广东省广州市增城区2023届九年级中考一模数学试卷(含答案)

这是一份广东省广州市增城区2023届九年级中考一模数学试卷(含答案)，共24页。试卷主要包含了0分， 下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数2的倒数是( )
A. 2B. -12C. 0D. 12
2. 如图是2022年北京冬奥运会吉祥物冰墩墩的图形，是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 要使 x-1在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥1B. x>1C. x≥0D. x≤1
4. 已知⊙O的半径为5，当线段OA=6时，则点A与⊙O的位置关系是( )
A. 在圆上B. 在圆外C. 在圆内D. 不能确定
5. 下列运算正确的是( )
A. 2a+3a=5aB. a2+a3=a5C. 2a+3a=52aD. 2+ 3= 5
6. 已知A(0,y1)，B(3,y2)为抛物线y=(x-2)2上的两点，则y1与y2的大小关系是( )
A. y1>y2B. y1=y2C. y17. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的边长是( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
8. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买兔，人出七，盈十一；人出五，不足十三，问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买兔，如果每人出七钱，那么多了十一钱；如果每人出五钱，那么少了十三钱.问：共有几个人？”设有x个人共同买兔，依题意可列方程为( )
A. 5(x-11)=7(x+13)B. 5(x+11)=7(x-13)
C. 7x+11=5x-13D. 7x-11=5x+13
9. 如图，正方形MNPQ内接于△ABC，点M、N在BC上，点P、Q分别在AC和AB边上，且BC边上的高AD=6，BC=12，则正方形MNPQ的边长为( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
10. 如图，已知直线y=- 3x+3与x轴交于点A，点B与点A关于y轴对称.M是直线上的动点，将OM绕点O顺时针旋转60°得ON.连接BN，则线段BN的最小值为( )
A. 3
B. 3+ 3
C. 2 3
D. 3- 3
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 如图，已知l1//l2，∠1=50°，则∠2的度数为______ ．
12. 分解因式：a2+2a= ．
13. 一只不透明的袋子中装有2个黄球、3个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到红球的概率为 ．
14. 已知圆锥的母线长为10，底面圆半径为5，则此圆锥的侧面积为______ ．
15. 如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=75°，将△ABC绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到△ADE，若点C恰好落在△ADE的边上，则α的度数是______ ．
16. 如图，点E在正方形ABCD外，连结AE、BE、DE，过点A作AE的垂线交DE于点F.若AE=AF=4 2，BF=10，则下列结论：
①△AFD≌△AEB；
②EB⊥ED；
③点B到直线AE的距离为3 2；
④S△ABF+S△ADF=40．
其中正确的结论是______ .(填写所有正确结论的序号)
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题4.0分)
解不等式组：x-1>11+2x<7．
18. (本小题4.0分)
如图，点E、F在线段BC上，AB/​/CD，∠A=∠D，BE=CF．
求证：△ABE≌△DCF．
19. (本小题8.0分)
已知A=(x+2)2+(x+1)(x-1)-3．
(1)化简A；
(2)若x2+2x=3，求A的值．
20. (本小题8.0分)
近年来，共享单车逐渐成为高校学生喜爱的“绿色出行”方式之一，某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天50名出行学生使用共享单车次数的情况，并整理成如下统计表．
