2021北京清华附中高一下学期期中数学试卷及答案

这是一份2021北京清华附中高一下学期期中数学试卷及答案，共17页。

（清华附中高G20级）
一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分）
1．已知是虚数单位，（ ）．
A．B．C．D．
2．在中，，，，则的面积为（ ）．
A．B．C．D．3
3．如图所示，已知在中，是边上的中点，则（ ）．
A．B．
C．D．
4．已知函数，则（ ）．
A．B．
C．D．
5．已知，是平面向量，“是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知函数的图像如图所示，是函数的导函数，记，，，则，，数值排序正确的是（ ）．
A．B．C．D．
7．已知平面向量，满足，，，则（ ）．
A．2B．C．4D．12
8．如图，是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔，．若某科研小组在坝底点测得，坝底至塔顶距离米，则大坝的坡角的余弦值为（ ）．
A．B．C．D．
9．在上可导的函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）．
A．B．
C．D．
10．已知，，，，在同一平面内，，且，则的最大值为（ ）．
A．B．C．D．4
二、填空题：（共5小题，每小题5分，共25分）
11．若复数是纯虚数，其中为虚数单位，则实数______．
12．已知，，．若，则实数的值为______．
13．小明用记录2020年4月份30天中每天乘坐公交车是否半小时内到家，方法为：当第天半小时内到家时，记，当第天不能半小时内到家时，记；用记录某交通软件预测该月每天乘坐公交车是否半小时内到家，方法为：当预测第天半小时内到家时，记，当预测第天不能半小时内到家时，记；记录完毕后，小明计算出，其中，那么该交通软件预测准确的总天数是______．
14．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______．
15．定义域为的函数，如果存在，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为单峰函数．那么下列函数是单峰函数的有______．
①；②；③；④．
三、解答题：（共6小题，共85分）
16．已知，，是同一平面内的三个向量，，．
（Ⅰ）若与的方向相反，求的坐标；
（Ⅱ）若，求与的夹角．
17．已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在上的最大值和最小值，并求取得最值时相应的的值．
18．已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅲ）若函数的图像与直线仅有一个公共点，直接写出实数的取值范围．
19．如图，在四边形中，，，，，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求．
20．已知函数在处的极值为2，其中．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）对任意的，证明恒有．
21．对任意给定的不小于3 的正整数，元集合，均为正整数集的子集，若满足：
①，
②，
③，
则称，互为等矩集．
（Ⅰ）若集合与互为等矩集，求，的值；
（Ⅱ）证明：如果集合，互为等矩集，那么对于任意的，集合，也互为等矩集；
（Ⅲ）对于任意给定的正整数，是否存在两个元正整数集，互为等矩集？请说明理由．
2021北京清华附中高一（下）期中数学
参考答案
一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分）
1．已知i是虚数单位，＝（ ）
A．1+2iB．﹣1﹣2iC．1+iD．﹣1﹣i
解：＝，
故选：C．
2．在△ABC中，AC＝2，BC＝3，C＝60°，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．3
解：因为AC＝2，BC＝3，C＝60°，
所以△ABC的面积S＝CB•CA•sinC＝3×2×＝．
故选：A．
3．如图所示，在△ABC中，D为AB的中点，则＝（ ）
A．﹣B．﹣+C．﹣﹣D．+
