eq \f(π,12)(米2).
∴被剪掉阴影部分的面积为π×(eq \f(1,2))2﹣eq \f(π,12)=eq \f(π,6)(米2).
(2)设圆锥底面圆的半径为r米.
由2πr=eq \f(120,180)π×eq \f(1,2),得r=eq \f(1,6).即圆锥底面圆的半径是eq \f(1,6)米.
25.解:(1)证明:连接AC、EB,如图1,
∵∠A=∠BEC,∠B=∠ACM,
∴△AMC∽△EMB;
(2)解:∵DC是⊙O的直径,
∴∠DEC=90°,
∴DE2+EC2=DC2,
∵DE=eq \r(15),CD=8,且EC为正数,
∴EC=7,
∵M为OB的中点,
∴BM=2,AM=6,
∵AM•BM=EM•CM=EM(EC﹣EM)=EM(7﹣EM)=12,且EM>MC,
∴EM=4;
(3)解:过点E作EF⊥AB,垂足为点F,如图2,
∵OE=4,EM=4,
∴OE=EM,
∴OF=FM=1,
∴EF=eq \r(15),
∴sin∠EOB=eq \f(\r(15),4).
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