湖南省郴州市嘉禾县第五中学2023届九年级中考三模数学试卷(含解析)

这是一份湖南省郴州市嘉禾县第五中学2023届九年级中考三模数学试卷(含解析)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 10的相反数是（ ）
A. －10B. 10C. D.
【答案】A
解析：解：10的相反数是－10．
故选：A．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：A选项，和不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B选项，，正确，故符合题意；
C选项，，不正确，故不符合题意；
D选项，，不正确，故不符合题意．
故选：B
3. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C. 两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例D. 两点之间线段最短
【答案】A
解析：解：O为、的中点，
，，
（对顶角相等），
在与中，
，
，
，
故选：A．
4. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴=0，
∴，
解得，故C正确．
故选：C．
5. 图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
解析：解∶如图，

一共有5条对称轴．
故选：D
6. 如图，五边形ABCDE是正五边形，，若，则（ ）
A. 60°B. 56°C. 52°D. 40°
【答案】B
解析：解：延长DE，FA交于点H，如图，
五边形ABCDE是正五边形，

故选：B．
7. 如图，，在上截取．过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；按此规律，所得线段的长等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：解：∵A1B1⊥OM，∠MON=30°，OA1=，
∴B1O=÷cs30°=2，
∵OB1=B1A2，
∴∠B1A2O=30°
∴∠A2B1B2=60°，
∵A2B2⊥OM，
∴∠B2A2B1=60°，
∴△B1A2B2是等边三角形，，
∴A2B2=2，
∴△B2A3B3是等边三角形，
∴A3B3=2×2=4=22，
同理可得 △B2021A2022B2022是等边三角形，
∴A2022B2022=22021，
故选：A．
8. 如图，在中，，的平分线交于点，为的中点，若，则的长是（ ）
A. 8B. 6C. 5D. 4
【答案】C
解析：∵，平分，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
故选C．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 计算的结果是_________．
【答案】2
解析：解：．
故答案为：2．
10. 如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工．取，，，则，两点的距离是_________．
【答案】
详解】如图所示：过点作于点，则∠BEC=∠DEC=90°，
，
，
∴∠BCE=90°-30°=60°，
又，
，
∴∠ECD=45°=∠D，
∴，
，
，
，即．
故答案为：．
11. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是___．
【答案】
解析：画树状图为：
共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1，
所以两枚硬币全部正面向上的概率=．
故答案为：
12. 如图，用一段长为的篱芭围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为_______．
【答案】32
解析：解：设围栏垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，
∴围栏的面积，
∴当时，S取最大值，最大值为32，
故答案为：32．
13. 如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数的图象上，则经过点A的反比例函数表达式为____________．
【答案】
解析：解：如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，则∠ACO=∠ODB=90°，
由题意得OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠CAO+∠COA=∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠CAO=∠DOB，
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴AC=OD，OC=BD，
设点B的坐标为（a，b），则AC=OD=a，OC=BD=b，
∴点A的坐标为（-b，a），
∵点B在反比例函数，
∴，
∴，
∴，
∴经过点A的反比例函数表达式为，
故答案为：．
14. 如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________．
【答案】##4.8
解析：∵四边形EFGH是矩形，
∴，
∴，
∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高，
∴，
∴，
∵，
代入可得：，
解得，
∴，
故答案为：．
15. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，且点A、B都在原点右侧，抛物线的顶点为点P，当为直角三角形时，m的值为________．