解：∵在△ABC中，D为AB的中点，
∴＝＝﹣＝﹣＝﹣，
故选：B．
4．已知函数，则（ ）
A．y'＝exB．
C．D．
解：，则＝．
故选：C．
5．已知，是平面向量，“是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解：若||＝|+|，则＝+2•+，
∴2||•||•cs＜，＞+＝0，∴2||•cs＜，＞+||＝0或||＝0，
∴||＝|+|是||＝0的必要不充分条件，
故选：B．
6．已知函数y＝f（x）的图象如图所示，f'（x）是函数f（x）的导函数，记a＝2f'（2），b＝2f'（4），c＝f（4）﹣f（2），则a，b，c数值排序正确的是（ ）
A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．b＜a＜cD．a＜c＜b
解：结合图像：f′（2）＜＜f′（4），
故2f′（2）＜f（4）﹣f（2）＜2f′（4），
即a＜c＜b，
故选：D．
7．已知平面向量，满足，，＜，＞＝120°，则＝（ ）
A．2B．C．4D．12
解：平面向量，满足，，＜，＞＝120°，
则＝＝＝2．
故选：A．
8．如图，AD是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔BD，∠C＝90°．若某科研小组在坝底A点测得∠BAD＝30°，坝底至塔顶距离AB＝30米，则大坝的坡角（∠DAC）的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
解：因为∠BAD＝30°，AB＝30，BD＝20，
在△ABD中，由正弦定理得＝，
即＝，
解得sin∠ADB＝；
由∠ADB＝∠C+∠DAC＝90°+∠DAC，
所以sin∠ADB＝sin（90°+∠DAC）＝cs∠DAC＝，
所以大坝的坡角（∠DAC）的余弦值为．
故选：D．
9．在R上可导的函数f（x）的图形如图所示，则关于x的不等式x•f′（x）＜0的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）
C．（﹣2，﹣1）∪（1，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
解：若x＝0时，不等式x•f′（x）＜0不成立．
若x＞0，则不等式x•f′（x）＜0等价为f′（x）＜0，此时函数单调递减，由图象可知，此时0＜x＜1．
若x＜0，则不等式x•f′（x）＜0等价为f′（x）＞0，此时函数单调递增，由图象可知，此时x＜﹣1．，
故不等式x•f′（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．
故选：A．
10．已知O，A，B，C，D在同一平面内，|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝1，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．4
解：∵，∴⊥，又∵|OA|＝|OB|＝1，∴|+|＝．
|+|＝|﹣+﹣|＝|+﹣（+）|，
当、与+反向时，|+|取得最大值2+，
故选：B．
二、填空题：（共5小题，每小题5分，共25分）
11．若复数（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，则实数a＝ 2 ．
解：∵复数（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，
所以 即
得a＝2
故答案为：2
12．已知，，．若，则实数λ的值为 ﹣1 ．
解：∵，，且，
∴2（λ+3）﹣（3﹣λ）＝0，解得λ＝﹣1．
故答案为：﹣1．
13．小明用A＝（a1，a2，⋯，a30）记录2020年4月份30天中每天乘坐公交车是否半小时内到家，方法为：当第k天半小时内到家时，记ak＝1，当第k天不能半小时内到家时，记ak＝﹣1（1≤k≤30）；用B＝（b1，b2，⋯，b30）记录某交通软件预测该月每天乘坐公交车是否半小时内到家，方法为：当预测第k天半小时内到家时，记bk＝1，当预测第k天不能半小时内到家时，记bk＝﹣1（1≤k≤30）；记录完毕后，小明计算出A⋅B＝22，其中A⋅B＝a1b1+a2b2+⋯+a30b30，那么该交通软件预测准确的总天数是 26 ．
