2024年山东省烟台一中高考数学诊断试卷（一）（含解析）

这是一份2024年山东省烟台一中高考数学诊断试卷（一）（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|−x2+x≥0}，B={x|x−1<0}，则A∪B=( )
A. {x|x≤1}B. {x|x<1}C. {x|0≤x<1}D. {x|0≤x≤1}
2.设复数z=−l−i(i为虚数单位)，z的共轭复数为z，则2−zz等于( )
A. −1−2iB. −2+iC. −l+2iD. 1+2i
3.已知|a|=2，|b|=3，|a+b|= 19，则|a−b|等于( )
A. 13B. 15C. 17D. 7
4.下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是( )
A. f(x)=x2−2x− 2与g(x)=x+ 2B. f(x)=12lg3x2与g(x)=lg3x
C. f(x)= x2与g(x)=xD. f(x)=3(x−1)3与g(x)=x−1
5.一个暗箱中装有若干个大小相同的红球、白球和黑球，每次从中摸出1个球，直到摸出的球有三种颜色为止，若小明第4次摸球后终止摸球，则他依次摸出的4个球的颜色的不同情形有( )
A. 9种B. 12种C. 18种D. 24种
6.已知sinα+sin(α+π3)=4 35，则sin(α−5π6)的值是( )
A. −2 35B. 2 35C. −45D. 45
7.设a=lg0.60.8，b=1.10.8，c=lg1.10.8，则( )
A. b8.已知A，B为抛物线y2=2px(p>0)上的两个动点，以AB为直径的圆C经过抛物线的焦点F，且面积为4π.若过圆心C作该抛物线准线l的垂线，垂足为D，则|CD|的最大值为( )
A. 4B. 2 2C. 4 2D. 6
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若长方体ABCD−A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，高为4，E是DD1的中点，则( )
A. B1E⊥A1B
B. 平面B1CE//平面A1BD
C. 三棱锥C1−B1CE的体积为83
D. 三棱锥C1−B1CD1的外接球的表面积为24π
10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=e−x(x−1).则下列结论正确的是( )
A. 当x<0时，f(x)=ex(x+1)
B. 函数f(x)有五个零点
C. 若关于x的方程f(x)=m有解，则实数m的取值范围是f(−2)≤m≤f(2)
D. 对∀x1，x2∈R，|f(x2)−f(x1)|<2恒成立
11.已知双曲线C的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若|AF1|=|BF2|=2|AF2|，则( )
A. ∠AF1B=∠F1AB
B. 双曲线的离心率e= 333
C. 双曲线的渐近线方程为y=±2 63x
D. 原点O在以F2为圆心，AF2为半径的圆上
12.如图，已知点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，Fn(n∈N*)为边BC上的一列点，连接AFn交BD于Gn，点Gn(n∈N*)满足GnD=an+1⋅GnA−2(2an+3)⋅GnE，其中数列{an}是首项为1的正项数列，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是( )
A. a3=13B. 数列{an+3}是等比数列
C. an=4n−3D. Sn=2n+1−n−2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若(x3−23x)n的二项展开式中含有常数项，则n的最小值是______．
14.圆x2+y2−2x−6y+9=0关于直线2x+y+5=0对称的圆的方程是______．
15.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x3−3x2+a，则f(−2)= ______；曲线y=f(x)在点(−2,f(−2))处的切线方程为______．
16.如图，A，B是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上的两点，F是双曲线的右焦点.△AFB是以F为顶点的等腰直角三角形，延长BF交双曲线于点C.若A，C两点关于原点对称，则双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(a, 3b)，n=(csA,sinB)，且m//n．
