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数学八年级上册3.1 勾股定理达标测试
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这是一份数学八年级上册3.1 勾股定理达标测试，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．已知直角三角形的两条边长分别是3和4，那么这个三角形的第三条边的长为（ ）
A．5B．25C．D．5或
2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC交边AC于点D，E为BD的中点，若BC＝2，则CE的长为（ ）
A．B．2C．D．3
3．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有( )
A．5个B．4个C．3个D．2个
4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，AD为∠BAC的角平分线，则△ABD的面积为（ ）
A．3B．C．D．6
5．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则的值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
第5题图 第6题图
6．如图，在正方形ABCD中，，E为AB边上一点，点F在BC边上，且，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
二、填空题（每小题2分，共20分）
7．一直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为____________．
8．如图，点是以为圆心，为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点表示的实数是__________．
9．已知x、y为直角三角形的两边且满足，则该直角三角形的第三边为_________．
10．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8 cm，正方形A的面积是10cm2，B的面积是11 cm2，C的面积是13 cm2，则D的面积为_________cm2．
11．如图，一个梯子长2．5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角距离为0．7米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为0．8米，求梯子顶端下落了_________米．
第11题图 第12题图
12．如图，圆柱形玻璃容器高12cm，底面周长为24cm，在容器外侧距下底1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底2cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为______cm．
13．在中，，BC边上的高AD为2，，则BC的长为_____________．
14．如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为60，小正方形的面积为10，则（a+b）2的值为_________．
15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB－∠PCD＝_______________．
16．如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5．若动点P从点C开始以每秒1个单位的速度，按C→A→B的路径运动，设运动的时间为t秒，当t为_________时，△BCP为等腰三角形．
三、解答题（共62分）
17．（6分）数学之美，不仅是几何图形经过排列组合后呈现的炫美图案，还包括严谨推理引发的思维律动．已超过400种勾股定理的证明方法呈现的数学之美让我们陶醉，其中一种方法是：将两个全等的和如图所示摆放，使点，，在同一条直线上，中，即可借助图中几何图形的面积关系来证明．请写出证明过程．
18．（8分）如图，在正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形，请在网格中仅用无刻度直尺画图，（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．
(1)在图①中画出△ABC中AC边上的高BD；
(2)在图①中过点A画直线l，使直线l平分△ABC的面积；
(3)在图②中画出△ABC的角平分线CE；
(4)在图②中的AC边上画出点F，连接BF，使BF=BC．
19．（8分）如图，在中，，，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点．且．
(1)求证：．
(2)，求．
20．（10分）如图，有人在岸上点的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长米，且米，拉动绳子将船从点沿方向行驶到点后，绳长米．
(1)试判定的形状，并说明理由；
(2)求船体移动距离的长度．
