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2023年新疆乌鲁木齐十三中中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年新疆乌鲁木齐十三中中考数学二模试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.−2023的倒数是( )
A. 2023B. −12023C. −2023D. 12023
2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
A. a5÷a=a5B. (−a2b3)2=−a4b5
C. (a−2b)2=a2+4b2D. a2b⋅ab2=a3b3
4.一个三角板(含30°、60°角)和一把直尺摆放位置如图所示，直尺与三角板的一角相交于点A，一边与三角板的两条直角边分别相交于点D、点E，且CD=CE，点F在直尺的另一边上，那么∠BAF的大小为( )
A. 10°B. 15°C. 20°D. 30°
5.为了解九年级学生“绿色出行”方式的情况，某校以问卷调查的形式对九年级部分学生进行了调查，绘制出如下的条形统计图和扇形统计图．下列结论正确的是( )
A. 本次调查的学生人数有100人
B. ∠a=85°
C. 选择步行的人数有24人
D. 选择乘坐出租车的人数是选择乘坐私家车的人数的2倍
6.《九章算术》中记载了这样一个问题：今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉；上禾七秉，损实二斗五升，当下禾五秉.问上、下禾实一秉各几何？大意是：5捆上等稻子少结一斗一升，相当于7捆下等稻子；7捆上等稻子少结二斗五升，相当于5捆下等稻子.问上等稻子和下等稻子一捆各能结多少？设上等稻子一捆为x升，下等稻子一捆为y升，则下列方程正确的是( )
A. 5y−11=7x7y−25=5xB. 5x+11=7y7x+25=5yC. 5x−11=7y7x−25=5yD. 7x−11=5y5x−25=7y
7.若关于x的二次方程(k−1)x2−4x+2=0有实数根，则k的取值范围是( )
A. k≤3B. k≤3且k≠1C. k<3且k≠1D. k≥3且k≠1
8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连接CD，BE，则下列结论中不一定正确的是( )
A. BE平分∠CBD
B. BE>CD
C. ∠BEC=∠BDC
D. AD=BD
9.如图1是一座立交桥的示意图(道路宽度忽略不计)，A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB=CG=EF；弯道为以点O为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为90°，甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以12m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y(m)与时间x(s)的对应关系如图2所示，结合题目信息，下列说法错误的是( )
A. 甲车从G口出，乙车从F口出B. 立交桥总长为252m
C. 从F口出比从G口出多行驶72mD. 乙车在立交桥上共行驶16s
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.神舟十五号飞船将在远地点高度393000米的轨道上驻留6个月进行太空实验研究，将数字393000用科学记数法表示为______．
11.已知圆锥的高是8cm，圆锥的底面半径是6cm，则该圆锥的侧面积是 cm2．
12.某校需要从甲、乙、丙、丁4名老师中随机抽取2名负责组织学生放学过马路，则甲被抽中的概率是______．
13.将一些完全相同的三角形按如图所示的规律排列，第①个图形中有2个三角形，第②个图形中有5个三角形，第③个图形中有10个三角形，第④个图形中有17个三角形，…，按此规律排列，则第⑩个图形中三角形的个数为______．
14.如图，已知△OAB的一边AB平行于x轴，且反比例函数y=kx(k≠0)经过△OAB顶点B和OA上的一点C，若OC=2AC且△OBC的面积为103，则k的值为______．
15.如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB上运动(点E不与A，B重合)，点F在射线AM上，且AF= 2BE，CF与AD相交于点G，∠DAM=45°，连接EC，EF，EG，DF.则下列结论中：
①EF=EC；
②aAN=BE⋅AE；
③S△EAF的最大值是18a2；
④DF+CF的最小值是 5a.