(1)这50名出行学生使用共享单车次数的中位数是______ ，众数是______ ；
(2)这天中，这50名出行学生平均每人使用共享单车多少次？
21. (本小题8.0分)
如图，在直角坐标系中，已知点B(4,0)，等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y=kx的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O'A'B'，当这个函数图象经过△O'A'B'边O'A'的中点时，求a的值．
22. (本小题8.0分)
某地区为打造乡村振兴示范区，实行大面积机械化种植，今年共计种植某作物700亩，预计租用10台作物收割机在一天之内完成该作物的收割．已知可租用A，B两种型号的作物收割机，2台A型号收割机与3台B型号收割机一起工作1天共收割该作物310亩，1台A型号收割机和1台B型号收割机一起工作1天共收割该作物130亩，租用A型号收割机的租金为每天3000元，租用B型号收割机的租金为每天2000元．
(1)两种型号收割机每台每天平均收割多少亩该作物？
(2)设租用x台A型号的收割机，完成该作物的收割需要的总租金为y元，一共有多少种租赁方案，并求出最少的总租金．
23. (本小题8.0分)
已知⊙O为△ABC的外接圆，⊙O的半径为6．
(1)如图，AB是⊙O的直径，点C是AB的中点．
①尺规作图：作∠ACB的角平分线CD，交⊙O于点D，连接BD(保留作图痕迹，不写作法)；
②求BD的长度．
(2)如图，AB是⊙O的非直径弦，点C在AB上运动，∠ACD=∠BCD=60°，点C在运动的过程中，四边形ADBC的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
24. (本小题12.0分)
在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°．

(1)如图1，已知∠D=30°，直接写出∠A+∠C的度数；
(2)如图2，已知∠ADC=30°，AD=3，CD=4，连接BD，求BD的长度；
(3)如图3，已知∠ADC=75°，BD=6，请判断四边形ABCD的面积是否有最小值？如果有，请求出它的最小值；如果没有，请说明理由．
25. (本小题12.0分)
综合与探究
已知抛物线C1：y=ax2+bx-5(a≠0)．
(1)当抛物线经过(-1,-8)和(1,0)两点时，求抛物线的函数表达式．
(2)当b=4a时，无论a为何值，直线y=m与抛物线C1相交所得的线段AB(点A在点B的左侧)的长度始终不变，求m的值和线段AB的长．
(3)在(2)的条件下，将抛物线C1沿直线y=m翻折得到抛物线C2，抛物线C1，C2的顶点分别记为G，H.是否存在实数a使得以A，B，G，H为顶点的四边形为正方形？若存在，直接写出a的值；若不存在，请说明理由．
答案
1.答案：D
解析：解：实数2的倒数是12．
故选：D．
根据倒数的定义选择即可．
本题考查求一个数的倒数，掌握两个非零数相乘积为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数是解题关键．
2.答案：C
解析：解：A，B，C三个选项中的图形都找不到一条直线能够使直线两旁的部分重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能够找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
根据一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴去进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键在于寻找出对称轴，使直线两旁的部分重合是解题的关键．
3.答案：A
解析：解：∵ x-1在实数范围内有意义，
∴x-1≥0，
∴x≥1．
故选：A．
根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”解答即可．
本题考查二次根式有意义的条件．掌握二次根式被开方数为非负数是解题关键．
4.答案：B
解析：解：∵OA=6>5，
∴A点在圆外，
故选：B．
根据点A到圆心的距离大于半径即可求解．
本题考查了点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离大于半径时点在圆外，等于半径时点在圆上，小于半径时点在圆内是解题的关键．