(3)若在BD段拉动船的速度为1米/秒，到达D后增加了人力，拉动船的速度变为2米/秒，求把船从B拉到岸边A点所用时间．
21．（10分）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)出发4秒后，求PQ的长；
(2)从出发几秒钟后，△PQB第一次能形成等腰三角形？
(3)当点Q运动到CA上时，求能使△BCQ是等腰三角形时点Q的运动时间，请直接写出t的值．
22．（10分）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．
(1)求∠ACB的度数；
(2)海港C受台风影响吗？为什么？
(3)若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
23．（10分）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．
(1)请根据“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程；
探索研究：
(2)小亮将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
问题解决：
(3)如图2，若，，此时空白部分的面积为__________；
(4)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共18分）
1、D
【解析】解：当边长为4的边作斜边时，第三条边的长度为；
当边长为4的边作直角边时，第三条边的长度为；
综上分析可知，这个三角形的第三条边的长为5或，故D正确．
故选：D．
2、B
【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBA＝30°，
设CD＝x，∴BD＝2CD＝2x，
在中，，得，得，解得x=2(负值舍去)，
故CD=2，BD=4，
∵E点是BD的中点，∴．
故选：B．
3、C
【解析】解：过作，
，，，
是线段上的动点（不含端点、．3≤AD<5，
或4，
线段长为正整数，的可以有三条，长为4，3，4，
点的个数共有3个，
故选：C．
4、B
【解析】如图，过点D作DE⊥AC，垂足为E，
∵∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，AD为∠BAC的角平分线，∴BC==4，BD=DE，
∵AD=AD，∴△ABD≌△AED，∴AD=AE=3，EC=AC-AE=5-3=2，
设BD=DE=x，则DC=4-x，
根据勾股定理，得，解得x=，∴△ABD的面积为，
故选B．
5、B
【解析】解：设全等的直角三角形的两条直角边为、且，
由题意可知：，，，
因为，即，，所以，的值是．
故选：B．
6、C
【解析】解：过点作于点，延长交于点，则，
∵四边形是正方形，∴，∴四边形是矩形，
∴，，
∵，∴，
又，∴，
∵，，∴，
∴，，∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
当时，有最小值为，∴的最小值为，
故选：C
二、填空题（每小题2分，共20分）
7、10
【解析】设一条直角边为a，则斜边为a+2，
∵另一直角边长为6，∴，解得a=8，∴a+2=8+2=10．
故答案为10．
8、
【解析】解：如图，在Rt△AOB中，OA=1，OB=3，
根据勾股定理得：AB==，∴AP=AB=，∴OP=AP-OA=-1，
则P表示的实数为1-．
故答案为：1-．
9、5或
【解析】∵，，且，
∴，，解得：x=3，y=4．
当x=3，y=4为直角三角形的两直角边时，由勾股定理得第三边为：；
当x=3为一直角边，y=4为斜边时，由勾股定理得第三边为：．
故答案为：5或．
10、30
【解析】解：如图记图中三个正方形分别为P、Q、M．
根据勾股定理得到：A与B的面积的和是P的面积；C与D的面积的和是Q的面积；而P、Q的面积的和是M的面积．
即A、B、C、D的面积之和为M的面积．
∵M的面积是82=64，∴A、B、C、D的面积之和为64，设正方形D的面积为x，
∴11+10+13+x=64， ∴x=30，
故答案为30．
11、0.4
【解析】解：在Rt△ABC中，AB=2．5米，BC=0．7米，
故AC=（米），
在Rt△ECD中，AB=DE=2．5米，CD=0．8+0．7=1．5（米），
故EC=（米），
故AE=ACCE=2．42=0．4（米）．
答：梯子下滑了0．4米．
故答案为：0．4；
12、15
【解析】解：圆柱体玻璃杯展开图如下，作；
∵底面周长为24cm，∴
∵，∴cm，
∴cm，
故答案为：15．
13、1或3
【解析】解：由题意，分以下两种情况：
①如图，当是锐角时，
，是等腰直角三角形，，
在中，，
则；
②如图，当是钝角时，
同理可得：，；
综上，的长为1或3，
故答案为：1或3．
14、110
【解析】解：由图可知，（b﹣a）2＝10，4ab＝60﹣10＝50，
∴2ab＝50，
∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝10+2×50＝110．
故答案为：110
15、45°
【解析】如图，取CD边上的格点E，连接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD．
由题意可得AP2＝PE2＝12+22＝5，AE2＝12+32＝10．
∴AE2＝AP2+PE2．∴△APE是等腰直角三角形．∴∠PAE＝45