正确的是______(填写所有正确结论的序号)．
三、解答题：本题共7小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算：( 3−2)0+(−12)−1+|3− 12|−3tan30°．
17.(本小题8分)
先化简，再求值：(1−xx+1)÷x2−1x2+2x+1，其中x= 2+1．
18.(本小题8分)
为响应“带动三亿人参与冰雪运动”的号召，某校七、八年级举行了“冰雪运动知识竞赛”.为了解学生对冰雪运动知识的掌握情况，学校从两个年级分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩(满分10分，6分及6分以上为合格)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a.七年级20名学生的测试成绩为：
7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
b.八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示：
c.七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如下表所示：
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)上表中m=______，n=______，p=______；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对冰雪运动知识掌握较好？请说明理由(写出一条理由即可)；
(3)该校八年级共400名学生参加了此次测试活动，估计八年级参加此次测试活动成绩合格的学生人数．
19.(本小题10分)
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF//BC交BE的延长线于点F．
(1)证明：四边形ADCF是菱形；
(2)若AC=3，AB=4，求菱形ADCF的面积．
20.(本小题10分)
周末，杨杨和金金来到乌鲁木齐红山公园看到“红山塔”，决定用所学的知识测量“红山塔”的高度.如图所示，她们在地面上的一点A得塔顶端D点的仰角是45°，向前走7米到达B点(假设A和B在海拔相同的地面上)，测得D点的仰角是60°，测得塔底部E点的仰角是30°.请你帮杨杨和金金计算出“红山塔”的高度.(结果精确到0.1米， 3≈1.732)
21.(本小题10分)
小明家距离大剧院有1900米，某天他步行去剧院看表演，走到路程的一半时，小明发现忘带门票，此时离表演开始还有23分钟.于是他立刻以同样速度步行回家取票，随后骑车赶往剧院.如图是小明与家的距离y(米)与时间x(分钟)之间的函数图象．
(1)求小明骑车赶往剧院的过程中y与x之间的函数关系式；
(2)请你判断小明是否在表演开始前赶到了剧院，并通过计算说明理由．
22.(本小题10分)
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C.延长AB交CD于点E.连接AC，作∠DAC=∠ACD，作AF⊥ED于点F，交⊙O于点G．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)如果⊙O的半径是6cm，EC=8cm，求GF的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了倒数，倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．熟练掌握倒数定义是解题的关键.根据倒数定义解答即可．
【解答】
解：−2023的倒数是−12023．
2.【答案】A
【解析】解：A.原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】D
【解析】解：a5÷a=a4，故选项A错误，不符合题意；
(−a2b3)2=a4b6，故选项B错误，不符合题意；
(a−2b)2=a2−4ab+4b2，故选项C错误，不符合题意；
a2b⋅ab2=a3b3，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：由图可得，CD=CE，∠C=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CED=45°，
又∵DE//AF，
∴∠CAF=45°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAF=60°−45°=15°，
故选：B．
先根据△CDE是等腰直角三角形，得出∠CED=45°，再根据DE//AF，即可得到∠CAF=45°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF的大小．
本题主要考查了平行线的性质以及等腰直角三角形的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．本题也可以根据∠CFA是三角形ABF的外角进行求解．
5.【答案】C
【解析】解：总人数为20÷25%=80(人)，故A错误，不符合题意；
α=360°×(1−25%−15%−5%−30%)=90°，故B错误，不符合题意；
选择步行的人数为80×30%=24(人)，故C正确，符合题意；
选择出租车的占15%，选择私家车的占5%，所以选择乘坐出租车的人数是选择乘坐私家车的人数的3倍，故D错误，不符合题意；
故选：C．
根据选择公交车的人数和百分比可得总人数；
求出选择自行车的百分比可得圆心角；
根据选择步行的百分比和总人数可得步行的人数；
根据选择出租车的百分比和选择私家车的百分比可得倍数关系．
本题考查条形统计图和扇形统计图，能够从统计图中获取信息是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：由题意可得5x−11=7y7x−25=5y，
故选：C．
根据5捆上等稻子少结一斗一升，相当于7捆下等稻子，可得方程5x−11=7y，根据7捆上等稻子少结二斗五升，相当于5捆下等稻子，可得到方程7x−25=5y，然后列出相应的方程组即可．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，明确题意，找出等量关系是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：由题意得，Δ≥0，
∴(−4)2−4(k−1)×2≥0，
解得k≤3，
又∵k−1≠0，
∴k≠1，
∴k的取值范围是k≤3且k≠1，
故选：B．
由题意得Δ≥0，即可求出k的取值范围，再根据此方程为一元二次方程得出k−1≠0，从而求出k的取值范围．
本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根据判别式判断一元二次方程根的情况是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：由作法得DE垂直平分AB，
∴AE=BE，AD=BD，
∴DE为Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴DA=DC，
∴∠A=∠ACD，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=2∠A，
∵EA=EB，
∴∠A=∠ABE，
∴∠BEC=∠A+∠ABE=2∠A，
∴∠BEC=∠BDC，所以C选项的结论正确；
只有当∠A=30°时，AE=BE=2CE，△BCE≌△BDE，BE平分∠CBD，所以A、B、D选项不一定成立．
故选：C．
利用基本作图可判断DE垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，AD=BD，再利用直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质可证明∠BDC=2∠A，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可证明∠BEC=2∠A，从而得到∠BEC=∠BDC，于是可对C选项进行判断；由于只有当∠A=30°时，AE=BE=2CE，△BCE≌△BDE，BE平分∠CBD，这样可对A、B、D选项进行判断．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质．
9.【答案】D
【解析】解：根据两车运行时间，可知甲车从G口出，乙车从F口出，故A正确；
由图象可知，两车通过BC、CD、DE弧时每段所用时间均为3s，
通过直行道AB，CG，EF时，每段用时为4s．
所以立交桥总长为(3×3+4×3)×12=252m，故B正确；
根据两车运行路线，从F口驶出比从G口多走CD，DE弧长之和，
用时为6s，则多走72m，故C正确；
根据题意乙车行驶时间为：4×2+3×3=17秒，故D错误；
故选：D．
根据题意，根据弧长公式并结合图象问题可得．
本题考查了动点问题的函数图象，解答时要注意数形结合．
10.【答案】3.93×105
【解析】解：将数393000用科学记数法表示为3.93×105．
故答案为：3.93×105．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11.【答案】60π
【解析】解：由勾股定理得：圆锥的母线长= 62+82=10(cm)，
∵圆锥的底面周长为2πr=2π×6=12π(cm)，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为12π(cm)，
∴圆锥的侧面积为：12×12π×10=60π(cm2).