5.答案：A
解析：解：A.2a+3a=5a，故此选项正确；
B.a2与a3无法合并，故此选项错误；
C.2a+3a=5a，故此选项错误；
D. 2与 3无法合并，故此选项错误．
故选：A．
直接利用分式的加减运算法则以及二次根式的加减运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了分式的加减运算法则以及二次根式的加减运算，正确掌握分式的加减运算法则是解题关键．
6.答案：A
解析：解：将A(0,y1)，B(3,y2)代入y=(x-2)2，
得：y1=(0-2)2=4，y2=(3-2)2=1，
∴y1>y2．
故选：A．
将A(0,y1)，B(3,y2)代入y=(x-2)2，求出y1和y2的值作比较即可．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题关键．
7.答案：B
解析：解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵点E为AD的中点，OE=3，
∴AD=2OE=6，
故选：B．
根据菱形的性质得出对角线互相垂直，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半求出菱形边长．
本题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直和直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质是解题关键．
8.答案：D
解析：解：根据每人出七钱，那么多了十一钱，
可得买兔所需的钱为7x-11，
根据每人出五钱，那么少了十三钱，
可得买兔所需的钱为5x+13，
∴7x-11=5x+13，
故选：D．
根据买兔所需的钱建立等量关系列出方程即可．
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是找等量关系，列出方程．
9.答案：C
解析：解：∵正方形MNPQ内接于△ABC，BC边上的高AD=6，
∴∠ADC=∠ADB=∠CNP=∠BMQ=90°．
∵∠B=∠B，∠C=∠C，
∴△BMQ∽△BDA，△CNP∽△CDA，
∴BMBD=QMAD，NPAD=CNCD．
设正方形边长为x，则QM=NP=MN=x，
∴BM=x⋅BDAD，CN=x⋅CDAD，
∴BM+CN=x⋅(BD+CD)AD=x⋅BCAD．
又∵BM+CN=BC-MN，
∴x⋅BCAD=BC-MN，即12x6=12-x，
解得：x=4，
∴正方形MNPQ的边长为4．
故选：C．
根据正方形及三角形高的定义易得△BMQ∽△BDA，△CNP∽△CDA，再根据对应线段成比例可得BMBD=QMAD，NPAD=CNCD.设正方形边长为x，则QM=NP=MN=x，从而可求出BM+CN=x⋅(BD+CD)AD=x⋅BCAD.最后根据BM+CN=BC-MN，可列出关于x的方程，解出x的值即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，线段的和与差等知识．解题的关键是根据比例表示出相应线段列方程．
10.答案：A
解析：解：如图，设直线y=- 3x+3与y轴的交点为E，再取AE的中点D，连接OD、AN，过B作BH⊥AN于H点．

对于y=- 3x+3，令x=0，则y=3，
∴E(0,3)．
令y=0，则x= 3，
∴A( 3,0)．
∴OA= 3，OE=3．
∵∠AOE=90°，
∴AE= OA2+OE2=2 3，
∵AE的中点为D，
∴DO=DA=DE=12AE= 3，
∴DO=DA=OA= 3，
∴△DAO为等边三角形，
∴∠AOD=∠ODA=60°，
∴∠ODE=120°．
由旋转的性质可知OM=ON，∠MON=60°=∠DOA，
∴∠MON-∠DON=∠DOA-∠DON，即∠MOD=∠NOA，
∴△MOD≌△NOA(SAS)，
∴∠OAN=∠ODE=120°．
∵A为定点，∠OAN=120°为定值，
∴当M在直线y=- 3x+3上运动时，点N也在定直线AN上运动，
∴当点N与点H重合时，BN最短．
∵点B与点A关于y轴对称，
∴B(- 3,0)，
∴AB=2 3．
∵∠BAH=180°-∠OAN=60°，
∴BH=AB⋅sin60°=3，即BN的最小值为3．
故选：A．