(1)求角A；
(2)若a= 7，b=2，求△ABC的面积．
18.(本小题12分)
设Sn为数列{an}的前n项和，且S2=8，2Sn=(n+1)an+n−1．
(Ⅰ)求a1，a2并证明数列{an}为等差数列；
(Ⅱ)若不等式λ⋅2n−Sn>0对任意正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA= 3，底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点．
(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A−BE−P的大小．
20.(本小题12分)
“南澳牡蛎”是我国地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉.根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量(克)在正常环境下服从正态分布N(32,16)．
(1)购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大？
(2)2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x(人)与年收益增量y(万元)的数据如下：
该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型：
模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：y​=4.1x+11.8；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：y=b x+a 的附近，对人工投入增量x做变换，令t= x，则y=b ⋅t+a ，且有t =2.5,y =38.9,i=17(ti−t )(yi−y )=81.0,i=17(ti−t )2=3.8．

(i)根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程(精确到0.1)；
(ii)根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量．
附：若随机变量Z～N(μ,σ2)，则P(μ−3σ样本(ti,yi)(i=1,2,…,n)的最小二乘估计公式为：b =i=1n(ti−t )(yi−y )i=1n(ti−t )2,a =y −b t ，
21.(本小题12分)
已知M是抛物线C：y2=4x上一点，F是抛物线C的焦点，|MF|=4．
(Ⅰ)求直线MF的斜率；
(Ⅱ)已知动圆E的圆心E在抛物线C上，点D(2,0)在圆E上，且圆E与y轴交于A，B两点，令|DA|=m，|DB|=n，求nm+mn的最大值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1．
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；
(Ⅱ)设a≤−2，证明：对任意x1，x2∈(0,+∞)，|f(x1)−f(x2)|≥4|x1−x2|.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：集合A={x|−x2+x≥0}={x|0≤x≤1}，B={x|x−1<0}={x|x<1}，
所以A∪B={x|x≤1}．
故选：A．
先求出集合A，B，再利用集合的并集运算求解．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由题意可得2−zz=2−(−1+i)−1−i=3−i−1−i=(3−i)(−1+i)(−1−i)(−1+i)=−1+2i，
故选：C．
由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．
本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵a|=2，|b|=3，|a+b|= 19，
∴2⋅a⋅b=6，
∵|a−b|2=a2+b2−2a⋅b=4+9−6=7，
∴|a−b|= 7，
故选：D．
|a+b|2═a2+b2+2a⋅b，整体求解2⋅a⋅b=6，运用|a−b|2=a2+b2−2a⋅b，得出|a−b|
本题考查了平面向量的运算，关键是运用好向量的平方和向量模的平方的关系，属于容易题．
4.【答案】D
【解析】解：对于A，函数f(x)的定义域为{x|x≠ 2}，g(x)的定义域为R，故A错误；