故答案为：60π．
根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母线长，再根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，最后利用扇形的面积计算方法求得侧面积．
本题考查了圆锥的侧面积的计算方法，解决本题的关键是根据已知条件求出圆锥的母线长和侧面展开扇形的弧长，然后用弧长与母线长乘积的一半求扇形的面积．
12.【答案】12
【解析】解：列表如下：
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中甲被抽中的结果有：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，甲)，(丙，甲)，(丁，甲)，共6种，
∴甲被抽中的概率是612=12．
故答案为：12．
列表可得出所有等可能的结果数以及甲被抽中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
13.【答案】101
【解析】解：第①个图形中三角形个数有1×1+1，
第②个图形中三角形个数有2×2+1，
第③个图形中三角形个数有3×3+1，
第④个图形中三角形个数有4×4+1，
⋅⋅⋅，
第n个图形中三角形个数为n×n+1，
则第⑩个图形中三角形个数为10×10+1=101，
故答案为：101．
罗列第①第②第③第④个图形中三角形个数就会发现规律第n个图形中三角形个数为n×n+1，按照规律求出第⑩个图形中三角形个数即可．
本题考查了图形的变化类，分析发现规律是关键．
14.【答案】8
【解析】解：作BD⊥x轴，CE⊥x轴，AF⊥x轴，垂足分别为D，E，F，
∴AF//CE，
∴CEAF=OCOA，
∵OC=2AC，
∴CEAF=23，
设点B坐标为(kn,n)，
∵AB//x轴，
∴A点的纵坐标为n，
∴CE=23n，
∵点C在反比例函数y=kx(k≠0)上，
∴C点坐标为(3k2n,23n)，
∵S△OBC=S△OBD+S梯形BCED−S△COE，SΔOBD=SΔCOE，
∴S△OBC=S梯形BCED，
∴12(n+23n)(3k2n−kn)=103，
解得k=8．
故答案为8．
作BD⊥x轴，CE⊥x轴，AF⊥x轴，得AF//CE，垂足分别为D，E，E，根据比例线段，设点B(kn,n)，推出点C坐标为(3k2n,23n)，再根据S△OBC=S△OBD+S梯形BCED−S△COE=S梯形BCED，即可求出k的值．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征．
15.【答案】①②③④
【解析】解：在线段BC上取BO=BE，连接EO，
，
∵BO=BE，∠B=90°，
∴∠BEO=∠BOE=45°，∠EOC=135°，
∵∠DAB=90°，∠DAM=45°，
∴∠EAM=135°，
∵AB=BC，
∴AE=OC，
∵AF= 2BE，EO= BE2+BO2= 2BE，
∴AF=EO，
∴△FAE≌△EOC(SAS)，
∴EC=FE，故①符合题意，
∴∠FEA=∠ECB，
∵∠B=∠EAD=90°，
∴△ECB∽△NEA，
∴EBAN=BCAE，
∵正方形ABCD的边长为a，
∴aAN=BE⋅AE，故②符合题意，
过F作FP⊥BA，交BA的延长线于点P，
设BE=x，则AF= 2x，AE=a−x，
∵∠DAM=45°，
∴∠FAP=45°，FP=AF⋅sin∠FAP=x，
∵S△EAF=12×AE×FP=12×(a−x)×x=−12(x−a2)2+18a2，
∴S△EAF的最大值是18a2，故③符合题意，
作C关于射线AM的对称点C′，连接DC′，交射线AM于点F′，连接CF′，
过C′作C′K⊥CD，交线段CD的延长线于点K，
∵AC′=AC= AB2+BC2= 2a，∠C′CK=45°，
∴CK=C′K=CC′⋅sin∠C′CK=2a，DK=CK−CD=a，
∴C′D= C′K2+DK2= 5a，即DF+CF的最小值是 5a，故④符合题意，
故答案为：①②③④．
对于①证△FAE≌△EOC可得，对于②证△ECB∽△NEA，对应边成比例可得，对于③表示出AE、FP的长，S△EAF=12×AE×FP，可证最大值是否为18a2，对于④运用将军饮马模型可得．
本题考查了正方形、全等三角形的判定、相似三角形，关键是掌握将军饮马模型．
16.【答案】解：( 3−2)0+(−12)−1+|3− 12|−3tan30°
=1+(−2)+ 12−3−3× 33
=1−2+2 3−3− 3
= 3−4．
【解析】根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值、算术平方根、特殊角的三角函数值分别计算即可．
本题考查了实数的运算，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、绝对值、算术平方根、特殊角的三角函数值是解题的关键．
17.【答案】解：(1−xx+1)÷x2−1x2+2x+1
=1x+1×(x+1)2(x+1)(x−1)
=1x−1，
当x= 2+1时，
原式=1 2+1−1= 22．
【解析】本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．
本题主要考查分式的化简求值，式子化到最简是解题的关键．
18.【答案】解：(1)m=5×2+6×4+7×4+8×5+9×2+10×320=7.5(分)，