【答案】2
解析：解：设点，，则，
令得 ，
∴，，则，
由抛物线得顶点坐标为，
抛物线的对称性知为等腰直角三角形，
∴，
即，
解得： 或或，
∵抛物线与x轴交于A、B两点，且点A、B都在原点右侧，
∴且且，即且，
∴，
故答案为：2．
16. 如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PB，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接AB、OB，则OB的最小值是______．
【答案】
解析：解：①当P点纵坐标≥0时如图，过点B作BC⊥y轴于C，
∠CBP+∠CPB=90°，∠OPA+∠CPB=90°，则∠CBP=∠OPA，
由旋转的性质可得：PB=PA，
△BPC和△PAO中：∠PBC=∠APO，∠BCP=∠POA=90°，BP=PA，
∴△BPC≌△PAO（AAS），
∴BC=PO，PC=AO，
设OP长度为x，则PC=AO=4，BC=x，B（x，x+4）
∴
∵x≥0，
∴x=0时OB最小，最小值为4，
②当P点纵坐标＜0时，如图，过点B作BC⊥y轴于C，
同理可得△BPC≌△PAO（AAS），BC=PO，PC=AO，
设OP长度为x，则PC=AO=4，BC=x，B（-x，4-x）
∴
∵x＞0，
∴x=2时OB最小，最小值为，
综上所述：OB最小值为，
故答案为：；
三、解答题（共10小题，17~19题每题6分，20~23题每题8分，24~25题每题10分，26题12分，共82分）
17. 计算：．
【答案】2
解析：解：原式
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
解析：解：原式


，
当时，原式．
19. 如图，在中，边的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连接求证：四边形 是菱形
【答案】见解析
解析：证明:四边形是平行四边形，
是的垂直平分线，
在和中，
又
四边形是平行四边形
是的垂直平分线
是菱形
20. 为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示．
大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表
请根据调查的信息分析：
（1）活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为 ；
（2）估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数；
（3）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果．
【答案】（1）4.5首；（2）大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的有850人；（3）见解析．
解析：解：（1）本次调查的学生有：20÷=120（名），
背诵4首的有：120﹣15﹣20﹣16﹣13﹣11=45（人），
∵15+45=60，
∴这组数据的中位数是：（4+5）÷2=4.5（首），
故答案为4.5首；
（2）大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的有：1200×=850（人），
答：大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的有850人；
（3）活动启动之初的中位数是4.5首，众数是4首，
大赛比赛后一个月时中位数是6首，众数是6首，
由比赛前后的中位数和众数看，比赛后学生背诵诗词的积极性明显提高，这次举办后的效果比较理想．
21. 某公园一斜坡上有一颗挺直的树AB，某同学为了测量其高度，从地面上C点处测得其顶端A的仰角为20°，他沿着水平方向向前行走17m后到达斜坡底端D点，再沿着斜坡行走5m到达顶端E点．已知斜坡的坡度为1：0.75，斜坡顶端E与树的底端B的距离为4 m，且BECD．请你帮该同学计算出树的高度 AB．（参考数据∶ sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，结果精确到0.01 m）
【答案】4.64m
解析：解：如图，过点E作EN⊥CD于CD延长线于N，延长AB交CD延长线于M，
由题意，得AB⊥BE，
∵BECD，
∴AM⊥CM，
∵EN⊥CD，
∴四边形BMNF是矩形，MN=BE=4m，BM=EN，
在Rt△END中，DE=5m，DE的坡度为1：0.75，
即ι=，
设EN=4k，DN=3k，
由勾股定理，得
52=(4k)2+(3k)2，解得k=1，
∴EN=4m，DN=3m，
∴AM=AB+BM=AB+EN=AB+4，
CM=CD+DN+MN=CD+DN+BE=17+3+4=24（m），
在Rt△ACM中，
tan∠C=，
即tan20°
∴，
∴AB≈4.64（m），
答：树的高度 AB约为4.64m，
22. 某蔬菜基地有甲、乙两个用于灌溉的水池，他们的最大容量均为，原有水量分别为、，现向甲、乙同时注水，直至两水池均注满为止，已知每分钟向甲、乙的注水量之和恒定为，若其中某一水池注满，则停止向该水池注水，改为向另一水池单独注水，设注水第时，甲、乙水池的水量分别为、．
（1）若每分钟向甲注水，分别写出、与之间的函数表达式；
（2）若每分钟向甲注水，画出与之间的函数图像；
（3）若每分钟向甲注水，则甲比乙提前注满，求的值．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）
【小问1详解】
解：由题意可得：若每分钟向甲注水，则每分钟向乙注水，，
两个水池同时注满．，
【小问2详解】
解：若每分钟向甲注水，则每分钟向乙注水，
，所以此种情况，甲先注满，然后单独向乙注水，
，
图像如图所示：
【小问3详解】
解：由于甲比乙提前注满，所以后，乙每分钟注入，所以在甲注满时，乙只注入到，所以，
解得，
经检验，符合题意，是方程的解，
所以．
23. 如图，在中，，，．延长至点C，使，连接，以O为圆心，长为半径作，延长，与交于点E，作弦，连接，与的延长线交于点D．
（1）求证：是的切线；
（2）求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【小问1详解】
证明：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，；
∴，
∵，
∴，
即，
∵为半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：如图，过点O作于点G，如图所示，
∵，，弦，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，即为等腰三角形，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴．
24. 在平面直角坐标系中，对于点.和，给出如下定义：如果，那么称点Q为点P的“关联点”．
例如：点的“关联点”为点，点的“关联点”为点．
（1）在点，，，中， 的“关联点”在函数的图像上；
（2）如果一次函数图像上点M的“关联点”是，求点M的坐标；
（3）如果点P在函数的图像上，其“关联点”Q的纵坐标y′的取值范围是，求实数a的取值范围．
【答案】（1）和
（2）
（3）
【小问1详解】
解：由题意新定义知：点的“关联点”是，
当时，，
∴的“关联点”不在函数图像上；
∵点的“关联点”是，
当时，，
∴的“关联点”在函数图像上；
∵点的“关联点”是，
当时，，
∴的“关联点”不在函数图像上；
∵点的“关联点”是，
当时，，
∴的“关联点”在函数图像上；
∴和的“关联点”在函数图像上；
故答案为：和；
【小问2详解】
解：当时，则点，
则，解得：（舍去）；
当时，点，
，解得：，
∴点；
【小问3详解】
解：如下图所示为“关联点”函数图像：
从函数图像看，“关联点”Q的纵坐标y′的取值范围是，
函数图像只需要找到最小值（直线）与直线从大于等于2开始运动，直到与有交点结束，都符合要求，
∴，
解得：（舍去负值），
观察图像可知满足条件的a的取值范围为：．
25. 如图，在中，是边上的中线，点E是的中点．过点A作交的延长线于点F，连接．