∴∠PAB－∠PCD＝∠PAB－∠BAE＝∠PAE＝45°．
16、 5或20或 或
【解析】解：∵∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB13，
当点P在AC上时，CP＝CB＝5，∴t＝5；
当点P在AB上时，分三种情况：
①当BP＝BC＝5，如图1所示：
则AP＝13﹣5＝8，∴t＝12+8＝20；
②当CP＝CB＝5时，
过点C作CM⊥AB于M，如图2所示：
则
∵，∴CM，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：BM，
∴BP＝2BM∴AP＝13，∴t＝12；
③当PC＝PB时，如图3所示：
则∠B＝∠BCP，
∵∠B+∠A＝90°，∠BCP+∠ACP＝90°，∴∠A＝∠ACP，∴AP＝PC，
∴AP＝PBAB，∴t＝12；
综上所述，当t＝5或20或或时，△BCP为等腰三角形．
三、解答题（共62分）
17、详见解析．
【解析】证明：由已知可知，，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴是直角三角形，
∵，
∴，
即，∴，
∴．
18、(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析；(4)见解析
【解析】(1)解：如图1中，线段BD即为所求；
(2)解：如图1中，直线l即为所求；
(3)解：如图2中，线段CE即为所求；
(4)解：如图2中，点F即为所求．
19、(1)见解析；(2)
【解析】(1)证明：连接AD，
∵AB=AC，∠A=90°，D为BC中点，∴AD=BC=BD=CD，
且AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=45°，
在△BDE和△ADF中，
BD=AD ，∠B=∠DAF=45°，BE=AF，∴△BDE≌△ADF，∴DE=DF；
(2)由（1）得△BDE≌△ADF，∴∠BDE=∠ADF，
∵∠BDE+∠ADE=90°，∴∠ADF+∠ADE=90°，即：∠EDF=90°，∴△EDF为等腰直角三角形．
∵ED=2，∴EF=．
20、
(1)是等腰直角三角形，理由见解析
(2)船体移动距离的长度为5米
(3)把船从B拉到岸边A点所用时间为12．5秒
【解析】(1)解：是等腰直角三角形．理由如下：
由题意可得：米，米，，
可得（米， ∴AC=AD，
又∵∠CAD=90°，故是等腰直角三角形；
(2)解：米，米，，，
∴（米．
答：船体移动距离的长度为5米．
(3)解：船在BD段所用时间为：=5（秒），
船在AD段所用时间为：=7．5（秒），∴5+7．5=12．5(秒)．
答：把船从B拉到岸边A点所用时间为12．5秒．
21、(1)PQ=cm； (2)11秒； (3)当t为11秒或12秒或13．2秒时，△BCQ为等腰三角形．
【解析】(1)如图所示：
BQ=4×2=8cm，BP=AB-AP=16- 1×4=12cm，
∵∠B= 90°，∴PQ=cm；
(2)当△PQB第一次形成等腰三角形时，BQ =BP，
∵BQ = 2t，BP= 16-t，∴2t= 16-t，解得：t=；
(3)∵∠B = 90°，AB =16cm，BC = 12cm，∴ACcm，
①当CQ= BQ时，如图
则∠C=∠CBQ，∵∠ABC= 90°，∴∠CBQ +∠ABQ = 90°，
∵∠A+∠C= 90°，∴∠A=∠ABQ，∴BQ= AQ，∴CQ=AQ=10cm，∴BC+ CQ = 22cm，∴t=22 ÷2= 11秒；
②当CQ= BC时，如图2，
则BC+CQ=24cm，∴t=24÷2= 12秒；
③当BC = BQ时，如图3， 过B点作BE⊥AC于点E，
则BE=cm，∴CE=cm，
∴CQ= 2CE =14．4cm，∴BC+ CQ = 26．4cm，
∴t=26．4÷2= 13．2秒；
综上可知，当t为11秒或12秒或13．2秒时，△BCQ为等腰三角形．
22、
（1）∠ACB＝90°；
（2）海港C受台风影响，理由见解析
（3）台风影响该海港持续的时间为小时
【解析】(1)解：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
(2)解：海港C受台风影响，理由：
过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴×300×400＝×500×CD，∴CD＝240（km），
∵距离台风中心260km及以内的地区会受到影响，∴海港C受台风影响；
(3)解：设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC＝FC＝260km，
由（2）得：CD⊥AB，CD=240km，∴EF=2ED，
∵ED＝＝100（km），∴EF＝200km，
∵台风的速度为28千米/小时，
∴200÷28＝（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为小时．
23、(1)见详解；(2)见详解；(3)52；(4)24．
【解析】(1)证明：由图可知，每个直角三角形的面积为，
空白小正方形的面积为，
整个围成的大正方形的面积为，
∵，即，
故；
(2)如下图所示，连接大正方形一条对角线DE
可知 ，
其中，，，，
代入可得，，
即；
(3)由图2可知，，
∵，，∴，
则=100，∴，
故空白部分的面积为52；
(4)由题意可知，风车的周长为 ，