七年级20名学生成绩中出现次数最多的是7分，共出现6次，因此众数是7分，即n=7，
将八年级20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为7+82=7.5(分)，
因此中位数是7.5分，即p=7.5，
故答案为：7.5，7，7.5；
(2)八年级的成绩较好，理由：八年级学生成绩的中位数是7.5分，众数是8分，都比七年级高；
(3)400×20−220=360(名)，
答：该校八年级共400名学生中成绩合格的大约有360名．
【解析】(1)根据平均数、中位数、众数的定义进行计算即可；
(2)从中位数、众数的比较得出结论；
(3)求出八年级学生成绩为“合格”的所占的百分比即可．
本题考查条形统计图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数、平均数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的前提．
19.【答案】(1)证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
∠AFE=∠DBE∠AEF=∠DEBAE=DE，
∴△AEF≌△DEB(AAS)；
∴AF=DB，
∵D是BC的中点，
∴DB=DC=AF，
又∵AF//BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=12BC=CD，
∴平行四边形ADCF是菱形；
(2)解：∵D是BC的中点，
∴△ACD的面积=△ABD的面积=12△ABC的面积，
∵四边形ADCF是菱形，
∴菱形ADCF的面积=2△ACD的面积=△ABC的面积=12AC×AB=12×3×4=6．
【解析】(1)由AAS证明△AEF≌△DEB，得AF=DB，证得四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得AD=CD，可证得结论；
(2)根据条件可证得S菱形ADCF=S△ABC，再由三角形面积公式可求得答案．
本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
20.【答案】解：由题意可知，AB=7米，∠DAC=45°，∠DBC=60°，∠EBC=30°，∠DCA=90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC=DC，
∵∠DBC=60°，∠EBC=30°，
∴∠BDE=90°−60°=30°，∠DBE=60°−30°=30°，
∴∠BDE=∠DBE=30°，
∴BE=DE，CE=12BE，
设BE=DE=x米，则CE=12x米，
∴BC= BE2−CE2= x2−(12x)2= 32x(米)，
∵AC=DC，
∴AB+BC=DE+CE，
即7+ 32x=x+12x，
解得：x=7(3+ 3)3≈11.0，
答：“红山塔”的高度约为11.0米．
【解析】证明△ACD是等腰直角三角形，得AC=DC，再证BE=DE，CE=12BE，设BE=DE=x米，则CE=12x米，进而由勾股定理得BC= 32x米，然后由AC=DC列出方程，解方程即可．
本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题、勾股定理以及等腰三角形的判定等知识，掌握等腰三角形的判定和勾股定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)由图象可知，小明到达大剧院时x=29+2×(31.5−29)=29+5=34，
设小明骑车赶往剧院的过程中y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
把(29,0)(34,1900)代入y=kx+b得：29k+b=034k+b=1900，
解得k=380b=−11020，
∴小明骑车赶往剧院的过程中y与x之间的函数关系式为y=380x−11020；
(2)小明能在表演开始前赶到了剧院，理由：
∵小明走到路程的一半时，离表演开始还有23分钟，
小明从往回返到再到大剧院用的时间为：34−252=21.5(分)<23分，
∴小明能在表演开始前赶到了剧院．
【解析】(1)根据图象可求出小明第一次从家出发到到达大剧院所用时间，然后用待定系数法求出小明骑车赶往剧院的过程中y与x之间的函数关系式；
(2)求出小明从半路返回家中，再到大剧院所用时间与23比较即可．
本题主要考查了一次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式．
22.【答案】(1)证明：连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°．
∴∠OCA+∠ACD=90°．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∵∠DAC=∠ACD，
∴∠OAC+∠CAD=90°．
∴∠OAD=90°．
∴AD是⊙O的切线．
(2)解：连接BG；
∵OC=6cm，EC=8cm，
∴在Rt△CEO中，OE= OC2+EC2=10．
∴AE=OE+OA=16．
∵AF⊥ED，
∴∠AFE=∠OCE=90°，∠E=∠E．
∴Rt△AEF∽Rt△OEC．
∴AFOC=AEOE．
即：AF6=1610．
∴AF=9.6．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AGB=90°．