解：依题意，若akbk＝1（1≤k≤30），则表示第k天预报正确，
若akbk＝﹣1（1≤k≤30），则表示第k天预报不正确，
由A⋅B＝a1b1+a2b2+⋯+a30b30＝22，
假设其中有x天预报正确，则等式左边有x个1，30﹣x个（﹣1），
则x+（30﹣x）×（﹣1）＝22，解得x＝26．
∴该交通软件预测准确的总天数是26．
故答案为：26．
14．若函数在[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是 （﹣∞，e] ．
解：∵，x∈[1，2]，
∴f′（x）＝ex﹣，
∵f（x）在[1，2]单调递增，
∴f′（x）≥0在x∈[1，2]恒成立，
即ex﹣≥0恒成立，即a≤x2ex，
令g（x）＝x2ex，x∈[1，2]，
则g′（x）＝（x2+2x）ex＞0在[1，2]上恒成立，
∴g（x）在[1，2]上单调递增，
∴g（x）min＝g（1）＝e，故a≤e，
故答案为：（﹣∞，e]．
15．定义域为R的函数y＝f（x），如果存在x0∈R，使得f（x）在（﹣∞，x0]上单调递增，在[x0，+∞）上单调递减，则称f（x）为单峰函数．那么下列函数是单峰函数的有 ①④ ．
①y＝2x﹣ex；②；③；④y＝x3（1﹣3x+3x2﹣x3）．
解：根据题意，单峰函数的概念可知，若f（x）为单峰函数，则它只有一个极值点，且是极大值点，
对于①y＝2x﹣ex，其导数为y′＝2﹣ex，
在区间（﹣∞，ln2），y′＞0，函数为增函数，在区间（ln2，+∞）上，y′＜0，函数为减函数，则f（x）为单峰函数；
②，其导数为y′＝sinx﹣，
令g（x）＝sinx﹣，
则g（）＝1﹣＞0，g（2）＝sin2﹣1＜0，
∴∃x0∈（，2），使得g（x0）＝sinx0﹣0＝0，又g（﹣x）＝﹣g（x），
∴g（x）为R上的奇函数，
又g（0）＝0，
∴的极值点有3个，故f（x）不是单峰函数；
③，其导数为y′＝＝，令y′＝0，可得x＝±，故f（x）不是单峰函数；
④y＝x3（1﹣3x+3x2﹣x3），其导数为y′＝3x2﹣12x3+15x4﹣6x5＝﹣3x2（x﹣1）2（2x﹣1），
当x≤时，y′≥0，当x＞时，y′≤0，
∴f（x）在（﹣∞，]上单调递增，在[，+∞）上单调递减，故f（x）为单峰函数；
故答案为：①④．
三、解答题：（共6小题，共85分）
16．已知，，是同一平面内的三个向量，，．
（Ⅰ）若与的方向相反，求的坐标；
（Ⅱ）若，求与的夹角θ．
解：（Ⅰ）根据题意，，若与的方向相反
则＝t，t＜0，即＝（2t，4t），
又||＝，则4t2+16t2＝5，解可得t＝﹣，
则＝（﹣1，﹣2）．
（Ⅱ）由，可得||＝＝2，
若，则•（﹣4）＝2﹣4•＝20﹣4×2××csθ＝0，
解得csθ＝，
又由0≤θ≤π，则θ＝．
17．已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在上的最大值和最小值，并求取得最值时相应的x的值．
解：（Ⅰ）函数＝＝．
故函数的最小正周期为．
（Ⅱ）由于，
所以，
故．
故
即当x＝时，函数的最小值为，
当x＝时，函数的最大值为2．
18．已知函数f（x）＝x3+x2﹣x+1．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅲ）若函数y＝f（x）的图象与直线y＝a仅有一个公共点，直接写出实数a的取值范围．
解：（I）f′（x）＝3x2+2x﹣1，
所以f′（1）＝4，f（1）＝2，
故曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y﹣2＝4（x﹣1），即y＝4x﹣2；
（II）f′（x）＝3x2+2x﹣1＝（3x﹣1）（x+1），
易得当x或x＜﹣1时，f′（x）＞0，函数单调递增，当﹣1＜x＜时，f′（x）＜0，函数单调递减，
故函数的单调递增区间（﹣∞，﹣1），（，+∞），单调递减区间（﹣1，），
当x＝﹣1时函数取得极大值f（﹣1）＝2，当x＝时，函数取得极小值；
（III）由（II）知，a＞2或a＜时，y＝a与y＝f（x）只有一个交点．
故a的范围{a|a＞2或a＜}．
19．如图，在四边形ABCD中，CD＝2，，AB＝4，∠BDC＝60°，．
（Ⅰ）求sin∠DBC；
（Ⅱ）求AD．
解：（I）CD＝2，，AB＝4，∠BDC＝60°，，
由正弦定理得，