其中OC=a=3，代入上式可得c+b=9，则c=9-b，
且，即，将c=9-b代入得，
，解得b=4，
则．
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．已知直角三角形的两条边长分别是3和4，那么这个三角形的第三条边的长为（ ）
A．5B．25C．D．5或
2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC交边AC于点D，E为BD的中点，若BC＝2，则CE的长为（ ）
A．B．2C．D．3
3．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有( )
A．5个B．4个C．3个D．2个
4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，AD为∠BAC的角平分线，则△ABD的面积为（ ）
A．3B．C．D．6
5．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则的值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
第5题图 第6题图
6．如图，在正方形ABCD中，，E为AB边上一点，点F在BC边上，且，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
二、填空题（每小题2分，共20分）
7．一直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为____________．
8．如图，点是以为圆心，为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点表示的实数是__________．
9．已知x、y为直角三角形的两边且满足，则该直角三角形的第三边为_________．
10．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8 cm，正方形A的面积是10cm2，B的面积是11 cm2，C的面积是13 cm2，则D的面积为_________cm2．
11．如图，一个梯子长2．5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角距离为0．7米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为0．8米，求梯子顶端下落了_________米．
第11题图 第12题图
12．如图，圆柱形玻璃容器高12cm，底面周长为24cm，在容器外侧距下底1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底2cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为______cm．
13．在中，，BC边上的高AD为2，，则BC的长为_____________．
14．如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为60，小正方形的面积为10，则（a+b）2的值为_________．
15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB－∠PCD＝_______________．
16．如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5．若动点P从点C开始以每秒1个单位的速度，按C→A→B的路径运动，设运动的时间为t秒，当t为_________时，△BCP为等腰三角形．
三、解答题（共62分）
17．（6分）数学之美，不仅是几何图形经过排列组合后呈现的炫美图案，还包括严谨推理引发的思维律动．已超过400种勾股定理的证明方法呈现的数学之美让我们陶醉，其中一种方法是：将两个全等的和如图所示摆放，使点，，在同一条直线上，中，即可借助图中几何图形的面积关系来证明．请写出证明过程．
18．（8分）如图，在正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形，请在网格中仅用无刻度直尺画图，（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．
(1)在图①中画出△ABC中AC边上的高BD；
(2)在图①中过点A画直线l，使直线l平分△ABC的面积；
(3)在图②中画出△ABC的角平分线CE；
(4)在图②中的AC边上画出点F，连接BF，使BF=BC．
19．（8分）如图，在中，，，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点．且．
(1)求证：．
(2)，求．
20．（10分）如图，有人在岸上点的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长米，且米，拉动绳子将船从点沿方向行驶到点后，绳长米．
(1)试判定的形状，并说明理由；
(2)求船体移动距离的长度．
(3)若在BD段拉动船的速度为1米/秒，到达D后增加了人力，拉动船的速度变为2米/秒，求把船从B拉到岸边A点所用时间．
21．（10分）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)出发4秒后，求PQ的长；