设直线y=- 3x+3与y轴的交点为E，再取AE的中点D，连接OD、AN，过B作BH⊥AN于H点．根据直线解析式求出点A和点E的坐标，然后再证明△AOD为等边三角形．再结合旋转的性质和等边三角形的性质，并利用SAS证明△MOD≌△NOA，得出∠OAN=∠ODE=120°.由A为定点，∠OAN=120°为定值，即说明当M在直线y=- 3x+3上运动时，点N也在定直线AN上运动，即得出当点N与点H重合时，BN最短．结合轴对称的性质可求出AB=2 3，进而可利用锐角三角函数求出BH=AB⋅sin60°=3，即BN的最小值为3．
本题考查旋转的性质、轴对称的性质，三角形全等的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形以及一次函数等知识点，解题的关键是确定点N在定直线上，通过垂线段最短的性质求BN的最小值．
11.答案：50°
解析：解：∵l1/​/l2，
∴∠2=∠1=50°．
故答案为：50°．
根据两直线平行，同位角相等解答即可．
本题考查平行线的性质．掌握两直线平行，同位角相等是解题关键．
12.答案：a(a+2)
解析：解：a2+2a=a(a+2)．
直接提公因式法：观察原式a2+2a，找到公因式a，提出即可得出答案．
本题考查了提公因式法因式分解的运用．
13.答案：35
解析：解：∵一只不透明的袋子中装有2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，
∴搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出红球的概率为：32+3=35．
故答案为：35．
由一只不透明的袋子中装有2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.答案：50π
解析：解：此圆锥的侧面积为π×5×10=50π．
故答案为：50π．
根据圆锥的侧面积公式求解即可．
本题考查求圆锥的计算．掌握求圆锥的侧面积公式S=πrl(r为底面圆的半径，l为母线长)是解题关键．
15.答案：30°或45°
解析：解：分类讨论：①当点C在边AD上时，如图1，

∵∠B=60°，∠ACB=75°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-60°-75°=45°，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=α=45°；
②当点C在边DE上时，如图2，

∵将△ABC绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到△ADE，
∴AC=AE，∠E=∠ACB=75°，
∴∠E=∠ACE=75°，
∴∠EAC=α=180°-75°-75°=30°，
综上可知，α的度数是30°或45°，
故答案为：30°或45°．
分两种情况：当点C在边AD上时和当点C在边DE上时，由旋转的性质及三角形内角和定理即可求出答案．
本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想是解答本题的关键．
16.答案：①②③④
解析：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=∠BAE+∠BAF=90°，
∵∠DAF+∠BAF=∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
又∵AE=AF，
∴△AFD≌△AEB(SAS)，故①正确；
∴∠AFD=∠AEB，
∵∠AEB=∠AEF+∠BEF，∠AFD=∠AEF+∠FAE，
∴∠BEF=∠FAE=90°，即EB⊥ED，故②正确；
过点B作BP⊥AE，交AE的延长线于P，则BF的长即点B到直线AE的距离，
∵AE=AF=4 2，∠FAE=90°，
∴FE=8，∠AEF=∠AFE=45°，
在Rt△BEF中，FB=10，FE=8，
∴BE=6，
∵EB⊥ED，BP⊥AP，
∴∠EPB=∠PBE=45°，
∴BP=EP=3 2，
故③正确；
连接BD，
S△AFD+S△AFB=S△AEB+S△AFB=S△AEF+S△BEF=12×4 2×4 2+12×6×8=40，
故④正确；
综上，正确结论的序号是①②③④，
故答案为：①②③④．
利用正方形和AF⊥AE，证得∠BAE=∠DAF，利用SAS即可证△AFD≌△AEB，得到∠AFD=∠AEB，结合三角形的外角的性质，即可证得EB⊥ED，过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用勾股定理求得FE、BE，结合△AEP是等腰直角三角形，得到BF=EF，再利用勾股定理可求BF，连接BD，求出△BDF的面积，即可求得S△ABF+S△ADF面积．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用等，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形．