∴∠AGB=∠AFE．
∵∠BAG=∠EAF，
∴Rt△ABG∽Rt△AEF．
∴AGAF=ABAE．
即：AG9.6=1216．
∴AG=7.2．
∴GF=AF−AG=9.6−7.2=2.4(cm)．
【解析】(1)连接OC.欲证AD是⊙O的切线，只需证明OA⊥AD即可；
(2)连接BG.在Rt△CEO中利用勾股定理求得OE=10，从而求得AE=16；然后由相似三角形Rt△AEF∽Rt△OEC的对应边成比例求得AF=9.6，再利用圆周角定理证得Rt△ABG∽Rt△AEF，根据相似三角形的对应边成比例求得AG=7.2，所以GF=AF−AG=9.6−7.2=2.4．
本题综合考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．年级
平均数
众数
中位数
七年级
7.5
n
7
八年级
m
8
p
甲
乙
丙
丁
甲
(甲，乙)
(甲，丙)
(甲，丁)
乙
(乙，甲)
(乙，丙)
(乙，丁)
丙
(丙，甲)
(丙，乙)
(丙，丁)
丁
(丁，甲)
(丁，乙)
(丁，丙)
1.−2023的倒数是( )
A. 2023B. −12023C. −2023D. 12023
2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
A. a5÷a=a5B. (−a2b3)2=−a4b5
C. (a−2b)2=a2+4b2D. a2b⋅ab2=a3b3
4.一个三角板(含30°、60°角)和一把直尺摆放位置如图所示，直尺与三角板的一角相交于点A，一边与三角板的两条直角边分别相交于点D、点E，且CD=CE，点F在直尺的另一边上，那么∠BAF的大小为( )
A. 10°B. 15°C. 20°D. 30°
5.为了解九年级学生“绿色出行”方式的情况，某校以问卷调查的形式对九年级部分学生进行了调查，绘制出如下的条形统计图和扇形统计图．下列结论正确的是( )
A. 本次调查的学生人数有100人
B. ∠a=85°
C. 选择步行的人数有24人
D. 选择乘坐出租车的人数是选择乘坐私家车的人数的2倍
6.《九章算术》中记载了这样一个问题：今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉；上禾七秉，损实二斗五升，当下禾五秉.问上、下禾实一秉各几何？大意是：5捆上等稻子少结一斗一升，相当于7捆下等稻子；7捆上等稻子少结二斗五升，相当于5捆下等稻子.问上等稻子和下等稻子一捆各能结多少？设上等稻子一捆为x升，下等稻子一捆为y升，则下列方程正确的是( )
A. 5y−11=7x7y−25=5xB. 5x+11=7y7x+25=5yC. 5x−11=7y7x−25=5yD. 7x−11=5y5x−25=7y
7.若关于x的二次方程(k−1)x2−4x+2=0有实数根，则k的取值范围是( )
A. k≤3B. k≤3且k≠1C. k<3且k≠1D. k≥3且k≠1
8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连接CD，BE，则下列结论中不一定正确的是( )
A. BE平分∠CBD
B. BE>CD
C. ∠BEC=∠BDC
D. AD=BD
9.如图1是一座立交桥的示意图(道路宽度忽略不计)，A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB=CG=EF；弯道为以点O为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为90°，甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以12m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y(m)与时间x(s)的对应关系如图2所示，结合题目信息，下列说法错误的是( )
A. 甲车从G口出，乙车从F口出B. 立交桥总长为252m
C. 从F口出比从G口出多行驶72mD. 乙车在立交桥上共行驶16s
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.神舟十五号飞船将在远地点高度393000米的轨道上驻留6个月进行太空实验研究，将数字393000用科学记数法表示为______．
11.已知圆锥的高是8cm，圆锥的底面半径是6cm，则该圆锥的侧面积是 cm2．
12.某校需要从甲、乙、丙、丁4名老师中随机抽取2名负责组织学生放学过马路，则甲被抽中的概率是______．
13.将一些完全相同的三角形按如图所示的规律排列，第①个图形中有2个三角形，第②个图形中有5个三角形，第③个图形中有10个三角形，第④个图形中有17个三角形，…，按此规律排列，则第⑩个图形中三角形的个数为______．
14.如图，已知△OAB的一边AB平行于x轴，且反比例函数y=kx(k≠0)经过△OAB顶点B和OA上的一点C，若OC=2AC且△OBC的面积为103，则k的值为______．
15.如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB上运动(点E不与A，B重合)，点F在射线AM上，且AF= 2BE，CF与AD相交于点G，∠DAM=45°，连接EC，EF，EG，DF.则下列结论中：
①EF=EC；
②aAN=BE⋅AE；
③S△EAF的最大值是18a2；
④DF+CF的最小值是 5a.