(2)从出发几秒钟后，△PQB第一次能形成等腰三角形？
(3)当点Q运动到CA上时，求能使△BCQ是等腰三角形时点Q的运动时间，请直接写出t的值．
22．（10分）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．
(1)求∠ACB的度数；
(2)海港C受台风影响吗？为什么？
(3)若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
23．（10分）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．
(1)请根据“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程；
探索研究：
(2)小亮将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
问题解决：
(3)如图2，若，，此时空白部分的面积为__________；
(4)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共18分）
1、D
【解析】解：当边长为4的边作斜边时，第三条边的长度为；
当边长为4的边作直角边时，第三条边的长度为；
综上分析可知，这个三角形的第三条边的长为5或，故D正确．
故选：D．
2、B
【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBA＝30°，
设CD＝x，∴BD＝2CD＝2x，
在中，，得，得，解得x=2(负值舍去)，
故CD=2，BD=4，
∵E点是BD的中点，∴．
故选：B．
3、C
【解析】解：过作，
，，，
是线段上的动点（不含端点、．3≤AD<5，
或4，
线段长为正整数，的可以有三条，长为4，3，4，
点的个数共有3个，
故选：C．
4、B
【解析】如图，过点D作DE⊥AC，垂足为E，
∵∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，AD为∠BAC的角平分线，∴BC==4，BD=DE，
∵AD=AD，∴△ABD≌△AED，∴AD=AE=3，EC=AC-AE=5-3=2，
设BD=DE=x，则DC=4-x，
根据勾股定理，得，解得x=，∴△ABD的面积为，
故选B．
5、B
【解析】解：设全等的直角三角形的两条直角边为、且，
由题意可知：，，，
因为，即，，所以，的值是．
故选：B．
6、C
【解析】解：过点作于点，延长交于点，则，
∵四边形是正方形，∴，∴四边形是矩形，
∴，，
∵，∴，
又，∴，
∵，，∴，
∴，，∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
当时，有最小值为，∴的最小值为，
故选：C
二、填空题（每小题2分，共20分）
7、10
【解析】设一条直角边为a，则斜边为a+2，
∵另一直角边长为6，∴，解得a=8，∴a+2=8+2=10．
故答案为10．
8、
【解析】解：如图，在Rt△AOB中，OA=1，OB=3，
根据勾股定理得：AB==，∴AP=AB=，∴OP=AP-OA=-1，
则P表示的实数为1-．
故答案为：1-．
9、5或
【解析】∵，，且，
∴，，解得：x=3，y=4．
当x=3，y=4为直角三角形的两直角边时，由勾股定理得第三边为：；
当x=3为一直角边，y=4为斜边时，由勾股定理得第三边为：．
故答案为：5或．
10、30
【解析】解：如图记图中三个正方形分别为P、Q、M．
根据勾股定理得到：A与B的面积的和是P的面积；C与D的面积的和是Q的面积；而P、Q的面积的和是M的面积．
即A、B、C、D的面积之和为M的面积．
∵M的面积是82=64，∴A、B、C、D的面积之和为64，设正方形D的面积为x，
∴11+10+13+x=64， ∴x=30，
故答案为30．
11、0.4
【解析】解：在Rt△ABC中，AB=2．5米，BC=0．7米，
故AC=（米），
在Rt△ECD中，AB=DE=2．5米，CD=0．8+0．7=1．5（米），
故EC=（米），
故AE=ACCE=2．42=0．4（米）．
答：梯子下滑了0．4米．
故答案为：0．4；
12、15
【解析】解：圆柱体玻璃杯展开图如下，作；
∵底面周长为24cm，∴
∵，∴cm，
∴cm，
故答案为：15．
13、1或3
【解析】解：由题意，分以下两种情况：
①如图，当是锐角时，
，是等腰直角三角形，，
在中，，
则；
②如图，当是钝角时，
同理可得：，；
综上，的长为1或3，
故答案为：1或3．
14、110
【解析】解：由图可知，（b﹣a）2＝10，4ab＝60﹣10＝50，
∴2ab＝50，
∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝10+2×50＝110．
故答案为：110
15、45°
【解析】如图，取CD边上的格点E，连接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD．
由题意可得AP2＝PE2＝12+22＝5，AE2＝12+32＝10．
∴AE2＝AP2+PE2．∴△APE是等腰直角三角形．∴∠PAE＝45
∴∠PAB－∠PCD＝∠PAB－∠BAE＝∠PAE＝45°．
16、 5或20或 或
【解析】解：∵∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB13，