即，
所以sin∠DBC＝；
（II）由题意得∠DBC为锐角，结合（I）得cs∠DBC＝，
因为，
所以sin∠ABC＝，
cs∠ABD＝cs（∠ABC﹣∠DBC）＝﹣＝，
由余弦定理得，cs∠BDC＝＝＝，
解得BD＝3，
由余弦定理得cs∠ABD＝＝＝，
所以AD＝．
20．已知函数f（x）＝x+b﹣alnx在x＝1处的极值为2，其中a＞0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）对任意的x∈[1，+∞），证明恒有x[2﹣f（x）]≤x2﹣2x+1．
解：（I），
由题意得，，
解得a＝1，b＝1；
证明：（II）x[2﹣f（x）]﹣x2+2x﹣1＝﹣2x2+3x+xlnx﹣1，
令g（x）＝﹣2x2+3x+xlnx﹣1，x≥1，
则g′（x）＝﹣4x+lnx+4，＜0恒成立，
所以g′（x）在[1，+∞）上单调递减且g′（1）＝0，
所以x≥1时，g（x）≤g（1）＝0，
所以x[2﹣f（x）]≤x2﹣2x+1．
21．对任意给定的不小于3的正整数n，n元集合A＝{a1，a2，⋯，an}，B＝{b1，b2，⋯，bn}均为正整数集的子集，若满足：
①a1+a2+⋯+an＝b1+b2+⋯+bn，
②a12+a22+⋯+an2＝b12+b22+⋯+bn2，
③A∩B＝∅，
则称A，B互为等矩集．
（Ⅰ）若集合A＝{1，5，6}与B＝{2，x，y}互为等矩集，求x，y的值；
（Ⅱ）证明：如果集合A＝{a1，a2，⋯，an}，B＝{b1，b2，⋯，bn}互为等矩集，那么对于任意的k∈N*，集合A'＝{a1+k，a2+k，⋯，an+k}，B'＝{b1+k，b2+k，⋯，bn+k}也互为等矩集；
（Ⅲ）对于任意给定的正整数n≥4，是否存在两个n元正整数集A，B互为等矩集？请说明理由．
【解答】（Ⅰ）解：由等矩集定义，则，
①2﹣②2，可得xy＝21③，
由①③可知，x，y为方程t2﹣10t+21＝0的两个根，
解得或；
（Ⅱ）证明：只需证明A'和B'满足等矩集的三条定义即可，
（a1+k）+（a2+k）+⋯+（an+k）
＝a1+a2+•••+an+nk
＝b1+b2+•••+bn+nk
＝（ab+k）+（b2+k）+⋯+（bn+k），
故满足定义①；
（a1+k）2+（a2+k）2+⋯+（an+k）2
＝（a12+a22+•••+an2）+2k（a1+a2+•••+an）+nk2
＝（b12+b22+•••+bn2）+2k（b1+b2+•••+bn）+nk2
＝（b1+k）2+（b2+k）2+⋯+（bn+k）2，
故满足定义②；
假设A'∩B'≠∅，则存在p，q∈N*，a1+k＝bq+k，可得ap＝bq，与A∩B＝∅矛盾，
所以A'∩B'＝∅，
故满足定义③．
综上所述，A'和B'也互为等矩集；
（Ⅲ）解：①对于m元等矩集组Am和Bm和n元等矩集组An和Bn，
可以发现只需要Am，Bm，An，Bn两两交集为空集，
则Am∪An和Bm∪Bn互为m+n等矩集组，
此结论可以推广到的形式；
②可以发现，若A＝{a1，a2，•••，an}和B＝{b1，b2，•••，bn}互为等矩集，
则有A'＝{ka1，ka2，•••，kan}和B'＝{kb1，kb2，•••，kbn}，k∈N*互为等矩集，
因此我们可以构造3元，4元，5元的等矩集组，从而能够证明3k，3k+1，3k+2元等矩集组的存在，
即对任意n≥4，n∈N*，存在n元正整数集A和B互为等矩集，
3元等矩集：{1，5，6}和{2，3，7}，
4元等矩集：{1，4，6，7}和{2，3，5，8}，
对于5元等矩集，可以利用两组4元等矩集的并集，其中去除一个3元等矩集进行构造，
两组4元等矩集：A：{1，4，6，7}和{2，3，5，8}，B：{2，8，12，14}和{4，6，10，16}，
并集为{1，2，4，6，7，8，12，14}和{2，3，4，5，6，8，10，16}，
其中存在3元等矩集：{2，6，7}和{3，4，8}，
删除后得到5元等矩集：{1，4，8，12，14}和{2，5，6，10，16}，
根据上述构造方法可以总结n元等矩集的构造：
①若n＝3k，则可以由k个3元等矩集组并得；
②若n＝3k+1，则可以由（k﹣1）个3元等矩集组合一个4元等矩集组并得；
③若n＝3k+2，则可以由（k﹣1）个3元等矩集组合一个5元等矩集组并得．
因此，对于任意给定的正整数n≥4，必存在两个n元正整数集A，B互为等矩集．