正确的是______(填写所有正确结论的序号)．
三、解答题：本题共7小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算：( 3−2)0+(−12)−1+|3− 12|−3tan30°．
17.(本小题8分)
先化简，再求值：(1−xx+1)÷x2−1x2+2x+1，其中x= 2+1．
18.(本小题8分)
为响应“带动三亿人参与冰雪运动”的号召，某校七、八年级举行了“冰雪运动知识竞赛”.为了解学生对冰雪运动知识的掌握情况，学校从两个年级分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩(满分10分，6分及6分以上为合格)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a.七年级20名学生的测试成绩为：
7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
b.八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示：
c.七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如下表所示：
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)上表中m=______，n=______，p=______；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对冰雪运动知识掌握较好？请说明理由(写出一条理由即可)；
(3)该校八年级共400名学生参加了此次测试活动，估计八年级参加此次测试活动成绩合格的学生人数．
19.(本小题10分)
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF//BC交BE的延长线于点F．
(1)证明：四边形ADCF是菱形；
(2)若AC=3，AB=4，求菱形ADCF的面积．
20.(本小题10分)
周末，杨杨和金金来到乌鲁木齐红山公园看到“红山塔”，决定用所学的知识测量“红山塔”的高度.如图所示，她们在地面上的一点A得塔顶端D点的仰角是45°，向前走7米到达B点(假设A和B在海拔相同的地面上)，测得D点的仰角是60°，测得塔底部E点的仰角是30°.请你帮杨杨和金金计算出“红山塔”的高度.(结果精确到0.1米， 3≈1.732)
21.(本小题10分)
小明家距离大剧院有1900米，某天他步行去剧院看表演，走到路程的一半时，小明发现忘带门票，此时离表演开始还有23分钟.于是他立刻以同样速度步行回家取票，随后骑车赶往剧院.如图是小明与家的距离y(米)与时间x(分钟)之间的函数图象．
(1)求小明骑车赶往剧院的过程中y与x之间的函数关系式；
(2)请你判断小明是否在表演开始前赶到了剧院，并通过计算说明理由．
22.(本小题10分)
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C.延长AB交CD于点E.连接AC，作∠DAC=∠ACD，作AF⊥ED于点F，交⊙O于点G．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)如果⊙O的半径是6cm，EC=8cm，求GF的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了倒数，倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．熟练掌握倒数定义是解题的关键.根据倒数定义解答即可．
【解答】
解：−2023的倒数是−12023．
2.【答案】A
【解析】解：A.原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】D
【解析】解：a5÷a=a4，故选项A错误，不符合题意；
(−a2b3)2=a4b6，故选项B错误，不符合题意；
(a−2b)2=a2−4ab+4b2，故选项C错误，不符合题意；
a2b⋅ab2=a3b3，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：由图可得，CD=CE，∠C=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CED=45°，
又∵DE//AF，
∴∠CAF=45°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAF=60°−45°=15°，
故选：B．
先根据△CDE是等腰直角三角形，得出∠CED=45°，再根据DE//AF，即可得到∠CAF=45°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF的大小．
本题主要考查了平行线的性质以及等腰直角三角形的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．本题也可以根据∠CFA是三角形ABF的外角进行求解．
5.【答案】C
【解析】解：总人数为20÷25%=80(人)，故A错误，不符合题意；
α=360°×(1−25%−15%−5%−30%)=90°，故B错误，不符合题意；
选择步行的人数为80×30%=24(人)，故C正确，符合题意；
选择出租车的占15%，选择私家车的占5%，所以选择乘坐出租车的人数是选择乘坐私家车的人数的3倍，故D错误，不符合题意；
故选：C．
根据选择公交车的人数和百分比可得总人数；
求出选择自行车的百分比可得圆心角；
根据选择步行的百分比和总人数可得步行的人数；
根据选择出租车的百分比和选择私家车的百分比可得倍数关系．
本题考查条形统计图和扇形统计图，能够从统计图中获取信息是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：由题意可得5x−11=7y7x−25=5y，
故选：C．
根据5捆上等稻子少结一斗一升，相当于7捆下等稻子，可得方程5x−11=7y，根据7捆上等稻子少结二斗五升，相当于5捆下等稻子，可得到方程7x−25=5y，然后列出相应的方程组即可．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，明确题意，找出等量关系是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：由题意得，Δ≥0，
∴(−4)2−4(k−1)×2≥0，
解得k≤3，
又∵k−1≠0，
∴k≠1，
∴k的取值范围是k≤3且k≠1，
故选：B．
由题意得Δ≥0，即可求出k的取值范围，再根据此方程为一元二次方程得出k−1≠0，从而求出k的取值范围．
本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根据判别式判断一元二次方程根的情况是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：由作法得DE垂直平分AB，
∴AE=BE，AD=BD，
∴DE为Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴DA=DC，
∴∠A=∠ACD，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=2∠A，
∵EA=EB，
∴∠A=∠ABE，
∴∠BEC=∠A+∠ABE=2∠A，
∴∠BEC=∠BDC，所以C选项的结论正确；
只有当∠A=30°时，AE=BE=2CE，△BCE≌△BDE，BE平分∠CBD，所以A、B、D选项不一定成立．
故选：C．
利用基本作图可判断DE垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，AD=BD，再利用直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质可证明∠BDC=2∠A，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可证明∠BEC=2∠A，从而得到∠BEC=∠BDC，于是可对C选项进行判断；由于只有当∠A=30°时，AE=BE=2CE，△BCE≌△BDE，BE平分∠CBD，这样可对A、B、D选项进行判断．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质．
9.【答案】D
【解析】解：根据两车运行时间，可知甲车从G口出，乙车从F口出，故A正确；
由图象可知，两车通过BC、CD、DE弧时每段所用时间均为3s，
通过直行道AB，CG，EF时，每段用时为4s．
所以立交桥总长为(3×3+4×3)×12=252m，故B正确；
根据两车运行路线，从F口驶出比从G口多走CD，DE弧长之和，
用时为6s，则多走72m，故C正确；
根据题意乙车行驶时间为：4×2+3×3=17秒，故D错误；
故选：D．
根据题意，根据弧长公式并结合图象问题可得．
本题考查了动点问题的函数图象，解答时要注意数形结合．
10.【答案】3.93×105
【解析】解：将数393000用科学记数法表示为3.93×105．
故答案为：3.93×105．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11.【答案】60π
【解析】解：由勾股定理得：圆锥的母线长= 62+82=10(cm)，
∵圆锥的底面周长为2πr=2π×6=12π(cm)，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为12π(cm)，
∴圆锥的侧面积为：12×12π×10=60π(cm2).