对于B，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x>0}，故B错误；
对于C，f(x)的值域为{y|y≥0}，g(x)的值域为R，故C错误；
对于D，f(x)=g(x)=x−1，函数的定义域、值域、映射关系均相同，二者为同一函数，故D正确．
故选：D．
根据已知条件，结合同一函数的定义，即可求解．
本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意可知，直到摸出的球有三种颜色为止，
若小明第4次摸球后终止摸球，则前三次摸出的球有2种不同颜色，再将其排列，共有C32×3×2=18种情况，第四次摸出的球可以有1种颜色选择，
故他依次摸出的4个球的颜色的不同情形有18×1=18种．
故选：C．
根据题意可知，则前三次摸出的球有2种不同颜色，再将其排列，计算情况数，第四次摸出的球可以有1种颜色选择，结合分步乘法计数原理计算即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由于sinα+sin(α+π3)=sinα+12sinα+ 32csα= 3sin(α+π6)=4 35，
所以sin(α+π6)=45，
故sin(α−5π6)=−sin(α+π6)=−45．
故选：C．
直接利用三角函数的关系式变换求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：0=lg0.61b=1.10.8>1.10=1，
c=lg1.10.8∴c故选：C．
利用对数函数、指数函数的单调性求解．
本题考查对数运算法则、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】B
【解析】解：∵以AB为直径的圆C的面积为4π，
∴π(|AB|2)2=4π，解得|AB|=4，
设|FA|=a，|FB|=b，
∵以AB为直径的圆C经过抛物线的焦点F，
∴a2+b2=16，
则根据抛物线性质和梯形中位线定理可知，
|CD|=|FA|+|FB|2=a+b2，
∵2(a2+b2)≥(a+b)2，
∴a+b≤4 2
当且仅当a=b=2 2时等号成立，
∴|CD|=2 2．
故选：B．
设|FA|=a，|FB|=b，根据抛物线性质和梯形中位线定理推出|CD|=|FA|+|FB|2=a+b2，结合圆的面积计算公式、勾股定理，利用基本不等式求解最值即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用、基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
9.【答案】CD
【解析】解：长方体ABCD−A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，高为4，E是DD1的中点，
在A中，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
则B1(2,0,4)，E(0,2,2)，A1(0,0,4)，B(2,0,0)，
B1E=(−2,2,−2)，A1B=(2,0,−4)，
∵B1E⋅A1B=−4+0+8=4≠0，∴B1E与A1B不垂直，故A错误；
在B中，B1(2,0,4)，C(2,2,0)，E(0,2,2)，A1(0,0,4)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，
CB1=(0,−2,4)，CE=(−2,0,2)，BA1=(−2,0,4)，BD=(−2,2,0)，
设平面B1CE的法向量n=(x,y,z)，
则n⋅CB1=−2y+4z=0n⋅CE=−2x+2z=0，取x=1，得n=(1,2,1)，
设平面A1BD的法向量m=(a,b,c)，
则m⋅BA1=−2a+4c=0m⋅BD=−2a+2b=0，取a=1，得m=(1,1,12)，
∵m,n不共线，∴平面B1CE与平面A1BD相交，故B错误；
在C中，三棱锥C1−B1CE的体积为：
VC1−B1CE=VB1−C1CE=13×12×4×2×2=83，故C正确；
在D中，三棱锥C1−B1CD1的外接球就是长方体ABCD−A1B1C1D1的外接球，
∴三棱锥C1−B1CD1的外接球半径R= 22+22+422= 6，
∴三棱锥C1−B1CD1的外接球的表面积为S=4π×( 6)2=24π，故D正确．
故选：CD．