17.答案：解：x-1>1①1+2x<7②，
解不等式①得：x>2，
解不等式②得：x<3，
∴该不等式组的解集为2解析：分别解每个不等式，再求出公共解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，解题关键是掌握解不等式的方法以及求公共解集的方法，口诀为：“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无处找”．
18.答案：证明：∵AB/​/CD，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△DCF中，
∠A=∠D∠B=∠CBE=CF，
∴△ABE≌△DCF(AAS)．
解析：先利用两直线平行，内错角相等求出∠B=∠C，再利用“AAS”即可求证．
本题考查了平行线的性质和利用“AAS”判定两个三角形全等的知识，解题关键是掌握全等三角形的判定条件．
19.答案：解：(1)A=(x+2)2+(x+1)(x-1)-3
=x2+4x+4+x2-1-3
=2x2+4x；
(2)原式=2(x2+2x)
=2×3
=6．
解析：(1)根据整式的混合运算法则计算即可化简；
(2)将(1)化简后的式子变形为2(x2+2x)，再将x2+2x=3整体代入求值即可．
本题考查整式的化简，代数式求值．掌握整式的混合运算法则和整体代入的思想是解题关键．
20.答案：6 2
解析：解：(1)这50名出行学生使用共享单车次数的中位数是3+32=3(次)，众数为2，
故答案为：1，2；
(2)这50名出行学生平均每人使用共享单车150×(1×8+2×13+3×11+4×12+5×6)=2.9(次)．
(1)根据中位数的概念求解可得；
(2)利用加权平均数的概念列式计算可得；
本题考查了中位数、平均数的概念以及利用样本平均数估计总体．抓住概念进行解题，难度不大，但是中位数一定要先将所给数据按照大小顺序重新排列后再求，以免出错．
21.答案：解：(1)过点A作AC⊥OB于点C，
∵△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，OC=12OB，
∵B(4,0)，
∴OB=OA=4，
∴OC=2，AC=2 3．
把点A(2,2 3)代入y=kx，得k=4 3．
∴反比例函数的解析式为y=4 3x；
(2)∵点A(2,2 3)，
∴OA的中点的坐标为(1, 3)，
∴O'A'的中点的纵坐标为 3，
把y= 3代入y=4 3x得， 3=4 3x；
解得x=4，
∴a=4-1=3，
∴a的值为3．
解析：(1)过点A作AC⊥OB于点C，根据等边三角形的性质得出点A坐标，用待定系数法求得反比例函数的解析式即可；
(2)求得OA的中点坐标，即可求得边O'A'的中点的纵坐标，代入反比例函数的解析式得出中点横坐标，再根据平移的法则得出a的值即可．
本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，掌握直角三角形、等边三角形的性质以及平移的性质是解题的关键．
22.答案：解：(1)设A型号收割机每台每天平均收割m亩该作物，B型号收割机每台每天平均收割n亩该作物，
依题意得：2m+3n=310m+n=130，
解得：m=80n=50．
答：A型号收割机每台每天平均收割80亩该作物，B型号收割机每台每天平均收割50亩该作物．
(2)设租用x台A型号的收割机，则租用(10-x)台B型号的收割机，
依题意得：80x+50(10-x)≥700，
解得：x≥203，
又∵x为整数，
∴x可以为7，8，9，10，
∴共有4种租赁方案．
∵完成该作物的收割需要的总租金为y元，且租用A型号收割机的租金为每天3000元，租用B型号收割机的租金为每天2000元，
∴y=3000x+2000(10-x)=1000x+20000．
∵1000>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=7时，y取得最小值，最小值=1000×7+20000=27000(元)．
答：一共有4种租赁方案，最少的总租金为27000元．