故答案为：60π．
根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母线长，再根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，最后利用扇形的面积计算方法求得侧面积．
本题考查了圆锥的侧面积的计算方法，解决本题的关键是根据已知条件求出圆锥的母线长和侧面展开扇形的弧长，然后用弧长与母线长乘积的一半求扇形的面积．
12.【答案】12
【解析】解：列表如下：
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中甲被抽中的结果有：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，甲)，(丙，甲)，(丁，甲)，共6种，
∴甲被抽中的概率是612=12．
故答案为：12．
列表可得出所有等可能的结果数以及甲被抽中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
13.【答案】101
【解析】解：第①个图形中三角形个数有1×1+1，
第②个图形中三角形个数有2×2+1，
第③个图形中三角形个数有3×3+1，
第④个图形中三角形个数有4×4+1，
⋅⋅⋅，
第n个图形中三角形个数为n×n+1，
则第⑩个图形中三角形个数为10×10+1=101，
故答案为：101．
罗列第①第②第③第④个图形中三角形个数就会发现规律第n个图形中三角形个数为n×n+1，按照规律求出第⑩个图形中三角形个数即可．
本题考查了图形的变化类，分析发现规律是关键．
14.【答案】8
【解析】解：作BD⊥x轴，CE⊥x轴，AF⊥x轴，垂足分别为D，E，F，
∴AF//CE，
∴CEAF=OCOA，
∵OC=2AC，
∴CEAF=23，
设点B坐标为(kn,n)，
∵AB//x轴，
∴A点的纵坐标为n，
∴CE=23n，
∵点C在反比例函数y=kx(k≠0)上，
∴C点坐标为(3k2n,23n)，
∵S△OBC=S△OBD+S梯形BCED−S△COE，SΔOBD=SΔCOE，
∴S△OBC=S梯形BCED，
∴12(n+23n)(3k2n−kn)=103，
解得k=8．
故答案为8．
作BD⊥x轴，CE⊥x轴，AF⊥x轴，得AF//CE，垂足分别为D，E，E，根据比例线段，设点B(kn,n)，推出点C坐标为(3k2n,23n)，再根据S△OBC=S△OBD+S梯形BCED−S△COE=S梯形BCED，即可求出k的值．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征．
15.【答案】①②③④
【解析】解：在线段BC上取BO=BE，连接EO，
，
∵BO=BE，∠B=90°，
∴∠BEO=∠BOE=45°，∠EOC=135°，
∵∠DAB=90°，∠DAM=45°，
∴∠EAM=135°，
∵AB=BC，
∴AE=OC，
∵AF= 2BE，EO= BE2+BO2= 2BE，
∴AF=EO，
∴△FAE≌△EOC(SAS)，
∴EC=FE，故①符合题意，
∴∠FEA=∠ECB，
∵∠B=∠EAD=90°，
∴△ECB∽△NEA，
∴EBAN=BCAE，
∵正方形ABCD的边长为a，
∴aAN=BE⋅AE，故②符合题意，
过F作FP⊥BA，交BA的延长线于点P，
设BE=x，则AF= 2x，AE=a−x，
∵∠DAM=45°，
∴∠FAP=45°，FP=AF⋅sin∠FAP=x，
∵S△EAF=12×AE×FP=12×(a−x)×x=−12(x−a2)2+18a2，
∴S△EAF的最大值是18a2，故③符合题意，
作C关于射线AM的对称点C′，连接DC′，交射线AM于点F′，连接CF′，
过C′作C′K⊥CD，交线段CD的延长线于点K，
∵AC′=AC= AB2+BC2= 2a，∠C′CK=45°，
∴CK=C′K=CC′⋅sin∠C′CK=2a，DK=CK−CD=a，
∴C′D= C′K2+DK2= 5a，即DF+CF的最小值是 5a，故④符合题意，
故答案为：①②③④．
对于①证△FAE≌△EOC可得，对于②证△ECB∽△NEA，对应边成比例可得，对于③表示出AE、FP的长，S△EAF=12×AE×FP，可证最大值是否为18a2，对于④运用将军饮马模型可得．
本题考查了正方形、全等三角形的判定、相似三角形，关键是掌握将军饮马模型．
16.【答案】解：( 3−2)0+(−12)−1+|3− 12|−3tan30°
=1+(−2)+ 12−3−3× 33
=1−2+2 3−3− 3
= 3−4．
【解析】根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值、算术平方根、特殊角的三角函数值分别计算即可．
本题考查了实数的运算，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、绝对值、算术平方根、特殊角的三角函数值是解题的关键．
17.【答案】解：(1−xx+1)÷x2−1x2+2x+1
=1x+1×(x+1)2(x+1)(x−1)
=1x−1，
当x= 2+1时，
原式=1 2+1−1= 22．
【解析】本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．
本题主要考查分式的化简求值，式子化到最简是解题的关键．
18.【答案】解：(1)m=5×2+6×4+7×4+8×5+9×2+10×320=7.5(分)，
七年级20名学生成绩中出现次数最多的是7分，共出现6次，因此众数是7分，即n=7，
将八年级20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为7+82=7.5(分)，
因此中位数是7.5分，即p=7.5，
故答案为：7.5，7，7.5；
(2)八年级的成绩较好，理由：八年级学生成绩的中位数是7.5分，众数是8分，都比七年级高；
(3)400×20−220=360(名)，
答：该校八年级共400名学生中成绩合格的大约有360名．
【解析】(1)根据平均数、中位数、众数的定义进行计算即可；