在A中，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法推导出B1E与A1B不垂直；在B中，求出平面B1CE的法向量和平面A1BD的法向量，利用向量法能求出平面B1CE与平面A1BD相交；在C中，三棱锥C1−B1CE的体积为VC1−B1CE=VB1−C1CE=83；在D中，三棱锥C1−B1CD1的外接球就是长方体ABCD−A1B1C1D1的外接球，从而三棱锥C1−B1CD1的外接球半径R= 22+22+422= 6，由此求出三棱锥C1−B1CD1的外接球的表面积为24π．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
10.【答案】AD
【解析】解：根据题意，函数f(x)定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=e−x(x−1)，
依次分析选项：
对于A，当x<0时，则−x>0，所以f(−x)=ex(−x−1)，整理得f(x)=−f(−x)=ex(x+1)，A正确；
对于B，当x>0时，f(x)=e−x(x−1)，此时有1个零点x=1，f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)=0，f(−1)=−f(1)=0，
f(x)有3个零点，B错误；
对于C，当x>0时，f(x)=e−x(x−1)，其导数f′(x)=e−x(2−x)，
在区间(0,2)上，f′(x)>0，函数f(x)为增函数，
在区间(2,+∞)上，f′(x)<0，函数f(x)为减函数，
则在区间(0,+∞)上有极大值f(2)=e−2，而x→0，f(x)→−1，则在区间(0,+∞)上，有−1又由f(x)为奇函数，则在区间(−∞,0)上，由−e−2≤f(x)<1，
综合可得：f(x)的值域为(−1,1)，
若关于x的方程f(x)=m有解，则实数m的取值范围是−1对于D，当x<0时，f′(x)=ex(x+2)，得到x<−2时，f′(x)<0，−20，
所以函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(−2,0)上单调递增，
所以x=−2时f(x)取得最小值，−e−2，且x<−2时，f(x)<0，
所以f(x)即−e−2当x>0时，f′(x)=e−x(2−x)，
所以f(x)在(0,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减，
x=2时，f(x)取最大值e−2，且x>2时，f(x)>0，
所以f(x)>f(0)=−1，
所以−1所以f(x)的值域为(−1,e−2]∪[−e−2,1)．
故∀x1，x2∈R，都有|f(x1)−f(x2)|<2，D正确；
故选：AD．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查分段函数的性质以及应用，涉及函数奇偶性、值域的分析，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：根据题意，作图如下，
设|AF1|=|BF2|=2|AF2|=2m，则|AB|=|AF2|+|BF2|=3m，
由双曲线的定义知，|AF1|−|AF2|=2m−m=2a，即m=2a；|BF1|−|BF2|=2a，即|BF1|−2m=2a，
∴|BF1|=3m=|AB|，∴∠AF1B=∠F1AB，即选项A正确；
由余弦定理知，在△ABF1中，cs∠AF1B=|AF1|2+|BF1|2−|AB|22⋅|AF1|⋅|BF1|=4m2+9m2−9m22⋅2m⋅3m=13，
在△AF1F2中，cs∠F1AB=|AF1|2+|AF2|2−|F1F2|22⋅|AF1|⋅|AF2|=4m2+m2−4c22⋅2m⋅m=cs∠AF1B=13，
化简整理得，12c2=11m2=44a2，
∴离心率e=ca= 4412= 333，即选项B正确；
双曲线的渐近线方程为y=±bax=± c2−a2a2x=± e2−1x=±2 63x，即选项C正确；
若原点O在以F2为圆心，AF2为半径的圆上，则c=m=2a，与ca= 333不符，故选项D错误．
故选：ABC．
设|AF1|=|BF2|=2|AF2|=2m，由双曲线的定义知，|AF1|−|AF2|=2a，|BF1|−|BF2|=2a，从而得m=2a，|BF1|=3m=|AB|，可判断选项A；
在△ABF1和△AF1F2中，分别由余弦定理知，cs∠AF1B=|AF1|2+|BF1|2−|AB|22⋅|AF1|⋅|BF1|，cs∠F1AB=|AF1|2+|AF2|2−|F1F2|22⋅|AF1|⋅|AF2|，结合选项A的结论和e=ca可判断选项B；
由ba= c2−a2a2= e2−1和双曲线的渐近线方程为y=±bax，可判断选项C；
若原点O在以F2为圆心，AF2为半径的圆上，则c=m=2a，与ca= 333不符，可判断选项D．
本题主要考查双曲线的定义与几何性质，还涉及解三角形中的余弦定理，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】AB