解析：(1)设A型号收割机每台每天平均收割m亩该作物，B型号收割机每台每天平均收割n亩该作物，根据“2台A型号收割机与3台B型号收割机一起工作1天共收割该作物310亩，1台A型号收割机和1台B型号收割机一起工作1天共收割该作物130亩”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设租用x台A型号的收割机，则租用(10-x)台B型号的收割机，根据租用的10台收割机一天收割的该作物不少于700亩，即可得出关于x的一元一次不等式，结合x为整数，即可得出共有4种租赁方案，利用总租金=每台收割机每天的租金×租用数量，即可得出y关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式．
23.答案：解：(1)①如图1，即为所作图形；

②∵点C是AB的中点，
∴AC=BC．
∵CD是∠ACB的平分线，
∴CD⊥AB．
∵AB是⊙O的直径，
∴CD经过圆心O，
∴∠BOD=90°．
∵⊙O的半径为6，
∴OB=OD=6，
∴BD= OB2+OD2=6 2；
(2)点C在运动过程中，四边形ADBC的面积存在最大值．
理由：如图，连接AB，过点D作DC'⊥AB于点E，交⊙O于点C'，过点C作CF⊥AB．

∵∠ACD=∠BCD=60°，
∴AD=BD，∠ACB=2∠BCD=120°，
∴AD=BD．
∵四边形ADBC为⊙O内接四边形，
∴∠ADB=180°-∠ACB=60°，
∴△ADB为等边三角形．
∵DC'⊥AB，
∴DC'为⊙O直径，C'是AB的中点．
∵S四边形ADBC=S△ABD+S△ABC，
∴S四边形ADBC=12AB⋅DE+12AB⋅CF=12AB⋅(DE+CF)．
∵△ADB为等边三角形，
∴AB和AB边上的高都为定值，
∴当CF最大时，S四边形ADBC最大，此时点C与点C'重合，
∴当点C为AB中点时，S四边形ADBC最大，此时DC为⊙O直径，
∴∠A=∠B=90°，如图3．

∵⊙O的半径为6，
∴CD=12．
∵∠ADC=90°-∠ACD=30°，
∴AC=12CD=6，
∴AD= CD2-AC2=6 3，
∴S△ACD=12AC⋅AD=12×6×6 3=18 3．
∵BD=AD，BC=AC，CD=CD，
∴△BCD≌△ACD(SSS)，
∴S△BCD=S△ACD=18 3，
∴S四边形ABCD=S△BCD+S△ACD=36 3，
∴点C在运动过程中，四边形ADBC的面积存在最大值，最大值为36 3．
解析：(1)①根据角平分线的作图方法画出CD，在连接BD即可；②由点C是AB的中点，得出AC=BC.根据等腰三角形的性质得出CD⊥AB.结合AB是⊙O的直径，即得出CD经过圆心O，即∠BOD=90°，最后根据勾股定理求解即可．
(2)连接AB，过点D作DC'⊥AB于点E，交⊙O于点C'，过点C作CF⊥AB.由题意易证△ADB为等边三角形．根据DC'⊥AB，即得出DC'为⊙O直径，C'是AB的中点．根据△ADB为等边三角形，可得出AB和AB边上的高都为定值，再根据S四边形ADBC=12AB⋅(DE+CF)，即得出当CF最大时，S四边形ABCD最大，此时点C与点C'重合，即当点C为AB中点时，S四边形ADBC最大，此时DC为⊙O直径，得出此时∠A=∠B=90°.易求出∠ADC=90°-∠ACD=30°，结合勾股定理和含30度角的直角三角形的性质得出AC=12CD=6，AD= CD2-AC2=6 3，进而可求出S△ACD=12AC⋅AD=18 3，又易证△BCD≌△ACD(SSS)，得出S△BCD=S△ACD=18 3，从而可求出S四边形ABCD=S△BCD+S△ACD=36 3，即点C在运动过程中，四边形ADBC的面积存在最大值，最大值为36 3．
本题考查作图—角平分线，勾股定理，圆周角定理的推论，垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，综合性强．正确作出辅助线，并利用数形结合的思想是解题关键．
24.答案：解：(1)∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠B=60°，∠D=30°，
∴∠A+∠C=360°-60°-30°=270°；
(2)如图，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAQ．

∴∠CBD=∠ABQ，∠C=∠BAQ，CD=AQ=4，BD=BQ．
∵∠CBD+∠ABD=60°，
∴∠ABQ+∠ABD=60°，即∠DBQ=60°，
∴△DBQ是等边三角形，
∴BD=DQ．
∵∠C+∠BAD=270°，
∴∠BAQ+∠BAD=270°，
∴∠DAQ=90°，
∴BD=DQ= AD2+AQ2=5；
(3)如图，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAH，连接DH．