（1）求证：；
（2）若，试判断四边形的形状，并证明你的结论；
（3）在（2）的情况下，如果，点M在线段上移动，当有最小值时，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）菱形，见解析
（3）
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
在和中，，
∴；
【小问2详解】
证明：四边形是菱形．
∵，
∴，
∵，
∴
又，
∴四边形是平行四边形，
∵是边上的中线，
∴，
∴四边形是菱形；
【小问3详解】
解：连接交于M，有最小值，则点M即为所求，
理由如下：
∵，四边形是菱形，
∴四边形是正方形，点D与点F关于直线对称，
∴，
∴，，
线段上任取一点，连接，，，
则，
∴有最小值为的长．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
即当有最小值时，的长度为

26. 如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点D的坐标；
（3）P为抛物线上一点，连接，过点P作交抛物线对称轴于点Q，当时，请直接写出点P的横坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）点P的横坐标为或或或
【小问1详解】
解：把点和代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：过点D作DH∥y轴，交AC于点H，如图所示：
设，直线AC的解析式为，
由（1）可得：，
∴，解得：，
∴直线AC的解析式为，
∴，
∴，
∵DH∥y轴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，
∴；
【小问3详解】
解：由题意可得如图所示：
分别过点C、Q作垂线，交过点P作y轴的平行线于点G、H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设点，由题意可知：抛物线的对称轴为直线，，
∴，
∴，
当时，解得：，
当时，解得：
综上：点P的横坐标为或或或．一周诗词诵背数量
3首
4首
5首
6首
7首
8首
人数
10
10
15
40
25
20