【解析】解∵E为AB中点，
∴2GnE=GnA+GnB，
∴GnB=−GnA+2GnE，
又∵D、Gn、B三点共线，
∴GnD=λGnB=−λGnA+2λGnE，
又∵GnD=an+1⋅GnA−2(2an+3)⋅GnE，
∴−λ=an+12λ=−2(2an+3)，化简可得an+1=2an+3，
∴an+1+3=2(an+3)，
∴数列{an+3}是等比数列．
又∵a1=1，
∴an+3=(a1+3)2n−1，
∴an=2n+1−3，
∴a3=13，
∴Sn=4(1−2n)1−2−3n=2n+2−3n−4．
故选：AB．
此题在向量基础上把数列综合进来，其本质还是向量线性表示问题．首先利用平面向量找到数列递推公式，再求解．
本题综合了数列与向量，题目看起来比较复杂，部分学生不愿静下心来去思考．其本质还是向量线性表示，构造等式后得到数列递推公式，从而求解．综合性较强，属于中档偏难题．
13.【答案】10
【解析】解：通项公式Tr+1=Cnr(x3)n−r⋅(−2x−13)r=(−2)rCnrx3n−3r−r3=(−2)rCnrx3n−10r3，
令3n−10r3=0，则n=109r，
因为n，r∈N，且n≥r，
所以当r=9时，n取得最小值10．
故答案为：10．
写出展开式的通项公式，令3n−10r3=0，结合n，r∈N，且n≥r，即可求得n的最小值．
本题考查二项式定理，熟练掌握展开式的通项公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】(x+7)2+(y+1)2=1
【解析】解：x2+y2−2x−6y+9=0
化成标准形式：(x−1)2+(y−3)2=1
圆心为(1,3)，半径为r1=1
设对称圆的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2
圆心为(a,b)，则半径r=1
∵对称圆与圆x2+y2−2x−6y+9=0关于直线2x+y+5=0对称
即对称圆的圆心(a,b)与圆心(1,3)关于直线2x+y+5=0对称
b−3a−1=12 化简得a−2b+5=0 ①
2×a+12+3+b2+5=0 化简得2a+b+15=0 ②
①+2×②得 a=−7
将a=−7代入①中可得 b=−1
所以对称圆的方程是(x+7)2+(y+1)2=1
故答案为(x+7)2+(y+1)2=1
本题是基础题，考查关于点、直线对称的圆的方程．
把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，设出对称圆心，利用中点在垂线上，圆心连线的斜率与已知直线的斜率为负倒数，求出圆心坐标，即可得到所求圆的方程．
15.【答案】−4 12x−y+20=0
【解析】解：f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)=0，
即a=0，
∴x≥0时，f(x)=2x3−3x2，
∴f(−2)=−f(2)=−(16−12)=−4，
设x<0，则−x>0，
∴f(−x)=−2x3−3x2=−f(x)，
∴f(x)=2x3+3x2，x<0，
∴f′(x)=6x2+6x，
∴k=f′(−2)=24−12=12，
f(−2)=−4，
∴切线方程为y+4=12(x+2)，即12x−y+20=0，
故答案为：−4；12x−y+20=0．
先根据奇函数的性质求出a的值，再根据性质即可求出f(−2)，求出当x<0时的函数解析式，根据导数的几何意义即可求出．
本题考查了函数的解析式，函数的性质，导数的几何意义，属于中档题．
16.【答案】 102
【解析】解：设左焦点为F1，连接CF1，AF1，
依题意：△AFB是以F为顶点的等腰直角三角形，A，C两点关于原点对称，
结合双曲线的对称性可知：四边形AFCF1是矩形，所以|AC|=|F1F|=2c，
设|BF|=m，则|AF|=|CF1|=m，|AF1|=|CF|=m−2a，|AB|= 2m,|BF1|=2a+m,|BC|=2m−2a，
由|AF1|2+|AF|2=|FF1|2|CF1|2+|BC|2=|BF1|2，
即(m−2a)2+m2=(2c)2m2+(2m−2a)2=(2a+m)2，
整理得m=3a，a2+9a2=10a2=4c2,c2a2=104,ca= 102．
故答案为： 102．
结合双曲线的定义、对称性列方程，化简求得a，c的关系式，从而求得双曲线的离心率．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为向量m=(a, 3b),n=(csA,sinB)，且m//n，
所以asinB− 3bcsA=0，由正弦定理得sinAsinB− 3sinBcsA=0，