当点P在AC上时，CP＝CB＝5，∴t＝5；
当点P在AB上时，分三种情况：
①当BP＝BC＝5，如图1所示：
则AP＝13﹣5＝8，∴t＝12+8＝20；
②当CP＝CB＝5时，
过点C作CM⊥AB于M，如图2所示：
则
∵，∴CM，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：BM，
∴BP＝2BM∴AP＝13，∴t＝12；
③当PC＝PB时，如图3所示：
则∠B＝∠BCP，
∵∠B+∠A＝90°，∠BCP+∠ACP＝90°，∴∠A＝∠ACP，∴AP＝PC，
∴AP＝PBAB，∴t＝12；
综上所述，当t＝5或20或或时，△BCP为等腰三角形．
三、解答题（共62分）
17、详见解析．
【解析】证明：由已知可知，，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴是直角三角形，
∵，
∴，
即，∴，
∴．
18、(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析；(4)见解析
【解析】(1)解：如图1中，线段BD即为所求；
(2)解：如图1中，直线l即为所求；
(3)解：如图2中，线段CE即为所求；
(4)解：如图2中，点F即为所求．
19、(1)见解析；(2)
【解析】(1)证明：连接AD，
∵AB=AC，∠A=90°，D为BC中点，∴AD=BC=BD=CD，
且AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=45°，
在△BDE和△ADF中，
BD=AD ，∠B=∠DAF=45°，BE=AF，∴△BDE≌△ADF，∴DE=DF；
(2)由（1）得△BDE≌△ADF，∴∠BDE=∠ADF，
∵∠BDE+∠ADE=90°，∴∠ADF+∠ADE=90°，即：∠EDF=90°，∴△EDF为等腰直角三角形．
∵ED=2，∴EF=．
20、
(1)是等腰直角三角形，理由见解析
(2)船体移动距离的长度为5米
(3)把船从B拉到岸边A点所用时间为12．5秒
【解析】(1)解：是等腰直角三角形．理由如下：
由题意可得：米，米，，
可得（米， ∴AC=AD，
又∵∠CAD=90°，故是等腰直角三角形；
(2)解：米，米，，，
∴（米．
答：船体移动距离的长度为5米．
(3)解：船在BD段所用时间为：=5（秒），
船在AD段所用时间为：=7．5（秒），∴5+7．5=12．5(秒)．
答：把船从B拉到岸边A点所用时间为12．5秒．
21、(1)PQ=cm； (2)11秒； (3)当t为11秒或12秒或13．2秒时，△BCQ为等腰三角形．
【解析】(1)如图所示：
BQ=4×2=8cm，BP=AB-AP=16- 1×4=12cm，
∵∠B= 90°，∴PQ=cm；
(2)当△PQB第一次形成等腰三角形时，BQ =BP，
∵BQ = 2t，BP= 16-t，∴2t= 16-t，解得：t=；
(3)∵∠B = 90°，AB =16cm，BC = 12cm，∴ACcm，
①当CQ= BQ时，如图
则∠C=∠CBQ，∵∠ABC= 90°，∴∠CBQ +∠ABQ = 90°，
∵∠A+∠C= 90°，∴∠A=∠ABQ，∴BQ= AQ，∴CQ=AQ=10cm，∴BC+ CQ = 22cm，∴t=22 ÷2= 11秒；
②当CQ= BC时，如图2，
则BC+CQ=24cm，∴t=24÷2= 12秒；
③当BC = BQ时，如图3， 过B点作BE⊥AC于点E，
则BE=cm，∴CE=cm，
∴CQ= 2CE =14．4cm，∴BC+ CQ = 26．4cm，
∴t=26．4÷2= 13．2秒；
综上可知，当t为11秒或12秒或13．2秒时，△BCQ为等腰三角形．
22、
（1）∠ACB＝90°；
（2）海港C受台风影响，理由见解析
（3）台风影响该海港持续的时间为小时
【解析】(1)解：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
(2)解：海港C受台风影响，理由：
过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴×300×400＝×500×CD，∴CD＝240（km），
∵距离台风中心260km及以内的地区会受到影响，∴海港C受台风影响；
(3)解：设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC＝FC＝260km，
由（2）得：CD⊥AB，CD=240km，∴EF=2ED，
∵ED＝＝100（km），∴EF＝200km，
∵台风的速度为28千米/小时，
∴200÷28＝（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为小时．
23、(1)见详解；(2)见详解；(3)52；(4)24．
【解析】(1)证明：由图可知，每个直角三角形的面积为，
空白小正方形的面积为，
整个围成的大正方形的面积为，
∵，即，
故；
(2)如下图所示，连接大正方形一条对角线DE
可知 ，
其中，，，，
代入可得，，
即；
(3)由图2可知，，
∵，，∴，
则=100，∴，
故空白部分的面积为52；
(4)由题意可知，风车的周长为 ，
其中OC=a=3，代入上式可得c+b=9，则c=9-b，
且，即，将c=9-b代入得，
，解得b=4，
则．
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