由(2)同理可证△BDH为等边三角形，
∴S四边形ABCD=S△BAH+S△ABD=S△DBH-S△ADH，
∴当△ADH面积最大时，四边形ABCD的面积最小．
∵∠ABC=60°，∠ADC=75°，
∴∠BAD+∠BCD=∠BAD+∠BAH=225°，
∴∠DAH=135°．
∵DH=DB=6，
∴点A在定圆⊙O上运动，如图，则当O、A、B共线时，△DAH的面积最大，此时OB⊥DH，设OA交DH于K，
∴HK=KD=3．
∵AH=AD，
∴∠AHD=∠ADH=22.5°．
在HK上取点F，使得FH=FA，如图，则△AKF是等腰直角三角形．

设AK=FK=x，则FH=AF= 2x，
∴3=x+ 2x，
解得：x=3 2-3，
∴S△ADH=12DH⋅AK=12×6×(3 2-3)=9 2-9．
∵S△BDH= 34BD2= 34×62=9 3，
∴S四边形ABCD=S△DBH-S△ADH=9 3-9 2+9，即四边形ABCD的面积最小值为9 3-9 2+9．
解析：(1)根据四边形的内角和定理求解即可；
(2)将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAQ.即得出∠CBD=∠ABQ，∠C=∠BAQ，CD=AQ=4，BD=BQ，从而可证△DBQ是等边三角形，即得出BD=DQ.再结合(1)可得出∠BAQ+∠BAD=270°，进而可求出∠DAQ=90°，最后根据勾股定理求解即可；
(3)如图，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAH，连接DH.易证△BDH为等边三角形．根据S四边形ABCD=S△BAH+S△ABD=S△DBH-S△ADH，即得出当△ADH面积最大时，四边形ABCD的面积最小．又可求∠DAH=135°，结合DH=DB=6，即说明点A在定圆⊙O上运动，则当O、A、B共线时，△DAH的面积最大，此时OB⊥DH，设OA交DH于K，HK=KD=3，进而可求∠AHD=∠ADH=22.5°.在HK上取点F，使得FH=FA，则△AKF是等腰直角三角形．设AK=FK=x，则FH=AF= 2x，即可列出关于x的等式，解出x的值，结合三角形的面积公式和等边三角形的面积公式求解即可．
本题考查四边形的内角和，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外角的性质，垂径定理等知识．正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．
25.答案：解：(1)将(-1,-8)和(1,0)两点代入抛物线C1：y=ax2+bx-5(a≠0)得，
a-b-5=-8a+b-5=0，解得a=1b=4，
∴抛物线的函数表达式为：y=x2+4x-5；
(2)由ax2+4ax-5=m，
∴xA+xB=-4，xA⋅xB=-5-ma，
∴AB=|xA-xB|= 16+20+4ma，
∵线段AB的长度不变，
∴20+4m=0，
解得m=-5，
∴AB=4；
(3)存在实数a使得以点A，B，G，H为顶点的四边形为正方形，理由如下：
∵y=ax2+4ax-5=a(x+2)2-4a-5，
∴G(-2,-4a-5)，
设抛物线C2上任意一点(x,y)，则点(x,y)关于y=-5对称的点的坐标为(x,-10-y)，
∴-10-y=ax2+4ax-5，
∴抛物线C4的解析式为y=-ax2-4ax-5=-a(x+2)2+4a-5，
∴H(-2,4a-5)，
∵AB/​/x轴，GH⊥x轴，
∴AB、GH为正方形的对角线，
∴AB=GH，
∴|4a-5+4a+5|=4，
解得a=±12．
解析：(1)利用待定系数法即可求抛物线的函数表达式；
(2)由ax2+4ax-5=m，根据根与系数的关系可得xA+xB=-4，xA⋅xB=-5-ma，则AB=|xA-xB|= 16+20+4ma，再由题意可得20+4m=0，求出m的值即可求AB；
(3)先求出G(-2,-4a-5)，抛物线C2的解析式为y=-ax2-4ax-5=-a(x+2)2+4a-5，再求出H(-2,4a-5)，由于AB/​/x轴，GH⊥x轴，可知AB、GH为正方形的对角线，则AB=GH=4，求出a的值即可．
本题是二次函数综合题，考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的图象及性质，正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
题号
一
二
三
总分
得分
使用次数
1
2
3
4
5
人数
8
13
11
12
6