又因为sinB≠0，所以tanA= 3，因为A∈(0,π)，
所以A=π3；
(2)由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA，因为a= 7,b=2，
所以7=4+c2−2c，即c2−2c−3=0因为c>0，所以c=3，
故△ABC的面积为S△ABC=12bcsinA=3 32．
【解析】(1)由向量平行得出关系式后，再由正弦定理化边为角可求解；
(2)由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA，代入a，b后，求得c，代入三角形面积公式即可求解．
本题考查利用正、余弦定理解三角形，三角形面积公式的运用，考查向量的数学运算，属于基础题．
18.【答案】解：(I)∵2S2=3a2+1，S2=8，得a2=5，∴a1=3，
2Sn=(n+1)an+n−1，又2Sn+1=(n+2)an+1+n，
两式相减得2an+1=(n+2)an+1−(n+1)an+1，
即nan+1−(n+1)an+1=0①，
∴(n+1)an+2−(n+2)an+1+1=0②，
②−①得(n+1)an+2−(2n+2)an+1+(n+1)an=0，
即an+2−2an+1+an=0，即an+2−an+1=an+1−an=…=a2−a1=2，
故数列{an}为首项为3，公差为2的等差数列，∴an=2n+1；
(II)∵an=2n+1，∴Sn=12n(3+2n+1)=n2+2n，
由λ⋅2n−Sn>0得λ>n(n+2)2n对任意正整数n恒成立，∴λ>[n(n+2)2n]max，
令bn=n(n+2)2n，∴bn+1−bn=3−n22n+1，
∴b1b3>b4>…，∴(bn)max=b2=2，
∴λ>2．
【解析】(I)可令n=2，由已知可得a2，进而得到a1，再将n换为n+1，相减可得nan+1−(n+1)an+1=0，再将n换为n+1，相减，结合等差数列的定义和通项公式可得所求；
(II)由等差数列的求和公式和参数分离、以及不等式恒成立思想，结合数列的单调性，可得所求范围．
本题考查数列的递推式的运用，考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查不等式恒成立问题解法，注意运用数列的单调性，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)证明：如图所示，连接BD，
由四边形ABCD是菱形且∠BCD=60°，得△BCD是等边三角形，
因为E是CD的中点，
所以BE⊥CD，
又因为AB/​/CD，
所以BE⊥AB，
又因为PA⊥面ABCD，BE⊂面ABCD，
所以PA⊥BE，
又PA∩AB=A，
所以BE⊥面PAB，
又BE⊂面PBE，
所以面PBE⊥面PAB．
(2)由(1)知，BE⊥面PAB，PB⊂面PAB，
所以PB⊥BE，
又AB⊥BE，
所以∠PBA是二面角A−BE−P的平面角，
在Rt△PAB中，tan∠PBA=PAAB= 3，
所以∠PBA=60°，
所以二面角A−BE−P的大小为60°．
【解析】(1)连接BD，根据题意可得△BCD是等边三角形，推出BE⊥CD，又AB/​/CD，则BE⊥AB，又PA⊥面ABCD，结合线面垂直的性质定理可得PA⊥BE，进而可得答案．
(2)根据二面角的定义可得∠PBA是二面角ABEP的平面角，再计算大小，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由已知，单个“南澳牡蛎”质量ξ～(32,16)，则μ=32，σ=4，
由正态分布的对称性可知，
P(ξ<20)=12[1−P(20<ξ<44)]=12[1−P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)]=12(1−0.9974)=0.0013，
设购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于20g的牡蛎为X只，故X～B(10,0.0013)，
故P(X≥1)=1−P(X=0)=1−(1−0.0013)2=1−0.9871=0.0129，
所以这10只“南澳牡蛎”中，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性仅为1.29%．
(2)(i)由t−=2.5，y−=38.9，i=17(t−t−)(yi−y−)=81.0，i=17(t−t−)2=3.8，有b =i=17(t−t−)(yi−y−)i=17(t−t−)2=81.03.8≈21.3，
且a =y−−b x−=38.9−21.3×2.5≈−14.4，所以，模型②中y关于x的回归方程为y = x−14.4．