(2)从中位数、众数的比较得出结论；
(3)求出八年级学生成绩为“合格”的所占的百分比即可．
本题考查条形统计图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数、平均数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的前提．
19.【答案】(1)证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
∠AFE=∠DBE∠AEF=∠DEBAE=DE，
∴△AEF≌△DEB(AAS)；
∴AF=DB，
∵D是BC的中点，
∴DB=DC=AF，
又∵AF//BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=12BC=CD，
∴平行四边形ADCF是菱形；
(2)解：∵D是BC的中点，
∴△ACD的面积=△ABD的面积=12△ABC的面积，
∵四边形ADCF是菱形，
∴菱形ADCF的面积=2△ACD的面积=△ABC的面积=12AC×AB=12×3×4=6．
【解析】(1)由AAS证明△AEF≌△DEB，得AF=DB，证得四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得AD=CD，可证得结论；
(2)根据条件可证得S菱形ADCF=S△ABC，再由三角形面积公式可求得答案．
本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
20.【答案】解：由题意可知，AB=7米，∠DAC=45°，∠DBC=60°，∠EBC=30°，∠DCA=90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC=DC，
∵∠DBC=60°，∠EBC=30°，
∴∠BDE=90°−60°=30°，∠DBE=60°−30°=30°，
∴∠BDE=∠DBE=30°，
∴BE=DE，CE=12BE，
设BE=DE=x米，则CE=12x米，
∴BC= BE2−CE2= x2−(12x)2= 32x(米)，
∵AC=DC，
∴AB+BC=DE+CE，
即7+ 32x=x+12x，
解得：x=7(3+ 3)3≈11.0，
答：“红山塔”的高度约为11.0米．
【解析】证明△ACD是等腰直角三角形，得AC=DC，再证BE=DE，CE=12BE，设BE=DE=x米，则CE=12x米，进而由勾股定理得BC= 32x米，然后由AC=DC列出方程，解方程即可．
本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题、勾股定理以及等腰三角形的判定等知识，掌握等腰三角形的判定和勾股定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)由图象可知，小明到达大剧院时x=29+2×(31.5−29)=29+5=34，
设小明骑车赶往剧院的过程中y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
把(29,0)(34,1900)代入y=kx+b得：29k+b=034k+b=1900，
解得k=380b=−11020，
∴小明骑车赶往剧院的过程中y与x之间的函数关系式为y=380x−11020；
(2)小明能在表演开始前赶到了剧院，理由：
∵小明走到路程的一半时，离表演开始还有23分钟，
小明从往回返到再到大剧院用的时间为：34−252=21.5(分)<23分，
∴小明能在表演开始前赶到了剧院．
【解析】(1)根据图象可求出小明第一次从家出发到到达大剧院所用时间，然后用待定系数法求出小明骑车赶往剧院的过程中y与x之间的函数关系式；
(2)求出小明从半路返回家中，再到大剧院所用时间与23比较即可．
本题主要考查了一次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式．
22.【答案】(1)证明：连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°．
∴∠OCA+∠ACD=90°．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∵∠DAC=∠ACD，
∴∠OAC+∠CAD=90°．
∴∠OAD=90°．
∴AD是⊙O的切线．
(2)解：连接BG；
∵OC=6cm，EC=8cm，
∴在Rt△CEO中，OE= OC2+EC2=10．
∴AE=OE+OA=16．
∵AF⊥ED，
∴∠AFE=∠OCE=90°，∠E=∠E．
∴Rt△AEF∽Rt△OEC．
∴AFOC=AEOE．
即：AF6=1610．
∴AF=9.6．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AGB=90°．
∴∠AGB=∠AFE．
∵∠BAG=∠EAF，
∴Rt△ABG∽Rt△AEF．
∴AGAF=ABAE．
即：AG9.6=1216．
∴AG=7.2．
∴GF=AF−AG=9.6−7.2=2.4(cm)．
【解析】(1)连接OC.欲证AD是⊙O的切线，只需证明OA⊥AD即可；
(2)连接BG.在Rt△CEO中利用勾股定理求得OE=10，从而求得AE=16；然后由相似三角形Rt△AEF∽Rt△OEC的对应边成比例求得AF=9.6，再利用圆周角定理证得Rt△ABG∽Rt△AEF，根据相似三角形的对应边成比例求得AG=7.2，所以GF=AF−AG=9.6−7.2=2.4．
本题综合考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．年级
平均数
众数
中位数
七年级
7.5
n
7
八年级
m
8
p
甲
乙
丙
丁
甲
(甲，乙)
(甲，丙)
(甲，丁)
乙
(乙，甲)
(乙，丙)
(乙，丁)
丙
(丙，甲)
(丙，乙)
(丙，丁)
丁
(丁，甲)
(丁，乙)
(丁，丙)
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