(ii)由表格中的数据，有182.4>79.2，即182.4i=17(yi−y−)2>79.2i=17(yi−y−)2模型①的小于R2模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好．
当X=16时，模型②的收益增量的预测值为y =21.3× 16−14.4=70.8(万元)，
这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠．
【解析】(1)根据正态分布的对称性得到P(ξ<20)=0.0013，购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于20g的牡蛎为X只，故X～B(10,0.0013)，由间接法列式得到结果即可；
(2)(i)根据公式计算得到回归直线方程；(ii)通过比较R2的大小可得到拟合效果的差异，将x=16代入回归方程可得到预测值．
本题主要考查回归分析以及线性回归直线过样本中心点，属于中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)∵抛物线C的方程为：y2=4x，∴准线方程为：x=−1，
设点M(x0,y0)，∴x0+1=4，∴x0=3，
∴y02=12，y0=±2 3，
∴M(3,±2 3)，且F(1,0)，
所以直线MF的斜率为±2 33−1=± 3；
(Ⅱ)设圆心E(b24,b)，则圆E的方程为(x−b24)+(y−b)2=(b24−2)2+b2，化简得x2+y2−b22x−2by+b2−4=0，
令x=0得y2−2by+b2−4=0，即[y−(b+2)][y−(b−2)]=0，所以y=b+2或y=b−2，
不妨设A(0,b+2)，B(0,b−2)，
m=|DA|= 4+(b+2)2= b2+4b+8，n=|DB|= 4+(b−2)2= b2−4b+8，
∴nm+mn=n2+m2mn=b2−4b+8+b2+4b+8 (b2+8)2−(4b)2=2b2+16 b4+64=2 b4+64+16b2 b4+64=2 1+16b2b4+64=2 1+16b2+64b2≤2 1+162b⋅8b=2 2，
当且仅当b2=64b2，即b=2 2时，等号成立，
所以nm+mn的最大值为2 2．
【解析】(Ⅰ)利用抛物线的定义先求出点M的横坐标，再代入抛物线方程求出纵坐标，得到点M的坐标，再利用斜率公式即可求出直线MF的斜率；
(Ⅱ)设圆心E(b24,b)，则圆E的方程为(x−b24)+(y−b)2=(b24−2)2+b2，化简得x2+y2−b22x−2by+b2−4=0，令x=0求出点A，B的坐标，从而求出m，n的值，再结合基本不等式即可求出nm+mn的最大值为．
本题主要考查了抛物线与直线的综合，是中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=a+1x+2ax=2ax2+a+1x．
当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0,+∞)单调增加；
当a≤−1时，f′(x)<0，故f(x)在(0,+∞)单调减少；
当−10；
x∈( −a+12a,+∞)时，f′(x)<0，
故f(x)在(0, −a+12a)单调增加，在( −a+12a,+∞)单调减少．
(Ⅱ)不妨假设x1≤x2.由于a≤−2，故f(x)在(0,+∞)单调递减．
所以|f(x1)−f(x2)|≥4|x1−x2|等价于f(x1)−f(x2)≥4x2−4x1，
即f(x2)+4x2≤f(x1)+4x1．
令g(x)=f(x)+4x，则g′(x)=a+1x+2ax+4=2ax2+4x+a+1x．
于是g′(x)≤−4x2+4x−1x=−(2x−1)2x≤0．
从而g(x)在(0,+∞)单调减少，故g(x1)≥g(x2)，
即f(x1)+4x1≥f(x2)+4x2，故对任意x1，x2∈(0,+∞)，|f(x1)−f(x2)|≥4|x1−x2|.
【解析】(1)先求出函数的定义域，然后对函数f(x)进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增、导函数小于0时原函数单调递减对a分3种情况进行讨论．
(2)先根据a的范围对函数f(x)的单调性进行判断，然后根据单调性去绝对值，将问题转化为证明函数g(x)=f(x)+4x的单调性问题．
本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．人工投入增量x(人)
2
3
4
6
8
10
13
年收益增量y(万元)
13
22
31
42
50
56
58
回归模型
模型①
模型②
回归方程
y​=4.1x+11.8
y=b x+a
i=17(yi−y​i)2
182.4
79.2